2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.2 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）（教师用书）教学实录 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.23.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1主备人备课成员设计意图本节课旨在帮助学生掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，通过实例讲解和练习，使学生能够熟练运用导数求解实际问题，提高学生的数学思维能力和应用能力。教学内容与新人教A版选修1-1教材第3章紧密关联，符合教学实际，有助于学生深入理解导数的概念和应用。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过导数公式的推导和应用，提升学生运用数学语言表达现实世界的能力，增强逻辑推理和数学运算的准确性，以及通过实际问题解决培养数学建模和数据分析的能力。教学难点与重点1.教学重点

-确定基本初等函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数的导数。

-理解导数的运算法则，包括导数的四则运算法则和复合函数的导数法则。

-能够熟练应用这些公式和法则进行求导，如求\((x^2+3x-1)^4\)的导数。

2.教学难点

-掌握复合函数的导数法则，特别是链式法则和乘积法则的应用，如求\(f(g(x))\)的导数。

-理解并应用隐函数求导法，如从方程\(y^2=x^3+5x\)中求\(\frac{dy}{dx}\)。

-分析和解决实际问题时，能够正确选择和使用适当的导数公式和运算法则，例如在物理问题中求解加速度或速度时如何应用导数。

-理解导数的几何意义，即导数表示函数在某一点的切线斜率，并能够通过导数判断函数的单调性和极值。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、黑板、粉笔

-课程平台：学校内部教学平台、在线教学资源库

-信息化资源：导数公式表格、导数运算法则动画演示、相关数学软件（如Mathematica、MATLAB）

-教学手段：课堂讲解、小组讨论、实际问题解决练习、互动式教学软件教学过程设计（用时：45分钟）

一、导入环节（5分钟）

-教师通过展示一张描绘物体运动的图片，提出问题：“如何描述这个物体在某一时刻的运动状态？”

-引导学生回顾物理中速度和加速度的概念，以及它们与导数的关系。

-提问：“在数学中，我们如何描述函数在某一点的瞬时变化率？”

-引入导数的概念，并简要介绍导数在物理学中的应用。

二、讲授新课（20分钟）

1.基本初等函数的导数公式（10分钟）

-以\(x^n\)（\(n\)为常数）为例，推导其导数公式。

-通过类比，推导\(e^x\)、\(\lnx\)的导数公式。

-介绍导数的四则运算法则，并通过例题进行讲解。

2.导数的运算法则（10分钟）

-讲解复合函数的导数法则（链式法则）。

-以\(f(g(x))\)为例，推导其导数公式。

-讲解乘积法则和商法则，并通过例题进行讲解。

三、巩固练习（10分钟）

-学生独立完成课堂练习题，巩固所学内容。

-教师选取部分题目进行讲解，纠正学生易错点。

四、师生互动环节（5分钟）

-教师提问：“如何判断一个函数的单调性？”

-学生回答，教师总结并强调判断方法。

-教师提问：“导数在物理学中有什么应用？”

-学生分享自己的理解，教师引导总结。

五、核心素养拓展（5分钟）

-教师展示一道实际问题，要求学生运用导数解决问题。

-学生分组讨论，教师巡回指导。

-各组汇报解题思路，教师点评并总结。

六、课堂小结（2分钟）

-教师回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

-提出课后思考题，引导学生进一步探究。

七、布置作业（2分钟）

-布置课后作业，包括课堂练习题和相关练习册的习题。

备注：在教学中，教师可根据学生的实际情况适当调整教学内容和进度，确保教学过程流畅，达到预期教学目标。知识点梳理1.导数的概念

-导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

-导数的几何意义：函数在某一点的导数表示该点处切线的斜率。

2.基本初等函数的导数公式

-幂函数的导数：\((x^n)'=nx^{n-1}\)（\(n\neq0\)）

-指数函数的导数：\((e^x)'=e^x\)

-对数函数的导数：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)（\(x>0\)）

3.导数的运算法则

-导数的四则运算法则：\((uv)'=u'v+uv'\)，\((cu)'=cu'\)（\(c\)为常数）

-复合函数的导数法则（链式法则）：\((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdotg'(x)\)

-乘积法则：\((uv)'=u'v+uv'\)

-商法则：\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)

4.隐函数求导法

-隐函数求导法的基本步骤：对等式两边同时对\(x\)求导，将\(y\)视为\(x\)的函数，利用链式法则求导。

5.导数的应用

-判断函数的单调性：根据导数的符号判断函数在某个区间内的单调性。

-求函数的极值：根据导数的符号变化判断函数的极值点，求出极值。

-解决实际问题：利用导数解决物理学、工程学等领域中的实际问题，如求曲线的切线斜率、求解曲线的拐点等。

6.导数的几何意义

-导数表示函数在某一点的切线斜率。

-通过导数可以判断函数在某一点的增减性。

-利用导数可以求出函数的极值点。

7.导数的物理意义

-导数在物理学中可表示速度和加速度。

-利用导数可以求解物体在某一时刻的运动状态。

-导数在物理学中的应用广泛，如求解曲线的切线斜率、求解曲线的拐点等。课后作业1.求函数\(f(x)=x^3-3x+2\)在\(x=1\)处的导数。

-解答：\(f'(x)=3x^2-3\)，所以\(f'(1)=3(1)^2-3=0\)。

2.求函数\(g(x)=2^x+\lnx\)的导数。

-解答：\(g'(x)=2^x\ln2+\frac{1}{x}\)。

3.已知函数\(h(x)=x^2\sinx\)，求\(h'(x)\)。

-解答：使用乘积法则，\(h'(x)=(x^2)'\sinx+x^2(\sinx)'=2x\sinx+x^2\cosx\)。

4.求函数\(k(x)=e^x\lnx\)在\(x=e\)处的导数。

-解答：\(k'(x)=(e^x\lnx)'=e^x\lnx+e^x\cdot\frac{1}{x}\)，所以\(k'(e)=e^e\lne+e^e\cdot\frac{1}{e}=e^e+1\)。

5.已知函数\(m(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\)，求\(m'(x)\)。

-解答：使用商法则，\(m'(x)=\left(\frac{x}{\sqrt{x+1}}\right)'=\frac{(\sqrt{x+1})\cdot1-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{(\sqrt{x+1})^2}=\frac{\sqrt{x+1}-\frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\frac{2(x+1)-x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}=\frac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}\)。

6.求函数\(n(x)=\arctanx+\arcsinx\)的导数。

-解答：\(n'(x)=(\arctanx)'+(\arcsinx)'=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。

7.已知函数\(p(x)=\ln(x^2-1)\)，求\(p'(x)\)。

-解答：\(p'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot(x^2-1)'=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1}\)。

8.求函数\(q(x)=x\sinx+\cosx\)的导数。

-解答：\(q'(x)=(x\sinx)'+(\cosx)'=(x)'\sinx+x(\sinx)'+(-\sinx)=\sinx+x\cosx-\sinx=x\cosx\)。

9.已知函数\(r(x)=e^x\tanx\)，求\(r'(x)\)。

-解答：\(r'(x)=(e^x\tanx)'=e^x(\tanx)'+e^x\tanx\cdot(\tanx)'=e^x\sec^2x+e^x\tanx\sec^2x=e^x\sec^2x(1+\tanx)\)。

10.求函数\(s(x)=\log_2(x+3)-\log_2(x-1)\)的导数。

-解答：\(s'(x)=\frac{1}{(x+3)\ln2}-\frac{1}{(x-1)\ln2}=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)\ln2}=\frac{-4}{(x+3)(x-1)\ln2}\)。课堂1.课堂评价

-提问与回答：通过课堂提问，检查学生对基本概念和公式的理解程度。例如，提问学生如何求幂函数的导数，以及如何应用链式法则求复合函数的导数。

-观察学生参与度：观察学生在课堂练习和讨论中的参与情况，评估他们的学习兴趣和合作能力。

-实时测试：在课堂教学中，通过小测试或快速问答，即时评估学生对新知识的掌握情况。

-反馈与纠正：对于学生的回答，给予及时的反馈和纠正，帮助他们理解错误的原因，并引导他们找到正确的解题方法。

2.学生互动评价

-小组讨论：在小组讨论环节，评估学生是否能够运用所学知识解决问题，以及是否能够有效沟通和协作。

-课堂展示：鼓励学生进行课堂展示，评估他们的表达能力和对知识的深入理解。

3.作业评价

-作业批改：对学生的作业进行细致的批改，关注学生的解题思路、计算过程和最终答案的正确性。

-反馈与指导：在作业批改中，不仅指出错误，还要提供具体的解题步骤和指导，帮助学生理解错误的原因。

-定期回顾：通过定期回顾