2025年中考数学压轴题拔高训练：特殊平行四边形存在性问题

特殊平行四边形存在性问题

问题与方法

问题:如图3-5-1,直线.y=x上有一点P,点P在第一象限且OP=2V2.

(1)在坐标平面内有两个点M,N,若O,P,M,N四个点能够构成正方形，求M,N的坐标；

(2)在坐标轴正半轴上有一点E,坐标平面内有一点F,若点O,P,E,F四个点能够构成菱形，求点E的坐标.

【简析】易知P(2,2),直线.y=x与坐标轴的夹角为45。分OP为边和OP为对角线两种情况进行讨论.

(1)①当0P为正方形的一边时，如图3-5-2,过点0作0P的垂线，并在垂线上截取(。刈=0N2=OP;；过点P

作PO的垂线，分别交坐标轴于.小,M2两点，则四边形(OPMiM,四边形OPM2N2为所求的正方彩

②当0P为正方形的对角线时，连接PNi,PN2,分别与y轴和x轴交于点M3,心则四边形(ON3PM3是正方彩

根据正方形及等腰直角三角形的性质,易求得据式0,4),N式-2,2))或M2(4,0),N2(2,-2)或“3(0,2),想⑵0).

提醒：由于M,N没有先后顺序，每一对M,N的坐标均可以互换.

(2攻口图3-5-3,①当0P为菱形的一边时，由于点E在坐标轴的正半轴上，故将0P分别向右或向上平移2企个

单位，可得菱形。0P&&,此时当(2鱼，0),E2(O-2&)；；也可将OP平移，使得点P平移至坐标轴的正半轴上，

可得菱形OPE3F3,0「区£4,,此时E3(4,0).E4(0,4);

②当OP为菱形的对角线时，作OP的垂直平分线，分别交x轴，y轴于点.右,飞,可得菱形。55「尸5,此时

现(2,0),F5(0>2),,当点E与Fs重合时也符合题意.

综上，满足条件的点E的坐标为(2w,0),(0,2a),(0,4),(4,0),(2,0),(0,2).

解决特殊平行四边形存在性问题的常用策略

1.菱形的存在性问题，常常转化成等腰三角形的存在性或平行四边形的存在性问题，兼顾对角线互相垂直.

2.矩形的存在性问题，常常转化为直角三角形的存在性或平行四边形的存在性问题，兼顾对角线相等.

3.正方形的存在性问题，常常转化为等腰直角三角形的存在性问题.

几何构图方法分别如图3-5-4(注：A,B为定点，C,D为动点)：

Dz

菱形矩形正方形

图3-5-4

应用举例

例1如图3-5-5,直线y=声与双曲线y=三也丰0)交于A,B两点，点A的坐标为(m,-3).

⑴求k的值并直接写出点B的坐标；

(2)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P,Q,使得四边形ABPQ是矩形?若存在,请求出所有符

合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

(1)将点A的坐标代入正比例函数解析式可求出m,则A点确定，即可求出反比例函数解析式，联立两个解析

式即可求出交点B的坐标；

(2)若四边形ABPQ是矩形，则AB是矩形ABPQ的边.根据矩形的构图方法，只需过点B作AB的垂线，与坐标

轴的交点即为所求的点P,进而根据点P的位置求点P的坐标.

例2如图356,抛物线y=ax2+6久+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,若OA=OC=2OB=2.

⑴求抛物线的解析式及直线BC的解析式.

(2)如图356,过点A作ADXBC于点D,过点D作DHLx轴于点H,若点G为直线DH上的动点，N为抛物

线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M,N,G,H为顶点的四边形为正方形?若存在，求出M点坐标；

若不存在，请说明理由.

图3-5-6

【问题分析】

第(2)问中，利用三角函数或相似可求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可得H点的坐标.因

为GH±x轴，动点M在x轴上.故GH只能为正方形的一条边，不能是对角线.由于M在x轴上，可设M(m,O),再用

m分别表示出MH和MN的长,再根据MN=MH列方程求解.

例3如图357,抛物线y=ax2+6久+3交x轴于A(3,O),B(-1,。)两点，交y轴于点C,动点P在抛物线的对称

轴上.

⑴求抛物线的解析式.

(2)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存

在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

根据点P在对称轴上，横坐标已知，可设出点P的坐标.由于点A,C为定点，菱形的四条边相等，故考虑先求

出AC2,AP2,PC2.再通过平移AC和作线段AC的垂直平分线，大致确定点P,Q的位置，进而根据菱形的性质列方

程求解点P的纵坐标.最后根据点A,C,P的坐标和菱形对角线互相平分求得点Q的坐标.

进阶训练

L如图3-5-8,在平面直角坐标系中，反比例函数y=£的图象经过点A(3,m)与B(6,m-6),过点A作AC±x轴，垂

足为C,连接AB,BC.

⑴求m的值

(2)求证:△ABC为等腰三角形.

(3)点E是平面内一点，第一象限的双曲线上是否存在点D,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是正方形?若

存在，求出点D,E的坐标；若不存在，请说明理由.

图3-5-8

2.如图3-5-9在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,B在x轴上,抛物线yx2+bx+c经过B,D(-4,5)

两点，且与直线DC交于另一点E.

⑴求抛物线的解析式.

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以

BE为边的菱形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

3.综合与探究

如图3-5-10,抛物线y=#+2久-6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC.

⑴求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.

⑵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.试探究：在直线1上是

否存在点E，使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图3-5-11,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a*0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,

连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求抛物线上C,D两点之间的距离；

(3)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q

备用图

图3-5-11

答案

I应用举例I

例1解:⑴将点A的坐标(m,-3)代入直线y=)中，得-3=|6,解得m=-2,.\A(-2,-3).

—(一3)=6;反比例函数解析式为3/=*］；了'或忧二氯

.♦.点B的坐标为(2,3).

⑵存在.如图,过点B作AB的垂线，分别交x轴，y轴于点P15P2,

①当点P在x轴上时，如图，设点Pi的坐标为(a,0).过点B作BE±x轴于点E,

•・•(OEB="BP*=90°,乙BOE=ZJ\OB,

：.AOBE^AOPiB./.OBP^OE.

,、1—A213

8(2,3),OE=2,OB=V13.*•-----=,CL=.

aV132

•••点Pl的坐标为(£，o).

②当点P在y轴上时，过点B作BN±y轴于点N.如图，设点P2的坐标为(0,b).

ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

ABON^AP2OB.•.OBP2=OB,即半=言.

.・”=3•••点P2的坐标为(0年)

综上，点P的坐标为号0)或(0号)

例2解:(1)：OA=OC=2OB=2,

.••A(2,0),B(-l,0),C(0,2).

将点A,B,C的坐标代入.y=ax?+匕％+c中，可得

'4a+2b+c=0,ci——1,

a—b+c=0,解得b=1,

、c=2,(c=2,

；•抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

由B(-l,0),C(0,2)可得直线BC的解析式为.y=2x+2.

⑵存在点M，使得以M,N,G,H为顶点的四边形为正方形.

AD±BC,CO±BO,.\ZDAO=ZBCO.

••1tanzBCO=|,.\AD与y轴的交点为（0,1）.

直线AD的解析式为y=-|x+1.

联立直线AD,BC的解析式可得一义％+1=2x+2,解得x=-|,；•H0）,

设M（m,0）//GH±x轴点M在x轴上.

.•.以M,N,G,H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边.

.*.MN,MH也是正方形的边.N(m，-m2+m+2).

,2

MN=\—m2+m+2\,MH=|m+-1.

2

•••|—m2+m+21=|m+-1.

解得m=±（当E,0）或M（-号0）或M（1+半，0）或M（1-等，0）.其位置如图所示.

例3解：(1)抛物线的解析式为y=-%2+2%+3.

⑵存在.符合条件的点Q的坐标为：(4,-旧)或(4,g)或(-2,3+旧)或(-2,3-旧)或(2,2).

［解析］由已知，设P(l,t),：A(3,0),C(0,3),

•••AC2=32+32=18,AP2=(1_3)2+t2=t2+4,PC2=I2+(t-3)2=产_6t+10.

①当以AC为边，且点Q在对称轴右侧时，如图①,CP=CA,

•••t2-6t+10=18.解得t=3±V17,

Pi(L3-V17),P2(l>3+V17).

Qi(4--V17),Q2(4-V17).

当以AC为边，且点Q在对称轴左侧时，如图②，AP=AC,

产+4=18.解得t=±V14,

P3(VV14),P4(V-V14).

Q3(-2>3+V14),<2i(-2-3-V14).

②当以AC为对角线时,如图③，则PC=AP,

t2—6t+10=t2+4.角星彳导t=l,

.,.P5(1,1),Q5(2,2).

综上所述，符合条件的点Q的坐标为(4,-旧)或(4,旧)或(2,2)或(-2,3+”4)或(-2,3-V14).

I进阶训练I

1.解:⑴•••反比例函数y=笑勺图象经过点A(3,m),B(6,m-6),

3m=k,且6(m-6)=k./.3m=6(m-6).解彳导m=12.

⑵过B作BMXAC于点M,

；m=12,.•.点A的坐标为(3,12),点B的坐标为(6,6),点C的坐标为(3,0).

，点B的纵坐标为6,即CM=6.

•••点A的纵坐标为12,/.AC=12.

；.AM=AC-CM=6.

/.CM=AM.

ABM垂直平分AC.

/.AB=BC.

.二△ABC为等腰三角形.

(3)存在.如图，只有以CB为边在CB右侧作正方形CBDE一种情况，可使得点D在双曲线上,分别过点C,D

作x轴的垂线，分别过点B,E作x轴的平行线,分别相交于点M,N,Q,P,

ZMCB+ZMBC=90°,ZMBC+ZNBD=90°.

NMCB=NNBD.

2CMB=乙BND,

在AMCB与ANBD中［NMCB=/.NBD,：.AMCBANBD(AAS).

,BC=DB,

同理可得:AMCB0Z\PEC丝△QDE丝ANeD,则MC=PE=QD=NB=6,BM=CP=EQ=DN=3,；.D(12,3),E(9,-3).

；•点D恰好在双曲线上，即存在点D,使得以B,C,D,E为顶点的四边形为正方形，此时.点D(12,3),E(9,-3).

2.解:⑴由点D的纵坐标知,正方形ABCD的边长为5,.*.OB=AB-AO=5-4=1.

AB(1,O).

将B(l,0),D(-4,5)的坐标代入.y=x2+bx+c.

+b+c=0,

—4b+c=5,

解得唐=2,

故抛物线的解析式为y=%2+2%-3.

（2）存在符合条件的菱形.

由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x=-l,

故设点F的坐标为（-1,a）,

:点D,E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2,5）.

由点B,E的坐标得，BE2=(2—I)?+(5-0)2=26.

解法1:当以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，根据菱形的性质可分为：

①当BF=BE时，如图①所示:

BF2=BE2,

即((1+I)2+(0—a)?=26.

解得：a—±A/22,

...点F的坐标为（（-1，伍）或（-1，-伍）.

Q

②

②当EF=BE时,如图②所示:

则E产=3所,即(2+I)2+(5-a)2=26,

解得a=5±V17,

点F的坐标为（（一1，5-g）或（一1，5+V17）.

综上所述，点F的坐标为（-1,g）或（（-1，-g）或（一1，5-VI7）或（一1，5+V17）.

解法2：如图③，以点E为圆心，EB长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点FiE再分别以EFi,EB或EF2,EB

为邻边作菱形EFiQiB,菱形EF2Q2B.

设抛物线的对称轴与DE交于点M厕EM=2+1=3,.-.FM=VF£2-ME2=VSE2-ME2=-26—9=V17.

Fi(-l-5+V17),F2(-l-5-V17).

如图④,以点B为圆心，BE长为半径画圆，交抛物线的对称轴于点FsR再分别以BE,BF3或BE,BF4为邻边作

菱形EBF3Q3,菱形EBF4Q4.

设抛物线的对称轴与X轴交于点N,则.BN=1+1=2,.,.FN=<FB2-BN2=VBE2-BN2=A/26—4=V22

/3(_［值),

综上所述,F点的坐标为(一1，5+V17),(-1,5-V17),(-1-V22),(-L-V22).

解法3:设点Q的坐标为(s,t),

•.•以Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点B向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点E,

，点Q(F)向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点F(Q).且BE=EF(BE=EQ).

••・&+5=a,或<t-5=a,

[26=(2+l>+Q-5)3-l26=(s-2)2+(/-5)\

a=5±V17,(s=0,

解得Js=-2,"5士V22,

、t-+V17(a=+V22,

故点F的坐标为((-1，5+VT7)或(-1,5-VI7)或(-1，V22)ng(-1--V22).

3.解:(1)当y=O0yt,|x2+2%-6=0,

解得.Xi=-6,X2=2,

:点A在点B左侧,.5(60),B(2,0).

当x=0时,y=-6,；.C(0,-6).

VA(-6,0),C(0,-6),

直线AC的函数表达式为y=-x-6.

：B(2,0),C(0,-6),.,•直线BC的函数表达式为y=3x-6.

(2)本题中已知DE〃:BC,故当DE=BC时以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平

行四边形是菱形列方程求解.

存在.设点D的坐标为其中-6<m<0,：B(2,0),C(0,-6),

BD2=(m—2)2+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6y=2m2.

：DE〃BC,.•.当DE=BC时，以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形.

分两种情况:如图①，当BD=BC时.四边形BDEC为菱形,

•••BD2=BC2.(m-2)2+(m+6)2=40.

解得：m1=-4,m2=06(舍去)，，点D的坐标为(-4,-2).

.••点E的坐标为(-6,-8).

如图②，当CD=CB时,四边形CBED为菱形,.・.。标=CB2,2m2=40.

解得爪i=—2逐,m2=2遮倍去),

点D的坐标为((-2V5-6).

.。.点E的坐标为(2-2通2V5).

综上,存在点E，使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6,-8)或((2-2后2曲).

4.(1)抛物线的解析式为y=-1x2+2x+|.

(2)由⑴知y=-|x2+2x+I，.-.C(0，|),D(2，?如图①，过点D作DM±y轴于点M,则DM=2,CM=2.

在RtACDM中,(CD=VDM2+CM2=V22+22=2V2.

⑶解法1：①以BC为矩形的一条边，则过点C,B分别作BC的垂线交直线x=2于点PiH,过点Pi作PxQilBPz

于点Qi,过点P2作P2Q21PIC于点Qz,如图②所示，设PiC与x轴交于点E,

直线CE的解析式为y=2久+1，,P]0号).

同理可得P2(2,-6).

通过平移可以得到QI