2023七年级数学下册 第9章 分式9.3 分式方程第1课时 分式方程的概念和解法教学实录 （新版）沪科版

2023七年级数学下册第9章分式9.3分式方程第1课时分式方程的概念和解法教学实录（新版）沪科版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解分式方程的概念和解法，包括分式方程的定义、解分式方程的基本步骤和方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与七年级上册学习的分式和方程知识紧密相关，学生需要回顾分式的概念和方程的解法，以便更好地理解和掌握分式方程的解法。教材内容涉及沪科版七年级数学下册第9章分式9.3节。核心素养目标1.培养学生的逻辑推理能力，通过分式方程的概念和解法的学习，使学生能够运用数学语言表达数学问题，形成严密的逻辑思维。

2.提升学生的数学建模能力，让学生能够将实际问题转化为分式方程，学会运用数学模型解决实际问题。

3.增强学生的数学运算能力，通过解分式方程的练习，提高学生准确、快速进行数学运算的能力。重点难点及解决办法重点：

1.分式方程的概念：理解分式方程的定义，识别分式方程的形式。

2.分式方程的解法：掌握分式方程的解法步骤，能够正确求解分式方程。

难点：

1.分式方程的变形：在解分式方程时，对分母的处理和化简可能对学生造成困难。

2.解分式方程的准确性：在求解过程中，学生可能因为计算失误而无法得到正确答案。

解决办法：

1.通过实例讲解和练习，帮助学生理解分式方程的定义和形式，强化概念。

2.采用逐步分解的方法，引导学生逐步完成分式方程的变形，包括通分、去分母等步骤。

3.强化计算训练，通过大量的练习题，提高学生的计算准确性和速度。

4.采用小组合作学习，让学生在互相讨论中解决问题，共同突破难点。教学方法与策略1.采用讲授法结合例题分析，引导学生理解分式方程的概念和解法步骤。

2.设计小组讨论活动，让学生通过合作解决实际问题，加深对分式方程解法的理解。

3.利用多媒体展示分式方程的图形变化，帮助学生直观理解分式方程的解法过程。

4.设计“分式方程挑战赛”游戏，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。教学过程1.导入新课

（教师）：同学们，我们已经学习了分式的概念和性质，今天我们要进一步探讨分式方程。请大家打开课本第9章分式9.3节，我们先来回顾一下分式的概念。

（学生）：分式是由分子和分母组成的，分母不能为零。

（教师）：很好，分式的概念我们已经很熟悉了。那么，什么是分式方程呢？今天我们就来探究这个问题。

2.探究分式方程的概念

（教师）：请大家阅读课本中的定义，并尝试用自己的话来解释一下分式方程。

（学生）：分式方程是指含有分式的方程，其中至少有一个分母不为零。

（教师）：非常好，大家已经能够用自己的语言来描述分式方程了。接下来，我们来看一些具体的例子。

（教师）：请看这个例子：$\frac{2}{x}+1=3$。这是一个分式方程，因为它包含了分式$\frac{2}{x}$。

（学生）：是的，这个方程中分母$x$不能为零。

（教师）：很好，我们再来举一个例子：$\frac{x-1}{x+2}=\frac{3}{4}$。这个方程也是分式方程。

（学生）：我明白了，分式方程的关键是有分式存在。

3.分式方程的解法步骤

（教师）：现在我们已经了解了分式方程的概念，接下来我们来学习解分式方程的步骤。

（教师）：首先，我们要去分母，将分式方程转化为整式方程。这个过程通常是通过乘以分母的公倍数来实现的。

（学生）：哦，我明白了，就是找到一个分母的公倍数，然后两边都乘以这个公倍数。

（教师）：是的，这样就可以消去分母，得到一个整式方程。

（教师）：然后，我们要解这个整式方程，得到未知数的值。

（学生）：然后我们检验一下这个值是否满足原方程。

（教师）：对，检验是非常重要的步骤，它确保我们的解是正确的。

4.实例解析

（教师）：现在我们来解析一个具体的例子。

（教师）：请看这个例子：$\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-2}$。

（学生）：我们需要先去分母，然后解方程。

（教师）：很好，我们先找到分母的公倍数，这里是$x(x-2)$。然后两边都乘以$x(x-2)$。

（学生）：$\frac{3x}{x-2}-\frac{x-2}{x}=\frac{x}{x-2}$。

（教师）：接下来，我们化简这个方程。

（学生）：$3x^2-3x-(x^2-2x)=x$。

（教师）：很好，继续化简。

（学生）：$2x^2-x=x$。

（教师）：现在我们得到一个一元二次方程，我们可以解这个方程。

（学生）：$2x^2-2x=0$。

（教师）：这是一个简单的一元二次方程，我们可以通过因式分解来解它。

（学生）：$2x(x-1)=0$。

（教师）：所以，$x=0$或$x=1$。

（教师）：现在我们需要检验这两个解是否满足原方程。

（学生）：当$x=0$时，原方程的分母为零，所以$x=0$不是方程的解。

（学生）：当$x=1$时，原方程的分母不为零，我们可以将$x=1$代入原方程检验。

（教师）：很好，我们代入$x=1$，原方程成立。

（学生）：所以，方程的解是$x=1$。

5.练习巩固

（教师）：现在请大家完成课本中的练习题，巩固我们今天学习的知识。

（学生）：好的，我会认真完成练习题。

6.总结

（教师）：今天我们学习了分式方程的概念和解法，大家能够熟练地解分式方程了吗？

（学生）：是的，我学会了。

（教师）：很好，希望大家能够在课后继续练习，不断提高自己的数学能力。

（教师）：今天的课就上到这里，下课！教学资源拓展1.拓展资源：

-分式方程的应用：介绍分式方程在实际生活中的应用，如工程计算、经济问题、物理问题等，让学生了解数学知识的应用价值。

-分式方程的历史背景：简要介绍分式方程的发展历史，让学生了解数学知识的传承和发展。

-分式方程的数学性质：探讨分式方程的数学性质，如分式方程的解的个数、解的范围等，帮助学生深入理解分式方程。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《初中数学竞赛辅导》、《数学思维训练》等书籍，帮助学生拓展数学思维，提高解题能力。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，通过竞赛提高自己的数学水平，培养团队合作精神。

-观看数学视频：推荐学生观看一些数学教育视频，如《数学之美》、《数学思维训练》等，帮助学生更好地理解数学知识。

-实践活动：组织学生参与实践活动，如数学实验、数学建模等，让学生在实际操作中提高数学应用能力。

-交流学习：鼓励学生之间进行交流学习，分享解题心得，共同进步。

-家庭作业拓展：布置一些拓展性的家庭作业，如解决实际问题、探究数学规律等，让学生在课后继续学习。

-利用网络资源：指导学生合理利用网络资源，如在线教育平台、数学论坛等，拓宽学习渠道，提高学习效果。

-阅读数学故事：推荐学生阅读一些数学故事，如《数学家的故事》、《数学趣闻》等，激发学生对数学的兴趣。

-参观数学博物馆：组织学生参观数学博物馆，了解数学的发展历程，感受数学的魅力。重点题型整理1.题型一：分式方程的定义识别

-题目：判断下列方程是否为分式方程。

$$

(1)\quad2x+3=5\\

(2)\quad\frac{3}{x-2}=2\\

(3)\quadx^2-4=0\\

(4)\quad\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=1

$$

-答案：$$(1)\quad\text{不是分式方程}\\

(2)\quad\text{是分式方程}\\

(3)\quad\text{不是分式方程}\\

(4)\quad\text{是分式方程}$$

2.题型二：分式方程的解法步骤

-题目：解下列分式方程。

$$

\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}

$$

-答案：首先，找到分母的公倍数$2x(x+1)$，然后两边都乘以这个公倍数，得到$4(x+1)-2x=x(x+1)$。化简后得到$4x+4-2x=x^2+x$，进一步化简得到$x^2-x-4=0$。这是一个一元二次方程，我们可以通过因式分解或使用求根公式来解它。因式分解得到$(x-2)(x+2)=0$，所以$x=2$或$x=-2$。最后，我们需要检验这两个解是否满足原方程。检验后我们发现$x=2$和$x=-2$都是原方程的解。

3.题型三：分式方程的解的检验

-题目：解下列分式方程，并检验解的正确性。

$$

\frac{x-1}{x+2}=\frac{3}{4}

$$

-答案：首先，我们解这个方程。找到分母的公倍数$4(x+2)$，然后两边都乘以这个公倍数，得到$4(x-1)=3(x+2)$。化简后得到$4x-4=3x+6$，进一步化简得到$x=10$。现在我们需要检验$x=10$是否满足原方程。代入原方程得到$\frac{10-1}{10+2}=\frac{3}{4}$，化简后得到$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，这是正确的。所以$x=10$是原方程的解。

4.题型四：分式方程的解的个数

-题目：解下列分式方程，并确定解的个数。

$$

\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}

$$

-答案：首先，我们解这个方程。找到分母的公倍数$(x-1)(x+1)$，然后两边都乘以这个公倍数，得到$1(x+1)+1(x-1)=2$。化简后得到$2x=2$，进一步化简得到$x=1$。但是，我们需要检验$x=1$是否满足原方程。代入原方程得到$\frac{1}{1-1}+\frac{1}{1+1}=\frac{2}{1^2-1}$，我们发现分母为零，所以原方程无解。

5.题型五：分式方程的应用

-题目：一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是40厘米，求长方形的面积。

-答案：设长方形的宽为$x$厘米，则长为$2x$厘米。根据周长的定义，我们有$2(x+2x)=40$。解这个方程得到$x=5$，所以宽是5厘米，长是10厘米。长方形的面积是宽乘以长，即$5\times10=50$平方厘米。所以长方形的面积是50平方厘米。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生们在课堂上积极参与，对于分式方程的概念和解法表现出较高的兴趣。大部分学生能够跟随老师的讲解，对分式方程的定义和解法步骤有了一定的理解。在课堂练习中，学生们能够独立完成基本的分式方程求解，但在一些复杂的问题上，部分学生表现出一定的困难。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够积极交流，共同探讨分式方程的解法。通过小组合作，学生们不仅学会了如何解决分式方程，还学会了如何表达自己的思路和倾听他人的观点。在成果展示环节，每个小组都能够清晰地陈述自己的解题过程，其他同学也能够从中受益。

3.随堂测试：

随堂测试旨在检验学生对本节课所学知识的掌握程度。测试结果显示，大部分学生能够正确回答分式方程的基本概念和解法步骤，但在解决实际问题时，部分学生的表现不够理想。这表明学生在应用知识解决实际问题的能力上还有待提高。

4.学生自评与互评：

学生们通过自评和互评，对自己在课堂上的表现进行了反思。他们在自评中认识到自己在分式方程求解中的不足，如计算错误、概念理解不透彻等。在互评中，学生们能够客观地评价同伴的表现，并提出改进建议。

5.教师评价与反馈：

针对学生在课堂上的表现，教师进行了以下评价与反馈：

-针对课堂表现：教师鼓励学生积极参与课堂讨论，对于积极举手回答问题的学生给予肯定，对于回答错误的学生给予耐心指导，帮助他们找到错误的原因并纠正。

-针对小组讨论成果展示：教师强调小组合作的重要性，鼓励学生在讨论中发挥自己的优势，同时学会倾听他人意见。对于在展示中表现出色的学生，教师给予了表扬，并建议他们在今后的学习中继续保持。

-针对随堂测试：教师针对学生在测试中存在的问题进行了详细的分析，并提供了相应的解决方案。对于计算错误，教师建议学生在解题过程中仔细检查；对于概念理解不透彻，教师建议学生加强基础知识的学习。

-针对学生自评与互评：教师肯定了学生自我反思和评价的能力，鼓励他们在今后的学习中继续发扬这种精神。同时，教师提醒学生在互评时要保持客观和友善，尊重他人的意见。

总体而言，本次教学评价与反馈旨在帮助学生更好地掌握分式方程的知识，提高他们的数学思维能力。教师将根据评价结果，调整教学方法，为学生提供更有针对性的指导。板书设计①分式方程的概念

-分式方程的定义：含有分式的方程，且至少有一个分母不为零。

-分式方程的一般形式：$\frac{A}{B}=C$，其中$A$、$B$、$C$是关于未知数$x$的代数式，$B\neq0$。

②分式方程的解法步骤

-第一步：去分母：找到分母