2025人教版数学八年级下册 第16章 二次根式 单元培优题型训练（学生版+解析版）

第十六章二次根式的九类题型

【题型目录】

题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围

题型二、二次根式的双重非负性

题型三、二次根式的计算

题型四、二次根式的化简

题型五、二次根式求值

题型六、二次根式比较大小和估值

题型七、二次根式规律题

题型八、二次根式的实际应用

题型九、二次根式综合应用

【题型讲解】

题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围

【典例分析】

例1.（2024云南昆明•一模）若式子且在实数范围内有意义，则x的取值范围是

【针对训练】

1.（23-24八年级下,重庆万州•期中）若代数式号^有意义，则x的取值范围是,

2.（24-25八年级上•四川成都•期中）若式子等+（久一4厂2有意义，则支的取值范围

是__•

3.（24-25八年级上•乐山•期中）若式子区寻十（。-3）°有意义，则a的取值范围为

a—2

4.（23-24八年级下•河南郑州•期中）J（8+k）2=（所无『成立的条件是（）

A.k>—8B.fc>—8C./c<—8D.kV—8

例2.（24-25八年级上•江苏泰州•期中）若无，y为实数，且y=而1+/^+2024,贝1J

xy=.

【针对训练】

1.（24-25八年级上•江苏苏州•期中）已知y=3^/（2%-1）+27（1-2%）+2,求炳^+

产的值.

2.（24-25八年级上•四川成都•期中）已知x,y为实数，且>=五三g三±W,则

x+y=.

3.（24-25八年级上•全国•期中）已知实数。满足12024-同+五-2025=。,贝0-20242的

值为（）

A.2024B.2025C.20242D.20252

题型二、二次根式的双重非负性

【典例分析】

例1.（23-24八年级上•甘肃兰州•期中）若“10+（"+1）2=0,则，〃+”的算术平方根的

平方根为.

【针对训练】

1.（24-25八年级上•广东深圳•期中）若x,y为实数，且（x-y+l）?与加工"互为相反

数，贝U2x+y的平方根为.

2.（2023•宁夏银川•二模）已知a,b满足等式/+6a+9+/J=0,贝IJ

a2023b2022=.

3.（24-25八年级上•江苏扬州・期中）若优满足关系式

4.(23-24八年级上,浙江宁波•阶段练习)已知不等式而1+«^＞工+加恒成立，则实

X

数m的取值范围为.

题型三、二次根式的计算

(-)二次根式的加减乘除

【典例分析】

例1.(23-24九年级下.全国.期末)⑴计算：回+百-，xVH+闻;

(2)(-1)2-V27+V4；

(3)(兀-2024)°-|V3-2|-V12.

(二)用完全平方公式和平方差公式计算

【典例分析】

2

例2.(1)(1+273)(1-2V3)+(—1)2024X(V5-兀)°-(1)-.

(2)(—1)2025+(兀—3.14)°+(2+75)(2-Vs)

(3)(275-3V3)2-(4+372)(4-3©；

（三）化简求值

【典例分析】

例3.（24-25九年级上•吉林长春阶段练习）先化简，再求值：含+（1+总），其中

m——3-

【针对训练】

1.(24-25八年级上•陕西西安・期中)计算：

(1)-22+7^27+|V3-2|；

(2)73x(V6+V12)+(-0-2+|1-V2|

(3)|V9-5|+V-0.125；

(4)727+5E-V12+-V45

\/52

2.（23-24八年级下河南郑州.期中）计算：

(1)(V3+V2)(V3-V2)+(V5-.

(2)(2心行+⑻2)®2)

(3)(V3+/『-(V3-2)(73+2)+|l-V6|

3.（24-25八年级上,河北承德・阶段练习）先化简，再求值：［+言其中

a=V2—2•

4.（24-25九年级上.福建厦门.期中）先化简，再求值：缶+左-1，其中

1.

5.（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）先化简，再求值：（岳+近）（岳—近）-

（岳一折丁，其中％=7=|■

6.（2。24九年级上全国,专题练习）若--厂2=。，则急妥的值是（）

B.在C.GD.6或日

3

7.（24-25八年级上•上海•期中）计算:3

题型四、二次根式的化简

（-）已知取值范围化简二次根式

【典例分析】

例1..（24-25八年级上•陕西咸阳・期中）已知实数0,。在数轴上的对应点的位置如图所

示，贝I化简历方-河说+（历刁2的结果等于（）

a（,b

-1,0~1~2^~>

A.0B.-2bC.2a-2bD.—2a

【针对训练】

1.（24-25八年级上•广东佛山,期中）已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则

4c?—\c—a\+J（b—c）2=（）

।]ii»

ab0c

A.-2aB.-2a-bC.-bD.—2b-ct

2.（24-25八年级上,陕西西安・期中）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简笳-

|2a+6|的结果为（）

-J----------------------1------------1_>

a0b

A.2cL+bB.—2a+bC.a+bD.2a-b

3.（24-25八年级上•辽宁丹东•期中）已知，实数a,b在数轴上的对应的点如图所示，化简

（V—a+1『+—|2a+的结果正确的是（）

--------1------------------1-------1----------->

a0h

A.b—1B.—2a+b+1C.-2a—b+lD.b+1

（二）需求取值范围化简二次根式

【典例分析】

例1.（24-25九年级上河南洛阳期中）将二次根式％彦已化为最简二次根式为（）

Va

A.7-a-2B.—y/—a—2C.7a-2D.7a—2

例2.（24-25八年级上•上海•期中）化简：V4x2-4x+1-（Vz7^3）2

【针对训练】

1.（24-25九年级上海南健州,期中）若三角形的三边长分别为2、X、5,化简：

2.化简(Nx-5)2+|2-x|-7(4-x)24-(V8-x)2+J(9-x。

（三）已知化简结果反求取值范围

【典例分析】

例1.若—5尸=5-m,则m的取值范围是

【针对训练】

1.若J（a-3尸+3=a,则a的取值范围是

2.若化简|1-Vx2-8%+16的结果为2x-5,则x的取值范围________

3,若化简一+J（3—a）2的结果为2,则a的取值范围是

题型五、二次根式求值

【典例分析】

例1.（24-25八年级上四川宜宾期中）已知a=W+l,b=6-l，则a2+ab+

b2=.

例2.（24-25九年级上四川遂宁•期中）已知a+：=V7,则a?+专的值为（）

A.V7B.5C•±V7D.-5

-1

例3.（24-25八年级上•福建三明•期中）阅读理解：已知。二左团求2a2一8a+1的

值.小明是这样分析与解答的：

2-6一、同

.*CL----------7=(2+a(2-百)一”

2+V3

a—2——y/3i**•(tt-2)2345=3,ci2—4a+4=3

a2—4a=—1,2a2—8a+1=2(a2—4a)+1=2x(—1)+1=-1

问题解决：

7

⑴化百：两石;

(2)若m=2^1_3,求3租2+I8m+5的值

【针对训练】

1.（23-24八年级下•全国•期末）已知％y=求2/一％y+2y2的值

2.（24-25八年级上•四川成都期中）若0<a<L且a+^=6,则历一专的值为.

3.（24-25九年级上上海•阶段练习）已知a=病-2,则代数式/+4/+5。+1的值

为.

4.（24-25九年级上•四川内江•期中）实数x、y、z满足条件

&+Jy-l+Jz-2=；（x+y+z+9）,贝Uxy-z的值是.

5.（24-25八年级上•陕西西安期中）在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：

已知。=品ZJ，求2a2-12a+3的值.经过讨论，他们是这样解答的：

_1ix(>/io+3)

-V10-3(V10-3)(Vi0+3)=V10+3,即a—3=V10,

，(a—3)2=10,即-6a+9=10.

a2-6a=1

2a2—12a+3=2（a2—6a）+3=2xl+3=5.

请你根据他们的分析过程，解决下列问题：

2、

⑴若m=旧+3,求?n2+67n的值；

(2)若九=^2_4,求2污-16n+9的值.

题型六、二次根式比较大小和估值

【典例分析】

例1.（24-25九年级上•重庆长寿阶段练习）估计2（m+|）的值更靠近整数（）

A.13B.12C.11D.10

例2.（24-25八年级上•广东佛山•阶段练习）比较大小：2V3VH（填">”、

例3.（24-25八年级上•辽宁沈阳•阶段练习）设4-遍的整数部分为a,小数部分为6,则

（a+的值是

【针对训练】

1.（24-25八年级上河北保定•阶段练习）估计（6-后卜志+93的运算结果应在

A.4至IJ5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7至I]8之间

2.（24-25九年级上•江苏•期中）估计（7虎+⑹xjg的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

3.（24-25八年级上•安徽宿州•期中）设6-何的整数部分为小数部分为力,则

a=,（2a+的值=-

4.（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）比较大小：-2避_____-5.

5.（24-25九年级上•重庆开州•期中）比较大小：2cV17,［而的大小顺序是（）

A.2J<VT7<|V62B.25<|V62<V17

\ZZ\ZZ

C.1V62<2<V17D.|V62<V17<2

6.（24-25八年级上•广东深圳•期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道鱼是无理

数，而且“<夜<〃，即1（或<2,无理数是无限不循环小数，因此鱼的小数部分我

们不可能全部地写出来，于是小明用鱼-1来表示/的小数部分，你同意小明的表示方法

吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为a的整数部分是L将这个数减去其整数部

分，差就是小数部分.

又例如：①•••VI<百<〃，即1<百<2;.•.目的整数部分为L小数部分为（百一1）.

②:四（有<眄，即2<6<3,.•.遥的整数部分为2,小数部分为（曲—2）.

请解答：

⑴近的整数部分为小数部分为

⑵设2+的整数部分为。，小数部分为4求（|。+

b的值.

题型七、二次根式规律题

【典例分析】

例1.（24-25九年级上•河南南阳・期中）小强根据学习"数与式”积累的经验，想通过

''由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是小强的探究过程，请补充

完整：

⑴具体运算，发现规律，

特例1：匡=降=2p

q3\3q3\3

特例2：2+-=X、3

特例3:3+-=4.

特例4：一；（填写一个符合上述运算特征的例子）

⑵观察、归纳，得出猜想，如果"为正整数，用含”的式子表示上述的运算规律为：

⑶请证明你的猜想；

⑷应用运算规律计算：/2024+—xV4052.

【针对训练】

=2xJ|；

1.（24-25八年级上•陕西西安・期中）小明做数学题时，发现

J3d=3x扁—白=4x佰;…；按此规律‘若J"

(a,b为正

整数），贝lJa+6=

2（24-25九年级上•重庆万州•期中）.观察下列各式:

与=1+

J.XZ

与=1+

ZX3

3^4=1+

请利用你发现的规律，计算:

1

I+4+4+Ji+J+3+I1+当+当+…+-1--------2

N1'2'N2Z3N34Z201822019,

3（24-25八年级上•四川成都・期中）.阅读下列解题过程:

11X(V5-V4)(V5-V4)

=Vs-V4

V5+V4(V5+V4)(V5—V4)(Vs)2—(V4)2

1lx(V6—V5)(V6—V5)

V6-V5

V6+V5(V6+AA5)(V6-V5)(V6)2-(V5)2

请回答下列问题:

（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子：厂=__________（九22）

Vn+V/n+1

1111

（2）利用上面所提供的解法,请化简:+-7^-=++…+

V2+1V3+V2V4+V3V2017+V2016

题型八、二次根式实际应用

【典例分析】

例1.（2024九年级上•全国•专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方

形ABCD,它的面积是405,AE=6代，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面

积为（）

A.361B.360C.316D.315

【针对训练】

1.（24-25八年级上•山西运城・期中）如图，将面积分别为20和12的正方形ABCD和正方

形CEFG按如图方式放置，延长力交于点则图中阴影部分的面积为（）

ADH

BCE

A.24B.4岳-12C.16V15-48D.60

2.（24-25八年级上.河北保定.阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄

水池的长为3百小，宽为则蓄水池的占地面积为（）

A.45m之B-9-/2m2C.3am2D,6y/3m2

3.（24-25九年级上•河南周口•期中）2024年上半年磊磊家的草莓大丰收.为了运输方

便，磊磊的爸爸打算把一批长为S+2b）cm、宽为（a+6）cm的长方形纸板制成有底无盖

的盒子.如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为26cm的小正方形，然后沿折线

折起即可.现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓.

⑴制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？

（2）当a=6+2W，6=6-2机时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？

题型九、二次根式综合应用

【典例分析】

例1.（24-25八年级上•重庆•期中）任意一个四位正整数a=abed,如果它的各个数位上

的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10,百位与个位上的数字之和是9,则这个

数称为“十拿九稳数”.将机的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为加，其

中产（根）=喑,贝曲（3871）=；若5尸（＞1）+4a+106+1为整数,则满足条件的

“十拿九稳数”小的最大值为.

【针对训练】

1.（24-25九年级上.福建泉州.期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐

波那契（约1170~1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐

波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了

许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰

好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的

应用.斐波那契数列中的第〃个数可以用亲［（竽）"-（三匹）］表示（其中n21），这是用

无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是.

2.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）将边长分别为1,1+a，1+2公，1+3企的

正方形的面积依次记作S2,S3,S4.

⑴计算：S2—S］-；S3—S2=s4—s3=;

⑵若把边长为1+71a的正方形面积记作Sn+1，其中〃是正整数，则从（1）中的计算结

果，可猜出Sn+i—Sn=；

⑶根据(1),(2),令G=S2—S1，t2=S3-S2,t3=S4-S3,tn=Sn+i-Sn,且

T=t]+七++…+£50，求T的值.

3.(24-25八年级上•山西晋中•阶段练习)先阅读材料，然后回答问题.

(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简J5—26.

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

75-276=72-272^3+311；

=J(a)2—2&X,+(百/②；

=J(V2—V3)2@；

=0-百④.

在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为

⑵请根据你从上述材料中得到的启发，化简J9+2同和48+4中

第十六章二次根式的九类题型

【题型目录】

题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围

题型二、二次根式的双重非负性

题型三、二次根式的计算

题型四、二次根式的化简

题型五、二次根式求值

题型六、二次根式比较大小和估值

题型七、二次根式规律题

题型八、二次根式的实际应用

题型九、二次根式综合应用

【题型讲解】

题型一、利用二次根式的定义求字母取值范围

【典例分析】

例「（2024.云南昆明一模）若式子若在实数范围内有意义则x的取值范围是一.

【答案】x>一1且x力2

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零，理解相关知识是

解答关键.

根据二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零列出不等式组来求解.

【详解】解：要使式子雪有意义

则㈡黑

解得%>—1且x丰2.

故答案为：龙2—1且光丰2.

【针对训练】

1.（23-24八年级下•重庆万州・期中）若代数式有意义，则x的取值范围是.

【答案】%>-1

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式分母不为零.利用二次根式和分式

有意义的条件可得x+1>0,再解不等式即可.

【详解】解：由题意得：％+1>0,

解得：x>-1,

故答案为：x>—1.

2.（24-25八年级上,四川成都•期中）若式子黑+Q—4）-有意义，贝卜的取值范围

是—•

【答案】汽>3且#4

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件.根据二次根式被开方数

不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可.

【详解】解：由题可知，

九.120且％—3>0,x—4wO

解得久>3且xW4

故答案为：%>3且%W4-

3.（24-25八年级上•乐山・期中）若式子西（。-3）°有意义，则a的取值范围为

a—2

【答案】-1且〃W2,aW3

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义和零次鬲的条件.根据二次根式被

开方数不小于零的条件，分母不为零，底数不为零的条件进行解题即可.

【详解】解：由题可知，

。+120,a—2工0,a—3Ho

即心-1且aW2,aW3

4.（23-24八年级下•河南郑州•期中）J（8+疗=（付成立的条件是（）

A.k>—8B.k之—8C.kW—8D.k<-8

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得出8+

k>0,解一元一次不等式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可知：8+k20,

解得:k>—8,

故选：B.

【典例分析】

例2.（24-25八年级上.江苏泰州期中）若无，y为实数，且y=*1+75=1+2024,贝1

xy=.

【答案】2024

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟

练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件得到《二:继而解得x=l,则y=2024,再代入求值.

【详解】解：由题意得

解得：％=1,

：.y=2024,

：.xy=1X2024=2024,

故答案为：2024.

【针对训练】

1.（24-25八年级上•江苏苏州•期中）已知y=3J（2x-1）+2j（l-2工）+2,求^^+

/的值.

【答案】|

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，由二次根式有意义的条件

得即得尤=:进而得到y=2,再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式

有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：由题意得［二；;二,

'-y=2,

v（^）+x2=+（丁=i+a）

2.（24-25八年级上•四川成都•期中）已知x,y为实数，且>=正三上经已土电，则

%+y=.

【答案】5或—1/—1或5

【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非

负数求得x、y值，进而代值求解即可.

■-9-X2>0KX2-9>0,

•e•.9=0>即%,=9,解得x=±3,

,y3-2

x+y=3+2=5或x+y=-3+2=-l,

故答案为：5或—1.

3.（24-25八年级上,全国•期中）已知实数a满足|2024-4+/?-2025=a,贝b-20242的

值为（）

A.2024B.2025C.20242D.20252

【答案】B

【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到

a>2025,贝IJ2024—avO,进而得到［2024-&+_2025=a-2024+Ja-2025=0,即可

求得a-20242=2025.

【详解】解：Ja-2025要有意义,

a-2025>0,

a>2025,

2024—avO,

12024-+Ja-2025=a—2024+Ja-2025=a,即Ja-2025=2024,

■■■。一2025=20242,

a-20242=2025，

故选：B.

题型二、二次根式的双重非负性

【典例分析】

例1.（23-24八年级上甘肃兰州•期中）若，〃L10+（〃+1）2=0,则m+〃的算术平方根的

平方根为.

【答案】±73

【分析】本题主要考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为

0.根据非负数的性质列式求出加、〃的值，然后根据算术平方根的定义可得答案.

【详解】解：：，加-10+（"+1）2=0,

/.m—10=0,n+1=0,

解得帆=10,〃二一1,

/.m+n=10—1=9,

的算术平方根的平方根为土g.

故答案为：±6.

【针对训练】

1.（24-25八年级上广东深圳•期中）若x,y为实数，且（无一y+了与2y-5互为相反

数，贝1J2x+y的平方根为.

【答案】±2

【分析】本题主要考查非负数的性质，平方根，解二元一次方程组.先根据平方和被开方

数的非负性得出x-y+l=。，x+2y-5=0,联立求出x和y的值，再求平方根即可.

【详解】解：：—y+1）220,5/x+2y-5>0,且（x—y+1尸与J尤+2y-5互为相

反数，

x-y+l=0,%+2y-5=0,

联、，立fx二-y+l=<0n，j解,得（x=l,,

[x+2y—5=0[y=2

2x+y=2x1+2=4,

2x+y的平方根为±衣=±2.

故答案为：土2

2.(2023•宁夏银川•二模)已知a,b满足等式/+6。+9+/6-；=0,贝

q2023b2022_

【答案】—3

【分析】先根据非负数的性质求出生b,然后根据积的乘方逆运算法则解答.

【详解】解：；〃+6a+9+，J=0,

S+3)2+JT=°-

•••(a+3)2>0,^1>0,

(a+3)2=0,.

a=-3,b=—.

3

.^2023^2022=(M)2022.口=1x(—3)=—3.

故答案为：—3.

【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，属于常考题型，熟练掌握非负数的性质、

能逆用积的乘方法则求解是关键.

3.(24-25八年级上•江苏扬州・期中)若机满足关系式

^3x+5y-2-m+，2x+3y-m=^1-x-y-JxT+y,贝Um=-

【答案】3

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由

二次根式有意义的条件得l-x-y=x-l+y=0,即得x+y=l,

y/3x+5y-2-m+yj2x+3y-m=0,再根据二次根式的非负性得3x+5y-2-〃Z=0,

fx+y=1

2x+3y-加=0,即得x+2y=2,再解方程组；。求出％、V的值即可求解，掌握二

[%+2y=2

次根式有意义的条件及性质是解题的关键.

【详解】解：由题意得，1一元一y20,x-l+y>0,

.'A-x-y=x-l+y-0,

X+y=l,yj3x-^-5y—2—m+[2x+3y—m—0,

「•3x+5y—2—加=0,2x+3y-加=0,

x+2y=2,

(x+y=l兀=0

\x+2y=2解得

J=1

•e-0+3x1—m=0,

m=3,

故答案为：3.

4.(23-24八年级上•浙江宁波•阶段练习)已知不等式而T+工+加恒成立，则实

X

数m的取值范围为.

【答案】

【分析】本题主要考查函数的性质和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题

意求得x的取值范围，再结合已知不等式确定其随x的增大而增大即可求得其最小值，m

小于其最小值即可.

%+1>0

【详解】解：由题意知,工—22。，解得％之2,则MVJX+1+JX-2—,

"0

'•>Jx+1+y/x—2在％之2是随x的增大而增大的，

X

Nx+1+Jx—2的最小值为J2+1+.2—2=573---,

%22

故答案为：m<y/3――.

题型三、二次根式的计算

【典例分析】

(-)二次根式的加减乘除

例1.(23-24九年级下•全国•期末)(1)计算：回+遮一J1xg+后；

(2)(-1)2-V27+V4；

(3)(TT-2024)°-|V3-2|-V12.

【答案】⑴4+V6；

(2)0；

⑶-1-

【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.

(1)先运算乘除，根据二次根式的性质进行化简，再运算加减，即可作答.

(2)根据立方根，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可；

(3)根据零指数寨，绝对值，化简二次根式进行计算即可.

【详解】解：(1)V48V3-xV12+V24=V16-V6+V24=4-V6+2V6

=4+V6.

(2)解：原式=1-3+2=0；

(3)解：原式=1-(2-V3)-2V3=-1-V3.

(二)用完全平方公式和平方差公式计算

例2.⑴(1+273)(1-2V3)+(-1)2°24X(V5-兀)°-(|)-2.

(2)(-1)2025+(兀—3.14)°+(2+75)(2-V5)

(3)(275-3V3)2-(4+372)(4-3企)；

【答案】

(1)-19

(2)-1

⑶49-12后

【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，以及零指数募和负整数指数募的意

义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

(1)先根据平方差公式，乘方、零指数骞和负整数指数骞的意义计算，再算乘法，后算加

减.

(2)先计算乘方，零指数器，再运用平方差公式，计算即可；

(3)先利用完全平方公式、平方差公式计算，再进行二次根式加减运算；

【详解】

解：(1)(1+273)(1一2V3)+(-1)2024X(V5-兀)°一G

=1-12+1x1-9=-19.

(2)原式=-1+1+(4-5)=-1+1-1

=-1；

(3)原式二(2行一3V3)2-(4+372)(4-3近)=(2西『-2x2A/5x3V3+(3V3)2-

42+(3V2)=20-12V15+27-16+18

=49-12V15；

(三)化简求值

例3.（24-25九年级上,吉林长春阶段练习）先化简，再求值：…含一（1+总）其中

m=V3—3.

【答案】焉T

【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则.

先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将小的值

代入化简后的式子计算即可.

【详解】解：3+(1+2)

mz-9'm-3y

_mm—3+3

(m+3)(m—3)m—3

_mm—3

(m+3)(m—3)m

1.

一m+3，

当血=百-3时，原式=—=—.

V3-3+33

【针对训练】

1.(24-25八年级上•陕西西安・期中)计算：

(1)-22+|V3-2|；

(2)V3x(V6+V12)+2+|1-V2|

(3)|V9-5|+收+V-0.125；

(4)V27+5F-V12+iV45

V52

【答案】(1)一5-百

(2)4A/2+9

(3)3

⑷百+竽

【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，以及零指数骞和负整数指数募的意

义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

(1)先算乘方、开方、绝对值，再算加减；

(2)利用二次根式乘法法则，负整数指数鬲法，则以及绝对值的代数意义，计算即可.

(3)根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解；

(4)先化简二次根式，再计算加减即可求解.

【详解】解:⑴-22+^=27+|73-2|

=-4+(-3)+2-V3=-5-V3.

(2)原式=V18+V36+4+V2-1

=3V2+6+4+V2-l=4V2+9.

(3)原式=|3-5|+』+(-0,5)=2+|—之=3；

(4)原式=3V3+5Xy-2V3+|x3V5=3V3+V5-2V3+^

=再+

2.(23-24八年级下河南郑州•期中)计算：

d)(V3+V2)(V3-V2)+(V5-1)2.

⑵(2四-+(遍+2)(遍-2)

(3)(73+V2)2-(V3-2)(73+2)+|l-V6|

【答案】(1)7-2V5

(2)12-4V2

(3)5+3A/6

【分析】(1)先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可.

(2)先将括号展开，化简二次根式，再算乘除法，最后合并.

(3)根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解；

【详解】

(1)解：(基+V2)(V3-V2)+(V5-1)2=(V3)2-(V2)2+(V5)2-2V5+1

=3-2+5-2V5+1=7-2V5.

(2)解：(2V3-l)2+(V3+2)(V3-2)=12-4&+1+3-4

=12-4A/2.

(3)解：原式=3+276+2-(3-4)+76-1

=5+3A/6；

3.(24-25八年级上•河北承德•阶段练习)先化简，再求值：(1+三2“丁，，其

Ia-2)a-4〃+4

中。=V2—2-

【答案】1-V2

【分析】本题考查了分数的化简求值，分母有理化，根据分式的混合运算进行化简，然后

将。=应-2代入化简结果进行计算即可求解.

【详解】解：原式=(E+£)义高普•

CLCL—2

=------X-------

a—2a+2

a

a+2

当a=a—2时，原式=毒二=卒=(22)产=上出=1—/.

V2-2+2V2V2xV22

4.(24-25九年级上•福建厦门•期中)先化简，再求值：*三7+-7-1，其中x=应-

•X十乙K।XJLI

1.

3V2-4

【答案】x-x^

(x+1)2~2-

【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，进行加减运算，化简后，代值计算即可.

2

【详解】解：原式=百方+名告(X+1)

(X+1)2

%—l+2x+2—%2—2x—1

(x+I)2

_%-x2

(%+l)2

(V2-l)(l-V2+l)_(V2-l)(2-V2)_2V2-2-2+V2_3^2-4

当刀=迎一1时,原式=9———

(V2-1+1)222

5.（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）先化简，再求值：（岳+近）（岳—近）-

（岳—后『，其中x=|,7=|.

【答案】2J2盯一2y,V3-1

【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类

项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案.

［详解］解：原式=（岳）2—（折）2_（后—后）2

=2%—y—2%+2yj2xy—y=20盯—2y,

当％=*y=决寸，原式=2J2x；x：-2x3=禽一1.

6.（2024九年级上•全国专题练习）若/—%一2=0,则片詈3的值是（）

（X2-X）2-l+y/3

A.乎BC.吞D.白或？

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是根据题意得到/-»=

.先求得/-代入再根据二次根式分母有理化，即可.

2x=2,（，x广2-x）2产-l+Vl3

【详解】解：V%2-X-2=0,

/.X2—%=2,

-%+2^32+2V^2+26_(2+2⑸(3_旬

(x2-x)2-l+V3-22-l+V33+V3-(3+V3)(3-V3)

2V3

3

故选：A.

7.（24-25八年级上•上海・期中）计算：3

［答案】—

a4

【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减

计算法则求解即可.

【详解】解：3此一（电一师）=:同一（亨一5面）=5曲一亨+5房

l+5ae~~72a

=-----V3a--------

a4

题型四、二次根式的化简

(-)已知取值范围化简二次根式

【典例分析】

例1..(24-25八年级上•陕西咸阳・期中)已知实数0,。在数轴上的对应点的位置如图所

示，则化简-#(a+b)3=1)2的结果等于()

ah

」.」」」.」»

-10123

A.0B.-2bC.2a-2bD.—2a

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握后=|a|是解题关键.

首先根据数轴确定a,b的符号，然后根据二次根式的性质即可进行化简.

【详解】解：••・根据数轴可以得到：—l<a<0<2<b<3,

.♦.a—IvO,a+b>0,b-l>0

•,•原式=1—CL—(a+b)+(b—1)=1—CL—CL—b+b—1

=—2a.

故选：D.

【针对训练】

1.(24-25八年级上广东佛山•期中)已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则

—\c-a\+y/(b—c)2=()

__i______i_________i______i__________>

ab0c

A.-2aB•-2a—bC.-bD.—2b—CL

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次

根式的性质是解题的关键.根据数轴可得到a<0,c-a>0,b-c<0,再根据所给的

二次根式的性质即可求解.

【详解】解：由数轴可知，a<b<O<c,|c|<|&|,

c—a>0,b—c<0,

**•—\c—a\+个（b—c）2=l〃l-I。一+c|

=-u-(c-CL)—(b_c)=_a-c+G-6+c=­b,

故选：C.

2.(24-25八年级上•陕西西安•期中)实数a,6在数轴上的位置如图所示，化简后-

|2a+b|的结果为()

A.2a+bB.—2a+bC.a+b0.2a-b

【答案】C

【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子

的符号，再进行化简即可.

【详解】解：由图可知：a^O<b,\a\>b,

2a+b<O,

原式=—CL+2a+b=a+b；

故选C

3.(24-25八年级上•辽宁丹东•期中)已知，实数a,b在数轴上的对应的点如图所示，化简

(V—a+—|2a+的结果正确的是()

-------1-------------1------1---------->

a0h

A.b—1B.—2a+b+1C.-2a—b+1D.b+1

【答案】D

【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的

定义，绝