2024-2025学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2 6.3.3（教学用书）教学实录 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.26.3.3（教学用书）教学实录新人教A版必修第二册主备人备课成员教学内容教材：新人教A版必修第二册

章节：第六章平面向量及其应用

内容：6.3平面向量基本定理及坐标表示，包括6.3.2向量的坐标表示，6.3.3向量的数量积的坐标表示。核心素养目标培养学生运用向量语言描述现实问题的能力，提升逻辑推理和直观想象素养；强化空间观念，发展数学建模和数学运算能力；通过向量坐标表示的学习，提高学生几何直观和数据分析的应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本章节学习前，通常已经具备平面几何、坐标几何以及向量的基本概念和运算的基础知识。他们能够理解和运用向量加法、减法、数乘等基本运算，以及平面直角坐标系中的点坐标表示。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科的兴趣参差不齐，部分学生对几何问题尤其是涉及向量运算的问题表现出较高的兴趣。学生的能力水平也各异，有的学生具有较强的空间想象能力和逻辑推理能力，能够较快地理解和应用新知识；而有的学生可能在空间概念的理解和几何问题的抽象思考上存在困难。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解概念，而有的学生则更倾向于通过公式和逻辑推导来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习平面向量基本定理及坐标表示时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对向量坐标表示的理解，尤其是如何从几何图形中准确提取坐标信息；二是向量数量积的坐标表示公式推导和应用，可能会因为抽象性较强而感到困难；三是将向量知识应用于解决实际问题，需要学生具备一定的数学建模能力，这可能是学生们的难点之一。此外，学生在处理复杂向量问题时，也可能因为运算错误或概念混淆而出现困难。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即新人教A版必修第二册。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以帮助学生直观理解向量坐标表示和数量积的概念。

3.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，包括清晰的黑板、投影屏幕，以及用于演示的向量图形板和坐标纸。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对平面向量及其应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“向量在日常生活中有哪些应用？你们能想到哪些例子？”

展示一些生活中的向量应用场景，如风力方向、水流速度等图片或视频片段，让学生初步感受向量的魅力或特点。

简短介绍平面向量的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.平面向量基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解平面向量的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解平面向量的定义，包括其主要组成元素或结构：起点、终点、方向和长度。

详细介绍平面向量的组成部分或功能，使用向量图形和坐标纸帮助学生理解。

3.平面向量案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解平面向量的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的平面向量应用案例进行分析，如物理中的运动学问题、工程中的力矩计算等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解平面向量的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用平面向量解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与平面向量相关的主题进行深入讨论，如“如何利用向量解决几何问题”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对平面向量的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调平面向量的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括平面向量的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调平面向量在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用平面向量。

7.布置课后作业（5分钟）

目标：巩固学习效果，培养学生独立思考和解决问题的能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）复习本节课的内容，总结平面向量的关键知识点。

（2）选择一个生活中的实际问题，尝试运用平面向量知识进行解决。

（3）撰写一篇简短的报告，分享自己的学习心得和对平面向量应用的思考。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解与掌握平面向量基本概念：

学生通过本节课的学习，能够准确理解平面向量的定义、几何意义和坐标表示方法。他们能够识别并描述向量的大小、方向和起点，以及如何用坐标形式表示向量。

2.掌握向量运算：

学生学会了向量加法、减法、数乘等基本运算，并能够熟练应用这些运算解决实际问题。他们能够正确计算向量的和、差和数乘结果，以及解决涉及向量运算的几何问题。

3.应用平面向量解决几何问题：

学生能够运用平面向量解决平面几何问题，如计算线段的长度、角度的大小、平行四边形的面积等。他们能够利用向量运算解决向量与直线、平面相关的位置关系问题。

4.发展空间想象能力：

通过学习平面向量，学生的空间想象能力得到了显著提升。他们能够更好地理解几何图形在空间中的位置关系，以及向量在空间几何中的应用。

5.提升逻辑推理能力：

在学习平面向量过程中，学生需要运用逻辑推理来证明向量的性质和解决几何问题。这有助于提高他们的逻辑思维能力和推理能力。

6.培养数学建模能力：

学生在学习平面向量及其应用的过程中，学会了如何将实际问题转化为数学模型。他们能够从实际问题中提取关键信息，运用向量知识构建数学模型，并求解模型得到答案。

7.提高几何直观能力：

通过对向量坐标表示的学习，学生能够直观地理解向量的几何意义。他们能够通过坐标图直观地看到向量的大小、方向和位置关系，从而提高几何直观能力。

8.强化数学运算能力：

在学习向量运算的过程中，学生需要掌握多种运算方法，如向量的数量积、点积等。这有助于提高他们的数学运算能力，为后续学习打下坚实基础。

9.增强合作学习意识：

在小组讨论环节，学生学会了与他人合作，共同解决问题。这有助于培养他们的团队合作精神，提高沟通能力和协作能力。

10.培养创新思维能力：

学生在小组讨论中提出创新性想法和建议，如如何改进现有算法或模型。这有助于培养他们的创新思维能力，为未来职业生涯奠定基础。课后作业1.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec{b}=(-1,4)$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$的坐标表示。

解答：

$\vec{a}+\vec{b}=(2,3)+(-1,4)=(2-1,3+4)=(1,7)$

2.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(4,-2)$和$\vec{b}=(3,5)$，求向量$\vec{a}-\vec{b}$的坐标表示。

解答：

$\vec{a}-\vec{b}=(4,-2)-(3,5)=(4-3,-2-5)=(1,-7)$

3.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(5,2)$和$\vec{b}=(3,-1)$，如果$\vec{a}$和$\vec{b}$平行，求实数$k$的值。

解答：

由于$\vec{a}$和$\vec{b}$平行，存在实数$k$使得$\vec{a}=k\vec{b}$。

因此，$5=3k$和$2=-k$。

解得$k=\frac{5}{3}$和$k=-2$。由于$\vec{a}$和$\vec{b}$平行，$k$的值应为$\frac{5}{3}$。

4.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(2,4)$和$\vec{b}=(-3,6)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的数量积。

解答：

$\vec{a}\cdot\vec{b}=(2,4)\cdot(-3,6)=2\times(-3)+4\times6=-6+24=18$

5.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(3,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值。

解答：

$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{(1,2)\cdot(3,4)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{5}\sqrt{25}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$

6.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(2,-1)$和$\vec{b}=(4,3)$，求向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影长度。

解答：

投影长度$=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{(2,-1)\cdot(4,3)}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{2\times4+(-1)\times3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$

7.作业内容：

已知向量$\vec{a}=(3,5)$和$\vec{b}=(2,-1)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角正弦值。

解答：

$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{3\times2+5\times(-1)}{\sqrt{3^2+5^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{6-5}{\sqrt{34}\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{170}}=\sqrt{\frac{169}{170}}=\frac{13\sqrt{10}}{10\sqrt{17}}$反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践与理论相结合：在教学中，我尝试将抽象的向量概念与具体的物理现象、工程问题相结合，让学生在实际案例中感受向量的应用，提高他们的实践能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、视频等，直观展示向量的运动和变化，帮助学生更好地理解向量的几何意义。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对向量概念的理解不够深入：部分学生在学习向量时，对概念的理解停留在表面，缺乏对向量本质的把握。

2.学生解决实际问题的能力有待提高：在实际应用中，学生往往难以将所学知识灵活运用到实际问题中，需要加强这方面的训练。

3.课堂互动不足：在教学过程中，我发现学生参与课堂讨论的积极性不高，需要改进教学方法，提高学生的参与度。

反思改进措施（三）

1.深入讲解向量概念：在讲解向量概念时，注重引导学生从几何和代数的角度理解向量，并结合实例帮助学生加深对概