2025年中考数学一轮复习学案：3.4 二次函数 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第三章函数

3.4二次函数

考点分布考查频率命题趋势

考点1二次函数的图象与数学中考中，有关二次函数的部分是每年全国各省市

☆☆☆

性质必考内容，也是中考数学难点，每年压轴题之一必定

有二次函数综合题。每年考查道题分值为

考点2二次函数的图象与1~3,3~15

☆☆☆

分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。

a,b,c之间的关系

对于二次函数的复习需要学生熟练掌握二次函数的图

考点3二次函数与方程、

☆☆象与性质、二次函数的图象与a,b,c之间的关系、二次

不等式之间的关系

函数与方程、不等式之间的关系。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.二次函数的图象与性质

1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

2.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．

（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．

（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．

【注意】求二次函数解析式的一般方法：

（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写

出二次函数的解析式.

（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，

即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.

（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，

再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.

3.二次函数的图象及性质

解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

b

对称轴x=–

2a

b2

顶点（–，4acb）

2a4a

a的符号a>0a<0

图象

开口方向开口向上开口向下

b4acb2b4acb2

最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=

2a4a2a4a

最点抛物线有最低点抛物线有最高点

bb

当x<–时，y随x的增大而减小；当x<–时，y随x的增大而增大；

2a2a

增减性

bb

当x>–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小

2a2a

4.抛物线的平移

二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变

化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析

式．

【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或

减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化

后的解析式．

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论

考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系

（1）二次函数与一元二次方程的关系

（2）二次函数与不等式的关系（拓展）

【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．

举例说明：已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3

（即x2－4x+3=0）．

反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．

考点1.二次函数的图象与性质

2a

【例题1】（2024福建省）已知二次函数yx2axaa0的图象经过A,y1，B3a,y2

2

两点，则下列判断正确的是（）

A.可以找到一个实数a，使得y1aB.无论实数a取什么值，都有y1a

C.可以找到一个实数a，使得y20D.无论实数a取什么值，都有y20

【答案】C

【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为

2a2

xa，顶点坐标为a,aa，再分情况讨论，当a0时，当a<0时，y1，y2的大小

2

情况，即可解题．

2

【详解】二次函数解析式为yx2axaa0，

2a

二次函数开口向上，且对称轴为xa，顶点坐标为a,aa2，

2

aa23

当x时，ya2aaa2，

2144

a

当a0时，0a，

2

2，

ay1aa

a

当a<0时，a0，

2

2，

aay1a

故A、B错误，不符合题意；

当a0时，0a2a3a，

由二次函数对称性可知，y2a0，

当a<0时，3a2aa0，由二次函数对称性可知，y2a，不一定大于0，

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C．

【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数的说法正确的是()

2

A．图象是一条开口向下的抛物线B．图�象=与(�轴−没2)有−交3点

�

C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是

【答案�】<D2��(2,−3)

【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答

即可．�

A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；

B、∵�=1>0，

22

Δ∵�=(�−2)−3=�−4�+1，

2

∴即图象=与(−轴4有)两−个4×交1点×，1=12>0

故此选项不�符合题意；

C、抛物线开口向上，对称轴为直线，

当∵时，随增大而减小，�=2

∴故此�选<项2不符合�题�意；

D、，

2

图∵象的�=顶(点�坐−标2)是−3，

∴故此选项符合题意；(2故,−选3：)D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

【变式练2】（2024哈尔滨一模）已知是抛物线（a是常数，

2

上的点，现有以下四个结论：①该抛物�1线�的1,对�1称,�轴2是�2直,�线2；②�点=��+在4抛�物�+线3上；③若�≠0

，则；④若，则其中，正�=确−结2论的个数0,3为（）�1>�2>

−A．21个�1>�2�B1．=2�个2�1+�2=−C2．3个D．4个

【答案】B

【解析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线

�4�

�=−2�=−2�=−2�=0�=3

的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．

�1+�2

∵抛物线（a是常数，，2=−2

2

∴�=��+4�，�+3�≠0

�4�

故①�=正−确2�；=−2�=−2

当时，，

∴�点=0在抛�物=线3上，

故②正0,确3；

当时，，

�>0�1>�2

当时，，

故�③<错0误；�1<�2

根据对称点的坐标得到，

�1+�2

，2=−2

�故1④+错�2误=．−故4选B．

【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数yax2bx2a0的图象与x轴交于1,0，

(x1,0)，其中2x13．结合图象给出下列结论：

①ab0；②ab2；

③当x1时，y随x的增大而减小；

2

④关于x的一元二次方程ax2bx20a0的另一个根是；

a

4

⑤b的取值范围为1b．其中正确结论的个数是（）

3

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结

论④；利用结论④及题中条件2x13可求得a的取值范围，再由结论②ab2可得b取值范

围，判断⑤是否正确．

b

【详解】由图可得：a0，对称轴x0，

2a

b0，

ab0，①错误；

由图得，图象经过点1,0，将1,0代入yax2bxc可得ab20，

ab2，②正确；

该函数图象与x轴的另一个交点为x1,0，且2x13，

b

对称轴x1，

2a

bb

该图象中，当x时，y随着x的增大而减小，当x时，y随着x的增大而增大，

2a2a

当x1时，y随着x的增大而减小，

③正确；

ba2，c2，

关于x的一元二次方程ax2a2x20a0的根为

2

bb24aca2a28aa2a2

x，

2a2a2a

a0，

a22a2a22a

x，x1，

12aa22a

④正确；

2

2x3，即23，

1a

2

解得1a，

3

ab2即ab2，

2

1b2，

3

4

1b，

3

⑤正确．

综上，②③④⑤正确，共4个．故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根

与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．

【变式练1】（2024陕西一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标

为（1，0），对称

轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：

①abc＜0；

②4a﹣2b+c＜0；

③3a+c＝0；

④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．

其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】①∵二次函数图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数图象的顶点在第三象限，

∴，

∵a＞0，

∴b＞0，

∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∴abc＜0，故结论①正确；

②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，

∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，

又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），

∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），

∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，

∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；

③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），

∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；

④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）

∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，

∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．

综上所述：结论①②③④正确．故选：D．

【变式练2】（2024贵州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图

象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1

时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤

【答案】D

【解析】①由抛物线的开口方向向下，

则a＜0，故①正确；

②∵抛物线的顶点为P（1，m），

∴﹣＝1，b＝﹣2a，

∵a＜0，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，故②错误；

③∵抛物线经过点A（2，1），

∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；

④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，

∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；

⑤∵a＜0，

∴at2+bt﹣（a+b）

＝at2﹣2at﹣a+2a

＝at2﹣2at+a

＝a（t2﹣2t+1）

＝a（t﹣1）2≤0，

∴at2+bt≤a+b，则⑤正确故选：D．

考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系

【例题3】（2024四川成都市）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二

2

次函数yx4x1图象上三点．若0x11，x24，则y1______y2（填“”或“”）；

若对于mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，存在y1y3y2，则m的取值

范围是______．

1

【答案】①.②.m1

2

【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答

的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．

2

【详解】解：由yx24x1x23得抛物线的对称轴为直线x2，开口向下，

∵0x11，x24，

∴x12x22，

∴y1y2；

∵mm1m2，mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，

∴x1x2x3，

∵存在y1y3y2，

∴x12，x32，且Ax1,y1离对称轴最远，Bx2,y2离对称轴最近，

∴2x1x32x22，即x1x34，且x2x34，

∵2m2x1x32m4，2m3x2x32m5，

∴2m24且2m54，

1

解得m1．

2

【变式练1】（2024福州一模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．

【答案】9．

【解析】∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，

∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．

即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，

解得：m＝9．

2

【变式练2】（2024贵阳一模）如图，已知抛物线y＝ax+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，

2

y2）两点，则关于x的不等式ax+c≥﹣kx+m的解集是（）

A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3

【答案】D

【解析】∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，

∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，

如图所示：

∵A（﹣3，y1），B（1，y2），

∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），

根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．

【变式练3】（2024山东青岛一模）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣

2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为．

【答案】﹣1＜x＜2．

【解析】由题意，可大致画出函数图象如下，

则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，

根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，

则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，

观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，

即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．

考点1.二次函数的图象与性质

22，，，，5，，，

1.（2024四川凉山）抛物线yx1c经过2y10y2y3三点，则y1y2y3

32

的大小关系正确的是（）

A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y1y2D.y1y3y2

【答案】D

【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据

二次函数的图象与性质可进行求解．

22

【详解】由抛物线yx1c可知：开口向上，对称轴为直线x1，

3

该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，

5

∵2,y1，0,y2，,y3，

2

533

而123，101，1，13

222

∴点0,y2离对称轴最近，点2,y1离对称轴最远，

∴y1y3y2；故选：D．

2.（2024四川泸州）已知二次函数yax22a3xa1（x是自变量）的图象经过第一、二、

四象限，则实数a的取值范围为（）

93

A.1aB.0a

82

93

C.0aD.1a

82

【答案】A

【解析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，开口向

上，而且与y轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．

2

【详解】二次函数yax2a3xa1图象经过第一、二、四象限，

设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2，由题意可得

2

Δ2a34aa10

2a3

x1x20

a

a1

xx0

12a

a0

9

解得1a．故选：A．

8

k

3.（2024广州）函数yax2bxc与y的图象如图所示，当（）时，y，y均随着x

12x12

的增大而减小．

A.x1B.1x0C.0x2D.x1

【答案】D

【解析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由

函数图象可知，当x1时，y1随着x的增大而减小；y2位于在一、三象限内，且y2均随着x的增大

而减小，据此即可得到答案．

由函数图象可知，当x1时，y1随着x的增大而减小；

y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，

当x1时，y1，y2均随着x的增大而减小，故选：D．

4.（2024陕西省）已知一个二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的几组对应值如下表，

x…42035…

y…2480315…

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上B.当x0时，y的值随x的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x1

【答案】D

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函

数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．

4a2bc8a1

【详解】解：由题意得c0，解得c0，

9a3bc3b2

2

∴二次函数的解析式为yx22xx11，

∵a10，

∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线x1，故选项D符合题意；

当0x1时，y的值随x的值增大而增大，当x1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符

合题意；

∵顶点坐标为1,1且经过原点，图象的开口向下，

∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．

5.（2024江苏苏州）二次函数yax2bxca0的图象过点A0,m，B1,m，C2,n，

m

D3,m，其中m，n为常数，则的值为______．

n

3

【答案】-##0.6

5

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入yax2bxca0，

求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．

【详解】把A0,m，B1,m，D3,m代入yax2bxca0，

cm

得abcm，

9a3bcm

2

am

3

8

解得bm，

3

cm

28

∴ymx2xm，

33

28

把C2,n代入ymx2mxm，

33

28

得nm22m2m，

33

5

∴nm，

3

mm3

∴5．

nm5

3

6.（2024贵州省）如图，二次函数yax2bxc的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是3，

顶点坐标为1,4，则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线x1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x1时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

【答案】D

【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，

增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判

定选项D．

∵二次函数yax2bxc的顶点坐标为1,4，

∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，故选项A错误；

∵二次函数yax2bxc的图象与x轴的一个交点的横坐标是3，对称轴是直线x=1，

∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；

∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，

∴当x1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；

2

设二次函数解析式为yax14，

2

把3,0代入，得0a314，

解得a1，

2

∴yx14，

2

当x0时，y0143，

∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．

7.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线yx24上，点D在y轴上．若

A，C两点的横坐标分别为m，n（mn0），下列结论正确的是（）

m

A.mn1B.mn1C.mn1D.1

n

【答案】B

【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时

要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接AC、BD交于点E，过点A作MNy轴于点M，

过点B作BNMN于点N，先证明ANB≌DMA(AAS)．可得AMNB，DMAN．点A、

mnm2n28

C的横坐标分别为m、n，可得A(m,m24)，C(n,n24)．E(，)，M(0,m24)，

22

设D(0,b)，则B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，BNn24b，AMm，ANn，

DMm24b．再由AMNB，DMAN进而可以求解判断即可．

【详解】如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MNy轴于点M，过点B作BNMN于点

N，

四边形ABCD是正方形，

AC、BD互相平分，ABAD，BAD90，

BANDAM90，DAMADM90，

BANADM．

BNAAMD90，BAAD，

ANB≌DMA(AAS)．

AMNB，DMAN．

点A、C的横坐标分别为m、n，

A(m,m24)，C(n,n24)．

mnm2n28

E(，)，M(0,m24)，

22

设D(0,b)，则B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，

BNn24b，AMm，ANn，DMm24b．

又AMNB，DMAN，

n24bm，nm24b．

bn2m4．

nm24n2m4．

(mn)(mn)mn．

点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，

mn0．

mn1．

故选：B．

8.（2024山东烟台）已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：

x43115

y059527

下列结论：①abc0；②关于x的一元二次方程ax2bxc9有两个相等的实数根；③当

y

4x1时，的取值范围为0y5；④若点m,y1，m2,y2均在二次函数图象上，则

2

y1y2；⑤满足axb1xc2的x的取值范围是x<2或x3．其中正确结论的序号为

______．

【答案】①②④

【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用

根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可

判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

【详解】解：把4,0，1,9，1,5代入yax2bxc得，

16a4bc0

abc9，

abc5

a1

解得b2，

c8

∴abc0，故①正确；

∵a1，b2，c8，

∴yx22x8，

当y9时，x22x89，

∴x22x10，

∵224110，

∴关于x的一元二次方程ax2bxc9有两个相等的实数根，故②正确；

31

∵抛物线的对称轴为直线x1，

2

∴抛物线的顶点坐标为1,9，

又∵a0，

∴当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，当x=1时，函数取最大

值9，

∵x3与x1时函数值相等，等于5，

∴当4x1时，y的取值范围为0y9，故③错误；

mm2

∵1，

2

∴点m,y1，m2,y2关于对称轴x=1对称，

∴y1y2，故④正确；

2

由axb1xc2得ax2bxcx2，

即x22x8x2，

画函数yx22x8和yx2图象如下：

yx2x2x3

由，解得1，2，

2

yx2x8y10y25

∴A2,0，B3,5，

2

由图形可得，当x3或x2时，x22x8x2，即axb1xc2，故⑤错误；

综上，正确的结论为①②④．

9.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数yx22axa3的最值问

题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

（1）老师给出a4，求二次函数yx22axa3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，

并整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，

所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）请结合函数解析式yx22axa3，解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

11

【答案】（1）①yx28x7；②当x4时，y有最小值为23（2）见解析（3）正确，

4

【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

（1）①把a4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；

（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；

（3）将一般式转化为顶点式，表示出y的最大值，再利用二次函数求最值即可．

【详解】解：（1）①把a4代入yx22axa3，得：

yx224x43x28x7；

∴yx28x7；

2

②∵yx28x7x423，

∴当x4时，y有最小值为23；

2

（2）∵yx22axa3xaa2a3，

∵抛物线的开口向上，

∴当xa时，y有最小值；

∴甲的说法合理；

（3）正确；

2

∵yx22axa3xaa2a3，

∴当xa时，y有最小值为a2a3，

2

即：2111，

yminaa3a

24

111

∴当a时，ymin有最大值，为．

24

考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系

1.抛物线yx2bxc与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小

于1，则下列结论正确的是（）

A.bc1B.b2C.b24c0D.c0

【答案】A

【解析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线yx2bxc与x轴交于两点，横坐标分别为

x1,x2,x1x2，依题意，x11,x21，根据题意抛物线开口向下，当x1时，y0，即可判断A

选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件

判断D选项，据此，即可求解．

2

【详解】解：依题意，设抛物线yxbxc与x轴交于两点，横坐标分别为x1,x2,x1x2

依题意，x11,x21

∵a10，抛物线开口向下，

∴当x1时，y0，即1bc0

∴bc1，故A选项正确，符合题意；

bbb

若对称轴为x1，即b2，

2a22

而x11,x21，不能得出对称轴为直线x1，

故B选项不正确，不符合题意；

∵抛物线与坐标轴有2个交点，

∴方程x2bxc0有两个不等实数解，即b24ac0，又a1

∴b24c0，故C选项错误，不符合题意；

无法判断c的符号，故D选项错误，不符合题意；故选：A．

2.（2024黑龙江绥化）二次函数yax2bxca0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，

则下列结论中：

b

①0②am2bmab（m为任意实数）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1x23．其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b2a0即

可判断①，x=1时，函数值最大，即可判断②，根据x1时，y0，即可判断③，根据对称性

可得x1x22即可判段④，即可求解．

【详解】∵二次函数图象开口向下

∴a<0

∵对称轴为直线x=1，

b

∴x1

2a

∴b2a0

∵抛物线与y轴交于正半轴，则c0

b

∴0，故①错误，

c

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,

∴当x=1时，y取得最大值，最大值为abc

∴am2bmcabc（m为任意实数）

即am2bmab，故②正确；

∵x1时，y0

即abc0

∵b2a

∴a2ac0

即3ac0

∴3ac1，故③正确；

∵Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，

∴M,N关于x=1对称，

xx

∴121即xx2故④不正确

212

正确的有②③故选：B

3.（2024武汉市）抛物线yax2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，m,1两点，

且0m1．下列四个结论：

①b0；

2

②若0x1，则ax1bx1c1；

③若a1，则关于x的一元二次方程ax2bxc2无实数解；

11

④点Ax,y，Bx,y在抛物线上，若xx，xx，总有yy，则0m．

112212212122

其中正确的是__________（填写序号）．

【答案】②③④

11m

【解析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴0，即可判断①，

22

根据1,1，m,1两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过1,1得出cb2，代

11m1

入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，

224

解不等式，即可求解．

【详解】解：∵yax2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，m,1两点，且0m1．

b1m11m

∴对称轴为直线x，0，

2a222

b

∵x0，a<0

2a

∴b0，故①错误，

∵0m1

∴，即1,1，m,1两点之间的距离大于1

又∵�−a<0−1>1

∴xm1时，y1

∴若0x1，则，故②正确；

2

1�1�−m1+��−1+�>1

③由①可得0，

22

1b

∴0，即1b0，

22

当a1时，抛物线解析式为yx2bxc

4acb24cb2

设顶点纵坐标为t

4a4

∵抛物线yx2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，

∴1bc1

∴cb2

22

4cbb4c1112

∴tb2cb2b2b21

44444

1

∵1b0，0，对称轴为直线b2，

4

∴当b0时，t取得最大值为2，而b0，

∴关于x的一元二次方程ax2bxc2无解，故③正确；

1

④∵a<0，抛物线开口向下，点Ax,y，Bx,y在抛物线上，xx，xx，总有

112212212

y1y2，

xx1

又x12，

24

1

∴点Ax,y离x较远，

114

11m1

∴对称轴

224

1

解得：0m，故④正确．

2

故答案为：②③④．

4.（2024湖北省）抛物线yax2bxc的顶点为1,2，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以

下结论正确的是（）

A.a0B.c0C.abc2D.b24ac0

【答案】C

【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二

次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．

【详解】根据题意画出函数yax2bxc的图像，如图所示：

∵开口向上，与y轴的交点位于x