2025年中考数学一轮复习学案：2.1 一次方程（组）（学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第二章方程与不等式

2.1一次方程（组）

考点分布考查频率命题趋势

考点1一元一次方程的解数学中考中，有关一次方程（组）的部分，每年考查

☆☆

法及解的应用1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答

题的形式考察。若以解答题出现，考法基本上是两种

考点2二元一次方程(组)

☆☆

类型：一是根据题意列出一次方程（组），解方程求

及其解法

解，给出结论；二是根据题意列出一次方程，结合不

考点3二元一次方程(组)

☆☆☆等式，函数来确定作答思路。考查列方程解应用题是

的实际应用

每年全国各省市必考内容，需要学生深入系统掌握列

考点4列一次方程(组)解各种应用题类型的等量关系，考查知识比较综合。

☆☆☆

应用题的常用分析

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.一元一次方程的解法及解的应用

1.等式的基本性质

性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个____或同一个_____，所得结果仍是等式。

性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个_____（除数不能是零），所得结果仍是等式。

要点诠释：（1）分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

（2）理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况:

①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

2.解一元一次方程的一般步骤

（1）______。在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分

母中含有小数时，先将小数化成整数。

（2）______。括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。

（3）_____。把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

（4）_______。把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。

（5）系数化为1，得出一元一次方程的解。

3.一元一次方程解的应用

（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的______叫做方程的解。

（2）根据一元一次方程的解可以求代数式的值；根据一元一次方程的解可以求字母的值；根据一元

一次方程的解可以解决其他问题。

【易错点提示】

在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使

方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x

时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异

号x为负．

考点2.二元一次方程(组)及其解法

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的_______叫做二元一次。方程一般

形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。

3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的____叫做二元一次方程的

解。

4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的______叫做二元一次方程组的解。

a1xb1yc1

一般形式为

a2xb2yc2

【温馨提醒】二元一次方程组满足三个条件：

①方程组中的两个方程都是整式方程．

②方程组中共含有两个未知数．

③每个方程都是一次方程．

5．二元一次方程组的解法：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。消元，即

将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（1）_____消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，

进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

（2）_____消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相

减，

就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

考点3.二元一次方程(组)的实际应用

1.方程(组)的实际问题

利润

（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×

成本

数量．

（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利

息=贷款额×利率×期数．

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．

（4）行程问题：路程=速度×时间．

（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．

（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．

（10）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率

（11）数字问题：多位数的表示方法：例如：abcda103b102c10d.

（12）其他问题：探索寻找等量关系，构造方程。

2.解有关方程(组)的实际问题的一般步骤

第1步：_____。认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：______。根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：______。根据题中各个量的关系列出方程(组)。

第4步：______。根据方程(组)的类型采用相应的解法。

第5步：_______。检验所求解是否符合实际意义，并作答。

考点4.列一次方程(组)解应用题的常用分析

1.由实际问题列方程组：是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量

联系起来，找出题目中的____关系．

2.所列方程必须满足条件：

①方程两边表示的是___类量；

②同类量的____要统一；

③方程的等号两边的数值要_____．

3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．

②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等

量关系．

③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．

④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．

【易错点提示】

在列方程（组）实际问题时，设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要

求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方

程．

考点1.一元一次方程的解法及解的应用

【例题1】（2023贵州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：

解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①

去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②

移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③

合并同类项，得x＝﹣4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【对点变式练1】（2024广州一模）运用等式性质进行的变形，正确的是（）

A．如果a=b，则a+c=b﹣cB．如果a2=3a，那么a=3

C．如果a=b，则=D．如果=，则a=b

【对点变式练2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（）

A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7

【对点变式练3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（）

A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5

【例题2】（2024福建省）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第

一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品

零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（）

A.14.7%x120327B.14.7%x120327

xx

C.120327D.120327

14.7%14.7%

【对点变式练1】（2024枣庄一模）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：

“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：

快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x

天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）

A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12

C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12

【对点变式练2】（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共

用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔

记本的单价．

考点2.二元一次方程(组)解法及解的应用

x2y3

【例题3】（2024广西）解方程组：

x2y1

【对点变式练1】（2024四川乐山一模）解二元一次方程组：．

【对点变式练2】（2024河南一模）方程组的解为．

考点3.二元一次方程(组)的实际应用

【例题4】（2024深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间

客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，

房客y人，则可列方程组为（）

7x7y7x7y

A.B.

9x1y9x1y

7x7y7x7y

C.D.

9x1y9x1y

【对点变式练1】（2024甘孜州一模）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3

斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶

分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（）

A．B．

C．D．

【对点变式练2】（2024张家界一模）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计

划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其

余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车

载客量（人/辆）4560

租金（元/辆）200300

（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？

【对点变式练3】（2024齐齐哈尔一模）列方程（组）或不等式（组）解应用题：

学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．

（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；

（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问

最多能购买多少支羽毛球拍？

考点4.列一次方程(组)解应用题的常用分析

【例题5】（2024江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，

让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活

动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：

邮购数

1~99100以上（含100）

量

邮寄费总价的

免费邮寄

用10%

折扇价

不优惠打九折

格

若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？

【对点变式练1】（2024安徽一模）（数字问题）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大

9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

【对点变式练2】（2024青海一模）（速度问题）在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，

A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪

团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的

命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中

一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪

团伙的车的速度各是多少？

考点1.一元一次方程的解法及解的应用

1.（2024贵州省）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”

“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关

系式正确的是（）

A.xyB.x2yC.x4yD.x5y

2.（2024贵州省）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240

里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．

3.（2024广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月

交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（）

A.1.2x110035060B.1.2x110035060

C.1.2(x1100)35060D.x1100350601.2

4.（2024广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现

有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有

多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（）

xxxxxx

A.1B.100

345345

C.3x4x5x1D.3x4x5x100

考点2.二元一次方程(组)及其解法

2xy7

1.（2024江苏苏州）解方程组：．

2x3y3

2.（2024眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（）

A．0B．1C．2D．3

考点3.二元一次方程(组)的实际应用

1.（2024黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的

学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖

品，则购买方案有（）

A.5种B.4种C.3种D.2种

2.（2024湖北省）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只

共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（）

5x2y102x5y10

A.B.

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C.D.

2x5y82x2y8

3.（2024内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制

成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B

型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（）

3x2y403x5y403x5y583x4y58

A.B.C.D.

4x5y584x2y584x2y405x2y40

4.（2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出

半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出1钱，

2

1

会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方

3

程组为（）

1111

yx4yx4yx4yx4

2222

A.B.C.D.

1111

yx3yx3yx3yx3

3333

5.（2024江苏盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现

有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿

子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．

考点4.列一次方程(组)解应用题的常用分析

1.（2024安徽省）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一

些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：

农作物品每公顷所需人

每公顷所需投入资金（万元）

种数

A48

B39

已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种

农作物的种植面积各多少公顷？

2.（2024湖南省）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2

棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．

（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；

（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐

橙树苗多少棵？

考点1.一元一次方程的解法及解的应用

3x

1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；

x3

⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是（）

A.±1B.1C.－1D.0或1

3.关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为．

11

4.解一元一次方程(x1)1x时，去分母正确的是（）

23

A．3(x+1)=1-2xB．2(x+1)=1-3xC．2(x+1)=6-3xD．3(x+1)=6-2x

5.解方程：+＝4．

6．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地需4分钟，乙骑自行车从B

地到A地需6分钟．现乙从B地先发出1分钟后，甲才从A地出发，问多久后甲、乙相遇？设乙出发

x分钟时，甲、乙相遇，则可列方程为（）

A．B．C．D．

7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人

出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为．

8．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、

右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与

地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱

后的宽的4倍，求边的宽和天头长．

考点2.二元一次方程(组)及其解法

1.已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为．

2．解方程组．

3．已知关于x，y的二元一次方程组，