2025年中考数学总复习《圆与二次函数》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆与二次函数》专项测试卷（附答案）

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一、单选题

1.如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE=BF,

在EF上取动点G,国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时，设AD=y,

BC=x，则y与x所满足的函数关系式为（）

A.正比例函数y=kx（k为常数，k，0,x>0）

B.一次函数丫=1«+6（k,b为常数，WO,x>0）

k

C.反比例函数y=—（k为常数，k/）,x>0）

x

D.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a#0,x>0）

2.如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE=BF

在EF上取动点G,过点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时，设AD=y,

A.正比例函数y=kx（k为常数，k#0,x>0）B.一次函数产kx+b（k,b为常数,kb#）,

x>0）

C.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数,a#0,x>0）D.以上都不是

3.如图，AB=5,。是AB的中点，尸是以点。为圆心，A3为直径的半圆上的一个动点（点

尸与点A,B可以重合），连接出，过尸作PMLAB于点设AP-AM=y,则

下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A.二次函数B.一次函数C.正比例函数D.以上都不对

4.已知下列结论：①平分弦的直线必过圆心；②相等的弦所对的弧相等；③二次函数

y=犬-2〃优+2根-2的顶点在x轴下方；④函数y=Ax?+（3k+2）x+l,对于任意负实数左，

当时，y随x的增大而增大，则优的最大整数值为—2.其中正确的有（）

A.①③B.③C.②④D.③④

5.下列命题中（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径必平分这条弦所对的弧

（3）每个角都等于135度的八边形是中心对称图形.（4）同圆中，两条弦所夹的弧相等，

则这两条弦平行.（5）二次函数y=P2x+3（0<A<0.5）的最小值为2.（6）圆的对称轴是直

径.簿族命题的个数是：（）

A.6B.5C.4D.3

6.如图，0A半径为1,圆心4（0,3）,点8是0A上动点，点C在二次函数y=图象

上运动，则线段的最小值为（）

2

7.如图，己知二次函数y=g/-8的图象与x轴交于A,8两点与y轴交于C,0c的半径

为2君，尸为OC上一动点，连接尸3,若E为尸3的中点，连接OE,则OE的最大值为（）

A.10一君B.l0+6C.5+石D.5-75

22

8.如图，二次函数y=gV-3与x轴交于A、3两点，与，轴交于C点，点。与点C关于x

轴对称，点尸从点A出发向点。运动，点。在DB上，且NPCQ=45。，则图中阴影部分面积

的最小值是（）

二、填空题

9.如图，一动点P在二次函数，=。无2一!％+!的图象上自由滑动，若以点P为圆心，1为

424

半径的圆与无轴相切，则点尸的坐标为.

1Q

10.已知二次函数>=耳尤2一§》一3的图象与X轴交于A,3两点（点A在点B的左侧），与y

轴的负半轴交于点C,顶点为。，作直线CO.点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆

心的圆经过A,B两点,并且和直线C。相切，则点尸的坐标为.

11.如图，A,8是二次函数>=:无2+版图象上的两点，直线48平行于x轴，点A的坐标

为(-3,4).在直线上任取一点P,作点A关于直线OP的对称点C,连接8C,则BC的

12.已知如图，二次函数》=-#/+2百的图像交x轴于A、8两点，交》轴于C点，连

接BC,点"是上一点，射线MN与以A为圆心，1为半径的。A相切于点N,则线段

的最小值是.

13.如图，二次函数,=办2_7奴+6〃(〃>0)的图象交工轴于A,8两点，交y轴于点C,QP

(P在第一象限)恰好经过A、8、C三点，且AB的弦心距为［A3,贝Ua的值为.

2

三、解答题

14.已知，关于x的二次函数>=江+2以-3°(0>0)的图象与x轴交于A、3两点(点A在点

B的左侧)，与y轴交于点C,图象顶点为。，连接AC、BC、CD.

(1)请直接写出点A、B、C、。的坐标(用数字或含。的式子表示)：

AB_；C_；D_；

⑵作出点C关于对称轴的对称点E,连接AE、CE、DE,若/MCE和△OCE相似，求a

的值；

⑶若NACBN90。，直接写出。的取值范围.

15.已知二次函数y=Y+bx+c与x轴交于A(-1,O),3(3,0)两点，与>轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)如图1,连接AC,BC,若点/在抛物线上，且〃的横坐标为g,连接CM,NACB与

N3CN相等吗？请说明理由；

(3汝口图2,点N是线段A3上任意一点(N不与A,3重合)，过点N作轴，交抛物线

于点E,连接4E,作dBE的外接圆OP,延长硒交。P于点试说明点厂在某条定直

线上.

16.如图，二次函数丁=-尤2+(〃7-1)X+"Z(其中相＞1)的图像与x轴交于A、3两点(点A

在点B左侧)，与y轴交于点C,连接AC、BC,点。为VABC的外心.

⑴填空：点A的坐标为一，ZABC=_°；

⑵记AACD的面积为占，的面积为S2,试探究g-S?是否为定值？如果是，求出这

个定值；

(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E,使得以8、。、C、E为顶点的四边形是菱形，

则，〃=_.

17.如图，二次函数丫=加+笈+。的图象交x轴于点A(T,O),8(2,0),交y轴于点C(0,-2),

⑴求二次函数的表达式；

(2)点尸在x轴正半轴上，且R4=PC,求。尸的长;

⑶点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.若〃在>轴右侧,

^.ZHCM=ZOAC,求点M的坐标.

18.如图，已知二次函数y=ad+法+5的图象与％轴相交于A(TO),8(5,0)两点，与y轴相

⑴求这个二次函数的表达式.

⑵若M是第一象限内线段8C上任意一点(不与8,C重合)，轴于点H,与二次函

数的图象交于点P,连接PC.设点M的横坐标为f,当△PC"是直角三角形时，求点M

的坐标.

(3)如图，若M是直线BC上任意一点，N是x轴上任意一点，且MN=4.以N为旋转中心，

将"N逆时针旋转90。，使M落在。点，连接则线段BQ的取值范围为直接

写出答案)

参考答案

1.C

【分析】延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,0Q,由AE与BF为圆的切线，

利用切线的性质得到AE与EO垂直，BF与OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到

直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对应角相等得到/A=/B,利用等角

对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一得到QO

垂直于AB,得到一对直角相等，再由NFQO与/OQB为公共角，利用两对对应角相等的

两三角形相似得到三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ

相似，由相似三角形的对应角相等得到NQOE=NQOF=NA=NB,再由切线长定理得到0D

与OC分别为/EOG与/FOG的平分线，得到/DOC为/EOF的一半,即ZDOC=ZA=ZB,

又/GCO=/FCO,得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角形DAO

相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD=x,BC=y代入，

并将AO与OB换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即

可得到正确的选项.

【详解】延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,0Q,

VAE,BF为圆O的切线，

AOEXAE,OFXFB,

.•.ZAEO=ZBFO=90°,

在RtAAEO和RtABFO中，

AE=BF

••{

・OE=OFf

ARtAAEO^RtABFO(HL),

.*.ZA=ZB,

•••△QAB为等腰三角形，

又・・・O为AB的中点，即AO=BO,

AQOXAB,

・•・ZQOB=ZQFO=90°,

XVZOQF=ZBQO,

.,.△QOF^AQBO,

AZB=ZQOF,

同理可以得到NA=NQOE,

・•・ZQOF=ZQOE,

根据切线长定理得：OD平分NEOG,OC平分NGOF,

・•・ZDOC=1-ZEOF=ZA=ZB,

又・.・NGCO=NFCO,

.,.△DOC^AOBC,

同理可以得到△DOCs/\DAO,

.•.△DAO^AOBC,

.ADAO

••丽一法’

AD-BC=AO«OB=-AB2,即xy」AB?为定值，

44

设k=：AB2,得到y=£

4x

则y与X满足的函数关系式为反比例函数y=&（k为常数，k#0,x>0）.

X

故选c.

【点睛】本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直

角三角形全等的判定与性质，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵

活运用所学知识.

2.D

【分析】延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE与BF为圆的切线，

利用切线的性质得到AE与EO垂直，BF与OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到

直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对应角相等得到NA=/B,利用等角

对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一得到QO

垂直于AB,得到一对直角相等，再由NFQO与NOQB为公共角，利用两对对应角相等的

两三角形相似得到三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ

相似，由相似三角形的对应角相等得到NQOE=NQOF=NA=NB,再由切线长定理得到0D

与OC分别为NEOG与/FOG的平分线，得到/DOC为/EOF的一半，即ZDOC=ZA=ZB,

又/GCO=/FCO,得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角形DAO

相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD=x,BC=y代入，

并将A0与0B换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即

可得到正确的选项.

【详解】解：延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,

VAE,BF为圆。的切线，

AOEXAE,OF±FB,

ZAEO=ZBFO=90°,

AE=BF

在RtAAEO和RtABFO中，<,

[OE=OF

.'.RtAAEORtABFO(HL),

.•.ZA=ZB,

•••△QAB为等腰三角形，

又O为AB的中点,即AO=BO,

；.QO_LAB,

.•.ZQOB=ZQFO=90°,

又：/OQF=/BQO,

.•.△QOF^AQBO,

.•.ZB=ZQOF,

同理可以得到NA=/QOE,

ZQOF=ZQOE,

根据切线长定理得：OD平分/EOG,OC平分NGOF,

/DOC=?ZEOF=ZA=ZB,

X-/ZGCO=ZFCO,

.•.△DOC^>AOBC,

同理可以得到△DOCs^DAO,

.'.△DAO^AOBC,

ADAO

~OB~~BC'

AD«BC=AO«OB=-AB2,即xy=」AB?为定值，

44

设k=；AB2,得到y=£

4X

则y与X满足的函数关系式为反比例函数y=&(k为常数，go,x>0).

X

故选：D.

【点睛】本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直

角三角形全等的判定与性质，反比例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵

活运用所学知识.

3.A

【分析】连接2尸，根据圆周角定理得到/APB=90°,证明△AMPs△APB,根据相似三

角形的性质得到得到>=工-（尤2,即可判断.

【详解】解:连接BP,

为圆的直径，

AZAPB=90°,

9：PM±AB,

：.ZAMP=90°,

AZAPB=ZAMP,又NA=NA,

・・・AAMP^AAPB,

.AMAPAMx

..——=——，即---=—，

APABx5

解得，

•/y=AP-AM

•\y=x-（0〈xW5）,

【点睛】本题考查了动点问题的函数，解决本题的关键是利用圆周角定理得到NAP8=90°,

利用相似三角形的性质表示出线段长.

4.D

【分析】利用垂径定理对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；先根据判别式的意

义判断抛物线与x轴有两个交点，再利用抛物线开口方向可对③进行判断；先计算出抛物

线的对称轴为直线尤=-，再利用二次函数的性质得加4-=-;，然后根据人<0可得加

的最大整数值为-2,可对④进行判断.

【详解】解：平分弦且垂直于弦的直线必过圆心，故①错误，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故②错误，不符合题意；

二次函数y=尤？-2皿+2加一2,A=（-2/7J）2-4（2/n-2）=4/n2-8/n+8=4（/n-l）2+4>0,贝!J

抛物线与x轴有两个交点，因为。=1>0,所以抛物线开口向上，所以抛物线的顶点在x轴

下方，故③正确，符合题意；

函数y=Z^+（3左+2）%+1,则抛物线的对称轴为直线尤=一券2=一］一而当〃时，y

31

随X的增大而增大，所以加4-彳-7，而左<0,则加的最大整数值为-2,故④正确，符合

2k

题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、二次函数的图象与性质，熟练掌握垂径定理、

圆周角定理、二次函数的图象与性质是解题的关键.

5.A

【分析】根据圆中的垂径定理及其推论、圆周角定理、中心对称图形、函数的性质等知识逐

一判断即可，对（2）、（3）、（4）的说法举反例即可判断，（5）根据函数自变量的取值范围

求出最小值即可判断，（1）、（6）熟记其使用的前提条件即可判断.

【详解】（1）等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）的说法错误；

（2）被平分的弦不是直径时，平分弦的直径必平分这条弦所对的弧，故（2）说法错误；

（3）每个角都等于135度的八边形是中心对称图形，说法错误，理由：切去正方形的四个

角，保证切掉的为等腰直角三角形且互相不是全等三角形，此时会发现新得到的八边形的内

角都是135度，但其不是中心对称图形；

（4）同圆中，两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行，说法错误，比如两条直径所夹的弧

肯定相等，但是他们不平行；

（5）二次函数y=2x+3（0<x<0.5）的最小值为应为当尸0.5时的值最小，且最小值为：

2.25,故说法(5)错误；

(6)圆的直径所在的直线是圆的对称轴，故(6)错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆中的垂径定理及其推论、圆周角定理、中心对称图形、函数的性质等

知识，熟练掌握相关定理性质的使用的前提条件是解答本题的关键.

6.A

【分析】本题考查了二次函数图象及性质，圆，熟练掌握二次函数图象及性质是解题关键.

设出点C坐标，求出AC长度的最小值，进而可求出BC长的最小值.

【详解】解：设点C(帆

•.•4(0,3),

/.AC2=(m-0)2+(m2-l-3)2

=m4—7m2+16

・「a=l>0,

有最小值为?，

4

AC最小值为巫，

2

QeA半径为1,

的最小值为巫-1.

2

故选：A.

7.C

【分析】根据题意，OE是4BAP的中位线，当AP最大时，OE取得最大值，即可求解；

【详解】解：如图1,连接AP,

图1

:点O是AB的中点，E是BP的中点，则OE是△BAP的中位线,

当AP最大时，OE取得最大值，

当A、P、C三点共线时，AP最大；

VV--X2-8,

-9

2

-^y=-x2-8=0,解得：x=±6；

令尤=0,贝！Iy=-8；

点A的坐标为：（-6,0）,点C的坐标为：（0,-8）,

AC=762+82=10-

AP=10+26，

，OE的最大值为：OE=；AP=gx（10+26）=5+百，

故选：C；

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及圆的基本知识、勾股定理，三角形的中位线

的性质等，解题的关键是正确找到点P的位置，使得OE得到最大值.

8.A

【分析】先证明四边形ABC。是正方形，将AACP绕点C顺时针旋转90。，得到△G4/WACB尸

进而证得S.mc+S/c2=Swc2,当QP最短时，ACQP的面积最小，进而即可求得阴影部分

的面积最小值.

【详解】解：如图,

由题意，令，=：炉-3=0,解得无1=一3，%=3,

/.A(-3,0),3(3,0),

令x=0,解得y=-3,

.•.C(0,-3),

:点。与点C关于x轴对称，

/.£>(0,3),AD=AC,BD=BC,

：.AO=BO=CO=DO=3,ABLCD,

AC=BC=BD^AD=y]32+32=372>AB=CD,

四边形ACBD是正方形，

ZCAP=ZACB=ZCBD=90°,

将AACP绕点C顺时针旋转90。得到QP,

ACAP^ACBP,

...NPCP=NPCB+NBCP=NPCB+ZACP=90°,ZCAP=NCBP=90°,

ZC8D=90°,

ZCBD+NCBP=900+90°=l80°

户、B、。共线，

.・"APCT°ABCQ_"APCQ，

,.・ZPCQ=45°,

・•・ZPrC2=90°-45°=45°,

作△CQP的外接圆作于W,

设。/=/P=C/=「，

.・.NQ/P=2x45。=90。，ZQIW=|ZQIPf，QPr=2QW，

・・・NQ/W=45。，

：.WI=—QI=显r,QW=—QI=-r,

2222

QP=血r,

■:CI+IW>BC,

••—6^2—6，

QPN12-6收

•••S阴最小=%C2最小=：x(12-6后,30=18行78,

故选：A.

9.(-U)或(3,1)

【分析】当。尸与无轴相切时，则点P的纵坐标为1,则得一元二次方程，解方程即可.

【详解】解：当。P与x轴相切时，则点尸的纵坐标为1,令1炉尤+1=1,

解得%=T,々=3,

此时点P的坐标为：(-U)或(3,1),

故答案为：(TD或(3,1).

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质是解决问题

的关键.

10.(4,0),

【分析】先求出A、B、C、D、H点坐标；求出CD解析式，求出与x轴的交点G坐标，

GH3

利用勾股定理求出DG,求出——=-,过P作PF_LCD于F,连结AP,易证△GDH^APDF

DG5

利用性质有的=芸="设PH长为x,PD=x+=,AH=5,AP=J£+52=PF,

L)CJPD53

VX2+52：、+g[=3:5解方程即可.

【详解】当x=0时，y=-3,C(0,-3),

顶点D(4,-y),

1,75

当y=0时，j(x-4)-y=0

x=-l,x=9f

A(-1,0),B(9,0),

AB中点H(4,0),

设CD的解析式为y=kx+b,

4k+b=-—

3，

b=—3

4

解得3,

b=—3

4

CD：y=——x-3,

3

4

)7=0,-—x-3=0,

9

X~~4f

9

G(——,0),

4

••・HG=4--:备DH年

在中，由勾股定理二2525125

Rt^DHGDG~n

25

GH__3

BG=I25=5，

12

过P作PFJ_CD于F,连结AP,

由圆P与CD相切，

PF为圆P的半径，

ZGHD=ZPFD=90°,

NGDH二NPDF,

AGDH^APDF,

GHPF_3

DG-PB-5?

设PH长为X,PD=x+y,AH=5,

AP=77备=PF,

解得x=0或x==不合题意舍去,

o

P(4,0),

故答案为：(4,0),

【点睛】本题考查抛物线与两轴的交点坐标，顶点坐标，切线CD的解析式，相似三角形的

判定与性质，勾股定理，一元二次方程及其解解法等问题，掌握抛物线与两轴的交点坐标的

方法，会用配方法求顶点坐标，会用待定系数法求切线CD的解析式，会证明相似三角形能

利用相似性质求出线段比，会用勾股定理构造方程，一元二次方程及其解解法是解题关键.

11.4M-5/-5+4加

【分析】根据。4=OC,得到点C在以Q4=5为半径，以。为圆心的圆上，然后利用

BC>OB-OC即可求得BC的最小值

【详解】连接BC,OC,

・・・1—3b=4,

解得：b=-l,

.*•y=—x2,—x,

9

当y=4时，1X2-X=4,

解得：x=12或x=—3,

8(12,4),

:点A关于直线OP的对称点C,

22

/.OA=OC=A/(-3)+4=5,

点C在以Q4=5为半径，以。为圆心的圆上，

,,OB=，12。+4-=4A/10,

'BC>OB-OC=4x/10-5,

的最小值为：4A/10-5,

故答案为：4V10-5

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的特征，待定系数法求二次函数的表达式，二次函数

的性质，圆的性质，熟练掌握动点的轨迹是解决问题的关键

12.VTT

【分析】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、求抛物线与坐标轴的交点，掌握以上知识

点是解答本题的关键.先根据题意求出A、B、C三点的坐标，过点A作于M点，

连接AN,在Rt△⑷VM中，由勾股定理得：MN=yjAM2-AN2>要使"N最小，则AAf最

小，当5c时，最小，求出AV血…进而可得脑\心「

【详解】解：,•・二次函数>=-咚/+2代的图像交x轴于A、B两点，交》轴于C点,

令x=0,得y=26,令y=0,得*=±2,

.-.A（-2,0）,3（2,0）,C（0,2—）,

:.AB=4,

过点A作AM_LBC于M点，连接AN,如下图所示：

•.•射线与以A为圆心，1为半径的。A相切于点N,

:.ZANM=90°,

在RtARVM中，由勾股定理得：MN7AM2-AN?，

1/AN为定值，

要使MN最小，则AM最小，

.,.当8c时，AM最小，则MN最小，

在RSBOC中，由勾股定理得：BC=-^BO-+CO-=J22+（2A/3）2=4,

.•.1x4x2^^1x4xAMmin,

；・MN^=7AM，W=«2国-仔=日,

故答案为：Vn.

13.1■或；

【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由>="2-7办+6。

得出4(1,0),3(6,0),C(0,6a),即可得AB=5,过P作PDLAB于D,连接上4,PB,PC,

再根据圆的性质得PB=24=尸。，再由垂径定理得A£）=JB£）=：A8='1,再由AB的弦心距

i155

为5AB得==进而可得点尸的坐标，由勾股定理得上4=］行，再由尸。2=上］

列等式方程，解方程即可得解.

【详解】解：：,=依2-7依+6。=0(%—l)(x-6)的图象交尤轴于A,8两点，交y轴于点C,

.•.4(1,0),3(6,0),C(0,6a),

：.AB=5,

如图，过户作PD_LAB于。，连接PA,PB,PC,

；OP(尸在第一象限)恰好经过A、B、C三点,

PB=PA=PC,

：.AD=BD=-AB=-,

22

：AB的弦心距为LAB,

2

/.PD=-AB=~,

22

7

OD=OA+AD=-,

2

pg',PA=y/PD2+AD2=|V2,

PB=PA=PC,

pc2=PA1,

解得G=5,%=］，

故答案为：；或；

乙J

14.(1)(—3,0),(1,0),(0,—3a),(―1,-4a)

⑵见解析，B

3

(3)0<Z立

3

【分析】(1)把x=0、y=0分别代入函数解析式可求出A、B、C坐标，再求出抛物线的

对称轴即可求出。的坐标；

(2)根据对称性可得E(-2,-3°),DC=DE,再根据AACE和ADCE相似得AE=CE,即

可得7[-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,解方程即可求解；

(3)设抛物线的对称轴x=-1与x轴的交点为点R，以点P为圆心,2为半径画圆,连接FC,

可知当点C在。尸上或0尸内时，NACBN90。，得FCW2,即得了飞行V2,解不等式

即可求解.

【详解】(1)解：寸巴％=0代入y+2以一3〃得，y=-3a,

C*(0,—3ci)f

把y=0代入y=ax2+2〃x-3。得，ax2+2ax-3a=0,

,：a>0,

%2+2x-3=0,

解得石=一3,%2=1，

A(-3,0),3(1,0),

抛物线的对称轴为直线X=卷也=-1,

把x=T代入y=♦+2办_3a得，y—a—2a—3a--4a,

顶点为D(T—4a),

故答案为：(-3,0)；(1,0)；(0,-3a);(-1,4)；

(2)解：如图1,■.•点C、E关于对称轴x=-L对称，C(0,-3a),点。在对称轴上，

:.E(-2,-3a),DC=DE,

•.•△ACE和ADCE相似,

AE=CE,

7[-3-(-2)]2+[0-(-3a)]2=2,

整理得，3a2=1,

解得a=且或。=-3（不合，舍去）,

33

••Q=----；

3

(3)解:设抛物线的对称轴x=-l与x轴的交点为点歹，以点尸为圆心，2为半径画圆,

连接尸C,如图2,

:.FC<2,

即JF+(3O)2M2,

解得一铝邛,

又•.,口>(),

■.0<a^—.

3

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角

定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键.

15.(l)y=x2-2x-3

(2)相等；见解析

(3)点尸始终在直线y=l

【分析】(1)把A(T,O),3(3,0)两点代入y=/+bx+c,由待定系数法即可求解；

(2)由点3、C的坐标知，ZABC=45°,M的横坐标为则点叫-京J,过点8作V

轴的平行线交CM于点证明A8CH%8G4(SAS),即可求解；

(3)证明AARVS^BN,即蓝=篇，设N(t,O),由题意得用/,「一21-3),可得

r+iNF

NE=-t1+2t+3,得出，二广券,求得NF=1,即可求解.

-r+2t+33-t

【详解】(1)解:把A(T0),3(3,0)两点代入ynS+fev+c得,

[l-b+c=O

\9+3b+c=0"

[b=-2

解得」

y-x21—2x—3；

(2)解：ZACB=ZBCM,理由：

把％=0代入y=炉_2%-3得：丁=-3,

・・・C(0,-3),

V5(3,0),

：.OB=OC,

ZABC=45°,

的横坐标为g,

.・点一R/5i一3旬2、，

过点5作y轴的平行线交CM于点H,

设直线。/的表达式为：y=px+q,由点C、M的坐标得,

q=-3

:532,

9

1

p=一一

解得3,

q=-3

•・.直线的表达式为：y=-jX-3,

当％=3时，y=~4,

即由7=4=AB,

・.・BC=BC,ZABC=45°=ZHBC,

.•.△BCH^ABCA(SAS),

・•・ZACB=ZBCM；

,FB=FB'AE=AE9

NFAB=/FEB,ZF=ZABE,

.•.△AFNSAEBN,

.AN_NF

••丽―丽•

设N(t,O),由题意可得3)

•••£7VJ_x轴，

NE=—t?+2r+3,

因为A(—1,0),3(3,0),

/.AN=Z+1,BN=3—t,

.r+1_NF

T?+2/+33-t

.-.^F-(-r+2r+3)=(r+l)(3-r).

整理得N5=l.

QN在x轴上，且b在无轴上方，

二点产始终在直线>=1上.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似和全等、圆的基本性质等，

综合性强，难度适中.

16.(1)(-1.0),45

(2)E-邑为定值，定值为3

(3)75

【分析】(1)当>=。时，即。=-—+(机-l)x+〃2,解得占=-1,x2=m,可求得点A(T,。)，

点2(见0)；当尤=0时，求得点C(0,机)，得到08=0。=/〃，故/ABC=NOCB=45°；

(2)根据点。为VABC的外心，ZABC=45。，由圆周角定理和外接圆的性质,得ZADC=90°,

AD=CD=BD,过点。作y轴的平行线交过点C和无轴的平行线于点交了轴于点N,

设点£>(x,y),则CM=x,DN^y,AN=x+l,DM=m-y,证明AAAZ)得至Ij

AN=DM,CM=DN,求得x=y=,即可求得工-邑=；为定值；

(3)由于在第一象限内的抛物线上存在一点E,以3、。、C、E为顶点的四边形只能是

四边形配)CE,若四边形BDCE是平行四边形，则四边形3DCE即是菱形，设点

++若。E,BC为四边形BDCE对角线互相平分，则四边形8DCE为平行

四边形，又BD=CD,则四边形8DCE为菱形，再由中点坐标公式列方程即可求解.

【详解】(1)当，=。时，BP0=-x*2+(m-l)x+m,

-x2+(m-I)x+m==0,

解得网=-1,x2=m,

.•.点A(T,O),点B(九0),

OB-m

当尤=0时，y=m,

.•.点C(0,m),

OB=OC=m,

・•.ZABC=ZOCB=45°,

(2)S1-S2=；为定值，理由如下：

•.,点。为VABC的外心，/ABC=45。，

则ZADC=90°,AD=CD=BD,

过点。作y轴的平行线交过点C和无轴的平行线于点交无轴于点N,

设点。1y),

则CM=x,DN=y,AN=x-^-l,DM=m-y,

・・,Z.CDM+AADN=9G09ZADN-vZDAN=9Q°f

ZCDM=ZDAN,

•••ZAND=ZDMC=90°,DA=DC,

△AND"QMC,

AN=DM,CM=DN

%=,，X+1=ATI—y,

解得：x=y=J("7_l)

则△ABD的面积S2=g=：x(〃?+l)x；O-l)=[a"?-1),

△ACD为等腰直角三角形,

AD=DC=—AC,

2

则AACD的面积S[=；AO.OC=；(#AC)2=；AC2=1(m2+l),

22

St—S2=—(m+1—m+1)=5为定值；

(3)：在第一象限内的抛物线上存在一点E,

以3、。、C、E为顶点的四边形只能是四边形3DCE,

又BD=CD,

若四边形BDCE是平行四边形，则四边形BDCE即是菱形，如图所示,

m—1m—1

由前面可知，点。(下一,三一)，点80，。)，点。(0,加)，设点E。,-产+(〃2-1»+"2),

若。为四边形3DCE对角线互相平分，则四边形BDCE为平行四边形，又BD=CD,

则四边形即CE为菱形，由中点坐标公式得:

m-1

m=--------\-t

2

m-1r2/八I

m=―-——\-[-t+(m-l)t+m]

解得：加=6或-石(不合题意舍去);

综上，m=\/5.

【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、平

行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌

握相关性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键.

17.⑴尸/r_2

3

(2)。尸=5

⑶加(1,-2)或M

【分析】(1)根据与X轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式广公+1)。-2),

然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；

(2)设=然后表示出PC、上4的长度，在RtaPOC中，利用勾股定理列式，然后

解方程即可；

(3)根据相似三角形对应角相等可得NMCH=NC4O,然后分两种情况讨论：①点H在点

C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM〃x轴，从而得到点闻的纵坐标与点C的

纵坐标相同，是-2,代入抛物线解析式计算即可；②点H在点C上方时，根据(2)的结论，

点M为直线尸C与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解

即可得到点M的坐标.

【详解】(1)解:设该二次函数的解析式为：y=a(x+l)(x-2),

将x=0,y=_2代入，得一2=。(0+1)(0_2),

解得a=l,

抛物线的解析式为y=(尤+i)(x-2),

BPj=x2-x-2；

(2)解：设。P=x,则PC=PA=x+l,如图2,

图1

在RtZXPOC中，由勾股定理得：

X2+22=(x+1)2,

3

解得x=；,

3

即；

(3)解：点M在二次函数图象上，以Af为圆心的圆与直线AC相切，切点为若加在y

轴右侧，且ZHCW=NO4C,分两种情况讨论：

①如图2,当H在点C下方时，

vZOAC+ZOCA=90°,ZMCHZOAC,

ZOCM=90°=ZAOC,

.•.CM〃x轴,

%=-2

%2—x—2=—2,

解得玉=0（舍去），x2=l9

图3

:.PA=PC,由（2）得,M为直线CP与抛物线的另一交点,

设直线CM的解析式为y=kx—2,

把di，。）的坐标代入，得:

3

—左一2=0,

2

4

解得Z=§,

4c

y=-x-2,

3

由一九一2=%2—x—2,

3

7

解得％=0(舍去)，％2=§，

.47„10

止rI匕n时J=-x--2=y,

・J•7,*1向0、，

综上，点M的坐标为“(1，-2)或M

【点睛】本题属于二次函数综合题,主要利用了待定系数法求二次函数解析式，切线的性质，

勾股定理，两函数图象交点的求解方法，解答本题的关键