2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（4）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（4）教学教学实录新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（4）教学教学实录新人教A版必修4。本节课以正切函数的定义和性质为基础，通过实例分析和数学推导，引导学生理解正切函数的单调性、周期性、奇偶性和渐近线等性质，进而绘制正切函数的图象。课程内容与课本紧密相连，符合教学实际，实用性较强。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过探究正切函数的性质，学生能够运用数学抽象思维理解函数概念，运用逻辑推理分析函数特征，通过数学建模解决实际问题，培养直观想象和数学运算能力，同时提高数据分析的能力。教学难点与重点1.教学重点

①理解正切函数的单调性和周期性，能够运用公式和图象进行分析。

②掌握正切函数的奇偶性和对称性，并能识别和描述函数图象的基本特征。

③能够根据正切函数的定义域和值域，绘制其基本图象，并理解渐近线的概念。

2.教学难点

①正切函数性质的理解和推导过程，需要学生具备较强的逻辑推理和抽象思维能力。

②正切函数图象的绘制，特别是理解渐近线在图象上的作用，对学生空间想象能力有较高要求。

③在实际应用中，如何运用正切函数的性质解决实际问题，需要学生能够将理论知识与实际问题相结合。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括人教版《高中数学》必修4中的正切函数相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表和视频等多媒体资源，如正切函数图象的动态展示和实例分析。

3.教学工具：准备直尺、圆规等绘图工具，用于学生绘制正切函数的图象。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括设置分组讨论区，为学生提供合作学习的机会。教学过程一、导入新课

（1）课堂开始，我会首先提问：“同学们，我们已经学习了正弦函数和余弦函数，它们都有哪些性质呢？”

（2）引导学生回顾正弦函数和余弦函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。

（3）接着，我会引入本节课的主题：“今天，我们将学习正切函数的性质与图象，看看它有哪些独特的特点。”

二、新课讲授

1.正切函数的定义

（1）我会先解释正切函数的定义：“正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。”

（2）通过实际例子，如三角形的边角关系，帮助学生理解正切函数的定义。

2.正切函数的性质

（1）单调性

-我会讲解正切函数的单调性：“正切函数在(-π/2,π/2)区间内是增函数。”

-通过图象展示和数学推导，让学生理解正切函数的单调性。

（2）周期性

-解释正切函数的周期性：“正切函数的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ。”

-展示周期性的图象，让学生直观感受周期性。

（3）奇偶性

-讲解正切函数的奇偶性：“正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。”

-通过图象和数学推导，让学生理解奇偶性。

（4）渐近线

-介绍正切函数的渐近线：“正切函数的渐近线是y=kπ，其中k为整数。”

-通过图象展示渐近线，让学生理解渐近线的作用。

3.正切函数的图象

（1）我会引导学生绘制正切函数的基本图象：“首先，在坐标系中画出正切函数的渐近线，然后画出几个关键点，最后连接这些点，得到正切函数的图象。”

（2）通过小组合作，让学生动手绘制正切函数的图象，并观察其特征。

三、课堂练习

1.单项选择题

（1）我会给出几个关于正切函数性质的选择题，让学生独立完成。

（2）学生完成后，我会请他们举手发言，解释自己的答案，并给予点评。

2.应用题

（1）我会给出一个实际问题，要求学生运用正切函数的性质进行解答。

（2）学生完成解答后，我会请他们展示自己的解题过程，并给予指导和反馈。

四、课堂小结

1.回顾本节课的重点内容：“今天我们学习了正切函数的性质与图象，包括单调性、周期性、奇偶性和渐近线等。”

2.强调正切函数在实际生活中的应用：“正切函数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，希望大家能够灵活运用所学知识。”

五、布置作业

1.完成课后练习题，巩固所学知识。

2.查阅资料，了解正切函数在其他领域的应用。

六、课堂评价

1.观察学生在课堂上的参与度，了解他们对正切函数性质的理解程度。

2.收集学生的作业，评估他们对知识的掌握情况。知识点梳理1.正切函数的定义

-正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-定义域：所有实数除去了kπ+π/2（k为整数），即(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)。

2.正切函数的性质

-单调性：在(-π/2,π/2)区间内，正切函数是增函数；在(kπ-π/2,kπ+π/2)区间内，正切函数是减函数（k为整数）。

-周期性：正切函数的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。

-渐近线：正切函数的渐近线是y=kπ（k为整数），即在x=kπ+π/2时，函数值趋向于正无穷或负无穷。

3.正切函数的图象

-正切函数的图象有无数条渐近线，每条渐近线垂直于x轴，并且穿过y=kπ（k为整数）。

-图象在第一和第三象限内，随着x的增加，函数值逐渐增大；在第二和第四象限内，随着x的增加，函数值逐渐减小。

-图象在每个周期内，从y=kπ开始，逐渐逼近渐近线，然后转向下一个周期。

4.正切函数的应用

-在物理学中，正切函数可以用来描述物体在斜面上的运动。

-在工程学中，正切函数可以用来计算三角形的斜率。

-在几何学中，正切函数可以用来求解三角形的边角关系。

5.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系

-正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-正切函数的周期是正弦函数和余弦函数周期的公倍数，即π。

-正切函数的奇偶性与正弦函数和余弦函数的奇偶性相同。

6.正切函数的极限

-当x趋向于kπ+π/2（k为整数）时，正切函数的值趋向于正无穷或负无穷。

-当x趋向于kπ（k为整数）时，正切函数的值趋向于0。

7.正切函数的导数

-正切函数的导数是sec²θ，即dtanθ/dθ=sec²θ。

8.正切函数的反函数

-正切函数的反函数是反正切函数，记作arctanθ。

-反正切函数的定义域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。板书设计1.正切函数定义

①tanθ=sinθ/cosθ

②定义域：(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)

③值域：(-∞,+∞)

2.正切函数性质

①单调性：在(-π/2,π/2)区间内增，在(kπ-π/2,kπ+π/2)区间内减

②周期性：周期为π，tan(θ+π)=tanθ

③奇偶性：奇函数，tan(-θ)=-tanθ

④渐近线：y=kπ（k为整数）

3.正切函数图象

①渐近线：垂直于x轴，穿过y=kπ（k为整数）

②图象特征：每个周期内从y=kπ开始，逼近渐近线，转向下一个周期

4.正切函数与正弦、余弦函数关系

①正切函数是正弦函数与余弦函数的比值

②正切函数周期是正弦函数和余弦函数周期的公倍数

③正切函数奇偶性与正弦函数和余弦函数相同

5.正切函数应用

①物理学：描述物体在斜面上的运动

②工程学：计算三角形的斜率

③几何学：求解三角形的边角关系

6.导数与反函数

①导数：dtanθ/dθ=sec²θ

②反函数：arctanθ，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)典型例题讲解1.例题一：求正切函数的周期

解答：已知函数y=tanθ，求其周期。

解：由于正切函数的周期是π，所以函数y=tanθ的周期为π。

2.例题二：判断正切函数的单调性

解答：已知函数y=tanθ，求其在区间(0,π)上的单调性。

解：在区间(0,π)上，函数y=tanθ是增函数。

3.例题三：求正切函数的值

解答：已知tan60°=√3，求tan(60°+π)的值。

解：由于tan(θ+π)=tanθ，所以tan(60°+π)=tan60°=√3。

4.例题四：求正切函数的反函数

解答：已知y=tanx，求其反函数。

解：由于y=tanx，可以得到x=arctany。因此，正切函数的反函数为y=arctanx。

5.例题五：利用正切函数的性质解题

解答：已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

解：根据两角和的正切公式，我们有：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

代入tanα=2和tanβ=3，得到：

tan(α+β)=(2+3)/(1-2*3)=5/(1-6)=-5/5=-1。

1.正切函数的周期是π，这意味着每隔π个单位长度，函数的值会重复。

2.正切函数在其定义域内是周期性的，但在每个周期的特