2025年中考数学复习：线、面的动点最值巩固练习

线、面的动点最值巩固练习

【巩固练习1]

已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(点A在B,C左侧，点C在点D左侧).

AMBCND

图①

AMCBND

图②

ACDNP

图③

⑴点M,N分别是线段AC,BD的中点若BC=4,求MN的长；

(2)当CD运动到D点与B点重合时，点P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①号券是定值；

②看是定值，请作出正确的选择，并求出其定值.

【巩固练习2】

数轴上两个点A,B所对应的数为-8,7,M,N为数轴上的两点，表示的数分别为m,m+3.

_____

AMONB

图①

AOB

备用图

⑴如图①，若AM=BN,直接写出M,N点对应的数；

⑵若AN=2BM.求出m的值；

⑶若P为AN的中点，点Q为BM的中点，问当m的值发生变化时，PQ的值是否发生改变？如果不变，求

出PQ的值；如果改变，说明理由.

【巩固练习3】

如图,C为线段AB上一点，且AC=2BC,AC的;比BC小5.

(1)求AC,BC的长；

(2)点P从A点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动，设运动时间为t秒(t<10),D为PB的中

点,E为PC的中点若CD=|DE,试求点P运动时间t的值；

(3)若P从A点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动，同时点Q从B点出发，以《个单位/

秒的速度在AB的延长线上与P点同向运动，运动时间t<30,D为PB的中点F为DQ的中点E在PB上且PE=

[PB,当P,Q两点运动的过程中，给出下面两个结论:①DE+DF的值不变;②|DE-DF|的值不变，其中只有一个结

论是正确的，请判断正确的结论并求其值.

I____________________I__________I

ACB

【巩固练习4]

如图，在射线OG上有三点A,B,C,满足OA=40cm,AB=60cm,BC=10cm,点P从点O出发,沿射线OG以

1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发沿射线CO匀速运动，其中点P和点Q两点同时出发，且P运动到

B处时，P,Q停止运动.

OABCG

⑴当RQ相遇时，有PA=2PB,求点Q的运动速度；

⑵若点Q的运动速度为3cm/s,则经过多长时间P,Q两点相距70cm;

(3)线段MN=10cm(N在M右侧),M与A重合线段MN从A点出发，沿射线AG以2cm/s的速度匀速运动，

若点Q的运动速度为3cm/s,且P,Q,M,N同时运动,设运动时间为ts,是否存在这样的t值使得|MQ-PN|=2OP?若存

在，求出t值；若不存在，说明理由.

【巩固练习5]

如图①，已知a,b满足((a-2)2+\ab+6|=0,c=2a+3b.且有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C.

⑴则a=,b=,c=;

⑵点D是数轴上A点右侧一动点，点E,点F分别为CD,AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否

发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；

⑶若点A,B,C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个

单位和每秒2个单位的速度向右运动，请问：是否存在一个常数m使U1AB-2BC不随运动时间t的改变而改变?若

存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由.

CBOAx

图①

CBOAx

备用图

【巩固练习6】

点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a,b满足|a-8|+(/)+6)2=0.

⑴求线段AB的长；

(2)点C在数轴上对应的数为x且x是方程三吆-等=久-一的根，在数轴上是否存在点P,使得PA+PB=PC?

o1Z4

若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，说明理由；

(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个

单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，

设运动时间为t秒，当t<7时，管的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围.

BOA

【巩固练习7]

在矩形ABCD中，BC=6CD点E,F分别是边AD、BC上的动点，且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折

叠，点C落在点G处点D落在点H处.

⑴如图①，当EH与线段BC交于点P时.求证:PE=PF;

⑵如图②，当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上；

⑶当AB=5时，点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

【巩固练习8]

如图,在菱形ABCD中,/DAB=6(T,AB=2,点E为边AB上一个动点，延长BA到点F,使AF=AE,且CF、DE

相交于点G.

⑴当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

⑵当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.

【巩固练习9]

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(DAABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以BE为边作等边三角形BEF,如

图①，求CF的长；

(2)AABC是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF,如图②，

在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3)AABC是边长为3的等边三角形,M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN,如图③,

在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

⑷正方形ABCD的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为

顶点作正方形BFGH,其中点F、G都在直线AE上,如图④，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H

所经过的路径长为点G所经过的路径长为

【巩固练习10]

如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA-AC的方

向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC-CD运动，设运动时间为t秒.

⑴求AC的长;

⑵若SBPQ=S,求S关于t的解析式.

【巩固练习11】

如图①,E、F是等腰RtAABC的斜边BC上的两动点,/EAF=45”D±BC且CD=BE.

⑴求证:△ABE0△ACD;

(2)求证：EF2=BE2+CF2;

⑶如图②，作AHLBC.垂足为H,设/EAH=a,/FAH=0,不妨设AB=隹请利用⑵的结论证明:当a+B=45。时,

tana+tan/?

tan(a+P)=成立.

1-tanatan^

【巩固练习12】

如图，在RSABC中，点P为斜边BC上一动点，将AABP沿直线AP折叠,使得点B的对应点为B；连接

AB'.BB'.PB'.

备用图

⑴如图①，若PB」AC,证明:PB'=AB';

⑵如图②，若AB=AC,BP=3PC,求cosZB'AC的值；

⑶如图③，若/ACB=30。,是否存在点P,使得AB=CB：若存在，求此时裳的值；若不存在，请说明理由.

【巩固练习13】

已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作

等腰直角三角形AEF,NAEF=90。,设BE=m.

⑴如图①，若点E在线段BC上运动,EF交CD于点P,AF交CD于点Q,连接CF,

①当山4时，求线段CF的长;

②在APQE中，设边QE上的高为h,请用含m的代数式表示h,并求h的最大值；

⑵设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y,请直接写出y与m的关系

式.

【巩固练习14】

如图①，已知ZRPQ=45°,AABC中/ACB=90。,动点P从点A出发以：2遍cm/s的速度在线段AC上向

点C运动,PQ,PR分别与射线AB交于E,F两点且PELAB,当点P与点C重合时停止运动，如图②，设点P的

运动时间为xs,ZRPQ与AABC的重叠部分面积为ycm2,y与x的函数关系由Q(0<x<5)和C2(5<x<①两

段不同的图象组成.

⑴填空:①当x=5s时,EF=cm;②sinA=:

⑵求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

⑶当y>36s2时，请直谈写出x的取值范围.

【巩固练习15】

如图①,抛物线y=ax2+bx+2经过A(-l,0),B(4,0)两点与y轴交于点C,连接BC.

⑴求该抛物线的函数表达式；

(2)如图②，直线1:y=kx+3经过点A,点P为直线1上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一

个动点，当PQ〃y轴时，作QMLPQ,交抛物线于点M(点M在点Q的右侧)，以PQ,QM为邻边构造矩形PQMN,

求该矩形周长的最小值；

⑶如图③，设抛物线的顶点为D，在⑵的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点F,

使得/-CBF=NDQM?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

1.⑴当点c在点B右侧时，如图⑴,

；M,N分别为线段AC,BD的中点,

AM=1AC=^(AB+BC)=8,

DN=：BD+BC)=5.

MN=AD-AM-DN=9;

MN

-A'B下

(1)

_M__N_

~A'CB'D

(2)

当点C在点B左侧时，如图⑵，

・・,M,N分别为线段AC,BD的中点

AM="1C=1-BC)=4,

BN=”D=g(CD-BC)=1,

•••MN=AB+BN-AM=9.

综上所述，MN的长为9.

⑵①正确.笑詈=2.理由如下：

PA+PB_(PC+i4C)+(PC-CB)_2PC

PC~PC-PC

.,.o二空是定值，定值为2.

2.(1)vAM=BN=2=6,而-8+6=-2,7—6=l,

・・・M、N点对应的数分别是-2和1；

(2),・AB所对应的数分别是-8、7,M、N所对应的数分别是m、m+3.

AAN=|(m+3)-(-8)|=|m+l11,BM=|7-m|,

①当m<-ll时，有m+ll<0,7-m>0.

.*.AN=|m+ll|=-m-ll,BM=|7-m|=7-m,由AN=2BM得,-m-ll=2(7-m),

解得m=25,

・,.m=25不合题意，舍去.

②当时，有m+H>0,7-mK).

AN=|m+11|=m+11,BM=|7-m|=7-m,由

AMNB

-807

AN=2BM得,m+ll=2(7-m),解得m=l.

③当m>7时，有m+11>0,7-m<0.

AAN=|m+ll|=m+ll,BM=|7-m|=m-7,

由AN=2BM得,m+ll=2(m-7),

解得m=25,

综上所述：当m=l或m=25时,AN=2BM.

(3)PQ的值不发生改变.

设P、Q表示的数为a、b.

•，点P为AN的中点，

•••AP=NP,

①当点N在点A右侧时，点A,N表示的数分别为-8,m+3,

AP=a—(—8),NP=(m+3)-a,

cz—(—8)=(TTL+3)—彳导a=2,

同理可得，b=2,

PQ=b—a=2—2=6,

②当点N在点A左侧时，同理可得PQ=6,

；.PQ的值不发生改变，恒为6.

3.(1)设8C=X,则AC=2x,

由题意得：-x2x=x-5,

4

解得：x=10,

AC=2x=20,BC—10;

(2)vAP=tf

•e•BP—30—t,

又为PB的中点,.AB=10+20=30,

BD—BP=2,

2，

CD=BD-BC=2-10=2f

•••D为PB的中点,E为PC的中点，

1

・•・DE=-BC=5,

2

又;CD=DEf

10-t3

•••-----=2,

2

解得：t=6;

(3)结论①正确.值为：a理由如下：

设运动时间为t,

贝!]AP=t,PB=30-t,BQ=-t,

6

•••PE=-PB,D=-PB,

32

.・.DcEl=-InPnB=3-0-—-t,

66'

又为DQ的中点，

DF=»Q=+BQ)=等，

CL30—t,45+tc

・••DE+DF=-------1-------=2.

66

4.(1)由题意可知，若P在线段OA上,PA<PB.不合题意舍去；

若P在线段AB上,PA+PB=60

VPA=2PB

APB=20,OP=80

运动时间为t=80s

•••点Q的运动速度为为=案=|(cm/s)

oUo

故答案为：久C7H/S)

O

(2)相遇前P,Q相距70cm,得(l+3)t=U0-70

.\t=10

相遇后P,Q相距70cm,得(l+3)t=110+70

.*.t=45

经过10s或45s,P.Q相距70cm;

故答案为：10s或45s

(3)取O为数轴原点，运动ts后M对应的数为40+2t,N对应的数为50+2t,Q对应的数为110-3t,P对应的数

为t,

.*.MQ=|5t-70|,PN=50+t,OP=t

当MQ-PN=2OP时，有|5t-70|-(50+t)=2t

.••t=60或t=|;

当PN-MQ=2OP时，有(50*t)-|5t-70|=2t

；.t=20或t=5

综上所述，存在这样的t,t值为1或5s或20s或60s

故答案为：t值为|s或5s或20s或60s

2

5.(1)Vaxb满足(a-2)+\ab+6|=0,

a—2=0且ab+6=0.

解得a=2,b=-3.

c=2a+3b=-5.

故答案为：2,-3,-5

(2攻口图，当点D运动时，线段

EF的长度不发生变化，理由如下：:_一㈡

-5-302

点E.点F分别为CD、AD中点

ED=-CD,FD=-AD,

22

illi

•••EF=ED-FD=-CD--AD^-AC,=±x7=3.5

2222

当点D运动时，线段EF的长度不发生变化,其值为3.5；

(3)假设存在常数m使得m-AB-2BC不随运动时间t的改变而改变。

则依题意得:AB=5+t,2BC=4+6t.

所以m-AB-2BC=m(5*t)-(4+6t)=5m+mt-4-6t与t的值无关，即m-6=0,

解得m=6,

6.(1)由题意可知：a=8,b=-6,

•••AB=8-(-6)=14;

2x+7x+12x—2

(2)•・•-------------=x-----,

''3124

x-5,

..•C对应的数为5

当P在B左侧时，此时PA>AC,

故不满足题意，当P在AB之间时，此时PA+PB=AB>PC,

故不满足题意，

当P在A的右侧时，此时PB>PC,

故不满足题意，

故不存点P使得，PA+PB=PC.

(3)t<7,

/.点P在点Q的右侧时，点Q、P、M三点在数轴上的位置依次从左向右,

则有：PQ=8-6t-(-6-4t)=14-2t,=14-|

QA=8—3t—(—6—4。=14+t,

.QP+QP—?.

QM

7.⑴证明：如图1中,

图1

:四边形ABCD是矩形，

AD\\BC,

•••Z-DEF=Z.EFB,

由翻折变换可知，4DEF=乙PEF,

•••Z-PEF=Z.PFE,

・•.PE=PF.

⑵证明：如图2中，连接AC交EF于0,连接PM,PO.

由折叠的性质可知ED=EH,所以BF=EH,

APE-EH=PF-BF,

；.PB=PH,

ZPHM=ZPBM=90°,PM=PM,

/.RtAPMH^RtAPMB(HL),

.*.PM平分/EPF,

点M在线段EF的垂直平分线上.

(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC.

ZCBD=30°,

ZABO=ZOAB=60°,

/.△AOB是等边三角形，

Z.OA=OD=OB=OC=AB=5,ZBOC=120°,

•••点G运动的路径的长=120.71.5180=10371.

故答案为：蓝兀.

8.(1)证明：连接DF,CE,如图所示：

DC

：.AE=AF=-AB,

2

EF=AB=CD,

'.,四边形ABCD是菱形，

EF\\CD,

:•四边形DFEC是平行四边形.

⑵作CH1BH,设AE=FA^m,,如图所示，

・・.四边形ABCD是菱形，

CD\\EF,

△CDG△FEG,

rn

—=EFFG,

CG

・••FG=2m,

在Rt△CBH中，/.CBH=60°,BC=2,

sin60°=—,CH=V3,

BC

cos600=—,BH=1,

BC

在Rt△CF”中，(CF=2+2m,CH=遮,FH=3+m,

CF2=CH2+FH2,

即(2+2m)2=(x/3)2+(3+m)2,

整理得：3m2+2m—8=0,

解得：m1=^fm2=一2(舍去)，

•••AE=

3

9.(1)V△ABC、ABEF是等边三角形，

.\BA=BC,BE=BF,ZABC=ZEBF=60°.

JZABE=ZCBF,

・•・AABE^ACBF(SAS),

ACF=AE,

VAE=1,

ACF=1;

⑵连接CF,如图所示：

「△ABC、ABEF是等边三角形，

・•・BA二BC,BE=BF,ZABC=ZEBF=60°,ZA=60°,

JZABE=ZCBF,

・•・AABE^ACBF(SAS),

ACF=AE,ZBCF=ZA=60°,

ZABC=60°,

.\ZBCF=ZABC,

/.CF//AB,

：AABC是边长为3的等边三角形，

；.AC=3,

当点E在C处时.CF=AC,

当点E在A处时，点F与C重合，

点F运动的路径的长=AC=3;

⑶取BC中点H,连接HN,如图所示:

C

「△ABC是等边三角形，

；.BC=AB=AC,ZABC=60°,

BH=^AB,

VCDXAB,

•••BD=-AB,

2

ABH=BD,

,•♦△BMN是等边三角形，

ABM=BN,ZMBN=60°,

・•・ZDBM=NHBN,

・•・ADBM^AHBN(SAS),

AHN=DM,ZBHN=ZBDM=90°,

ANH1BC,

•・,AABC是边长为3的等边三角形，

3

・•.BC=3,BD=-

2f

根据勾股定理，得CD=|百，

当点M在C处时，HN=CD=Q

当点M在D处时，点N与H重合,

，点N所经过的路径的长=CD=32V3.

10.解:⑴：四边形ABCD为矩形，二N8=90。,在RtA/IBC中,由勾股定理得：AC=VXB2+BC2=

V32+42=5,.'.AC的长为5;

(2)当(0<tW1.5时，如图1,S=之xBPXBQ=TX2tXt=t?;当1.5<tW4时，如图2,作PH1BC于

HQ

图2

PHPH

CP=8—2t,vsinZ.BCA=——

PC8-2tJ

P/7=Y-5=|XBQxPH=ixtx-y)=一毛+?;当4<tW7时，如图3,点P与点C重

综上所述：

(t2(0<t<1.5),A|^-------------

S斗9+芍(1.5<tW4),

(2t-8(4<t<7).

B<

图3

n.(l)证明：・・・AABC是等腰直角三角形，

AAB=AC,

・•・ZB=ZACB=45°,

VCDXBC,

JZBCD=90°,

AZACD=ZBCD-ZACB=45°=ZB,iSAABEffiAACD中,

(AB=AC

<ZB=NACD,

[BE=CD

：.AABE^AACD(SAS);

(2)证明：由⑴知1DABE0Z\ACD,

AAE=AD,ZBAE=ZCAD,

ZBAC=90。，

ZEAD=ZCAE+ZCAD=ZCAE+ZBAE=ZBAC=90°

•・•ZEAF=45°,

JZDAF=NDAE--NEAF=45o=NEAF,在2kAEF与^ADF中,

AE=AD

AEAF=ND4F,

,AF=AF

：.AAEF^AADF(SAS),

・・・DF=EF,

在RtADCF中，根据勾股定理得，DF2=CF2+CD2,

VCD=BE,

・•.EF2=BE2+CF2]

⑶如图，连接DE,

△ABE△ACD,

AE=AD,(BAE=Z.CAD,

・•・/LEAD=Z.CAE+/.CAD=Z.CAE+ABAE=^BAC=90°

4DE是等腰直角三角形，

DE=五AE,

当AE取最小值时,DE最小,此时.AE1BC,

AB=AC,angleBAC=90°,_LBC,=8,

AE=-BC=~X8=4,

22

ADE的最小值为V2X4=4V2.

12.(1)证明：・・・PB」AC,ZCAB=90°,

・•・PBr\\AB.

：.ZB'PA=ZBAP,

又由折叠可知NBAP=NBAP,

.*.ZB'PA=ZB'AP.

故PB'=AB'.

⑵设AB=AC=a,AC、PB交于点D,如答图1所示厕4ABC为等腰直角三角形，

BC=y[2a,PC=4a,PB=4a,

由折叠可知，C/

NPB，A=NB=45。，.

又NACB=45。,

・•・ZPB'A=ZACB,

又NCDP=NBDA,

△CDP八B'DA.

.CD_PD_CP___V2

B'D-DA—B'A4，。

设B'D=h则CD=^b.

4

AD=AC-CD=a—4b,

PD=PBr-B'D=PB—B'D=4a一0

由①”=4得：生券=走.

a-^b4

解得：b=7a.

过点D作DE14B'于点E,则△为等腰直角三角形.

B'E=sin45"xB'D=—b=—x—a=-a

2277

42

AE=ABf-BrE=AB-BfE=a--a=-a.

77

又AD=AC—CD=a——b=a--a--a.

477

3

：,cosAB1AC=cosAD=缥=二=±

A。|a5

(3)存在点P,使得CB'=AB^皿理由如下：

•••乙4cB=30。/乙48=90°

BC=2m.

①如答图2所示，

由题意可知，点次的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A.

当P为BC中点时,

PC=BP=AP=AB'=m,c

又乙B=60°,

.'.APAB为等边三角形.

又由折叠可得四边形48P9为菱形.

PB'\\AB,

PB'1AC.

X--AP=AB',答图2

则易知AC为.PB〃的垂直平分线.

故CB'=PC=AB=满足题意.

此时，

②当点"落在BC上时，如答图3所示，此时CB'=AB=犯则PB'=|(2m-m)=|m,

-1Q

・•.PC=CB'+PBr=m+-m=-m,

22

3

,PC2m3

•,a一标一下

综上所述，意的值为海

13.(1)①过F作FGLBC于G,连接CF,如图:

答图3

,/四边形ABCD是正方形，ZAEF=90°,

ZBAE=90°-ZAEB=ZFEG,/B=/G=90。,

;等腰直角三角形AEF,

；.AE=EF,

在AABE和AEGF中，

2B=NG

■4BAE=ZFEG,

AE=EF

：.AABE^AEGF(AAS),

1

・•.FG=BE=&EG=AB=BC,

AEG-EC=BC-EC,即CG=BE=j,

在RtACGF中，CF=VCG2+FG2=y；

②AABE绕A逆时针旋转90。，得AADE,过P作PH^EQ于H,如图:

,/AABE绕A逆时针旋转90°,得AADE,

AABE^AADE',ZB=ZADE'=90°,ZBAE=ZDAE',ZAEB=ZE',AE=AE',BE=DE',

ZADC+ZADE'=180°,

；.C、D、E共线，

ZBAE+ZEAD=90°,

ZDAE'+ZEAD=90°,

ZEAF=45°,

ZEAF=ZE'AF=45°,

在AEAQ和AENQ中,

,AE=AE,

,AEAQ=/.E'AQ,

、4Q=AQ

：.AEAQ^AE'AQ(SAS),

JZE*=ZAEQ,EQ=E'Q,

JZAEB=NAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

・•・ZQEP=90°-ZAEQ=90°-ZAEB=ZCEP,即EF是NQEC的平分线，

又NC=90。,PH_LEQ,・・・PH=PC,

VZBAE=ZCEP,ZB=ZC=90°,

・•・AABE^AECP,

CPCE1—Tfl

—=-，BPm=-----,

BEAB1

CP=m(l-m),

•••PH=h=—m2+m=—(m—|)+/

・•.m=婀,h最大值是

⑵①当0WTHW|时，如图：

ZB=ZHGE=90°,

AAABE^AEGH,

HGEG

一=一,RnnJm=--,

BEAB1

71

•••HG=—mz+-m,

2

：MG〃CD,G为BC中点,

；.MN为AADQ的中位线,

MN=|D<2,

由(1)知:EQ=DQ+BE,

设DQ=x,则EQ=x+m,CQ=l-x,

RtAEQC中,EC2+CQ2=EQ2,

(1—m)2+(1—%)2=(%+m)2,

解得人肃

・・1-771

•MN=2(1+771)，

y=NH=MG-HG-MN

=1

11-m

=1——m—+m2,

22(l+m)

②当相>泄，如图：

HGGEHG

一BRPn一=m,

ABBE,1

・•.HG=

2m1

同①可得MN=»Q=技舄

・•.HN=MG-HG-MN

=1y---2--m-----l------1----m---

2m2(l+m)

_1+m2

2m2+2m,

1+m2

v=---------.

)2m2+2m

(0<m<潍上所述，(根)》

14.(1)当％=5时，如图3中，点F与B重合.

•••乙RPQ=45°,E1AB,

・•・乙PEF=90%

・•・乙EPF=乙PFE=45。,

・•.EF=EPf

由题意\-EF-PE=50,

.・.EF=PE=10(cm),

•・,AP=5x2V5=lOVSCcm),

.410v/5

sinA=-P^7E-=-------==

PA10A/55

故答案为：10,内.

(2)当(0<xW5时，重叠部分是△PEF,

_2

y=|x(gx2遮%)=2x2

如图3中，在RtAAPE中,

2

AE=yJPA2-PE2=(10