2025年中考数学一轮复习学案：2.2 分式方程（学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第二章方程与不等式

2.2分式方程

考点分布考查频率命题趋势

考点1分式方程的解法☆☆数学中考中，有关分式方程的部分，每年考查1道题,

分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的形

式考查。但三种形式只会出现一种。解答题基本以三

种形式考查：一是给出分式方程，让学生解这个方程；

考点2分式方程的应用☆☆

二是列方程求解；三是结合不等式、函数知识综合考

查。这类问题要注意解分式方程需要验根，同时注意

得出结果和实际问题相符合。

☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.分式方程的解法

1.分式方程定义：_____里含有未知数的方程叫做分式方程．

分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．

2．解分式方程的一般方法：

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为_____方程，解这个整式方程，然后_____，从而确定分式方程的解．

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①______：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；

②解_____方程：去括号、移项、合并同类项等；

③_____：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式

方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

3．分式方程的特殊解法——换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般

的去分母不易解决时，可考虑用换元法．

4．增根：使分式方程的最简公分母为的根．

（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件

限制了．

（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方

程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．

考点2.分式方程的应用

1.工程问题等量关系：工作量=工作时间×______。灵活掌握它的两个变式。

2.解决工程问题的基本思路

（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；

（2）通常间接设元，如××单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率；

（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.

（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，

工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中

的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.

（5）各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．

3.行程问题等量关系：路程=速度×_______.灵活掌握它的两个变式。

4.解决问题注意事项：

（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；

（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；

（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.

5.利润问题等量关系：批发成本=批发数量×______；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=

定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打

折销售价一批发价，利润率=利润÷进价。

6.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；

溶质

7.浓度问题的基本关系是：=_______．

溶液

.

8.顺水逆水问题：v顺＝v静＋v水流，v逆＝v静－v水流

注意：列分式方程解应用题的一般步骤

(1)审清题意，并设未知数；

(2)找相等关系；

(3)列出方程；

(4)解这个分式方程；

(5)验根（包括两方面:是否是分式方程的根；是否符合题意）；

（6）写答案.

【易错点提示】

解分式方程过程中，易错点主要体现在：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不

要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解

才是原方程的解．具体情况表现在一下几点：

1.忘记验根。

2.检验方法不正确。

3.忽视分子为零。

4.考虑问题不全面。

5.没有真正理解分式方程有“增根”的含义。

6.去分母时漏乘不含分母的项。

7.解分式方程错符号。

考点1.分式方程的解法

3x

【例题1】（2024福建省）解方程：1．

x2x2

xx1

【对点变式练1】（2024哈尔滨一模）分式方程的解是（）

x3x1

A.x3B.x3C.x2D.x0

x3

【对点变式练2】（2024苏州一模）方程的解是_______．

x12x2

x4

【对点变式练3】（2024山东威海一模）解方程：1

x1x21

2x1x22x1

【对点变式练4】（2024上海一模）在分式方程5中，设y，可得到关于

x22x1x2

y的整式方程为（）

A.y25y50B.y25y50

C.y25y10D.y25y10

1m

【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m的

xx1

取值范围是（）

A.m1且m0B.m1C.m1D.m1且m1

m3

【对点变式练1】（2024湖北武汉一模）已知关于x的分式方程2的解为非负数，

x11x

则正整数m的所有个数

为（）

A．3B．4C．5D．6

xmx1

【对点变式练2】（2024黑龙江龙东一模）关于x的方程1的解为非负数，则m的取

x22x

值范围是____________．

考点2.分式方程的应用

【例题3】（2024甘肃临夏）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销

售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？

设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）

240240240240

A.10B.10

xx2xx2

240240240240

C.10D.10

x2xx2x

【对点变式练1】（2024新疆一模）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼

品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订

单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价

比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设

购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）

12000110001200011000

A.40B.40

xx5xx5

12000110001100012000

C.40D.40

x5xxx5

【对点变式练2】（2024云南一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72

千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到

达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．

【对点变式练3】（2024山西一模）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两

种食品．

（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为

15元、20元，求购买两种食品各多少份？

（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱

面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的

价格少6元，求购买牛肉面多少份？

考点1.分式方程的解法

12

1.（2024四川泸州）分式方程3的解是（）

x22x

75

A.xB.x=1C.xD.x3

33

2m

2.（2024四川遂宁）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（）

x1x1

A.m3B.m3且m2

C.m3D.m3且m2

xx1

3.（2024武汉市）分式方程的解是______．

x3x1

2

4.（2024湖南省）分式方程=1的解是_______．

x1

13

5.（2024四川成都市）分式方程的解是____．

x2x

3kx1

6.（2024四川达州）若关于x的方程1无解，则k的值为______．

x2x2

4x1

x1

7.（2024重庆市A）若关于x的不等式组3至少有2个整数解，且关于y的分式方

2x1xa

a13

程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______．

y11y

2x1

3

8.（2024重庆市B）若关于x的一元一次不等式组3的解集为x4，且关于y的分

4x23xa

a8y

式方程1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是________．

y2y2

13

9.（2024广州）解方程：．

2x5x

2x

10.（2024陕西省）解方程：1．

x21x1

考点2.分式方程的应用

1.（2024黑龙江绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所

用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

2.（2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工

30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求

乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）

120120120120

A.30B.30

1.2xxx1.2x

1201203012012030

C.D.

1.2xx60x1.2x60

3.（2024山东枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生

产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件

数为（）

A.200B.300C.400D.500

4.（2024云南省）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300

千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型

车的平均速度．

5.（2024江苏扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型

机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数

相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？

6.（2024山东威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进

一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能

灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．

7.（2024内蒙古赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每

天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单

独修复90千米公路所需要的时间相等．

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那

么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？

8.（2024广西）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓

度达到洗衣目标．

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．

0.5d前

浓度关系式：d后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单

0.5w

次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．

考点1.分式方程的解法

1．把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（）

A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1

C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2

32

2.方程的解是：x__________．

x2x1

13

3.解方程：1．

x12x2

xx3

4.小丁和小迪分别解方程1过程如下：

x22x

小丁：小迪：

解：去分母，得x(x3)x2解：去分母，得x(x3)1

去括号，得xx3x2去括号得xx31

合并同类项，得3x2合并同类项得2x31

解得x5解得x2

∴原方程的解是x5经检验，x2是方程的增根，原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出

你的解答过程．

5．解分式方程：

小明同学是这样解答的：

解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．

去括号，得：x+4＝3x﹣6．

移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．

两边同时除以﹣2，得：x＝5．

经检验，x＝5是原方程的解．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

6．观察下列算式：

＝＝，＝＝，＝＝﹣，……

（1）由此可推断：＝；

（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律；

（3）仿照以上方法解方程：+＝．

3xm3

7．若关于x的分式方程1有增根，则m______．

x2x2

x3a

8．若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．

x33x

x3m

9.若关于x的方程2解为正数，则m的取值范围是（）

x12x2

24242

A.mB.mC.m且m0D.m且m

33333

2x13x2

10．若关于x的一元一次不等式组xa的解集为x≥5，且关于y的分式方程

1

2

ya

1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

y22y

A．-1B．-2C．-3D．0

11．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：

尖尖：