第三章第七节二次函数综合题2025年中考数学一轮专题复习（广东）含答案

/第七节二次函数综合题类型一二次函数与线段有关问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，作直线AC.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交x轴，直线AC于点D，E，当DE－PE＝2时，求点P的横坐标.第1题图2.(2024广元节选)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，－1)，与y轴交于点B(0，2).(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C的坐标第2题图3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交直线BC于点D，P为x轴下方抛物线上一点.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为H，若点Q为坐标平面内一点，是否存在点Q，使得以B，Q，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)直线AP，BP分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时，DM＋DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.第3题图备用图类型二二次函数与面积有关问题1.(2024珠海香洲区二模)如图，抛物线y＝－12x2＋32x＋c与坐标轴分别交于A，B，C三点，OC＝2.点D为抛物线上一动点，直线DB与y轴交于点(1)填空：c＝；(2)当点D在第一象限的抛物线上，且三角形BCD的面积最大时，证明：点D是BE的中点；(3)当S△DEOS△BEO＝2时第1题图备用图2.(2024遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点.(1)求二次函数的表达式；(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；(3)设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m＋1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.第2题图

类型一二次函数与线段有关问题1.解：(1)将点A(－2，0)，B(4，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4中，得4a－2b∴抛物线的函数表达式为y＝－12x2＋x(2)设P(t，－12t2＋t＋4)，则D(t设直线AC的函数表达式为y＝kx＋m(k≠0)，代入点A(－2，0)，C(0，4)的坐标，得－2k＋b=0∴直线AC的函数表达式为y＝2x＋4.∴E(t，2t＋4)，分两种情况讨论：①当点P在y轴左侧时，PE＝－12t2＋t＋4－(2t＋4)＝－12t2－t，ED＝2∵DE－PE＝2，∴2t＋4－(－12t2－t整理，得t2＋6t＋4＝0，解得t1＝－3＋5，t2＝－3－5(不符合题意，舍去)，∴点P的横坐标为－3＋5；②当点P在y轴右侧时，PE＝2t＋4－(－12t2＋t＋4)＝12t2＋t，DE＝2∴2t＋4－(12t2＋t整理，得t2－2t－4＝0，解得t3＝1＋5，t4＝1－5(不符合题意，舍去)，∴点P的横坐标为1＋5，综上所述，点P的横坐标为－3＋5或1＋5.2.解：(1)把点A(－3，－1)，B(0，2)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得－9－3b∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋2；(2)如解图，过点C作x轴的垂线交AB于点M.∴cm∥y轴，∴△CDM∽△ODB，∴CDOD＝CMOB＝∴当cm取最大值时，CDOD设AB所在直线的解析式为y＝mx＋n，把点A(－3，－1)，B(0，2)的坐标代入解析式，得－3m解得m=1n=2∴AB所在直线的解析式为y＝x＋2.设C(t，－t2－2t＋2)，则M(t，t＋2)，∴cm＝－t2－3t＝－(t＋32)2＋9∵－3＜t＜0，－1＜0，∴当t＝－32时，cm最大，最大值为9∴CDOD的最大值为98，此时点C的坐标为(－32第2题解图3.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2经过点A(－1，0)，B(4，0)，∴0=a－b∴抛物线的表达式为y＝12x2－32(2)存在.由(1)知，抛物线y＝12x2－32x－2＝12(x－32)∴点H(32，－25当x＝0时，y＝－2，∴点C(0，－2).设点Q(p，q)，①当BC是对角线时，如解图①，∴4+0解得p＝∴点Q(52，9②当BH是对角线时，如解图②，∴4+解得p＝∴点Q(112，－9③当CH是对角线时，如解图③，∴4+解得p＝∴点Q(－52，－41综上所述，满足条件的点Q的坐标为(52，98)，(112，－98)或(－图①图②图③第3题解图(3)DM＋DN是定值.由点B(4，0)和C(0，－2)可得直线BC的表达式为y＝12x当x＝32时，y＝12x－2＝12×3∴点D(32，－5如解图④，设点P(n，12n2－32∵A(－1，0)，∴设直线AP的表达式为y＝k(x＋1)(k≠0)，将点P的坐标代入得，12n2－32n－2＝k(n＋1)，则k＝12∴直线AP的表达式为y＝12(n－4)(x当x＝32时，y＝12(n－4)(32＋1)＝∴易得DM＝－54n＋15同理可得，直线BP的表达式为y＝12(n＋1)(x当x＝32时，y＝12(n＋1)(32－4)＝－54易得DN＝54n∴DM＋DN＝－54n＋154＋54n∴DM＋DN为定值，定值为154第3题解图④类型二二次函数与面积有关问题1.(1)解：2【解法提示】∵OC＝2，则c＝2.(2)证明：∵OC＝2，∴C(0，2)，抛物线的表达式为y＝－12x2＋32令y＝0，得－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x由题图可知，点A在点B的左侧，∴B(4，0).由B，C两点的坐标易得直线BC的表达式为y＝－12x如解图，过点D作DH∥y轴交BC于点H，第1题解图设点D(x，－12x2＋32x＋2)，则点H(x，－1则三角形BCD的面积＝12OB·DH＝12×4(－12x2＋32x＋2＋12x－2)＝－x2＋4x∵－1＜0，∴当x＝2时，三角形BCD的面积最大，此时点D的横坐标x＝2，即点D(2，3)，由点B，D的坐标得，直线BD的表达式为y＝－32(x∴点E(0，6)，∴点B，E的中点坐标为(2，3)，∴点D是BE的中点；(3)解：当S△则｜xD｜＝2xB＝8，即xD＝±8，当x＝8时，y＝－12x2＋32当x＝－8时，y＝－12x2＋32∴当S△DEOS2.解：(1)把点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得a－b＋∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3；(2)如解图①，由y＝x2－2x－3得抛物线的对称轴为直线x＝1.∵P，C两点关于抛物线对轴对称，C(0，－3)，∴P(2，－3)，设Q(m，m2－2m－3).∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2，即[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2，整理得，3m2－8m＋4＝0，解得m1＝23，m2∴m＝23，∴Q(23，－第2题解图①(3)存在.如解图②，过点P作y轴的垂线交y轴于点E，过点Q作x轴的垂线，垂足为点F，两条垂线交于点G，把xP＝m代入y＝x2－2x－3得yP＝m2－2m－3，把xQ＝m＋1代入y＝x2－2x－3得yQ＝m2－4.∵S矩形OEGF＝OE·OF＝－(m2－2m－3)(m＋1)＝－m3＋m2＋5S△OEP＝12EO·EP＝12[－(m2－2m－3)]m＝－12m3＋m2＋S△OFQ＝12OF·FQ＝12(m＋1)[－(m2－4)]＝－12m3－12