2025年中考数学一轮复习学案：3.5 二次函数的应用 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第三章函数

3.5二次函数的应用

考点分布考查频率命题趋势

考点1抛物线与线段长、数学中考中，有关二次函数实际应用的部分，每年若

☆☆

面积、角度考查会出现1道题,分值为3~10分，通常以选择题、

填空题、解答题的形式考查。对于这部分知识的复习

考点2二次函数的实际应

☆☆

需要学生熟练平时多训练，掌握解题技巧，会根据实

用

际问题建立二次函数模型，求出函数解析式，会求解

考点3二次函数图象中的

二次函数极值，注意自变量取值范围，应用二次函数

☆☆

斜三角形面积问题

知识解答。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.抛物线与线段长、面积、角度

此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分

析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动

过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．

1.线段问题

（1）确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未

知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长

度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化

为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）.

（2）线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程

，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）

（3）线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对

称性质”，并进行解决。

2.面积问题

（1）设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；

（2）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；

（3）用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；

（4）特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分

析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.

求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.

（5）面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点

坐标.

3.角问题

将二次函数图像上的三角形三顶点坐标求出，可以求出三边长度，作高，利用三角函数的定义求出角

的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。

考点2.二次函数的实际应用

在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读

懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建

立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．主要考

查的类型有：

1.几何图形的最大面积问题

（1）求出函数解析式和自变量的取值范围；

（2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,

（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

【提示】求几何图形最大最小面积时需要考虑两个方面

一个关键：依据常见几何图形的面积公式，建立函数关系式；

一个注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。

2.商品利润最大问题

求解最大利润问题的一般步骤

（1）建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润

×销售量”

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；

（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

3.拱桥问题和运动中的抛物线问题

【重要提醒】求二次函数的最大（或最小）值思路

当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的最值可以根据以下步骤

来确定：

1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.

2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.

3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最

大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.

考点3.二次函数图象中的斜三角形面积问题

分别表示出三角形三个顶点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.

通过作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系求解三角形高，利用三角形面积公式求出其面积.

【易错点提示】二次函数存在点的问题

1.解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出

该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他

条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则

该点不存在．

2.函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次

函数综合题．

（1）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的

函数表达式，进而确定函数图象；

（2）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合

直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关

的条件进行计算．

考点1抛物线与线段长、面积、角度

1

yx3xa

【例题1】（2024甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线4与x轴交于A，

B4,0两点，点C在y轴上，且OCOB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不

与点A，B，C重合）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DEx轴，且AE1时，求DP的长；

（3）连接BD．

①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；

②如图3，连接CE，当CDAE时，求BDCE的最小值．

12117420

【答案】（1）yxx3（2）（3）①G,；②97

44639

【解析】【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；

1

（2）根据抛物线yx3x4可求出点A的坐标，点C的坐标，根据AE1，利用三角函

4

数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入

抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；

（3）①连接DG交AB于点M，设OMaa0，则AMOAOM3a，求出

44

MGMDAMtanCAO3a，得出点Ga,a3，将其代入抛物线关系式，列

33

出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；

②在AB下方作EAQDCB且AQBC，连接EQ，CQ，证明△AEQ△CDB，得出

EQBD，说明当C，E，Q三点共线时，BDCEEQCE最小，最小为CQ，过C作CHAQ，

垂足为H，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理

求出CQ的长度即可得出结果．

1

【详解】（1）∵B4,0在抛物线yx3xa上，

4

1

∴434a0，解得a4，

4

111

∴yx3x4，即yx2x3；

444

1

（2）在yx3x4中，令y0，得x3，x4，

412

∴A3,0，OA3，

∵OCOB4，

∴C0,4，

∵AE1，

OC44

∴DEAEtanCAOAE1，

OA33

OEOAAE312，

∴E2,0，

∵DEx轴，

∴xPxDxE2，

13

∴y2324，

P42

3

∴PE，

2

4317

∴DPDEPE．

326

（3）①连接DG交AB于点M，如图1所示：

∵△BCD与BFG关于x轴对称，

∴DGAB，DMGM，

设OMaa0，则AMOAOM3a，

4

MGMDAMtanCAO3a，

3

4

∴Ga,a3，

3

41

∵点Ga,a3在抛物线yx3x4上，

34

14

∴a3a4a3，

43

4

解得a3（舍去），a，

123

420

∴G,；

39

②在AB下方作EAQDCB且AQBC，连接EQ，CQ，如图2所示：

∵AECD，

∴△AEQ△CDBSAS，

∴EQBD，

∴当C，E，Q三点共线时，BDCEEQCE最小，最小为CQ，

过C作CHAQ，垂足为H，

∵OC^OB，OCOB4，

∴CBA45，BC42，

∵CAH180CABEAQ180CABDCBCBA45，

252

ACOA2OC232425，AHCHAC，

22

52132

HQAHAQAHBC42，

22

∴CQCH2HQ2

22

52132

22

97，

即BDCE的最小值为97．

【变式练1】（2024山东泰安一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:ya(x2)(a0)与x轴交

于点A，与抛物线E:yax2交于B，C两点（B在C的左边）．

（1）求A点的坐标；

（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B点，当以点A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，

求实数a的值；

（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如2,1，2,0等均为

格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26

个，求a的取值范围．

151320

【答案】（1）2，0（2）a1或a；（3）a或a7．

523

【解析】【分析】（1）对于直线l:yax2，令y0，求出x，即可求解；

（2）表示出点A，B，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；

（3）直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x1上，各

为13个，分别求出a的范围．

【小问1详解】

解：对于直线l:yax2，

当y0时，x2，

∴A点的坐标为2,0；

【小问2详解】

解：联立直线l:ya(x2)与抛物线E:yax2得：

ya(x2)

，

2

yax

x2x20，

x1或x2，

B(1，a)，C(2，4a)，

B点关于x轴的对称点为B点，

B(1，a)，

AB2(21)2(0a)2a21，

AC2(22)2(4a0)216a216，

BC2(21)2(4aa)225a29，

若CAB90，则AB2AC2BC2，即a2116a21625a29，所以a1，

15

若ABC90，则AB2BC2AC2，即a2125a2916a216，所以a，

5

若ACB90，则AC2BC2AB2，即16a21625a29a21，此方程无解．

15

a1或a；

5

【小问3详解】

解：如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x1上，

D(0，2a)，E(1，a)，F(1，3a)，

ODEF2a，

格点数恰好是26个，

落在y轴和直线x1上的格点数应各为13个，

13

落在y轴的格点应满足132a14，即a7，

2

1313

①若a7，即y7，

22E

所以线段EF上的格点应该为(1,7)，(1，8)(1，19)，

193a20

1920

a

33

1320

a

23

②若a7，yE7，yF21，所以线段EF上的格点正好13个，

1320

综上，a或a7．

23

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，

勾股定理，关键是弄清格点只能落在y轴和直线x1上，各为13个，并对点D、F进行定位．

29

【变式练2】（2024湖北一模）已知抛物线yaxxc与x轴交于点A(1,0)和点B两点，与y

4

轴交于点C0,3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PDx轴，垂足为D，连接PC．

①如图1，若点P在第三象限，且CPD45，求点P的坐标；

②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，求四边形PECE的

周长．

3295148535

【答案】（1）yxx3（2）①P,；②或

443333

【解析】

【分析】（1）把点A(1,0)，C0,3代入，即可求解；

（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点

32939

Pm,mm3，则OD=-m，PDm2m3，再由四边形OCQD为矩形，可得

4444

39

QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到PQm2m，即可求解；②过点E作EM∥x轴于点

44

33

M，先求出直线BC的解析式为yx3，证得四边形PECE为菱形，可得CEPEt23t，

44

3293

然后根据△CEM∽△CBO，设点Pt,tt3，则点Et,t3，然后分三种情况讨论，

444

即可求解．

解：（1）把点A(1,0)，C0,3代入得：

93

ac0a

4，解得：4，

c3c3

39

∴抛物线解析式为yx2x3；

44

（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，

∵点C（0，-3），∴OC=3，

∵CPD45，

∴△CPQ为等腰直角三角形，∴CQ=PQ，

32939

设点Pm,mm3，则OD=-m，PDm2m3，

4444

∵PDx轴，

∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，

∴四边形OCQD为矩形，

∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，

3939

∴PQDPDQm2m33m2m，

4444

39

∴mm2m，

44

5

解得：m或0（舍去），

3

514

∴点P,；

33

②如图，过点E作EM∥x轴于点M，

39

令y=0，x2x30，

44

解得：x14,x21（舍去），

∴点B（-4，0），

∴OB=4，

∴BCOB2OC25，

设直线BC的解析式为ykxnk0，

把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：

3

4kn0k

，解得：4，

n3

n3

3

∴直线BC的解析式为yx3，

4

∵点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，

∴CECE，PEPE，PCEPCE，

∵DP⊥x轴，

∴PD∥CE′，

∴CPEPCE，

∴CPEPCE，

∴CE=PE，

∴PEPECECE，

∴四边形PECE为菱形，

∵EM∥x轴，

∴△CEM∽△CBO，

EMCE

∴，

OBBC

3293

设点Pt,tt3，则点Et,t3，

444

当点P在y轴左侧时，EM=-t，

332932

当-4＜t＜0时，PEt3tt3t3t，

4444

3

∴CEPEt23t，

4

3

t23t

∴t，

4

45

7

解得：t或0（舍去），

3

335

∴PEt23t，

412

3535

∴四边形PECE的周长为4PE4；

123

当点P在y轴右侧时，EM=-t，

329332

当t≤-4时，PEtt3t3t3t，

4444

3

t23t17

∴t4，解得：t或0（舍去），

3

45

385

此时PEt23t，

412

8585

∴四边形PECE的周长为4PE4；

123

329332

当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，PEtt3t3t3t，

4444

3

t23t7

∴t4，解得：t或0，

3

45

不符合题意，舍去；

8535

综上所述，四边形PECE的周长为或．

33

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和

菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的

长和解一元二次方程是解题的关键．

考点2二次函数的实际应用

【例题2】（2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，

如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足

函数关系y0.02x20.3x1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避

雨，货车截面看作长CD4m，高DE1.8m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填

“能”或“不能”）．

【答案】能

【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x2时，y的值，若此时y的值大于

1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．

【详解】解：∵CD4m，B6，2.68，

∴642，

在y0.02x20.3x1.6中，当x2时，y0.02220.321.62.12，

∵2.121.8，

∴可判定货车能完全停到车棚内．

【变式练1】（2024广州一模）如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动

路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A）离球网的

水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B）越过球

网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C）距球网的水平距离为

2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）．

14851485

A．yx2xB．yx2x

7515275152

14851485

C．yx2xD．yx2x

7515275152

【答案】A

【解析】根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式

即可．

5

0.262.242.5（米）

2

155

根据题意和所建立的坐标系可知，A（-5，），B（0，），C（，0），

222

设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：

1

2a5bc

2

5

c，

2

255

abc0

42

1485

解得，a,b,c，

75152

1485

∴排球运动路线的函数关系式为yx2x

75152

【变式练2】（2024四川南充一模）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线

形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装

师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那

么喷头高______m时，水柱落点距O点4m．

【答案】5.5

2

【解析】【分析】设原抛物线的解析式为yaxhb，当向上移动1.5米到4米高度时，抛

2

物线解析式为：yaxhb1.5，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个

2

1749

单位后，yaxk，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．

416

2

【详解】解：设原抛物线的解析式为yaxhb，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代入

得：

2

0a2.5hb①，

当向上移动1.5米到4米高度时，

2

抛物线解析式为：yaxhb1.5，与x轴交于点（4,0），代入得

2

0a4hb1.5②，

联立①②求解可得：

311

h

2a4

，

13

ba()2

42a

∴将其代入②解得a1，

2

311132

∴原抛物线的解析式为yxa()，

2a442a

设向上平移k个单位后，

2

311132

∴yxa()k

2a442a

与x轴交点为（4,0），代入得：

2

311132

04a()k

2a442a

解得：k=3，

∴原抛物线向上移动3个单位，

即喷头高3+2.5=5.5米．

【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法求

解是解题关键．

考点3二次函数图象中的斜三角形面积问题

【例题3】（2024江苏扬州）如图，已知二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(1,0)

两点．

（1）求b、c的值；

（2）若点P在该二次函数的图像上，且PAB的面积为6，求点P的坐标．

【答案】（1）b1，c2

，，，

（2）P1(24)P2(34)

【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次

方程的方法是解题的关键．

（1）运用待定系数法即可求解；

（2）根据题意设Pm,n，结合几何图形面积计算方法可得点P的纵坐标，代入后解一元二次方程

即可求解．

【小问1详解】

解：二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(1,0)两点，

42bc0

∴，

1bc0

b1

解得，，

c2

∴b1，c2；

【小问2详解】

解：由（1）可知二次函数解析式为：yx2x2，A(2,0)，B(1,0)，

∴AB1(2)3，

设Pm,n，

1

∴SAB·n6，

PAB2

∴n4，

∴n4，

∴当x2x24时，1870，无解，不符合题意，舍去；

当2时，，；

xx24x13x22

，，，

∴P1(24)P2(34)．

【变式练1】（2024湖北武汉一模）如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对

称轴是直线x＝2.5．

（1）求该函数解析式；

（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；

（2）（1，2）和（4，2）．

【解析】（1）由题意得，

，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+6；

（2）令y＝0，

则x2﹣5x+6＝0，

解得x1＝2，x2＝3，

∴B（2，0），C（3，0），

设点P的纵坐标为m，

∵△PBC的面积1，

∴，

解得m＝±2，

当m＝2时，x2﹣5x+6＝2，

解得x1＝1，x2＝4；

当m＝﹣2时，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0，

Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0，

∴此方程无实数根，

故舍去m＝﹣2，

∴点P的坐标是（1，2）和（4，2）．

【变式练2】（2024广州一模）如图，抛物线yx2bxc过点A1,0、点B5,0，交y轴于

点C．

（1）求b，c的值．

（2）点Px0,y00x05是抛物线上的动点

①当x0取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值；

②过点P作PEx轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：

是否存在点P，使PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b4，c5

5125

（）①当时，的面积由最大值，最大值为；

2x0PBC

28

7333333

②当点P的坐标为,或4,5时，PEF为等腰直角三角形

22

【解析】【分析】（1）将将A1,0、B5,0代入抛物线yx2bxc即可求解；

（2）①由（1）可知：yx24x5，得C0,5，可求得BC的解析式为yx5，过点P作PEx

轴，交于点，交轴于点，易得2，根据的面积

BCExQPEyEy0x05x0PBC

112

，可得的面积55125，

S△PECS△PEBPBCPEx0xCPExBx0x0

22228

即可求解；

4

②由题意可知抛物线的对称轴为x对2，则x4x，分两种情况：当点P在对称轴左

21F0

侧时，即0x02时，当点P在对称轴右侧时，即2x05时，分别进行讨论求解即可．

【小问1详解】

解：将A1,0、B5,0代入抛物线yx2bxc中，

1bc0b4

可得：，解得：，

255bc0c5

即：b4，c5；

【小问2详解】

①由（1）可知：yx24x5，

当x0时，y5，即C0,5，

设BC的解析式为：ykxb，

将B5,0，C0,5代入ykxb中，

5kb0k1

可得，解得：，

b5b5

∴BC的解析式为：yx5，

过点P作PEx轴，交BC于点E，交x轴于点Q，

2

∵Px0,y00x05，则y0x04x05，

∴点E的横坐标也为x0，则纵坐标为yEx05，

22

∴PEyEy0x05x04x05x05x0，

PBC的面积S△PECS△PEB

11

PExxPExx

20C2B0

1

PExx

2BC

52

x05x0

2

2

55125，

x0

228

5

∵0，

2

5125

∴当时，的面积有最大值，最大值为；

x0PBC

28

7333333

②存在，当点P的坐标为,或4,5时，PEF为等腰直角三角形．

22

2

理由如下：由①可知PEx05x0，

4

由题意可知抛物线的对称轴为直线x对2，

21

∵PF∥x轴，

x0xF

∴EPF90，x对2，则x4x，

2F0

当点P在对称轴左侧时，即0x02时，

PFxFx042x0，当PEPF时，PEF为等腰直角三角形，

22

即：x05x042x0，整理得：x07x040，

733733

解得：x（x2，不符合题意，舍去）

0202

7333333

此时23333，即点P,；

y0x04x05

222

当点P在对称轴右侧时，即2x05时，

PFx0xF2x04，当PEPF时，PEF为等腰直角三角形，

22

即：x05x02x04，整理得：x03x040，

解得：x04（x012，不符合题意，舍去）

2

此时：y044455，即点P4,5；

7333333

综上所述，当点P的坐标为,或4,5时，PEF为等腰直角三角形．

22

【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点

的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．

考点1抛物线与线段长、面积、角度

1.（2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0，B3,0

两点，与y轴交于点C，作直线BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQBC，垂足为Q，请问线段PQ

是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知

MN2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

【答案】（1）yx22x3

9315

（2）存在，最大值是2，P,

824

317317

（3）x0或3x

2MM2

【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键．

（1）两点式直接求出函数解析式即可；

2

（2）过点P作PEx轴，交BC于点D，设Pm,m2m3，根据三角函数得到

PQPDcosOBC，得到当PD最大时，PQ的值最大，转化为二次函数求最值即可；

（3）设Mt,t3，得到xNt，求出点N恰好在抛物线上且MN2时的t值，即可得出结果．

【小问1详解】

解：∵抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0，B3,0两点，

∴yx1x3，

∴yx22x3；

【小问2详解】

存在；

∵yx22x3，

∴当x0时，y3，

∴C0,3，

∵B3,0，

∴OC3OB，

∴OBC45，

设直线BC的解析式为：ykx3，把B3,0代入，得：k1，

∴yx3，

2

过点P作PEx轴，交BC于点D，设Pm,m2m3，则：Dm,m3，

2

2239

∴PDm2m3m3m3mm，

24

∵PQBC，

∴PQD90PEB，

∵PDQBDE，

∴DPQOBC45，

2

∴PQPDcos45PD，

2

∴当PD最大时，PQ最大，

2

39

∵PDm，

24

399

∴当m时，PD的最大值为，此时PQ最大，为2，

248

315

∴P,；

24

【小问3详解】

设Mt,t3，则：xNt，

当点N恰好在抛物线上时，则：Nt,t22t3，

∴MNt3t22t3t23t，

当MN2时，则：t23t2，

317317

解得：t或t，

22

∵线段MN与抛物线有交点，

317317

∴点M的横坐标的取值范围是x0或3x．

2MM2

2

2.（2024甘肃威武）如图1，抛物线yaxhk交x轴于O，A4,0两点，顶点为B2,23．点

C为OB的中点．

（1）求抛物线ya(xh)2k的表达式；

（2）过点C作CHOA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．

（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．

①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3，连接BD，BF，求BDBF的最小值．

33

【答案】（1）yx223x（2）（3）①F22,3②27

22

【解析】

【小问1详解】

∵抛物线的顶点坐标为B2,23．

设抛物线ya(x2)223，

2

把A4,0代入解析式，得a42230，

3

解得a，

2

323

∴yx223x223x．

22

【小问2详解】

∵顶点为B2,23．点C为OB的中点，

∴C1,3，

∵CHOA，

∴CH∥y轴，

∴E的横坐标为1，

设E1,m，

333

当x1时，m23，

22

33

∴E1,．

2

333

∴CE3．

22

【小问3详解】

①根据题意，得C1,3，

∵四边形OCFD是平行四边形，

∴点C，点F的纵坐标相同，

设Fm,3，

∵点F落在抛物线上，

3

∴3m223m，

2

解得，(舍去)；

m122m222

故F22,3．

②过点B作BNy轴于点N，作点D关于直线BN的对称点G，过点G作GHy轴于点H，连

接DG，CH，FG，

则四边形ODGH是矩形，

∴ODHG,ODHG，

∵四边形OCFD是平行四边形，

∴ODCF,ODCF，

∴GHCF,GHCF，

∴四边形CFGH是平行四边形，

∴FGCH，

∵BGBFFG，

故当B、G、F三点共线时，BGBF取得最小值，

∵BGBD，

∴BGBF的最小值，就是BDBF的最小值，且最小值就是CH，

延长FC交y轴于点M，

∵OD∥CF，

∴HMCHOD90，

∵C1,3，

∴CM1,OM3，

∵B2,23，

∴ONNH23，

∴HMONNHOM33，

∴HCCM2HM22827，

故BDBF的最小值是27．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的

判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称

的性质是解题的关键．

考点2二次函数的实际应用

1.（2024四川自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙ABCD

于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE6.6m，OE1.4m，OB6m，

OC5m，OD3m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，

则该菜地最大面积是________cm2．

【答案】46.4

【解析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就

必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用AO和OC才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩

形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，

设矩形在射线OA上的一段长为xm，矩形菜地面积为S，

当x8时，如