黑龙江省哈尔滨市某校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

第页，共页第13页，共13页高一年级期末考试试题数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义求解.【详解】因为集合，所以，所以.故选：D2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据存在命题的否定即可求解.【详解】命题“”的否定是，故选：D3.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解.【详解】由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是．则扇面（曲边四边形）的面积是.故选：C4.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶次根式下被开方数非负以及真数大于零列方程组，解之即得.【详解】要使函数有意义，则，解得，则函数定义域为.故选：D．5.已知函数则（）A. B. C.1 D.4【答案】B【解析】【分析】直接代值计算即可.【详解】由题意，.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数单调性得到，，且，从而比较出大小【详解】，即，由于为第二象限角，故，故.故选：D.7.若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数函数单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解.【详解】因为函数且在上为减函数，所以，函数的定义域为，故排除，；且函数为偶函数，当时，，的图象由的图象向右平移一个单位得到，且在定义域范围内是减函数，故正确.故选：.8.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性画出的大致图象，进而得到fx−1的大致图象，结合图象求得的取值范围.【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，在上单调递减，则在0,+∞上单调递减，，由此画出的大致图象如下图所示，的图象向右平移个单位长度，得到fx−1的图象，如下图所示，由图可知满足的的取值范围是.故选：D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．）9.下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可.【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性；函数的定义域是，又，所以函数为奇函数；函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，又因为时，在上单调递增；函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，在上单调递增.故选：BC.10.下列说法正确的是（）A.函数（且）的图象恒过定点B.若，则C.角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则D.的零点所在的一个区间为【答案】ACD【解析】【分析】A.利用对数函数过定点求解判断；B.由判断；C.利用三角函数的定义求解判断；D.利用零点存在定理判断.【详解】A.令，得，所以函数（且）的图象恒过定点，故正确；B.当时，，故错误；C.角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则，故正确；D.因为在上单调递增，，所以的零点所在的一个区间为，故正确；故选：ACD11.已知函数，函数满足，则（）A.B.函数的图象关于点中心对称C.若实数、满足，则D.若函数与图象的交点为x1,y1，x2,y2，，【答案】BD【解析】【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；举出反例，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.【详解】由，得，所以函数的定义域为，因为所以，故A错误；因为，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，由f−1=则f−1+f0=7>6，此时对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点0,3对称，若函数与图象的交点个数为偶数，且x1,y1与，x2,所以，，所以，若函数与图象的交点个数为奇数，且x1,y1与，x2,则，，且，，所以，故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则，②函数的图象关于直线对称，则.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.计算：______.【答案】2【解析】【分析】直接利用零指数幂的意义和底的对数等于1得到结果.【详解】因为：，，所以原式.故答案：213.已知函数为奇函数.则_______.【答案】1【解析】【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可.【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即此时，，即为奇函数，符合题意.故答案为：1.14.若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________．【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得.【详解】由正数满足，得，则，当且仅当时取等号，由使恒成立，得，所以实数的最大值是9.故答案为：9四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知函数（且）的图象过点.（1）求函数的解析式；（2）解不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件．【小问1详解】因为函数（且）的图象过点.，所以，即；【小问2详解】因为单调递增，所以，即不等式的解集是．16.已知集合，，.（1）若，求实数a取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【详解】（1）若，则，得；（2）由，得，即，所以，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，即，解得.即实数a的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．17.已知．（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由诱导公式即可化简；（2）由诱导公式结合计算即可得解；（3）结合诱导公式将代入计算可得解.【小问1详解】【小问2详解】因为，所以，又因为是第三象限角，所以，所以.【小问3详解】当时，.18.近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求.（1）求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式；（2）当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为10（千件），最大利润是8万元.【解析】【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式；（2）由二次函数的值域即可得到的最值，再结合基本不等式代入计算，即可得到时的最值.【小问1详解】当时，；当时，，所以【小问2详解】若，，即，当时，万元；若，，当且仅当时，即时，万元，因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.19.已知．（1）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（2）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）存在，（2）存在，【解析】【分析】（1）换元令，代入后利用一元二次函数的图象和性质分类讨论即可；（2）根据的单调性联立方程组可得，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意，令，因为，所以，则令，，对称轴为，①当，