2024-2025学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行关系（教学用书）教学实录 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2第1课时空间向量与平行关系（教学用书）教学实录新人教A版选修2-1主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容：空间向量与平行关系，包括向量共线定理、向量垂直定理以及向量投影的概念和性质。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与学生已学的平面几何、向量知识紧密相关，通过引入空间向量，帮助学生理解立体几何中的平行、垂直关系，加深对空间几何的理解。教材内容涉及新人教A版选修2-1第三章“空间向量与立体几何”的相关知识点。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过空间向量与平行关系的探究，学生能够抽象出空间几何中的平行关系，运用逻辑推理方法证明向量共线定理，并在实际问题中构建向量模型，提高解决空间几何问题的能力。同时，培养学生的空间想象能力和几何直观，增强数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：学生在本节课之前已经学习了平面几何的基本概念和性质，包括点、线、面、角的定义和关系，以及向量在平面几何中的应用。此外，学生还应掌握了向量的基本运算，如加法、减法、数乘以及向量的坐标表示。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对空间几何普遍存在一定的兴趣，尤其是在立体图形的直观性和空间想象力方面。学生的学习能力方面，部分学生可能具有较强的空间想象力和逻辑推理能力，能够较快地理解和掌握空间向量与平行关系。学习风格上，学生中既有偏好直观图形理解的学生，也有习惯于符号推导的学生。

3.学生可能遇到的困难和挑战：部分学生可能对空间几何的概念理解不够深入，难以将平面几何的知识迁移到空间几何中。在处理空间向量与平行关系时，学生可能会遇到以下困难：一是空间想象力的不足，难以直观地理解空间向量的概念和性质；二是逻辑推理能力有限，难以证明向量共线定理等性质；三是数学建模能力不足，难以将实际问题转化为向量模型进行解决。针对这些困难，教学中需要通过丰富的实例和实践活动，帮助学生逐步克服。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电子白板）、计算器、几何画板软件

-课程平台：学校内部网络教学平台、班级学习交流群

-信息化资源：空间向量与平行关系的动画演示视频、在线几何工具、相关数学软件资源库

-教学手段：实物教具（如立方体、正方体等）、黑板或电子白板板书、教学课件教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组生活中常见的立体图形，如书本、长方体、圆柱等，引导学生回顾平面几何中的线、面、体等概念。

2.提出问题：引导学生思考这些立体图形在空间中的位置关系，激发学生对空间向量与平行关系的兴趣。

3.引导学生回顾平面几何中的向量知识，为新课的引入做好铺垫。

二、讲授新课（15分钟）

1.空间向量与共线关系的介绍：介绍空间向量及共线定理的概念，讲解共线定理的证明过程。

2.空间向量与垂直关系的介绍：讲解向量垂直定理的概念，讲解向量垂直定理的证明过程。

3.向量投影的概念和性质：介绍向量投影的概念，讲解向量投影的性质，如投影的长度、投影的夹角等。

三、巩固练习（10分钟）

1.基本练习：布置一些基础题目，让学生运用空间向量与平行关系解决实际问题。

2.拓展练习：布置一些具有挑战性的题目，让学生运用空间向量与平行关系解决更复杂的问题。

四、课堂提问（5分钟）

1.针对基本练习和拓展练习，提问学生解题思路和方法，检查学生对新知识的理解和掌握。

2.鼓励学生提出问题，共同探讨解决方法。

五、师生互动环节（10分钟）

1.创设问题情境：展示一些实际问题，如建筑物的设计、机械制造等，引导学生运用空间向量与平行关系解决这些问题。

2.学生分组讨论：将学生分成小组，让他们针对问题进行讨论，提出解决方案。

3.学生展示：每组选派代表展示解决方案，其他小组进行评价和讨论。

六、核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.引导学生思考空间向量与平行关系在实际生活中的应用，如工程设计、城市规划等。

2.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

七、总结与反馈（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调空间向量与平行关系的重要性。

2.学生反馈：收集学生对本节课的反馈意见，了解学生的学习效果。

3.教师点评：针对学生的反馈，给予评价和指导。

教学过程流程环节：

1.导入环节（5分钟）

2.讲授新课（15分钟）

3.巩固练习（10分钟）

4.课堂提问（5分钟）

5.师生互动环节（10分钟）

6.核心素养能力的拓展要求（5分钟）

7.总结与反馈（5分钟）

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-空间向量在物理学中的应用：介绍空间向量在描述力的方向和大小、物体的运动轨迹等方面的应用，如力的分解与合成、物体在空间中的运动分析等。

-空间几何体的体积和表面积计算：探讨如何运用空间向量计算立体几何体的体积和表面积，包括圆柱、圆锥、球等几何体的计算公式。

-空间几何的坐标表示：介绍空间直角坐标系，讲解点、线、面的坐标表示方法，以及如何通过坐标进行空间几何的计算。

-空间向量在计算机图形学中的应用：探讨空间向量在计算机图形学中的基础作用，如图形的绘制、三维模型的构建等。

-空间向量与线性方程组的关系：介绍空间向量如何与线性方程组相联系，以及如何利用向量解决线性方程组。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关的科普书籍或在线资料，以加深对空间向量概念的理解和应用。

-建议学生通过实际操作，如使用几何软件（如Geometer'sSketchpad、GeoGebra等）来探索空间向量在不同几何图形中的应用。

-组织学生参与数学建模竞赛或项目，让学生将空间向量知识应用于解决实际问题。

-推荐学生阅读相关的数学期刊或学术论文，了解空间向量在数学研究中的应用前沿。

-在课堂上引入实际案例，如建筑设计、机械设计等，让学生通过案例学习，理解空间向量在实际工程中的应用。

-安排学生进行小组讨论或合作学习，通过互相讲解和交流，提高学生对空间向量知识的掌握和应用能力。

-鼓励学生参与实验室活动，通过实验验证空间向量的性质和应用。

-建议学生尝试将空间向量知识与其他学科知识相结合，如物理学、计算机科学等，拓宽知识视野。

-提供在线课程或网络资源，让学生在课后自主学习和复习空间向量相关内容。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、注意力集中程度以及回答问题的积极性。评估学生的课堂表现时，可以关注以下几个方面：

-学生是否能积极参与课堂讨论，提出有建设性的问题或观点。

-学生是否能正确理解和运用空间向量与平行关系的概念。

-学生在解答问题时是否能清晰、有条理地表达自己的思路。

2.小组讨论成果展示：通过小组讨论的形式，评价学生在合作学习中的表现，包括：

-小组成员之间的沟通与协作是否有效。

-小组是否能够共同完成讨论任务，提出解决方案。

-小组展示时是否能够清晰、准确地传达讨论结果。

3.随堂测试：设计随堂测试来评估学生对空间向量与平行关系知识的掌握程度，测试可以包括以下内容：

-选择题：考察学生对基本概念和性质的理解。

-填空题：考察学生对公式的记忆和应用。

-解答题：考察学生运用空间向量与平行关系解决实际问题的能力。

4.学生自评与互评：鼓励学生进行自我评价和相互评价，以促进学生反思和自我提升。评价内容包括：

-学生对自己在课堂上的参与程度、学习态度和成果的自我评价。

-同学之间对彼此在学习过程中的表现进行评价，如沟通能力、合作精神等。

5.教师评价与反馈：教师对学生的学习情况进行综合评价，并提供具体的反馈意见，包括：

-针对学生在课堂表现中的优点给予肯定，如积极参与、正确解答问题等。

-针对学生在学习过程中存在的问题提出改进建议，如加强基础知识的学习、提高解题技巧等。

-对学生在小组讨论中的表现进行评价，强调团队合作的重要性。

-通过随堂测试和课后作业，跟踪学生的学习进度，及时调整教学策略，确保教学目标的实现。

-鼓励学生主动提问，解答学生在学习过程中遇到的问题，提高学生的学习效果。内容逻辑关系①空间向量与共线关系

-空间向量共线定理：若两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反。

-共线条件：两个向量共线，当且仅当它们的比例关系成比例。

-共线性质：共线向量可以表示为其中一个向量的倍数。

②空间向量与垂直关系

-向量垂直定理：若两个非零向量垂直，则它们的点积为零。

-垂直条件：两个向量垂直，当且仅当它们的夹角为90度。

-垂直性质：垂直向量的点积为零，即\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\)。

③向量投影的概念和性质

-投影定义：向量\(\mathbf{a}\)在向量\(\mathbf{b}\)上的投影是一个向量，其方向与\(\mathbf{b}\)相同，长度为\(\mathbf{a}\)在\(\mathbf{b}\)方向上的分量。

-投影长度公式：\(\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}