2025年新高考数学专项复习：棱柱相关解答题二十大题型（原卷版）

专题1-2棱柱相关解答题二十大题型汇总

。常考题型目录

第一篇直棱柱篇..................................................................1

题型1平行关系..................................................................1

题型2垂直关系..................................................................4

题型3长度问题..................................................................7

题型4距离问题..................................................................8

题型5线线、线面角问题.........................................................11

题型6二面角问题...............................................................14

题型7线面角与动点问题.........................................................17

题型8二面角与动点问题.........................................................20

题型9体积与动点问题...........................................................21

题型10最值取值范围问题........................................................22

第二篇斜棱柱篇.................................................................24

题型11平行关系................................................................24

题型12垂直关系................................................................26

题型13长度问题................................................................27

题型14体积与距离问题..........................................................28

题型15线面角问题..............................................................30

题型16二面角问题..............................................................31

题型17线面角与动点问题........................................................35

题型18二面角与动点问题........................................................37

题型19体积与动点问题..........................................................39

题型20最值取值范围问题.......................................................40

但题型分类

第一篇直棱柱篇

题型1平行关系

【例题1】（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A/G中，BBi1平面ABC,

D,E分别为棱AB,/Ci的中点,BC=2,AB=2陋,&G=4.证明：DE〃平面4CG4.

4G

B

【变式1-1]1.(2023春•河南洛阳・高三栾川县第一高级中学校考开学考试)如图，在三

棱柱71BC-a/©中,BB1J_平面ABC,ABLBC,AA±=AB=BC^2.

(2)点M在线段B]C上,且黑=]点可在线段上，若MN〃平面&4CG,求募的值・

【变式1-1】2.(2023•全国•高三专题练习)如图,在三棱柱4BC-A/iG中，AA.，平面

,AB=8C=4C==2,E,F分别为&G,的中点.

(I)在四边形ABBiA内是否存在点G，使平面GEF〃平面4BG?若存在,求出该点的位

置；若不存在，请说明理由；

(n)设D是CG的中点，求与平面48cl所成角。的正弦值.

【变式1-1]3.(2023•高二单元测试)如图，在三棱注4BC-a/©中,BBr1平面,

4B1BC,=48=BC=2.

(1)求证：BCi_L平面4/1。；

(2)求异面直线/C与所成角的大小；

(3)点”在线段/C上，且黑=点N在线段上，若MN〃平面&4CC1,求募的值.

【变式1-D4.(2021春・北京・高二东直门中学校考期中即图，在三棱柱ABC-&B1G中，

AA1，平面ABC,/.BAC=,AA1AB=AC=1,CC1的中点为H.

(I)求证：AB1ArC；

(n)求二面角4—BC—/的余弦值；

(m)在棱4当上是否存在点N，使得HN〃平面?若存在,求出黑的值；若不存在,

请说明理由.

【变式1-1]5.(2020秋•广西百色•高二田东中学校考阶段练习)如图，在三棱柱力BC-

AiBiG中,BB]J■平面ABC,AB±BC,AA-^—AB=BC=2.

(1)求证：BC]_L平面48道；

(2)求异面直线与所成角的大小；

(3)点M在线段B】C上,且黑=A(A£(0,1))，点N在线段4/上，若MNII平面&4。酊,

求芳的值(用含屈勺代数式表示).

题型2垂直关系

【例题2】(2023•全国•高三专题练习)如图1所示，在边长为12的正方形&中，点B,C

在线段44'上，且4B=3,BC=4作,分别交公掰、皿于点外P作CQ〃44,

分别交为4、力占'于点Q、Q,将该正方形沿BBi，CG折叠，使得A&'与重合，构成如

图2所示的三棱柱4BC-4/16.

⑴在三棱柱4BC-&B1G中，求证：AB1平面BCQBi；

(2)试判断直线4Q是否与平面4C/平行，并说明理由.

【变式2-1]1.(2022秋河南开封•高二校考阶段练习)如图，在三棱柱71BC-a/©中，

四边形441cle是边长为次的正方形，CG18C,BC=1,48=2.

(1)证明：平面&BC_L平面28G；

(2)在线段上是否存在点M，使得CM1BG,若存在，求署的值；若不存在，请说明

DAI

理由

C.

【变式2-1]2.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱柱ABC-A/1G中，AA.1底

面ABC,/.CAB=90。，AB=AC=2,=百，M为8C的中点,P为侧棱BBr上的动

点.

(1)求证：平面4PM1平面B81GC；

(2)试判断直线BCi与4P是否能够垂直.若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由.

【变式2-1]3.(2023秋•河北唐山•高二校考期末)如图，在三棱柱X8C-&B1G中,AA.1

底面ABC,AB1BC,AB=1,BC=2,AA1=V3.

(1)求直线&C与44所成角的余弦值；

(2)设〃为AC的中点，在平面8CG内找一点N，使得MN1平面&BC，求点N到平面48c和

平面AB4的距离.

【变式2-1]4.(2021秋・北京丰台•高二北京市第十二中学校考期中)如图，在三棱柱

ABC-AiBiCi中，AAiCiC是边长为4的正方形.平面ABC,平面AAiJC,AB=3,BC=5.

(工)求证：AAL平面ABC;

(H)求二面角Ai-BQ-Bi的余弦值；

(DI)证明：在线段BJ存在点D，使得AD±AiB,并求咨的值.

题型3长度问题

【例题3](2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱中，，平面A8C,

AB^_LZiG,AA^=AB=3.

(1)求证：CB11ArB；

(2)若平面4BC与平面A/iG所成锐二面角的余弦值为等,求4c的长.

【变式3-1]1.(2023•高二单元测试)如图，在三棱柱ABC-A/©中，底面是边长为近

的正三角形,且侧棱1底面48c.试利用空间向量的方法解决下列问题：

(1)设侧棱长为1,求证：AB11BG；

(2)设力Bi与BG的夹角为:，求侧棱长.

【变式3-1J2.(2022秋•山东济南・高二济南一中校考期中聊图在直三棱隹WC-AB©

(侧棱垂直于底面的棱柱)中，C4=C8=1,NBG4=90。，棱=2,N为的中点.

(1)求8N的长；

(2)求与BiC所成角的余弦值.

题型4距离问题

【例题4](2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱柱ABC-4当的中，CC1，平面A8C,

BC1AC,BC=AC=2,AAr=3,点M为4c中点.

⑴求证：AB"/平面；

(2)求点B到直线的距离.

G4

B

【变式4-1]1.(2023・全国•高二专题练习)如图，在三棱柱4BC-4/1。中，CG，平面

ABC,ACIBC,BC=AC=CC^4,D为2%的中点，C%交8好于点E.

⑴证明：CBi1JD；

(2)求点E到平面BiG。的距离.

【变式4-1]2.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱2BC-A/iG中，A.A，平面

ABC,4A±A=3AB,△ABC是等边三角形，。㈤F分别是棱的中点

(1)证明：AD〃平面6EF；

(2)求平面4DE与平面GEF所成锐二面角的余弦值；

(3)若2B=4,求点到平面CiEF的距离.

A______E_____c

Bi

【变式4-1]3.(2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱718C-A/iG中，侧棱A41

底面4/iG,NBAC=90°,AB=4,AC=2,“是48中点,可是4出中点,「是8的与斗。的

交点，点Q在线段GN上.

(1)求证：PQ〃平面4CM；

(2)若二面角4-CM-4的余弦值是白，求点当到平面&CM的距离.

【变式4-1]4.(2023・上海徐汇・上海市南洋模范中学校考三模)如图，在三棱柱力BC-

中以48。为等边三角形，四边形BCC/i是边长为2的正方形，。为48中点，且&D=

V5.

(1)求证:CD1平面ABB/i；

(2)若点P在线段8停上,且直线4P与平面&CD所成角的正弦值为手,求点P到平面&CD的

距离.

【变式4-1】5.(2023・高二课时练习)如图,在三棱柱4BC-A/iG中,AAr1平面2BC,

AB=2V3,AC=2BC=4,且。为线段4B的中点，连接&D,CD,BQ

(1)证明：BC1ArD；

(2)若当到直线4c的距离为旧,求平面B1&C与平面&CD夹角的余弦值.

题型5线线、线面角问题

【例题5](2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-&B1G中，侧面48/4是边

长为2的正方形，1BC,M,N分别是A/1，BC的中点.

(1)证明：MNII平面acc/i；

(2)若乙4BC=90。，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线AC与平面4MN所成

角。的正弦值.

条件①：异面直线4c与MN所成的角为45°；

条件②：△4MN是等腰三角形.

【变式5-1]1.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱柱24。-QBC中，侧面ABCD为

正方形，48=4,PA=P。=逐,力B1AP,DC1DP,点M在线段PB上,PD〃平面MAC.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B-PD-4的大小；

(3)在线段4c上是否存在点N，使得直线MN与平面BDP所成的角为30。，若存在，求出暗的

值；若不存在，请说明理由.

【变式5-1]2.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱由IBC-4B1G中，CG，平面

ABCACIBCAC=BC=26G=3点D,E分别在棱和棱CG上且4。=1,CE=2,

M为棱A/i的中点.

(1)求证:GM1BrD；

(2)求直线AB与平面D/E所成角的正弦值.

【变式5-1]3.(2022秋・北京东城•高三校考期中)如图，在三棱根IBC-&B1G中,AA,1

平面ABC,481AC,AB=AC=AA1=1,M为线段41前上的一点.

(1)求证：BM1ABr；

(2)若M为线段&G上的中点,求直线AB】与平面BCM所成角大小.

【变式5-1]4.(2023•高二课时练习)如图，在三棱柱4BC-A/©中,AA,1平面ABC,

AB=BC=2881,/.ABC=90°,D为BC的中点.

⑴求证alBII平面力DCl；

⑵若E为A声1的中点，求AE与DC1所成的角.

【变式5-1]5.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱柱TWC-4B1G中，AA.1底面

A/iQ,&C的中点为。\四面体。'-A/】Ci的体积为1,四边形BCG%的面积为2/.

⑴求。'到平面BCC/i的距离；

(2)设4%与交于点O,A4BC是以乙4cB为直角的等腰直角三角形且=4/1.求直线

2。'与平面&BC所成角的正弦值.

【变式5-1]6.(2022秋・天津滨海新•高三校考期末)如图所示，在三棱柱48尸-DCE中,

侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面4BCD，平面ADEF,点G、M分别是线

段AD、BF的中点.

(1)求证:4M〃平面BEG;

(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；

(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值.

题型6二面角问题

【例题6】（2023•全国•高二专题练习）如图，在三棱柱48C-A/iG中，侧面8CC/1为正

方形，4B=BC=2,"=2b,M,N分别为&Bi，2C的中点.

⑴求证：MN〃平面BCCB；

（2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角2-BM-N的平

面角的余弦值.

条件①：BNJ■平面A41cle；

条件②：B[N=V5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【变式6-1]1.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱在48C-4B1G中，D为AC

的中点,AB=BC—2,Z-AA-^BI—.

（1）证明：BBi1AC；

（2）若BB]1BC,直线他与平面BCQBi所成的角的正弦值为等,二面角4-幽-C的大

小为60°,求二面角B-B1D-G的余弦值.

【变式6-1]2.（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱-4/C1中,AC=^2,

28=1,E,F分别为&C,BB］的中点,且EF_L平面.

（1）求棱BC的长度;

⑵若BB11X1B1,且4&FC的面积S.FC=f,求二面角/—4F—C的正弦值.

【变式6-1]3.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，在三棱柱XBC-&B1G中，点。，

E,F,G分别为棱A/,AA±,CG,BB1上的点，且&。=BrD,AE=24E,C#=2CF,

BG=281G.

(1)证明：EF〃平面GDG；

(2)若441=6,BC=2AC=4，四边形BCC/i为矩形，平面BCC/il^^ACC^,AC1C±G,

求平面GDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值

【变式6-1]4.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱柱X8C-&B1G中，D为AC

的中点,

AB=BC=2,^AA1B1=z.BrBC.

（1）证明：BBi1AC；

⑵若,且满足：三棱由的体积为次,二面角的大小为

BBi1BCIBC-4/iG3A-BBr-C

60°,求二面角8-BW-G的正弦值.

【变式6-1]5.（2023•全国•高三专题练习）如图在三棱柱718c-4B1G中，。为4C的中点，

AB—BC—2,Z-AA1B1=Z-B^BC.

⑴证明：BB11AC；

（2）若BBiI.BC,且满足：,（待选条件）.

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角B-B]D-G的正弦值.

①三棱柱718C-4/16的体积为3次；

②直线与平面BCC/1所成的角的正弦值为鲁；

③二面角4-BBi—C的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【变式6-1]6.(2022・全国•高三专题练习)如图，已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱)

中,ADLDC,AB//DC,DC=DD1=2.AD=2.AB=2.

(1)求证：DB1平面BiBCQ；

(2)求BCi与平面所成的角的余弦值；

(3)求二面角4—DB-G的正弦值.

题型7线面角与动点问题

【例题7】(2023・北京•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-4/iG中，平面力8C，平

面CCRB,CC/iB是矩形，已知CCr=3,ACVBC,AC=BC=2,动点D在棱AAt

上，点E在棱CG上，且CE=2EJ.

(1)求证：BC1ED；

(2)若直线4B与平面DEB1所成角的正弦值为白，求翳的值；

⑶在满足(2)的条件下，求点A到平面DE%的距离.

4

【变式7-1]1.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-AaG中，CQ，平面

ABC.AB=CQ=45。,。,£'/分另!]是441，。。1，8。的中点.

(1)求证：BD〃平面4EF；

(2)在线段4E上是否存在点M，使得直线与平面4EF所成角的正弦值是乎?若存在，则

O

求出翌的值；若不存在，请说明理由.

AE

G空

A

【变式71]2.(2022・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-中，AA.1平面

乙

ABC,AA±=AC=BC^2,4cB=90°,D,E分另U是4Bi,CC1的中点

Q)求证:G。"平面&BE；

(2)求平面G&E与平面&BE所成二面角的正弦值；

(3)在棱CCi上是否存在一点P，使得直线PD与平面&BE所成角正弦值为彳?若存在，求出

P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式7-1J3.(2023・全国•高三专题练习施三棱柱71BC-4/©中AB1AC，平面ABC1

平面ABBiAi,平面1平面4CC1A1.

证明：平面；

(1)AAt1ABC

(2)在①A8=AC=1；②8G与平面4BB14所成的角为30。；③异面直线G。与所成

角的余弦值为手这三个条件中任选两个，求二面角4-BCi—Bi的余弦值.

【变式7-1】4.(2020・全国•高三专题练习如图在三棱柱X8C-4/iG中，四边形,

8B1GC均为正方形，且A/11ZG,M为CG的中点，N为的中点.

(1)求证：MN〃平面ABC；

(2)求二面角B-MN-2的正弦值；

(3)设P是棱46上一点，若直线PM与平面MNBi所成角的正弦值为白，求翳的值

15

题型8二面角与动点问题

【例题8](2022秋・吉林长春・高二长春市解放大路学校校考阶段练习)如图，在三棱柱

ABC-A/iG中，441，底面ABC,AAr=BC=正AB=&AC,点M为反。】的中点.

(1)证明：4。111平面4/用；

(2)AC上是否存在点N，使二面角B--N的大小为％若存在，求震的值；若不存在，

4C/V

请说明理由.

B

【变式8-1]1.(2023・全国•高三专题练习)如图,在三棱柱ABC-4/iG中，AA.，平面

ABC,AAr=AC=BC^2,^ACB=90°,D,E分另U是4Bi,CC1的中点.

(1)求证：6。〃平面48E；

(2)求直线BC1与平面&BE所成角的正弦值；

(3)在棱CG上是否存在一点P,使得平面PAB与平面4/E所成二面角为60。？若存在，

求出线段CP的长；若不存在，请说明理由.

ClBi

A

【变式8-1]2.(2022秋•北京西城•高三统考期中)如下图，在三棱隹4BC-4/iG中，

CCr1底面ABC,AC=BC^2,AB=2或,CCX=4,M是棱CC;上一点.

(1)求证：BC1AM.

(2)若M,N分别是CG,4B的中点,求证：CNII平面ABiM.

(3)若二面角力-MB1一C的大小为：，求线段GM的长

4

题型9体积与动点问题

【例题9】(2023•山西忻州统考一模)如图，在三棱柱4BC-481G中，「平面力,

D,E分别为棱AB,81cl的中点,BC=2,AB=2痘,&G=4.

(1)证明：DE〃平面4CC14；

⑵若三棱锥力-&DC的体积为竽,求二面角。-A.C-4的余弦值.

【变式9-1](2023・全国•高二专题练习)如图直三棱桓4BC-&B1G中，乙4cB=90°,AC=

BC=^AAlt。是棱上的动点.

⑴证明：DG1BC；

(2)若平面BDG分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点。的位置，并求二面角4-BD-

题型10最值取值范围问题

【例题10](2023秋・全国•高二期中)如图，在三棱柱2BC-4/©中，底面是边长为2

的等边三角形，CCi=2,D,E分别是线段4&CG的中点，G在平面4BC内的射影为D.

⑴求证：ArC1平面BDE；

(2)若点F为棱BiG的中点，求点尸到平面BDE的距离；

(3)若点F为线段BiG上的动点(不包括端点)，求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围.

【变式10-1】1.(2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱MC—&B1G中，，底

面ABC,D为8c的中点，点P为棱BBi上的动点(不包括端点),ABAC=^,BC=2,

AA1=2.

(1)求证：ADJ_平面BCC/i；

(2)求直线EC】与平面P4C所成角的正弦值的最大值

【变式10-1]2.(2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱柱4BC—4B1G中，BB.，平

面ABC,ABIBC,AA±=AB=BC=2.

(1)求证：BC]_L平面4/1。；

(2)点N在线段BBi上运动，求&N与4C所成角的范围.

【变式10-1】3.(2021秋・上海闵行・高二闵行中学校考期中)如图，为正六棱柱71BCDEF-

A^B-^C^D^E-^F^,底面边长4B=a,高44]=h.

(1)若a=%，求异面直线BA和CFi所成角的大小；

(2)计算四面体BCD1&的体积(用a,无来表小)；

(3)若正六棱柱为一容器(有盖)，目底面边长a和高八满足：2%+Ba=k(k为定值),

则当底面边长a和高八分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？

第二篇斜棱柱篇

题型11平行关系

【例题111(2023・全国•高二专题练习)如图，在三棱柱ABC-中，侧面441GC，底

面力BC,AAr=A1C=AC2,AB=BC,S.AB1BC,。为AC的中点.在BG上是否存在一

点E，使得OE〃平面44B?若不存在，说明理由；若存在,确定点E的位置.

B

【变式11-1】1.(2022秋•全国•高二专题练习)棱柱4BCD-4/6%的所有棱长都等于

4,/.ABC=60°,平面4416。，平面ABC。,^ArAC=60°.

(1)证明：DB1AA1；

(2)求平面44/与平面的夹角的余弦值；

(3)在直线CCi上是否存在点P,使BP〃平面D&G?若存在，求出点P的位置.

【变式11-1】2.(2023・全国•高三专题练习)如图所示，已知在三棱柱-AB©中，

平面BBiCiC1平面AAiBiB,CB1BB1,AB=BC4,BBr=8,^ABBr=120°,M为AB

中点，N为中点

(1)试在线段BC上找一点P,使MP〃平面UN%；

【变式11-1】3.(2023・全国•高三专题练习)如图，棱柱ABCD-AiBiCiDi的所有棱长

者B等于2,zABC和NAIAC均为60°,平面AAiQC，平面ABCD.

(1)求证：BD±AAi;

⑵在直线CQ上是否存在点P,使BPII平面DAiCi，若存在，求出点P的位置，若不存在，

请说明理由.

B

【变式(2022春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末如图，在三棱由18C-

中，侧面A&GC1底面ABC,A4i=A1CAC=2,AB=BC，且2B1BC,0为AC中点.

(1)求直线&C与平面&4B所成角的正弦值；

(2)在8C]上是否存在一点E,使得。E〃平面若不存在，说明理由;若存在，确定点E的位置.

【例题12](2023•全国•高二专题练习)如图，在三棱布4BC-44G中，底面是边长为2

的等边三角形，CG=2,D,E分别是线段4C,CG的中点，G在平面48c内的射影为D.

求证：241c_L平面BDE.

【变式12-1](2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱aBC-A/iCi中，四边形441cle

是边长为4的菱形，A8=BC=VH，点D为棱AC上动点(不与A,C重合)，平面8道。与

棱41cl交于点E.

(1)求证：BBJ/DE；

(2)若竿=|,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与

平面历8。£所成角的正弦值.条件①：平面ABC_L平面44遥1。；条件②：乙4]4。=60°；条件

③：A-^B-y/TL.

题型13长度问题

【例题13】(2023•全国•高三专题练习)在三棱柱ABM-DCN中,AM1平面4BCD,AB=

4。=2M,点E为AB的中点且DE1AB.

Q)证明：2N〃平面MEC；

(2)P为线段AM上一点，若二面角P-EC-。的大小为？,求AP的长.

O

卜，，、,**、

AEB

【变式13-1J1(2022・全国•高三专题练习如图所示在三棱柱ABC-中AB=BC,

点4在平面ABC上的射影为线段AC的中点D,侧面A&GC是边长为2的菱形.

(1)若AABC是正三角形，求异面直线。/与BC所成角的余弦值；

(2)当直线CBi与平面48当公所成角的正弦值为手时，求线段BD的长.

A\

B

【变式13-1】2.(2022・高二课时练习)如图，在三棱柱XBC-中，28=AC=2,

D为BC的中点，平面BBiG。_L平面ABC.

(1)证明：AD1BB]；

(2)已知四边形8B1GC是边长为2的菱形，旦4B/C=60。，问在线段CC】上是否存在点E,

使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为卓,若存在，求出CE的长度，若不存在，请

说明理由.

题型14体积与距离问题

【例题14](2022・全国•高三专题练习)在三棱柱ABC中,AB1BC，平面4CG&1

平面ABC,A4i=&C,E,F分别为线段4C,4/i的中点.

(1)求证：EFLBC；

⑵若4B=BC=V2,直线A4与平面GEF所成角的正弦值为之,且乙＞30。，求三棱锥

O

G—&EF的体积.

【变式14-1]1.(2022・高二课时练习)如图，为正六棱柱TIBCDEF-,底

面边长A8=a,=h.

(1)若a—h—2,求点％到平面BF1。的距离；

(2)计算四面体BCD/1的体积(用a、八来表示).

【变式14-1】2.(2023秋•高二单元测试如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA

为菱形，ZB1A1A=ZC1A1A=60°,AC=4,AB=2,平面ACC1A1L平面ABB1A1,Q在

线段AC上移动,P为棱AA1的中点.

(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D,求证：ADII平面BiPQ;

(2)若二面角Bi-PQ-Ci的平面角的余弦值为誉，求点P到平面BQBi的距离.

题型15线面角问题

【例题・全国高三专题练习)如图，在三棱柱中，

15](2023•4BC-&B1GBC=CCt,AC=

ABr.

(1)证明：平面ABC11平面BCC/i；

⑵若8c=V2AC,AB=BiC,"B2=60°,求直线与平面2/停1所成角的正弦值.

【变式15-1]1.(2022•全国•模拟预测)如图,在三棱柱XBC-481cl中，侧面441cle1

底面ABC,A4BC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且4B=42,AA1=2,AA1AC=；,

OA+OC^0.

⑴证明：4。1平面ABC；

(2)求直线为C与平面BCG4所成角的正弦值.

B

【变式15-1】2.（2022・全国•高三专题练习）如图,在三棱柱ABC-4/iG中，AC1

是的中点.

BC,BrC1AB,AA1=AB=0,AC=1,z.BrAC=45",FAC

⑴证明:；

AC1BB1

⑵求B#与平面accMi所成角的正弦值.

【变式15-1]3.（2023・全国•高三专题练习）在三棱柱中4BC—4/1G中，=13,AB=

8,BC=6,2BJ.BC,AB1=为AC中点,平面他。_L平面ABC.

⑴求证：B]D_L平面ABC；

（2）求直线与平面AB】。所成角的正弦值.

【变式15-1】4.（2023・全国•高二专题练习）在三棱柱43。-力/道1中，平面1平

面ABC，侧面为菱形,zXBBi=,A±B1AC,AB=AC=2,E是AC的中点.

（1）求证:ArB1平面A/。；

⑵点P在线段&E上（异于点4，E）,4P与平面4BE所成角为；，求詈的值.

4七月1

题型16二面角问题

【例题16】（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱4BC-a/G中，平面"。出1平

面BCC/i,侧面4CG4是边长为2的正方形，C/=GC=2,8品1A.C,E、F分别为8C、

2/1的中点

(1)求证：BCr1EF

(2)求二面角2—FG-B的余弦值.

【变式16-1】1.(2022・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱-&B1G中,AB=AA.=

ArC=BC=2.

⑴求证：A^B1BrC；

⑵若AC=V2/力BBi=60。，点M满足3前=2MQ,求二面角A-A1B1-M的余弦值.

【变式16-1]2.(2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-中,AB=BC,

AB^—B]C.

⑴证明：AC1B]B；

(2)若AB=BBi=2,A2=泥，4ABC=120°,求二面角A-BB1-C的余弦值.

小G

B

【变式16-1】3.(2023•全国•高二专题练习即图在三棱柱48C-&B1G中AB=AC2,

D为BC的中点，平面B/GC，平面4BC.

(1)证明：AD1平面BBiGC；

(2)已知四边形8B1GC是边长为2的菱形，且N/BC=60。,求平面48c与平面26。所成角

的正弦值.

【变式16-1】4.(2023•全国•模拟预测)如图，在三棱由IBC-a/©中，侧面4CG4是

矩形，4C=24=2,2C=3,乙41aB=120。，E,F分别为棱的中点，G为

线段CF的中点.

(1)证明：&G〃平面AEF.

(2)求二面角4-EF-B的正弦值.

【变式16-1】5.(2023・广东东莞•校考三模汉口图所示在三棱柱4BC-4/1。中，底面△ABC

是正三角形，侧面44GC是菱形，点&在平面ABC的射影为线段力。的中点。，过点％,B,

。的平面a与棱&G交于点E.

⑴证明：四边形BBiED是矩形；

(2)求平面AB/和平面B/E夹角的余弦值.

【变式16-1】6.(2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱4BC-4B1G中，&ABC是

边长为2的正三角形，顶点&在底面ABC的投影为AB的中点。，已知与底面ABC内

所有直线所成角中的最小值为W,M为棱&G上一点.

(1)求三棱锥&-48G的体积；

(2)若&G=3alM,求二面角4-BM-C的正弦值.

B

【变式16-1]7.（2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC

是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B,N是B1C的中点，M是棱AA1上的中

点，HAA1±CM.

（1）证明：MNil平面ABC;

⑵若ABLA1B,求二面角A-CM-N的余弦值.

题型17线面角与动点问题

【例题17]（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-中，底面ABC是以

AC为斜边的等腰直角三角形，侧面A41GC为菱形，点占在底面上的投影为AC的中点D,

且4B=2.

（1）若M、N分别为棱AB、BiG的中点，求证：Bi"||平面CDN；

⑵求点C到侧面的距离；

⑶在线段上是否存在点E使得直线DE与侧面42B1B所成角的正弦值为乎?若存在，

请求出&E的长；若不存在，请说明理由.

故存在满足条件的点E,且|&E|=（|4B|=1,

【变式17-1】1.（2023・全国•高三专题练习）如图，在三棱柱2BC-中，四边形

44/iB是菱形,ABLAC,平面44//1平面ABC.

⑴证明：1B±C；

(2)已知乙4BBi=5,AB=AC=2,平面4/16与平面力B4的交线为1.在1上是否存在点P,

使直线与平面ABP所成角的正弦值为?若存在，求线段B/的长度；若不存在，试说明

理由

【变式17-1】2.(2023・全国•高二专题练习如图在三棱柱2BC-4B1G中，平面1

平面ABC,AB=BC=2,/.ABC=120°,,^_ArB1AC,E是棱上的一点.

(1)求证：1BiG；

⑵是否存在点E使得直线CE与平面BCGBi所成角的正弦值为嚼？若存在求出等的值；

bocA

若不存在，说明理由.

【变式17-1]3.(2023・全国•高三专题练习)如图，在三棱柱ABC-A/G中，AC，平面

乙

AArBrB,ABBi=,AB=1,AC=AA1=2,D为棱的中点.

(1)求证：AD1平面4Ci。；

(2)在棱BC上是否存在异于点B的一点E,使得DE与平面所成的角为？?若存在,求

O

出婴的值若存在，请说明理由.

题型18二面角与动点问题

【例题18](2023・全国•高三专题练习)在三棱柱ABC—A/iG中,=ArC=AA.=

2,AB1AC,。为BC的中点.

(1)证明：4。_L平面4BC.

(2)已知AB==2,在线段ZG上(不含端点)是否存在点Q,使得二面角Q-ArC-%

的余弦值为乎?若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由.

B

【变式18-1】1.(2023秋•高二单元测试)如图，在三棱柱4BC-a/©中，△44C为

等边三角形，四边形44//为菱形，AC1BC,"=4,BC=3.

(1)求证：BC1平面ACBi；

(2)线段CC]上是否存在一点E，使得平面ABiE与平面ABC的夹角的正弦值为苧?若存在，

4

求出点E的位置；若不存在，请说明理由.

【变式18-1】2.(2023・全国•高二假期作业)在三棱由4BC-4/iG中，平面1平

面，侧面为菱形是的中点.

ABC&BiB4/ABB】=^,AB11AC,AB=AC=2,EAC

求证：平面。

(1)ArB1A/

(2)确定在线段&E上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为与，若存在，求出言的

值;若不存，说明理由.

【变式18-1】3.(2023・全国•高二专题练习力］图，已知在三棱柱ABC-A/iG中MiB=