2025年中考数学复习：中线相关的辅助线 方法讲解及巩固练习

中线相关的辅助线

典例精析

【典型题1】★★如图CB是AAEC的中线,CD是AABC的中线，且AB=AC.

求证:①CE=2CD;②CB平分/DCE.

【思路分析】从结论分析①，显然没有直接关系证明CE=2CD,必须进行“等量转化”可构造出一条明显等于

2CD的线段，因此需要做辅助线来实现.我们可通过添加辅助线，构造全等三角形来实现“等量转化”.

【答案解析】证明：如图，延长CD到F，使DF=CD,连接BF可得CF=2CD.

CDBAABC的中线/.BD=AD

,BD=AD

在ABDF和AADC中，AADC=乙BDF

DF=DC

：.ABDF^AADC(SAS)BF=AC,Z1=ZF,

•••CB是AAEC的中线,BE=AB,

：AC=AB,：.BE=BF,：Z1=ZF,

.,.BF^AC,.*.Zl+Z2+Z5+Z6=180°

又：AC=AB,；.Z1+Z2=Z5,

又：Z4+Z5=180°,.\/4=N5+N6即NCBE=NCBF,

•CB=CB

在ACBE和ACBF中，zCBE=4CBF

.BE=BF

：.ACBE^ACBF(SAS),

；.CE=CF,/2=/3,

；.CE=2CD,CB平分NDCE.

【规律总结】辅助线作法：倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.

如图①,AD是AABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证:AADC0AEDB(SAS).

如图②,D是BC中点.延长FD至点E使DE=FD,易证:AFDB注△EDC(SAS).

当遇见中线或者中点时，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转

移.

【典型题2]★★★如图，在AABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.求证:

ZAEF=ZEAF.

【思路分析】从题目条件分析，D是BC的中点，可考虑延长中线构造全等三角形来推出结论.

【答案解析】证明：如图，延长AD到M,使DM=AD,连接BM.

D是BC边的中点,BD=CD

CD=BD

在AADC和AMDB中UADC=AMDB

.AD=MD

：.AADC^AMDB(SAS),

/.Z1=ZM,AC=MB,

VBE=AC,；.BE=MB,

ZM=Z3,.\Z1=Z3,

VZ3=Z2,

/I=/2,即/AEF=/EAF.

【规律总结】辅助线作法：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.

【典型题3】★★★如图.在四边形ABCD中.AD〃:BC,点E在BC上点F是CD的中点且AFJ_AB,已知

AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.

【思路分析】从已知条件入手分析.注意到F为中点，因此延长AF构造全等三角形.

【答案解析】解:如图，延长AF交BC的延长线于点G.

,.,AD〃BC,；.N3=NG,

点F是CD的中点,DF=CF,

-Z3=NG

在AADF和AGCFcf3.\z.AFD=/.GFC,

.DF=CF

△ADFgAGCF(AAS),/.AD=CG,

VAD=2.7,.\CG=2.7,

VAE=BE,.\Z1=ZB//AB±AF,

Zl+Z2=90°,ZB+ZG=90°,

N2=NG,；.EG=AE=5,

.\CE=EG-CG=5-2.7=2.3.

【规律总结】辅助线是延长中点所在的线段，构造全等三角形，也可理解为倍长中线法的变形.

【典型题4]★★★如图.在正方形ABCD中CD=BC点E在CB的延长线上，过点E作EFLBE,且EF=BE.连

接BF、FD,取FD的中点G,连接EG、CG.

求证:EG=CG且EGXCG.

【思路分析】从已知条件入手分析.注意到G为中点，因此延长EG构造全等三角形.

【答案解析】证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M.

由题意得/FEB=9(r,/DCB=90。,

ZDCB+ZFEB=180°,EF//CD,

ZFEG=ZDMG,

点G为FD的中点,，FG=DG,

_Z1=乙DMG

在aFGE和ADGM中\z_FGE=乙DGM

.FG=DG

：.AFGE^ADGM(AAS),

；.EF=MD,EG=MG,

EF=BE,.\BE=MD,在正方形ABCD中,BC=CD,BE+BC=MD+CD,即EC=MC,

•*.ECM是等腰直角三角形，

,/EG=MG,EG±CG,Z3=/4=45°,；.Z2=Z3=45°.\EG=CG.

【典型题5】★如图在AABC中,/B=2NC,AD，BC于D,M为BC的中点,AB=10,求DM的长度.

【思路分析】我们综合分析，先从题目结论入手，需要将DM放到三角形中求值，因此需要作辅助线，再从

已知条件入手分析，注意到RSADB,M为中点，因此可以考虑取AB的中点N,分别连接DN和MN,就有了直角

三角形的斜边中线和中位线定理可以应用.详见本题的规律总结.

【答案解析】解:取AB中点N,连接DN,MN在RtAADB中,N是斜边AB上的中点.

1

DN=-AB==5.乙NDB=Z.B.

2

在4ABC中,M,N分别是BC,AB的中点,「.MN"ACJZNMB=ZC,

又・・・NNDB是ANDM的外角，

:.ZNDB=ZNMD+ZDNM.

即/B=ZNMD+ZDNM=ZC+/DNM.又：ZB=2ZC,.\ZDNM=ZC=ZNMD.ADM=DN.DM=5.

【规律总结】辅助线作法：

(1)已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，即CD=|48,来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：AACD和ABCD,该模型经常会与中

位线定理一起综合应用.

(2)已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理.

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：

DE〃:BC,.且DE=^BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题,

线段之间的倍半、相等及平行问题.

(3)另外关于中线的辅助线还有：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.我们到等腰三

角形专题再进行分析.

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造

更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一

【总结升华】到此同学们应该再次总结：我们前面分析过的辅助线作法(垂直平分线、角平分线、截长补短等),

最终都是在构造全等三角形或者特殊三角形，我们可称为：具备全等(或特殊)条件，构造全等(或特殊)三角形的辅

助线作法.

利用三角形全等或“构造三角形全等”实现“等量代换”，实现等量代换的方法是多方面的，而利用三角形全等或

构造全等三角形来实现等量代化是其中基本的也是非常重要的方法.而构造全等三角形是靠“具有部分全等条件”为

基础再添加辅助线来完成的.那么有哪些是属于“具有部分全等条件”可引辅助线构造全等三角形的呢？

⑴有角平分线（或作角平分线）时，利用角平分线作公共边，在角的两边上截取对应相等线段，构造全等三角形;

（2）有以线段中点为端点的线段时，常倍长该线段并借助对顶角构造全等三角形（其中分“倍长中线法”与“倍长中

点法”）.

巩固练习

【巩固练习11★

已知AABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证:CD=2CE.

【巩固练习2]

如图，在△4BC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF〃AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=

CF,求证:AD为AABC的角平分线.

【巩固练习3]

如图,AD为AABC的中线,/ADB和NADC的平分线分别交AB、AC于点E、F,求证:BE+CF>EF.

【巩固练习4]

在RtAABC中,NA=90。,点D为BC的中点，点E,F分别为AB,AC上的点，且ED_LFD,以线段BE,EF,FC为边能

否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状?

【巩固练习5]

如图，在RtAABC中,/ACB=90°,AC=8,BC=6,点P是平面内一个动点，且AP=3,Q为BP的中点，在P点运动过

程中，设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是—.

【巩固练习6]

如图①在AABC中点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD±,CG=CA,GF=DE,ZAFG=Z

CDE.

⑴填空与NCAG相等的角是

(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；

⑶如图②，若/BAC=90°,ZABC=2/ACD,求小的值.

【巩固练习7]

在等腰AABC中,AC=BC,AADE是直角三角形，/-DAE=90°,^ADE=|Z71CB,连接BD,BE,点F是BD的中

点，连接CF.

⑴当NCAB=45。时.

①如图①，当顶点D在边AC上时，请直接写出/EAB与/CBA的数量关系是—;线段BE与线段CF的数

量关系是；

②如图②,当顶点D在边AB上时，⑴中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，

若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰AABC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二:取DE的中点G,连接AG,CG,并把ACAG绕点C逆时针旋转90°,再利用旋转性质、三角形全等或相似

有关知识来解决问题.

(2)当ZCAB=30。时，如图③,当顶点D在边AC上时,写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由.

CC

E

图①图②

4

E

图③

1.证明:⑴延长CE到F,使EF=CE,,连接BF.

C

•「CE是AB边上的中线，

AE=EBAEBF△EAC,

BF=AC=BD,kE；/BD

乙EBF=Z.EAC,//

Z.FBC=Z-FBE+Z-EBC=Z-A+Z-ACB=Z-DBC,.,

△CBF△CBDfCD=CF=2CE.F

2.【证明】如图，延长FE,截取EH=EG,连接CH.

是BC的中点,BE=CE.

在ABEG和ACEH中,

，BE=CE,

<ZBEG=ZCEH,

GE=HE,

△BEG△CEH(SAS).

•••乙BGE=乙H,BG=CH./.乙BGE=^FGA=乙H

・•.CF=BGf..・CH=CF./.zF=ZH=^FGA.

•・.EF\\ADf^4F=/LCAD^BAD=^FGA.

：.ZCAD=ZBAD.AAD平分ABAC.

即AD为△ABC的角平分线.H

3证明：

延长ED至IJH,使DE=DH,连接CH,FH,

：AD是AABC的中线，

/.BD=DC,

,/DE、DF分别为ZADB和ZADC的平分线，

11

・•.Z1=z4=^ADB,^.3=Z5=^ADCf

・•.zl+z3=z4+z5=-Z.ADB+-/-ADC=工x180°=90°

222

VZ1=Z2,

.*.Z3+Z2=90°,

即NEDF=NFDH,

在AEFD和AllFD中，

(DE=DH

<NFDE=ZFDH,

[DF=DF

：.AEFD^AHFD(SAS),

.*.EF=FH,

在△8DE和△CD”中，

DE=DH

<Z1=Z2,

、BD=DC

△BDE△CDH^SASy

BE=CH,

在△CF〃中，由三角形三边关系定理得：("+CH>FHf

•・•CH=BE=EFf

・•.BE+CF>EF.

以线段BE,EF,FC为边能构成三角形，该三角形是直角三角形.

4.延长FD到点G,使DG=FD,连接EG,BG.

A

ABD=CD

在21BDG和z\CDF中

BD=CD

<Z.BDG=ACDF

、DG=DF

：.ABDG^ACDF(SAS)

：.BG=FC,ZDBG=ZDCF,

ABG//AC

JZEBG+ZBAC=180°,

•・・ZBAC=90°

・•・ZEBG=90°,

・•.EG2=BE2+BG2

・•.EG2=BE2+CF2

VEDXFD,DG=DF,

・,・DE垂直平分FG

AEF=EG

・•・EF2=BE2+CF2

・・・以线段BE,EF,FC为边能构成三角形，且该三角形是直角三角形.

5.如图,取AB的中点M,连接QM,CM,

B

o

在Rt△ABC中，^ACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=10,

:点M是AB的中点，

：.AM=BM=CM=\AB=S,

点Q是PB的中点，点M是AB的中点，

；.QM是aAPB的中位线，

13

・•.QM=^AP=

在△CMQ中，CM-MQ<CQ<CM+MQ,

713

­--<m<——.

22

;点c,点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动,

当点C,M,Q三点共线，目点Q在线段CM上时，m取得最小值

当点C,M,Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值？，

综上,m的取值范围为：(WmW[2.

故答案为：

6.解:(1)VCG=CA,AZCAG=ZCGA.故答案为NCGA;

(2)AD=三BD.

证明:在CG上取一点M,使GM=AF,连接AM,EM,如图1.

ZCAG=ZCGA,且AG=AG,AFAG^AMGA.

ZAFG=ZGMA,GF=AM.又：GF=DE,，AM=DE.

VZAFG=ZCDE,AZGMA=ZCDE./.DE^AM.

/.四边形DEMA是平行四边形.；.EM〃AD,EM=AD.

：BE=CE,；.EM为ABDC的中位线.

：■EM^-BD.：.AD=-BD-,

22

A

图1

（3）在CG上取一点M.使GM=AF,连接AM,EM,如图2.由⑵可得四边形DEMA是平行四边形，（CM=DM.

：.ZBDE=ZDAM,DE=AM.”

•••^BAC=90°,AM=CM.

：.ZAMD=2ZACD.

Z.ABC=2乙ACD,

：./AMD=NABC.

.ABDEAM40

AMAD

图2

由（2）可知AD

ADE=AM=42AD.设AD=1,则AM=V2,CD=2vxAB=3.；.AC=V7..

AB3

7.(1)①如图1,连接BE,设DE交AB于T,

・•・ZCAB=ZABC=45°,

・•・ZACB=90°,

•・.AADE=^ACBf

：.ZADE=45°,

ZDAE=90°,

JZADE=ZAED=