2025年中考数学一轮复习学案：2.4 一元一次不等式（组）（学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第二章方程与不等式

2.4一元一次不等式（组）

考点分布考查频率命题趋势

考点1.不等式的性质☆☆

数学中考中，有关一元一次不等式(组)的部分，食欲中

考点2.一元一次不等式考必考内容。每年考查1道题,分值为3~6分，通常

☆☆☆

(组)的解法及解集表示以选择题、填空题、解答题的形式考查。在解答综

合题里，考查其他知识时还渗透不等式（组）知识点

考点3.一元一次不等式

☆☆☆的考查。是高中阶段学习数学的重要基础。所以学生

的应用

复习时，要系统熟练学习不等式（组）的解法和应用。

☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.不等式的性质

性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个____(或式子)，不等号的方向不变。

ab

性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞。不等式两边乘(或除以)同一个____，不等号的方向不变。

cc

ab

性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜。不等式两边乘(或除以)同一个____，不等号的方向改变。

cc

【易错点提示】利用性质3时，需要特别注意不等式的不等号方向的改变。不注意会导致解题错误。

考点2.一元一次不等式(组)的解法及解集表示

1.不等式的定义：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能

使不等式成立的未知数的____，叫做不等式的解．

2.一元一次不等式的定义：含有_____个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．

【区别与联系】一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也

有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．

另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两

者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．

3.一元一次不等式解法

根据不等式的性质解一元一次不等式。基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：

①去______；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变

不等号方向．

【注意】符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合

写形式．

4.一元一次不等式组及解集：一般地，关于同一未知数的两个一元一次不等式合在一起，组成一元一

次不等式组．两个一元一次不等式的解集的_____部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

【注意】不等式组可能也有三个或者多个含同一个未知数的一元一次不等式组成的。初中阶段只研究

含同一个未知数的两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组。

5.一元一次不等式组的解法

解一元一次不等式组时，一般先分别求出其中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利

用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

【注意】求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间

找；大大小小找不到。

6.几种常见的不等式组的解集

不等式组

（其中数轴表示解集口诀

ab）

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小、小大

axb

xb中间找

xa大大、小小

无解

xb取不了

考点3.一元一次不等式的应用

1.不等式(组)与实际问题解题抓住技巧

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际

问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不

等关系．因此，建立不等式要善于从“______”中挖掘其内涵．

2.不等式(组)与实际问题

解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：

第1步：______。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：_______。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：________。根据题中各个量的关系列不等式(组)。

第4步：_______，找出满足题意的解(集)。

第5步：______。

【易错点提示】

1.利用数轴确定不等式组的解（整数解）：解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解

集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式

组的整数解．

2.已知解集（整数解）求字母的取值：一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不

等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即

可得到答案．

考点1.不等式的性质

【例题1】（2024广州）若ab，则（）

A.a3b3B.a2b2C.abD.2a2b

【对点变式练1】（2024广东一模）根据不等式的性质，下列变形正确的是()

A．由a>b得ac2>bc2

B．由ac2>bc2得a>b

1

C．由－a>2得a<2

2

D．由2x＋1＞x得x＜－1

【对点变式练2】（2024深圳一模）用“>”或“<”填空：

（1）已知a>b，则a+3b+3

（2）已知a<b，则a-5b-5

考点2.一元一次不等式(组)的解法及解集表示

2x2x3

【例题2】（2024甘肃威武）解不等式组：x1

2x

2

【对点变式练1】（2024沈阳一模）解不等式：4x-1<5x+15

【对点变式练2】（2024贵州黔东南一模）不等式组的解集是．

【对点变式练3】（2024福州一模）不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

【对点变式练4】（2024湖南怀化一模）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）

A．B．

C．D．

考点3.一元一次不等式的应用

【例题3】（2024吉林）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两

种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不

同的购买方式有（）

A．2种B．3种C．4种D．5种

【对点变式练1】（2024黑龙江黑河一模）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩

形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．

（1）当a＝20时，求b的值；

（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．

考点1.不等式的性质

1.（2024吉林长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示

台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）

A.若ab，则acbcB.若ab，bc，则ac

ab

C.若ab，c0，则acbcD.若ab，c0，则

cc

2.（2024江苏苏州）若ab1，则下列结论一定正确的是（）

A.a1bB.a1bC.abD.a1b

3.（2024上海市）如果xy，那么下列正确的是（）

A.x5y5B.x5y5C.5x5yD.5x5y

4.（2024安徽省）已知实数a，b满足ab10，0ab11，则下列判断正确的是（）

11

A.a0B.b1

22

C.22a4b1D.14a2b0

考点2.一元一次不等式(组)的解法及解集表示

1.（2024湖北省）不等式x12的解集在数轴上表示为（）

A.B.

C.D.

2.（2024福建省）不等式3x21的解集是______．

3.（2024广西）不等式7x55x1的解集为______．

4.（2024广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______．

x

5.（2024山东烟台）关于x的不等式m1x有正数解，m的值可以是______（写出一个即可）．

2

x20

6.（2024吉林省）不等式组的解集为______．

x30

x21

7.（2024山东枣庄）写出满足不等式组的一个整数解________．

2x15

8.（2024贵州省）不等式x1的解集在数轴上的表示，正确的是（）

A.B.C.

D.

x1

9.（2024江苏连云港）解不等式x1，并把解集在数轴上表示出来．

2

3x22x①

10.（2024内蒙古赤峰）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上

2x1x1②

表示正确的是（）

A.B.

C.D.

42x0

11.（2024黑龙江龙东）关于x的不等式组1恰有3个整数解，则a的取值范围是________．

xa0

2

2x1x2,

12.（2024甘肃临夏）解不等式组：1．

2x1x4

2

x31①

13.（2024武汉市）求不等式组的整数解．

2x1x②

2x60

14.（2024江苏扬州）解不等式组4x1，并求出它的所有整数解的和．

x

2

2x13①

15.（2024天津市）解不等式组

3x1x7②

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得______；

（2）解不等式②，得______；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为______．

考点3.一元一次不等式的应用

1.（2024江苏常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸

行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时

32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、

绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，

小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），

则车速v（km/h）的取值范围是________．

2.（2024山东枣庄）根据以下对话，

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2024辽宁）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的排水速

度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

（1）求甲池的排水速度．

（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？

4.（2024江西省）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数

学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．

（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；

（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？

5.（2024贵州省）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经

学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需

要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

6.（2024河南省）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义

务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．

（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？

（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每

份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？

考点1.不等式的性质

1.下列不等式中，是一元一次不等式的是()

1

A．5x－2＞0B．－3＜2＋

x

C．6x－3y≤－2D．y2＋1＞2

2．若a＞b，则下列等式一定成立的是（）

A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|

3.如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________.

4.用三个不等式a＞b，ab＞0，1＜1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一

ab

个命题，组成真命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

考点2.一元一次不等式(组)的解法及解集表示

5x23(x1)

1.不等式组13的非负整数解有（）

x17x

22

A．4个B．5个C．6个D．7个

2.下列数值不是不等式组的整数解的是（）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

3.不等式组的所有非负整数解的和是（）

A．10B．7C．6D．0

4．对于不等式组,下列说法正确的是（）

A．此不等式组无解

B．此不等式组有7个整数解

C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1

D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2

5．不等式组的解集为．

6．若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（）

A．﹣7＜a＜﹣4B．﹣7≤a≤﹣4C．﹣7≤a＜﹣4D．﹣7＜a≤﹣4

7.x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（）

A．﹣2＜m≤﹣1