第27课时　相似三角形 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第五章图形的变换与作图第27课时相似三角形知识点1比例线段和黄金分割定义防错提醒比

例

线

段在四条线段a，b，c，d

中，如果

⁠，那

么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线

段的比时，对这

两条线段

要用同一

长度单位

定义防错提醒黄

金

分

割在线段AB上，点C把线

段AB分成两条线段AC

和BC（AC＞BC），如

果

⁠，那么称

线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金为

⁠一条线段

的黄金分

割点有

个

两

知识点2比例的性质基本性质如果

＝

，那么ad＝

⁠合比性质如果

＝

，那么

＝

⁠等比性质如果

＝

＝…＝

（b＋d

＋…＋n≠0），那么

＝

bc

知识点3平行线分线段成比例的基本事

实两条直线被一组平行线所截，所得

的对应线段

⁠.成比例

知识点4相似三角形（多边形）的性质相似三角

形（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边

形（1）相似多边形周长的比等于相似比；（2）相似多边形面积的比等于相似比的平方知识点5相似三角形的判定判

定

1平行于三角形一边的直线和其他两

边相交，所构成的三角形与原三角

形

⁠判

定

2如果两个三角形三组对应边的

⁠相等，那么这两个三角形相似判

定

3如果两个三角形的两组对应边的比

相等，并且

⁠相等，那么这

两个三角形相似相似

比

夹角

判

定

4如果一个三角形的两个角与另一个

三角形的两个角对应

⁠，那

么这两个三角形相似相等

知识点6相似的基本图形及结论【A字模型】已知图示结论（性质）DE

∥BC

①△ADE∽△ABC；②

＝

＝

已知图示结论（性质）∠1＝

∠2或∠3

＝∠4或

＝

[反A字模

型]

①△ADE∽△ABC；②

＝

＝

已知图示结论（性质）∠1＝

∠2[共边反A字模型]

①△ADC∽△ACB；②AC2＝AB·AD[补充]该模型也被称为

子母模型，即子母模

型可以看作有一组公

共边的反A字模型已知图示结论（性质）∠1＝

∠2＝∠3[双反A字模型]

①△AEB∽△DEA∽△DAC；②AB·AC＝BE·CD；③

＝

【8字模型】已知图示结论（性质）AB∥CD

①△AOB∽△COD；②

＝

＝

∠1＝∠2或∠3＝∠4或

＝

[反8字模型]

①△AOB∽△DOC；②

＝

＝

【射影定理】已知图示结论（性质）∠ABC

①△ABC∽△ADB∽△BDC；②AB2＝AC·AD，BD2＝AD·CD，BC2＝AC·CD；③AB·BC＝BD·AC（面积法）已知图示结论（性质）＝∠ADB＝90°

①△ABC∽△ADB∽△BDC；②AB2＝AC·AD，BD2＝AD·CD，BC2＝AC·CD；③AB·BC＝BD·AC（面积法）【一线三等角】已知图示结论（性质）∠B

＝∠D

＝∠ACE＝90°

图1

图2①△ABC∽△CDE；②

＝

＝

或BC·CD

＝AB·DE（可看作底·底＝腰·腰）；③特别地，如图2，当点C为BD的中点时，

△ABC∽△CDE∽△ACE已知图示结论（性质）∠B

＝∠D

＝∠A

CE

＝α

图1

图2①△ABC∽△CDE；②

＝

＝

；③特别地，如图2，当点C为BD的中点时，

△ABC∽△CDE∽△ACE【线束模型】已知图示结论（性质）DE

∥

BC

图1

图2①

＝

（图1）；②DF∶FG∶EG＝BH∶HI∶CI（图2）已知图示结论（性质）AB

∥

CD

图1

图2①

＝

（图1）；②AE∶EF∶BF＝

DH∶HG∶CG（图2）【三角形内接矩形模型】已知图示结论（性质）四边

形DE

FG为矩形

，AN

⊥BC

①△ABC∽△ADG；②

＝

＝

＝

；③若四边形DEFG为正方

形，假设DG＝x，则

＝

，若已知BC，AN的

长，即可求出x的值【三平行线模型】已知图示结论（性质）AB

∥

EF∥

CD

①

＋

＝

；②

＋

＝

知识点7位似图形的概念及性质概念对应顶点的连线相交于一点的两个相

似多边形是位似图形，这个点叫位似

中心性质（1）位似图形上任意一对对应点到

位似中心的距离之比等于相似比；（2）位似图形对应点的连线或延长

线相交于一点；（3）位似图形对应线段平行或共线

且成比例；（4）位似图形的对应角相等名师指津1.

证明等积式的常用方法是把等积式转

化为比例式，要证明比例式，就要证明

对应的三角形相似.2.

实际应用中常见的相似三角形模型：（1）利用投影、平行线、标杆等构造相

似三角形求解；（2）测量底部可以到达的物体的高度；（3）测量底部不可以到达的物体的高度；（4）测量不可以到达的物体的宽度.3.

重庆中考虽然降低了四条线段成比例

的证明，但是利用线段成比例来求线段

长度这一基本能力还是广泛应用在重庆

中考压轴题中.相似三角形的对应边成比

例是动点问题中得到线段长度间函数关

系式的重要手段，在解决问题时，先用

自变量和函数表示一些线段的长，然后

利用相似三角形对应边成比例建立方

程，从而求得（表示出）所求线段.考点一

比例线段及相关性质例1

（1）下列四组线段中，是成比例

线段的是（

C

）A.

4cm，5cm，6cm，7cmB.

3cm，4cm，5cm，8cmC.

3cm，5cm，9cm，15cmD.

1cm，3cm，4cm，8cmC

A.

B.

C.

D.

C

考点二

相似三角形的性质和判定例2

（1）（2024·重庆A卷）若两个相

似三角形的相似比是1∶3，则这两个相

似三角形的面积比是（

D

）A.

1∶3B.

1∶4C.

1∶6D.

1∶9D（2）（2024·陕西）如图，正方形

CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD

上，AF与DC交于点H.

若AB＝6，CE

＝2，则DH的长为（

B

）A.

2B.

3C.

D.

B例3

（2024·上海）如图所示，在矩形

ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.

（1）求证：AD2＝DE·DC；

（答案图）

（答案图）考点三

相似三角形的应用例4

（1）（2024·扬州）物理课上学过

小孔成像的原理，它是一种利用光的直

线传播特性实现图像投影的方法.如图

1，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔

O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.已知

AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB

的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离

为

cm；20

图1（2）在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔MN的高.如图2，他们在塔周围的平地上找到塔尖点M的影子点B，并在点B处竖立一根3m长的标杆AB，测得其影长BC为2m.随后后退到点D处放置了一面小平面镜，小华站在点F处正好看到镜子中的塔尖M，且点F，D，C，B，N在同一条直线上.已知小华的身高EF为1.62m，FD为1.8m，BD为4.4m，求古塔MN的高.（平面镜的厚度忽略不计）图2

答：古塔MN的高为9.9m.考点四

位似及位似变换例5

（1）（2024·浙江）如图1，在平

面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是

位似图形，位似中心为点O.

若点A（－3，1）的对应点为A'（－6，2），则点B（－2，4）的对应点B'的坐标为（

A

）AA.

（－4，8）B.

（8，－4）C.

（－8，4）D.

（4，－8）图1（2）（2024·凉山州）如图2，一块面积

为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是（

D

）A.

90cm2B.

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