2025年中考数学复习：线段有关的动点巩固练习二

线段有关的动点巩固练习

【巩固练习1]

如图，在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若

AE=BF,则BG的最小值为.

【巩固练习2]

在AABC中,/ABC=90o,AB=2,BC=3点D为平面上一个动点,NADB=45。,则线段CD长度的最小值

为.

【巩固练习3]

如图，在RtAABC中,/BAC=9（T,AB=2V^AC=6,点E在线段AC上，且AE=1,D是线段BC上的一点，连接

DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时,AF=.

【巩固练习4]

如图，正方形ABCD的边长为4,©0的半径为1.若。0在正方形ABCD内平移（。0可以与该正方形的边

相切），则点A到0O上的点的距离最大值为.

【巩固练习5]

在平面直角坐标系xOy中，。0的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定义：若将线段BC绕点A旋

转可以得到。0的弦B'C'(B',C分别是B,C的对应点)，则称线段BC是。0的以点A为中心的“关联线段”.

⑴如图.点A,BI,G,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B£i,B2c2,B3c3中,。O的以点A为中心的“关

联线段”是_____________；

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t),其中印0.若BC是。O的以点A为中心的“关联线段”，求t的

值；

(3)在AABC中,AB=1,AC=2.若BC是。0的以点A为中心的“关联线段”直接写出0A的最小值和最大值，

以及相应的BC长.

【巩固练习6]

抛物线y=+法+c与x轴交于A、B两点与y轴交于点C,且B(-1,O),C(O,3).

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图①点P是抛物线上位于直线AC上方的一点,BP与AC相交于点E,当PE:BE=1:2时，求点P的坐标;

⑶如图②，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D处，且DZT=2CD,点M是

平移后所得抛物线上位于D，左侧的一点,MN//y轴交直线0D于点N,连接CN.当+CN的值最小时，求MN

的长.

图②

【巩固练习71

如图，抛物线y=a/+.+。与x轴交于点0和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=a/+版+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直

线y=-2的距离总相等

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线1与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点证明：当直线1绕点F旋转时,点++是定

MFNF

值，并求出该定值；

(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点，在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q

的坐标.

【巩固练习83

已知在AACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点，连接BC,AP.

⑴如图①，若/ACB=9(F,NCAD=60o,BD=AC,AP=求BC的长.

⑵过点D作DE//AC,交AP延长线于点E,如图②所示若/CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2AP.

⑶如图③，若/CAD=45。,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP?若存在，请直接写出m的值；若不存在，

请说明理由.

【巩固练习9]

如图①，在四边形ABCD中2ABC=NBCD,点E在边BC上，且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,

连接BF.

⑴求证:△ABFgZkEAD;

⑵如图②，若AB=9,CD=5,NECF=NAED,求BE的长;

⑶如图③，若BF的延长线经过AD的中点M,求霹的值.

EC

图①

【巩固练习10]

问题如图在口ABCD中,AB=8,AD=5,/DAB,/ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.

答案:EF=2.

探究:⑴把“问题”中的条件“AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长.

⑵把“问题”中的条件“AB=8,AD=5"去掉,其余条件不变，当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时，求4D12

的值.

【巩固练习11】

如图①,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+6%+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于

点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：

0123

X

y03430

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；

⑶如图②，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFLx轴,垂足为FAABD的外接圆与DF相交于点

E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

L如图,取AD的中点T,连接BT,GT.

:四边形ABCD是正方形,

AD=BD=2,NDAE=/ABE=90。,在ADAE和AABF中,

DA=AB

ADAE=AABF,

(AE=BF

：.ADAE^AABF(SAS),

JZADE=ZBAF,

ZBAF+ZDAF=90°,

・•・ZDAE+ZDAF=90°,

・•・ZAGD=90°,

VDT=AT,

I

GT=-AD=1,

2

•••BT=y/AT2+AB2="+22=小,

/.BG>BT-GT,

BG>V5-1,

；.BG的最小值为V5-1.

故答案为：V5—1.

2.如图所示.

•/ZADB=45°,AB=2,作AABD的外接圆0（因求CD最小值，故圆心。在AB的右侧）,连接OC,当0、D、

C三点共线时，CD的值最小.

ZADB=45°,

ZAOB=90°,

AAAOB为等腰直角三角形，

AO=BO=sin45°xAB=也

：/OBA=45。，/ABC=90。，

.•.NOBE=45。，作OE_LBC于点E,

•••△OBE为等腰直角三角形.

/.OE=BE=sin45°-OB=l,

.\CE=BC-BE=3-1=2,

在RtAOEC中，

OC=V0£2+CE2=V1T4=Vs.

当O、D、c三点共线时，

CD最小为（CD=0C-OD=亚—叵

故答案为：V5-V2.

3.如图，过点F作14C于H,

等四边形ABDE沿直线DE翻折，得至I」四边形FGDE,

AB=FG2^2,AE=EF=1,

A.BAC=乙EFG=90°,

EG=yjEF2+FG2=V1T8=3,

•••sinzFEG=HFEF=FGEG,

HF

••・「3,

・•.HF=3,

vcos^FEG=EHEF=EFEG,

EH_1

-1—3，

EH=

3

4

・•.AH=AE+EH=-

3f

故答案为：笺.

4.3V2+1

设点P是。O上的任意一点，如图⑴,连接OA,OP,AP,则点A到。O上的点的距离.4PW。4+0P,：.当OA

取最大值时，AP有最大值，为(。2+1..易知当。O与BC,CD边相切时，OA取得最大值，如图(2),设OO与

BC,CD边分别相切于点E旧连接OE,OF,OC,易知四边形OECF是正方形，点A,O,C共线，AC=五AB=4MOC=

V2OF=VXXO=4V2-V2=3Vx点A到。O上的点的距离的最大值为3&+1.

G/

.41Ci

5.(1)由旋转的性质可知：AB=AB'.AC=AC,

乙BAB'=^CAC,

由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为

V2—1<d<5/2+1

XCi=3>d,

，点G'不可能在圆上，

.­■B©不是。0的以A为中心的“关联线段”,

•••AC2=1,

AB2=V5,

・・co1),2'(10),

&C2是。。的以A为中心的“关联线段"

AC3=2,AB3=V5,

当或'在圆上时，B3’(l，0)或(0，—1),

由图可知此时。3’不在圆上，

B3c3不是OO的以A为中心的“关联线段”.

故答案为：B2c2.

(2):△ABC是边长为1的等边三角形，根据旋转的性质可知.也是边长为1的等边三角形，

•­.B'C'C'1y轴，且B'C=1,

••.AO为夕C'边上的高的2倍，且此高的长为f,

•••t=遮或-V3.

(3)OA的最小值为1时，此时BC的长为V5,,OA的最大值为2,此时BC的长为2.

6.理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义,

可知.AB'=AB=OB'=0C=1,AC=AC=2,如图1,

图1

利用四边形的不稳定性可知，

当A,0,（。在同一直线上时，OA最小，最小值为1,如图2,

图2

此时。4=OB'=0C,

：.乙AB'C=90°,

B'C=7AC、一AB'2=5-12=73.

当A,B',O在同一直线上时,OA最大如图3,

此时（0A=2,过点A作AE10C”于E,过点（C作C'F1。/1于F.

4。=AC=2,AE1OC,

1

.・.OE=EC'==

2

AE=yjAO2-OE2=也一(I?=#，

11

SA0C，=--A0-C'F=--0C-AE,

C'F=4,

OF=VOC'2-C'F2=J12_(挛户=1,

.•.FB'=°B'-OF=z

V6

•••B'C=7FB'2+FC'?=

21

综上OA的最小值为1,此时BC的长为V3,OA的最大值为2,此时BC的长为2.

7.(1)-y^-x2+bx+c经过8(-1，0),C(0-3),

[c=3

"l-l-«>+c=0，

解得y=2

(c=3

抛物线的解析式为y=-%2+2%+3.

⑵如图1中，过点B作BT||y轴交AC于T,过点P作.PQ||OC交AC于Q

设.P(m>m2+2m+3),

对于抛物线y=-x2+2x+3,令y=0,可得x=3或-1,

；.A(3,0),

：C(0,3),

二直线AC的解析式为y=-%+3,

B(-l-0),

BT=4,

■■PQWOC,

Q(jn>—m+3),

PQ=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m,

■■PQWBT,

.PQ_PE_1

"BT-BE_2'

—m2+3m=2,

解得Hl=1或2,

.丁(1,4)或(2,3).

(3)如图2中.连接4"过点N作N/14力于J,过点C作CT1于T.

图2

；・抛物线y=-%2+2%+3=-(%-I)2+4,

二顶点D(1,4),

VC(0,3),

直线CD的解析式为y=x+3,CD=42,

DD'=2CD,

■：DD'=242,CD'=3Vx

)(3,6),

：A(3,0),

AD'1x轴，

OB'=y/OA2+D'A2=V32+62=3强

sinZ-OD'A=OD',5

•・•CT1AD',

・•.CT=3,

•・•NJ1AD'f

：.NJ=ND'-sin^OD'A=^-D'N,

.■.^-D'N+CN=CN+NJ,

•••CN+NJ>CT,

■■.^-D'N+CN>3,

RAN+CN的最小值为3,

此时N为(OD'与CT的交点，

；.N(1.5,3),

•••平移后抛物线的解析式为y=-(%-3)2+6,MN平行y轴，将%=1.5代入抛物线解析式,

；.M(1.5,3.75),

MN=0.75

8.(1)；顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1),

•••B(2,-1),

•••A(4,0),

将点o、点A、点B代入抛物线y=ax2+bx+c,

C=0，a=去

得到4a+2b+c=-1,解得<b=_i'

16a+4b+c=0=o

y=-1X2—X；

(2)①设F(2,m),G(x,y),

，G点到直线y=-2的距离为|y+2|,

(y+2)2—y2+4y+4,

'：y=-1X2—X,

■■■(y+2)2—y2+4y+4=y2+x2—4x+4—y2+(x—2)2,

•••G到直线y=-2的距离与点(2,0)和G点的距离相等，

抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等；

到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离相等，

22

(x-2)2+(m-+4)=Qxz—x+2J，整理得,m(m—|x2+2久)=0,

•••距离总相等，

m=0,

•••F(2,0);

②设过点F的直线解析式为y=kx-2k,M(xM,yM),N(xN,yN),

=kx-2k

联立412，整理得%2-(4+4k)x+8/c=0,

lv=-x

%”+%N=4+4k,xM-xN=8k

2

••=轨2..yN=-4k,

・・・M到F点与M点到y=-2的距离相等,N至!JF点与N点到y=-2的距离相等,

1।1_1+1=4+yN+yM_4+4/_]

22

MFNF2+yM2+yN^+2(yN+yM^+yM»yN4+2(4/c)-4k

—F+-F=1是定值；

MN，

⑶作B点关于y轴的对称点，夕,，作C点关于x轴的对称点U连接C'B八交x轴、y轴分别于点P、Q,

BQ=B'Q,=C'P

：.四边形PQBC周长=BQ+PQ+PC+BC=B'Q+PQ+C'P+CB=C'B'+CB

・・,点C（3,m）是该抛物线上的一点

・•・B（2，-1）,

二夕（一2,一1）,《3号,

..•直线.夕。的解析为y=10x-^,

・•,Q(s-劫，P&D

9.(1)VZACB=90°,ZCAD=60°,

AB=i4Ccos60°=2AC,

VBD=AC,

・・・AD=AC,

.•.△ADC是等边三角形，

ZACD=60°,

：P是CD的中点

；.AP_LCD,

在RtAAPC中，AP=V3,

.,.BC=ACxtan60°=2V3

⑵证明：连接BE,

图2

VDE//AC,

ZCAP=ZDEP,

在4CPA和ADPE中

(Z.CAP=/.DEP

<ACPA=4EPD,

{CP=DP

：.ACPA^ADPE(AAS),

i

.・.AP=EP=^AE,DE=AC,

VBD=AC,

・・・BD=DE,

又,.,DE〃AC,

JZBDE=ZCAD=60°,

•••△BDE是等边三角形，

ABD=BE,ZEBD=60°,

VBD=AC,

AAC=BE,

在z\CAB和AEBA中

(AC=BE

IZ.CAB=NEBA,

[AB=BA

：.ACAB^AEBA(SAS),

・・・AE=BC,

・・・BC=2AP,

⑶存在这样的m,m=V2.

理由如下：作DE〃AC交AP延长线于E,连接BE,由(2)同理可得DE=AC,ZEDB=ZCAD=45°,AE=2AP,

当BD=鱼/C时，

BD=y]2DE,

作BFJ_DE于F,

ZEDB=45°,

・•・BD=V2DF,

ADE=DF,

・・・点E,F重合,

・•・ZBED=90°,

・•・NEBD二NEDB=45。，

/.BE=DE=AC,

同(2)可证：MZkEBA(SZS),

・•.BC=AE=2APt

・・・存在m=&，使得BC=2APf

9.(1)①如图①，：四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,BC=AD=5,AB〃CD.；./DEA=NBAE.：AE

平分NDAB,；.ZDAE=ZBAE./.ZDEA=ZDAE./.DE=AD=5.同理，可得CF=BC=5.1•点E与点F重合,

AB=CD=DE+CF=10②如图②，：点E与点C重合,易得DE=AD=5,CF=BC=5.，点F与点D重合.，EF=DC=5

⑵分三种情况讨论:①如图③，由⑴，可得AD=DE.：点C、D、E、F中相邻两点间的距离相等,AD=DE=EF=CF.

易得慧=%)如图④，由⑴，可得AD=DE=CF.：DF=EF=CE,.\易得若=[.③如图⑤，由⑴，可得AD=DE=CF.：

Jr\.DJ

DF=CD=CE,.\易得当=2.综上所述，靠勺值为[或|或2

11.(1)根据表格可