2025人教A版高二年级数学上学期期末教学质量模拟检测（一）（含解析）

2024-2025学年上学期人教A版高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()

2222

A.土+匕=1B.匕+七=1

4242

2222

C上+土—1D.土+工=1

164164

2.如图，在正方体ABC。—A4GA中，AB=bMN分别是棱AB，eg的中点，则点A到

直线MN的距离为()

0

AM-------B

A.正C.lD.l

4123

3.直线/：3x-y+4=0的一个方向向量为()

D,闻

A.(3,-1)B.(3,l)C.(l,3)

4.已知点4(3,1)，3(2,3)，若过点的直线与线目4A3相交，则该直线斜率的取值范围是()

A.(-oo,-4][l,^o)

C.(0,4]D.[l,4]

5.已知坐标原点不在圆c：/+y2+x+2y+加=0的内部，则根的取值可能为()

A.lB._iC.2D._2

6.已知直线1+加丁一3=0的倾斜角为150°，则实数根的值为()

A.-./3B._"C.白D.昱

33

7.已知点人(-4,4)，8(—2,—3)，直线—y+左+1=0,若42位于直线/的两侧，则左的取

值范围为()

A(-4,l)B.(-l,4)

C.(f—1)J(4,+CO)D.(YO,-4)_(l,y)

8.已知空间向量Q，b，c满足a+26+J7c=0，|«|=|^|=|c|=1＞则。与匕的夹角为()

A.30°B-150°C.60°D,120°

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.过点(0,1)且与抛物线y2=%有且仅有一个公共点的直线是()

A.%=0B.y=0C.x=lD.y=l

10.已知直线/过点(1,3),且在x轴上的截距是y轴上的截距的3倍，则直线/的方程为()

A.3x+y=0B.%+3y-10=0C.3x+y-6=0D.3x-y=0

11.下列圆中与圆C：(%—4)2+(y—4)2=16相切的是()

22

A.(x—2y+(y-4)2=4B.(x-l)+-y

22

C.(X-3)+(J-3)=4D.(x+4y+(y+4)2

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示,

其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准

线的距离为cm.

13.过原点的一条直线与圆C：(X+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px{p>0)于点P，若|。阳=8,则P

的值为.

22

14.设双曲线曰__21=1的左、右焦点分别为耳，F,,P为双曲线右支上一点，且1=31PE,则

43

NRPF2的大小为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知抛物线C:y=2px(p>0)的准线方程为x=-l-

(1)求抛物线C的方程；

⑵直线l-,y=x-l交抛物线C于A、8两点,求弦长\AB\.

16.如图，已知正方体ABC。-A4GR的棱长为2"为44］的中点.

⑴求证：A3〃平面MCR；

⑵求平面MCDX与平面GCR夹角的余弦值.

17.求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)圆心为(2,3)，经过点(1,—1)；

(2)圆心在直线％=—1上，且与y轴交于点A(0,4)，8(0,2).

18.定义：尸是圆C外一点，过点P所作的圆C的两条切线pw，PN(M,N为切点)相互垂直,

记圆。经过点P,M,N,C,则称尸为圆C的“伴随点”，圆。为“c—p伴随圆”.已知。为坐标原点,

圆。：一+丁2=26,P为圆。的“伴随点”，圆G为“。―p伴随圆”.

⑴求点尸所在曲线的方程.

(2)已知点P的横坐标为6,且位于第一象限.

(i)求圆G的方程；

(ii)己知N为过点尸所作的圆0的两条切线的切点，直线肱V与x,y轴分别交于点E,F,过

点T(0,5)且斜率为左的直线/与圆G有两个不同的交点A,B,若OB=36(|OE|+|M),求/

的方程.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有

AD=2BC=2AB=2CD=PB=PCE，F分别是A。，的中点，动点。在PR上・

(1)证明:平面平面尸BC；

(2)当尸尸时，求平面QA5与平面QCD所成角的余弦值.

参考答案

1.答案：D

解析：设椭圆方程为mx1+ny2=l(m>0,〃>0)，

1

1—1m=—,

把点(4,0),(0,2)代入得："'所以<16

4n=l,1

n=一

故选：D.

2.答案：B

解析：如图，以。为原点，DA，DC，DD｛方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下所示:

易知A(1,O』)，N[O/，3

==H=^1+7+7=T；

MN_2(1ii)』C卡⑹

则a?=』，a七=一^~'

412

[5~r_7174

所以点A到直线MN的距离为7«2-(«-w)2

\4~24~12

故选：B.

3.答案：C

解析：由3x—y+4=0,得y=3x+4,所以直线斜率为左=3，

又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为v=(l,Q,所以直线3x-y+4=0的一个方向向量为

(L3),

故选:C.

4.答案：D

解析：记(1,—1)为点尸，则直线外的斜率绘4=1±1=1，直线网的斜率左="1=4，

3-12-1

因为直线/过点尸(1,-1),且与线段相交，结合图象，可得直线/的斜率左的取值范围是[1,4].

故选：D.

5.答案：A

解析：依题意，方程％2+,2+》+2,+根=0表示圆，则俨+22_4m>0,解得根

因为坐标原点不在圆C\x1+y2+x+2y+加=0的内部，所以加

综上所述，0K根<2,结合选项可知A符合题意.

4

故选：A

6.答案：C

解析：直线x+zny—3=0的倾斜角为150°，

所以斜率一定存在，且左=tanl50°=-无，

3

13

直线x+my—3=0即,=x-\——，

mm

所以斜率左=_4L_L即机

3m

故选：C

7.答案：B

解析：由Ax—y+k+1=0，可得上(x+1)—y+1=0，

所以直线/恒过点尸(-1,1),

由题意，直线只需与线段相交(不包括端点)即可，

故上的取值范围为(一1,4).

故选：B

8.答案：C

解析：设。与。的夹角为夕由4+2。+J7c=0，得a+26=—J7c，

两边平方得/+44.5+4/>2=7c2，所以l+4xlxlxcos8+4=7，

解得cos6=；•又6e[0,兀]，所以。=60.

故选：C.

9.答案：AD

解析：点(0,1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条:

其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴；

可得：直线％=0是过(0,1)且与抛物线相切的直线，

直线y=1是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，

BC选项的直线不满足条件.

故选：AD.

10.答案：BD

解析：当截距为0时，设直线/的方程为y=

将点(1,3)代入可得3=左，左=3,所以y=3尤,即3x-y=0；

当截距不等于0时,设直线I的方程为二+上=1,

3aa

将点(1,3)代入二+上=1可得2+3=1,解得a=3,

3aa3aa3

上+上=1

所以直线/的方程为1010一,即x+3y—10=0,

所以直线/的方程为x+3y—10=0或3x—y=0.

故选:BD

11.答案：AB

解析：由题知，圆C的圆心为(4,4)，半径为4.

A选项，(X—2)2+(y—4)2=4的圆心为4(2,4)，半径为2,故|与0|=代―23+(4-4)=2,

由于|AC|=4—2，所以圆C与(x—2)2+(y—4)2=4内切，A正确；

B选项，(％一1)2+,2=1的圆心为8(1,0),半径为1,故।5cl='(4—1)2+42=5，

由于|BC|=4+1，故圆C与(x—ly+V=1外切，B正确；

C选项，(%一3)2+(丁一3)2=4的圆心为石(3,3)，半径为4,故|石。|=J(4—3f+(4-3)2=夜，

由于|EC|<4—2，故圆C与(％—3)2+(y—3)2=4不相切，C错误；

D选项，(x+4)2+(,+4)2=1的圆心为尸(-4,-4)，半径为1，故|FC|=J(4++(4+4)=8应,

由于|F。>4+1，故圆C与(x+4y+(y+4)2=l不相切，D错误.

故选：AB.

12.答案：—

8

解析：如图,以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

依题意可得A的坐标为3)

设抛物线的标准方程为f=2py(〃〉0〉则?=6p，解得p=q.

故该抛物线的焦点到准线的距离为2cm.

8

13.答案：6

解析：易知圆(x+2)2+y2=3和曲线j?=2°x关于x轴对称，不妨设切线方程y=kx，k>0.

x-女

所以上工=6,解得：Z=百,由<y=6x解得：,%—0I、3

或《

y2=2pxy=02舟’

y二-----

3

所以Qp|==■1^=8,解得：p=6.

3

当左=-G时，同理可得•

故答案为：6.

14.答案：工

3

22_______

解析：因为双曲线?—三=1，则。=2/=6,所以c="77=S，

因为尸为双曲线右支上一点，所以1—1Pg1=2a=4,又IPE1=31PgI，

所以|「耳|=6,|/鸟|=2,|耳玛\=2c=2币,

由余弦定理阳阊2=「片「+归闾2—2忸片HpggsN片尸鸟，

即修⑺2=6?+2?-2X2X6cosN耳柱，解得cos/FJF?=g,又0<N4P工<无,

所以/耳尸g=g.

故答案为：1.

3

15.答案：(1)/=4x

⑵8

解析：(1)由抛物线C：V=>0)的准线方程为1=—1,得光=1,0=2.

抛物线C的方程为丁=4-

⑵设A（%，x），川孙M，

由,,2x1消去y,得f_6%+]=0,则为+4==].

。=4x

又•直线/过抛物线C的焦点，

|AB|=A^+X9+2=8-

16.答案：（1）证明见解析；

（2）1.

3

解析：⑴以点A为坐标原点,AB、">、AA]所在直线分别为了、y、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系A—xyz-

因为正方体ABC。-的棱长为2,M是441的中点,

所以4（0,0,0）、。（2,2,0）、£）（0,2,0）、四（0,0,1）、〃（0,2,2）、4（。，。，2）、B（2,0,0）,

MDX=(0,2,l)，MC=(2,2,-l).

m-MD】=2y+z=0

设平面的法向量为m=（尤//），由<

m-MC=2x+2y-z=Q

令y=1,则z=—2，x=—2，所以加=(―2,1,—2)•

因为48=(2,0,—2)，所以43-m=2*(—2)+0><1+(—2)2=0,

因为A.B<z平面MCR，所以A5//平面MCDi；

⑵由⑴知，平面MCDj的法向量加=（一2,1,—2>

又平面CCR的法向量为A£>=（0,2,0）.

设平面MCD[与平面GCR的夹角为0，

।_____।AD21

则cos0=cos<m,AD>=r—(-；----T=-------=—,

11|m|.|A£)|3x23

所以平面与平面GCR夹角的余弦值为；.

17.答案：⑴(%—2y+(y—3)2=17；

(2)(x+l)2+(y-3)2=2

解析：(1)由两点间的距离公式可得圆的半径厂=JQ—1)2+(3+Ip=J万,

故圆的标准方程为(X—2)2+(>—3)2=17.

(2)因为圆与y轴交于点A(0,4)，8(0,2)，所以圆心在直线y=3上.

又圆心在直线x=—1上，所以圆心的坐标为(—1,3)，

所以圆的半径厂=’(—1—0)2+(3-4)2=,

故圆的标准方程为(x+1)2+(y—3)2=2.

18.答案：(1)%2+/=52；

(2)(i)(x-3)2+(y-2)2=13；(①_y=5.

解析：(1)因为尸为圆。的“伴随点”，所以四边形？为正方形，

贝”叫=而腐=2旧,

所以点P的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆，

故点P所在曲线的方程为Y+V=52.

(2)由题可知尸(6,4).

(i)因为四边形尸MQV为正方形，所以圆心G的坐标为(3,2)，

半径为J62+4=岳,

2

故圆G的方程为(x—3)2+(>—2)2=13.

(ii)因为直线“N为圆G与圆。的公共弦所在直线，

所以直线肱V的方程为3x+2y-13=0.

令y=0，可得％=一,令％=0,可得y二一,

32

所以36（|。目+|"1）=史xg+U]=3。.

1313132J

由题意，可知直线/的方程为y=Ax+5，

代入方程（x—3）2+（y—2）2=13，整理得（1+左2）犬—6（1—左）％+5=0.

设A（Xi，yJ，B（x2,y2y则占+”6,1）,Xix2=-1-^,

所以OA-OB=x^x2+yxy2=%/+（g+5）（Ax2+5）

=（1+左2）xx+5%（%i+々）+25=3°"2"+30•

x2。

1।/C

由题意可得3饭（1—