2025年中考数学几何模型归纳训练：全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型解读与提分训练（原卷版）

专题18全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三

角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型

模型1.倍长中线模型

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所

谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知

识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。

练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。

模型证明

1）倍长中线模型（中线型）

条件：/D为A/BC的中线。结论：^ABD=AECD

证明：延长至点E,^.DE=AD,连结CE。

为△NBC的中线，：.BD=CD,:NBDA=/CDE,：.&ABD出4ECD（S4S）

2）倍长类中线模型（中点型）

条件：A/BC中，。为3c边的中点，E为48边上一点（不同于端点）。结论：&EDB9XFDC。

证明：延长助，使D尸=。£,连接CF。

•.•。为2C边的中点，：.BD=DC,VZBDE=ZCDF,:.△EDB92FDC（SAS）

3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）

条件：AB//CD,E为/C的中点，尸为48边上一点（不同于端点）。结论：AAFEdCGE。

证明：延长FE,交。C的延长线于点G。

为/C的中点，：.AE=CE,"JAB//CD,：.ZA=ZECG,/AFE=/G,A^AFE^^CGE（AAS）

若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在⑦上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过

延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“44S'或“4SL4”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看

做是“中点型'’的改良版。

模型运用

例1.（2024・广东•校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1,“BC中，AB=[,AC=5,

点。为3C的中点，求AD的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以

便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2,延长

到E,使DE=AD,连接BE,构造△BE。2△C/O,经过推理和计算使问题得到解决

请回答：⑴小明证明48项注△C4D用到的判定定理是：；（填入你选择的选项字母）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）40的取值范围是.

小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.

参考小明思考问题的方法，解决问题:

如图3,在正方形48co中，£■为48边的中点，G、尸分别为AD,8C边上的点，若/G=2,BF=4,

NGEF=90°,求G尸的长.

例2.（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1,

在“BC中，。是胡延长线的点，E是/C边上一点，且满足。£=BC,NDE4=//C3,那么A是2。的

中点，请你说明理由.

【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以。E为腰构造等腰3环和平行八字型全等三角形，如

图2,以点。为圆心，以。E长为半径画弧，交C4的延长线于点尸，先应用等腰三角形的轴对称性，再应

用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即可得45=/。，小张同学从结论出发分析解题思路：以

为腰构造等腰b，将说明ND=/2的问题转化为说明8尸的问题，如图3,以点B为圆心，以

长为半径画弧，交/C于点尸，于是可得=,再应用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法

即可得=8尸=/£>.

（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；

【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同

类问题：如图4,在四边形/BCD中，AB=AC=CD,ZACD=90°,过点3作线段BE_L,S.BE=AB,

连接交8c的延长于点尸，猜想。尸与E尸的数量关系并说明理由.

例3.（2024・江苏•九年级校考期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图①，A/BC中，若N5=8,AC=6,求8C边上的中线/。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得

到了如下的解决方法：延长4D至点£,使DE=4D,连接8瓦请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到以△ED2,依据是.A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得/£＞的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论集中到同一个三角形之中.

(3)【初步运用】如图②，4D是△48C的中线，BE交4c于E,交4D于尸，S.AC^BF.求证

(4)【灵活运用】如图③，在A/BC中，ZA=90°,。为8C中点，DELDF,DE交4B于点、E,DF交4c

于点凡连接EK试猜想线段BE、CF、£尸三者之间的数量关系，并证明你的结论.

例4.(23-24九年级上•吉林长春•阶段练习)【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：

如图，在中，点。为8c边上的中点，AB=4,AC=6,求线段长的取值范围.我们采用的方

法是延长线段/D到点E,使得AD=DE,连结CE,可证ANAD0AEC。，可得CE=/B=4,根据三角形

三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则/。的范围是：.

【拓展应用】(1)如图，在"3C中，BC=2BD,4D=3,AC=2y/w,ZBAD=90°,求的长.

(2)如图，在AABC中，。为3c边的中点，分别以48、/C为直角边向外作直角三角形，且满足

N4BE=ZACF=30°,连结班若4)=26，则跖=.(直接写出)

模型2.截长补短模型

模型解读

截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过

辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两

角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。

截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

模型证明

Cf

条件：40为△/5C的角平分线，ZB=2ZCo结论：AB+BD=ACo

证明：法1(截长法)：在线段4c上截取线段4*=4瓦连接。瓦

为的角平分线，:・/BAD=/B，AD,*：AD=AD,；・"BDmLABE(SAS)

:・/B=/AB，D,BD=B'D,VZ5=2ZC,；・/AB，D=2/C,：.ZABrD=2ZC,:・NB，DC=/C,

,,,,

：.BC=BD,：.BD=B，C,'：AB+BC=AC,：.AB+BD=ACO

法2(补短法)：延长45至点。使得=连接50。

•・Z。为△/BC的角平分线，:・/CAD=/CAD,*：AD=AD,小CAD/MAD(SAS)

.*.ZCr=ZC,VZ5=2ZC,ZB=2ZC,:・/BDC=/C,:・BC=BD,

■:AB+BC'=AC',：.AB+BD=ACo

模型运用

例1.（2024・辽宁大连•模拟预测）【方法探究】如图1,在“6C中，AD平分NBAC,NABC=2NC,探

究NC,4B,8。之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1：如图2,在/C上截取NE,使得KE=4B,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决此问题.

方法2：如图3,延长到点E,使得BE=BD,连接。£,可以得到等腰三角形，进而解决此问题.

（1）根据探究，直接写出/C,AB,AD之间的数量关系；

【迁移应用】（2）如图4,在AJBC中，。是3C上一点，，NB=2NC,ADJ.BC于D,探究CD,AB,BD

之间的数量关系，并证明.

【拓展延伸】（3）如图5,AABC为等边三角形，点。为48延长线上一动点，连接CD.以CD为边在CD上

方作等边ACOE,点尸是。E的中点，连接册并延长，交的延长线于点G.若NG=4CE,求证：

GF=AE+AF.

例2.（23-24八年级上•河南漫河・期末）（1）阅读理解：问题：如图1,在四边形/BCD中，对角线8D平分

ZABC,ZA+ZC=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取四=胡，连接。得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长A4到点N,使得3N=3C,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

（2）问题解决：如图2,在（1）的条件下，连接NC,当NDZC=60。时，探究线段N3,BC,80之间

的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3,在四边形/BCD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作。垂足为点

E,请写出线段/2、CE、8c之间的数量关系.

例3.（23-24九年级上•江苏南通•期中）如图，四边形/BCD是。。内正方形，P是圆上一点（点P与点4

B,C,。不重合），连接尸4PB,尸C.（1）若点P是弧/。上一点，①NAPC度数为；

②求证：+=小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完

成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）.证明：在尸C的延长线上截取点E.使CE=P/,连接BE.

（2）探究当点尸分别在万，BC，&上，求尸4PB,尸C的数量关系，直接写出答案，不需要证明.

例4.（23-24八年级下•辽宁盘锦・期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加

方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短

边相等，从而解决问题.（1）如图1,“8C是等边三角形，点。是边8c下方一点，ZBDC=120°,探索

线段D/、DB、。。之间的数量关系.思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接ZE,根据

ZBAC+ZBDC=180°,可证4L8O=aICE,易证得0,得出V/DE是等边三角形，所以

AD=DE,从而探寻线段。/、DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请写出£U、DB、DC之

间的数量关系是;

【拓展延伸】（2）如图2,在RtA/8C中，/A4c=90。，AB=AC,若点。是边8C下方一点，ZBDC=9Q°,

探索线段DB、。。之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】（3）如图3,两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶

点之间的距离PQ2=_cm.

习题练模型

1.（2023秋•江西九江•八年级校考期末）如图，在△ABC中，点。是8C的中点，若/8=5,/C=13,AD

=6,则的长为.

2.（2023•江苏淮安•三模）【探究发现】（1）如图1,在V/2C中，。为BC边的中点，连接40并延长至点

H,使DH=4D,连接C”.由乙4DB=NCDH,得NADB尊HDC,则与C77的数量关系为,

位置关系为.

【尝试应用】（2）如图2,在V48c中，NP平分/2/C,。为BC边的中点，过点。作交C4

的延长线于点。，交边于点K.试判断8K与怎的数量关系，并说明理由.

【拓展应用】（3）如图3,在RtZ\/8C中，ZBAC=90°,AC=6,4B=8,。为8c边的中点，连接4D,

£为/C边上一动点，连接3E交4D于点？①若BF=4C.求NE的长度；

4G4

②在射线AD上取一点G,且===,连接8G,直接写出48E+5BG的最小值.

CE5

3.（23-24九年级上•广东梅州•阶段练习）阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1,在V/8C中，

Ap

乙4c3=90。,BE是4c边上的中线，点。在3c边上，CD:BD=1:2,AD与BE相交于点尸，求”■的值.他

发现，过点A作月尸〃8C,交3E的延长线于点F,通过构造经过推理和计算能够使问题得到解

Ap

决（如图2）.请回答：（1）急的值为—.⑵参考这个同学思考问题的方法，解决问题：如图3,在V/8C

中，44c5=90。，点。在8c的延长线上，4D与/C边上的中线BE的延长线交于点

Ap

P,DC.BC-.AC=1.2.i,求—的值_；⑶在（2）的前提下，若CD=2,则8尸=.

CBCBDC

图1图2

4.（2024・山东•校考一模）阅读材料：如图1,在中，D,£分别是边/瓦/C的中点，小亮在证明“三

角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长。E到点R使EF=DE,连接CF,证明

AADE^ACFE,再证四边形D8C/是平行四边形即得证.

类比迁移：（1）如图2,/。是A/BC的中线,石是ZC上的一点交/。于点R且=M，求证：/C=B尸.

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.

证明：如图2,延长/。至点使MD=FD,连接MC,……请根据小亮的思路完成证明过程.

方法运用：（2）如图3,在等边ANBC中，。是射线2C上一动点（点。在点C的右侧），连接4D.把线段

CD绕点。逆时针旋转120。得到线段。E,尸是线段的中点，连接DRCF.请你判断线段。厂与4D的

数量关系，并给出证明.

图1图2图3

5.（2024・四川达州•模拟预测）［问题背景］在“BC中，48=8,AC=4,求边上的中线/。的取值范

围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长/。到E,使得DE=4D,再连接3E,

把4B,NC,2ND集中在A/BE中.（1）利用上述方法求出AD的取值范围是；

（2）［探究］如图2,在中，CE为48边上的中线，点。在C8的延长线上，且BC=2BD,/D与CE相

交于点。，若四边形。£出£的面积为20,求的面积；

（3）［拓展］如图3,在四边形/8CO中，N/=105。，ZD=120°,£为4D的中点，G、尸分别为n8、CD边上

的点，若/G=4,DF=2啦,NGEF=90°,求G厅的长.

6.（2024・山西吕梁・一模）阅读与思考:下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

任务：（1）材料中的“依据”是.（填选项）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

（2）在“3C中，AB=6cm,AC=4cm,则BC边上的中线/。长度的取值范围是.（3）如图3,在

四边形/BCD中，ABHCD,AM平分NB4D,且W是的中点，AB=2,AD=3,求DC的长.

7.（23-24八年级上•山西大同・期末）阅读以下材料，完成以下两个问题.

D：E

BDEBDC

图(3)

［阅读材料］已知：如图，^ABC（AB#AC）中，D、E在上，且。E=EC,过。作。尸II交4E于

点、F,DF=AC.求证：4E平分/B4c.

结合此题，DE=EC,点£是。C的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转

移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图（1）所示；②考虑倍长NE,如图（2）所示以图（1）

为例，证明过程如下：证明：延长FE至G,使EG=EF,连接CG.

ED=EC

在QEF和KEG中，＜NDEF=ZCEG,:.&DEF%CEG（S例.：.DF=CG,ZDFE=ZG.

EF=EG

'：DF=AC,：.CG=AC.：.ZG=ZCAE.：.ZDFE=ZCAE.

,：DFHAB,：.ZDFE=NBAE.：.NBAE=NCAE.：.AE平分ZBAC.

问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明.问题2：根据上述材料，完成下列问题：

已知，如图3,在“BC中，AD是8C边上的中线，分别以48,/C为直角边向外作等腰直角三角形，

ZBAE=ZCAF=90°,AE=AB,AC=AF,/。=3,求E尸的长.

8.（2024•河南南阳•一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展

的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，

请你解答.（1）【观察发现】①如图1,NP是VN3C的角平分线，AB<AC,在/C上截取连接

PQ,则PB与PQ的数量关系是；

②如图2,V/BC的角平分线/£、8尸相交于点P当NC=60。时，线段PE与打'的数量关系是；

（2）【探究迁移】如图3,在四边形/8C75中，AB=AD+BC,4D48的平分线与N48C的平分线恰好交

于CA边上的点尸，试判断与尸。的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若N8=15,tan/P/8=；,当APBC有一个内角是45。时，直接写出边

的长.

9.（2023•湖南怀化•模拟预测）【证明体验】（1）如图1.4D为V/8C的角平分线，N4DC=60。，点£在ZB

上，AE=AC.求证：DE平分N4DB.

【思考探究】（2）如图2,在（1）的条件下，尸为NB上一点，连接FC交4D于点G.若FB=FC,DG=4,

CD=6,求5。的长.

【拓展延伸】（3）如图3,在四边形A8CD中，对角线/C平分乙B4D,N3CN=2/DC4,点£在/。上，

ZEDC=ZABC.若BC=5,CD=2#,AD=2AE,求NC的长.

图I图2图3

10.（23-24九年级上•浙江绍兴•期中）定义：如图1,在.AABC中，把48绕点/按逆时针方向旋转

研0。＜。＜180。）并延长一倍得到/"，把/C绕点/按顺时针方向旋转尸，并延长一倍得到/C,连结

BC,.当夕=180。时，称△49。为的“倍旋三角形"，△4BC'的边8'C'上的中线AD叫做的

“倍旋中线（1）如图①，当N8/C=90。，3c=2时，“倍旋中线”4D的长为

（2）如图②，当△/B'C'为等边三角形时,“倍旋三角形与BC的数量关系为.

（3）在图③中，当“3C为任意三角形时,猜想“倍旋中线”与8c的数量关系，并给予证明.

11.（22-23九年级上•河南驻马店,阶段练习）如下表倍长中线（Methodoftimesthelengthofline）

倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等,

然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形,

利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系.请用倍长中线法解答下面问题:

在“3C中，ZACB=90°,8。是/C边上的中线，点E为射线3C上一动点.

（1）问题发现：如图1,点E在8c上，BE:CE=1:2,与NE相交于点P,延长5。至点尸，使得尸,

图1图2

王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程.

解：设BE=k,则CE=；；AD是/C边上的中线，AD=CD；

CD=AD

•.•在△BCD和中，｛/BDC=NFDA：.ABCD卷AFAD()

BD=FD

Ap4F

=，BC||FA；BC=FA=3k；JX.BC||FA,t^BPE~^FPA；/.---=---=

PEBE

⑵类比探究如图2,点E在BC的延长线上，/E与AD的延长线交于点P,CE:BC=\:3,求——的值.

PE

⑶拓展延伸在(2)的探究结论下，若8c=4,AC=6,求BP的长.

12.(23-24九年级上•陕西西安•期中)阅读下面材料，完成以下两问：

数学课上，老师出示了这样一道题.如图，“3C中，。为中点，且3=/c,〃为中点，连接CM

并延长交45于N.探究线段/N、MN、CN之间的数量关系，并证明.

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现线段㈤V、48之间存在某种数量关系”.

小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”.

小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”.

(1)小伟在探索时，做法为：过2作80〃NC交/。延长线于Q,构造多ACOM(ASA).

请你按照他的做法，判断ZN与之间的数量关系为：竽AN=

AB

(2)如图(2)：延长至〃，使4D=DH,连接CH,则结论：/N?=MN.CN是否成立？请说明理由;

(3)如图(3)，证明：AN+1MN=NC.

13.（2024・广西贺州•一模）阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成

相应的任务.

截长补短法：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系.这一类题目一般可

以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的

一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补

短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与

最长的已知线段的数量关系.有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解….

如图1,四边形48c。是。。的内接四边形，连接/C,BD.8C是。。的直径，4B=4C.请说明线段4D,

BD,CD之间的数量关系.

下面是该问题的部分解答过程:

解：BD^^2AD+CD.理由如下：是O。的直径，，/24。=90。,

任务：（1）补全解答过程；（2）如图3,四边形48CD是。。的内接四边形，连接ZC,BD.3C是。。的直径,

ZABC=30°,则线段4D,BD,之间的数量关系式是.

图3

14.（23-24八年级上•吉林长春•阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添

加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一

长边相等，从而解决问题.（1）如图①，AABC是等边三角形，点。是边3c下方一点，连结DB、DC,

且/助C=120。，探索线段D4、DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接/E