2025人教版数学八年级下册 第17章 勾股定理 单元培优题型训练（学生版+解析版）

第十七章勾股定理单元重难点题型归纳与训练

题型归纳

一.作辅助线构造直角三角形求线段长度

二.利用勾股定理的几何意义求图形面积

三.利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

定理的逆定理

四.方程思想在勾股定理中的运用\1-----1十.勾股定理与全等三角形的综合

五.以弦图为背景的问题—J—勾股定理与找规律问题

六.勾股定理与折叠问题1十二.勾股定理与新定义问题

题型讲解

一.作辅助线构造直角三角形求线段长度

【题型解读】通过合理地作辅助线构造直角三角形，再结合直角三角形的各种性质（勾股定

理等），就能有效地解决求线段长度的问题，关键是要根据题目所给的图形和条件特点，

巧妙地选择作辅助线的方式.

1.在三角形中作高构造直角三角形：当已知三角形的一些边和角的信息，但所求线段在非

直角三角形中时，常通过向某条边作垂线（即作高）来构造直角三角形.这样就可以利用

直角三角形的相关性质（勾股定理等）来求解线段长度.

2.割补四边形作辅助线构造直角三角形：对于四边形（如梯形、平行四边形等），如果要

求其中某些线段的长度，可通过连接对角线、作高、平移某条边、同时往外延长边等方

式来构造出直角三角形..

例1如图，在△ABC中，ZACB=90°,CE是斜边A8上的高，角平分线8。交CE于点

M.（1）求证：△COM是等腰三角形；（2）若A8=10,AC=8,求CM的长度.

c

例2如图，在四边形ABC。中，NA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,则AB=.

对应练习:

1.如图，四边形ABC。中/A=60°,NB=ND=90：AD=8,AB=1,贝U8C+C。等于

C.4V3D.3A/3

2.如图，ZkABC中，AB=4,BC=6,8。是△ABC的角平分线，Z)E_LA8于点E,AFLBC

于点R若DE=2,则AP的长为

3.如图，四边形ABC。中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>90°,ACA.BC,若AB=2,

AD=V2,则BD的长为

4.如图，已知/B=/C=/£>=/E=90°,且AB=CZ)=3,8c=4,DE=EF=2,则A,F

两点间的距离是(

【解法提炼】

①利用等腰三角形的性质作高：等腰三角形三线合一

②利用角平分线的性质作高：角平分线上的点到角的两边距离相等

③利用特殊角的性质作辅助线：30°所对的直角边是斜边的一半；含45。的直角三角形是

等腰直角三角形；120°可分割为30°与90°等

④利用平移的性质作辅助线：平移前后图形的形状、大小不变

⑤当作了直角三角形斜边上的高时，可用等面积法求斜边上高的长

二.利用勾股定理的几何意义求图形面积

【题型解读】勾股定理的几何意义是以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的

和，等于以斜边为边长的正方形的面积.

在此基础上，命题中会设计许多变式图形：

1.将正方形改为等边三角形、半圆；

2.会将斜边或直角边上的图形翻折，构造重叠图形，求阴影部分的面积；

3.会设计组合图形，如勾股树等；可以先利用勾股定理的几何意义确定一些关键边长对应的

面积关系，再去求整个图形的面积，或找规律.

此类问题考察勾股定理的几何意义及数形结合思想方法，是考试热点问题.

例1如图，在此△A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,以三角形各边为直径作半圆，其

中两半圆交48于点阴影部分面积分别记作Si和S2,则Si,S2之间应满足的等式

是

c

例2如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，Si,Si,S3,S4分别表

示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是mb,则S1-

S2+S3-S4的值为.（用含。，6的代数式表示）

1.如图，直角三角形ABC中，NC=90°,分别以A3、AC.为直径向上作半圆.若2C

=2AC=6,则图中阴影部分的面积为（）

2.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放

置在大正方形内，己知四边形C£>£G的面积为4,则图中阴影部分面积为.

3.如图，以用/XABC的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点E在线段。尸上,

BC=1,AC=2,记面积为Si,2XBOE面积为S2,贝US1+S2的值为

F

E

4.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行

下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50°的直角三角形，再分别以所

得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上

述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形

斜边长为3,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为.

【解法提炼】

①变式图形结论一致：以直角三角形两直角边为边长的两个小正三角形（半圆）的面积的和,

等于以斜边为边长的大正三角形（半圆）的面积.

②将斜边上的半圆翻折后所构成的阴影部分面积等于直角三角形的面积

②勾股树中，每长出新一层的正方形面积之和都相等，都等于上一层的正方形面之和，也都

等于最下面的正方形的面积.

三.利用求两条线段的平方和(差)

【题型解读】利用勾股定理求两条线段的平方和或平方差，常考解答题或证明题.常用思路:

1.在直角三角形中利用勾股定理变形：々2+〃=，可变形为层=/一房；

2.若两条线段不在已有的直角三角形内，那么可以尝试通过作辅助线的方式构造出合适的直

角三角形，使这两条线段成为该直角三角形的边(可以是两条直角边，或者一条直角边

与斜边)，然后运用勾股定理计算它们的平方和.

3.若两条线段不在已有的直角三角形内，还可利用三角形的性质、构造全等三角形等，通过

等量代换线段进行证明.

例1如图，在△ABC中，AB^AC,于点Z),/CBE=45°,BE分别交AC,AD

于点E、F.

(1)如图1,若A8=13,BC=10,求AF的长度；

(2)如图2,若求证：BF2+EF2^AE1.

对应练习：

1.如图，CE是△ABC的角平分线，过点E作EF〃BC,分别交AC及△ABC的外角NACO

的平分线于点M,F.若CM=3,则CE?+c产的值为()

BCD

A.36B.9C.6D.18

2.如图，在△ABC和△ABO中AB=AC=AD,AC.LAD,AE_L5c于点E,AE的反向延长

线与交于点R连结CO,则线段5RDF,CO三者之间的关系为（）

c

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2=CD1D.2BF-2DF=CD

3.如图，四边形ABC。中，AC-LBD,A£>=3,BC=5,则452+052=______.

B

4.如图，在放ZkABC中，已知NA=90°,。是斜边8c的中点,OE_L8C交AB于点E,连

接CE.

(1)求证：B评-AE?=AC2；

(2)若AC=6,BD=5,求AE的长.

A

BDC

【解法提炼】

①构造直角三角形证明；

②通过线段的等量代换进行证明，如：

等腰三角形的性质：等角对等边；

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等；

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.

四.方程思想在勾股定理中的运用

【题型解读】方程思想是一种重要的数学思想，它是建立数学模型的工具，是沟通已知和未

知的桥梁.从问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的关系用数学符号

（主要是等式）表示出来，通过建立方程（组）来求解未知量，从而解决问题.这种思想

的核心是把未知量当作已知量来对待，利用已知条件建立等式关系.方程思想在勾股定理

及其实际应用中都有重要作用，是中考常考题型.

例1如图，在中，ZACB=90°，AB=lQcm,AC^6cm,动点尸从点B出发，沿

例2如图，在放ZsABC中，ZACB=90°,过点C作CZ）_LAB,垂足为D已知AO=2,

BD=4.设CD长为尤.

（1）根据勾股定理，得4:2=,Bd=.（都用含x的代数式表示）

（2）求x的值.

对应练习：

1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”

问题.对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC+AC=7,4B=5,

AOBC,求AC的长.则AC的长为

A

CB

2.如图，在△ABC中，A5=24,AC=13,。是线段BC上一点，连接A。，AD=20,CD=

21,则5。的长为.

A「_______

【解法提炼】

①合理设元：根据题目条件，设出合适的未知数.如果是直接求直角三角形的边长，通常设

其中一条边为未知数，再根据边与边之间的关系（如和、差、倍数关系等）表示其他边.

②准确找等量关系列方程：

1.在折叠问题中，抓住折叠前后图形全等，对应边相等的性质.先求出折叠后新形成的直角

|三角形的一些边长（利用己知条件和勾股定理），再设未知数表示相关边长，在新的直

角三角形中根据勾股定理列方程.

2.在多个直角三角形关联问题中，利用公共边建立等量关系.在不同的直角三角形中分别用

勾股定理表示出公共边的平方，从而得到方程.

③解方程与检验：对于列出的方程，要熟练运用解方程的方法求解.在求解过程中，可能会

得到多个解，需要根据实际情况（边长不能为负等）进行取舍.

五.以弦图为背景的问题

【题型解读】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的几何图形.它通过图

形的割补，巧妙地利用面积关系，将四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个

大正方形，从而得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方这一重要结论，为

勾股定理提供了一种简洁而直观的证明方法，这也是中国古代数学在几何领域的一项杰

出成就.赵爽弦图充分体现了中国古代数学中“形数统一”的思想.它以几何图形的方

式直观地表达了代数关系，将数与形紧密结合起来，为解决数学问题提供了一种新的思

路和方法.赵爽弦图作为一种经典的数学文化素材，被广泛应用于数学教学中，让学生了

解不同文化背景下的数学发展历程，拓宽了学生的数学视野，培养了学生的跨文化交流

意识和数学素养.因此以赵爽弦图为背景的数学文化类题型是近年的热点题型.

例1【知识链接】在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段.所谓“割”，就

是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形

的面积之和等于原图形的面积.

纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见图1）,并

将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实.上

述规则图形无缝隙、无重叠.

【问题探究】

一张赵爽弦图如图2所示.若四个直角三角形的两条直角边都分别为。和〃（即AF=BG

=CH=DE=a,AG=BH=CE=DF=b）,且

（1）请你用含。、6的代数式表示出正方形EPGH的面积S,并求出当。=5,b=12时，

S的值.

（2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形ABC。的四条边向外

翻折，得到如图3所示的大正方形〃KL、记正方形EFGH的面积为Si,正方形的

面积为S2,正方形/JKL的面积为S3.请问是否存在常数左，使得Si+S3=/S2成立？若存

在，请求出人的值；若不存在，请说明理由.

对应练习:

1.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在

□△ABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向

外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）

是（）

2.如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角

边的长分别为。和6,斜边长为。

(1)如图1请你用它验证勾股定理.

(2)如图2四边形A8CD中AC_LBD于点O,AB=6,BC=5,CD=2,请直接写出A。

图1图2

3.著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长

都为b,斜边长部为c),大正方形的面积可以表示为也可以表示为4x1a&+(a-b)2,

由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则。2+/

—c1.

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；

(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB

=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新

建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH1AB.测得

5=0.8千米，82=0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

(3)已知△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,求△ABC的面积.

4.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，

体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt

△ABC中，ZACB=90°若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题：

(1)试说明：a2+i>2=c2；

(2)如果大正方形的面积是15,小正方形的面积是4,求(a+b)2的值.

【解法提炼】

①熟练掌握勾股定理的各种证明方法;

②熟练运用数形结合思想，以形证数.

六.勾股定理与折叠问题

【题型解读】在图形折叠问题中，折叠前后的图形关于折痕对称，对应边和对应角相等.当

折叠后的图形中有直角三角形时，经常利用勾股定理建立方程求解边长.此类问题考察了

学生的方程思想，是中考常考题型.

例1如图，长方形A8OC中点A坐标为(4,5),点E是x轴上一动点，连接AE,把

沿AE折叠，当点8落在y轴上时点E的坐标为.

例2在长方形纸片A8CD中，46=6,4。=10,点E是边CD上一点，将△AED沿AE所

在直线折叠，使点。落在点尸处.

(1)如图1,当点P落在对角线AC上时，求CP的长;

(2)如图2,当点尸落在边BC上时，求CE的长；

(3)如图3,当点E为。的中点，且AF的延长线交BC于点G时，求CG的长.

DECDE

XBAB

图1图2

对应练习：

L把正方形ABC。沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,再过点2折叠纸片，使

点A落在上的点尸处，折痕为8E,若长为2,则EN的长为.

Az--------------------->^15

2.如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿折叠，使点A落在边上A'点处，点

。的对应点为点。'，若A'8=3,则。/=.

2觇仪

3.如图，△42。和△BCD都是等边三角形纸片，AB=2,将△42。纸片翻折，使点A落在

CD的中点£处，折痕为FG,点只G分别在边AB、上.

(1)求证：△FBE是直角三角形；

(2)求8尸的长.

4.如图，长方形纸片ABC。，AD//BC,将长方形纸片折叠，使点。与点B重合，点C落

在点。处，折痕为EE

(1)求证：BE=BF.

(2)若NABE=18°,求/2FE的度数.

(3)若AB=4,AD=8,求AE的长.

5.如图，在长方形中，AB=12,AD=13,点E为8C上一点，将△ABE沿AE折叠,

使点8落在长方形内点/处，且以'=5.

(1)试说明：△AOF是直角三角形；

(2)点。、F、E是否在一条直线上，请说明理由；

(3)求EC的长.

6.如图所示，四边形0nBe是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，。为原点，点A

在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，0A=10,0C=8,在0C边上取一点。，

将纸片沿翻折，使点。落在BC边上的点E处，求：

(1)线段AE和8E的长度；

(2)两点E和。的坐标.

【解法提炼】

①在折叠问题中，折叠前后图形成轴对称，对应边、对应角相等；

②折叠后的图形中，直角三角形可能并不总是显而易见的，需要仔细分析折叠前后的几何关

系，才能确定哪些部分形成了直角三角形；

③折叠问题常常使用方程思想，列勾股定理方程解决.

7.勾股定理与网格问题

【题型解读】网格问题是勾股定理应用中的常考题型.

1.利用勾股定理在网格中构造直角三角形求斜线段的长度，从而求出三角形的面积、周长、

高等；

2.在网格中按题目要求设计三角形，边长为有理数/无理数，考察了学生对长为无理数的线段

的构造，锻炼了学生的作图能力.

例1如图，在4X4的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若

BD是AABC的高，则BD的长为()

A.2B.V3C.3D.1V3

例2乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧.

(1)图中每个小正方形方格的边长为1,请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形,

直角三角形的三个顶点都在格点上：

①使它的三边中有一边的边长不是有理数

②使它的三边中有两边边长不是有理数

③使它的三边边长都不是有理数

①②③

（2）乐乐认为要计算图中梯形ABC。的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是

直接求梯形A8CD的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程

（割或补的方法只写一种）.

对应练习:

1.（1）如图b在如下6X6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1）,画出一个面积

为17的正方形；

（2）在如，2所示的数轴上找到表示-代的点A（保留画图痕迹）.

2.请你在方格纸上按照要求设计直角三角形:

图1图2图3

（1）使它的三边中有一边边长为无理数；

（2）使它的三边中有两边边长是无理数；

（3）使它的三边边长都是无理数.

3.在每个小正方形的边长为1的网格图形中.每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点

的正方形力BCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是

格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在图1所示的格

点弦图中，正方形力BCD的边长为岳，此时正方形EFGH的面积为52.问：当格点弦图中

的正方形28CD的边长为每时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括52）.

【解法提炼】

①利用勾股定理在网格中画出长为无理数的线段时，通常是把线段放在与网格构成的直角三

角形中，利用勾股定理求其长度；

②在网格中求格点三角形的高，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高，即等面积

法.

八.勾股定理与最短距离问题

【题型解读】在立体图形中，勾股定理常用于求解几何体表面上两点之间的最短距离.这是

因为立体几何图形中的路径情况较为复杂，而将其展开后利用平面上的勾股定理可以有

效地解决最短距离问题.此类问题综合了立体图形和平面图形的知识，能够考查学生的空

间想象能力和对几何定理的应用能力，考察了转化思想，是常考题型.

例1如图，圆柱形玻璃杯高为14c%,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有

一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从

外壁A处到内壁2处的最短距离为（）cm（杯壁厚度不计）.

B蜂蜜

B.21cmC.20cmD.27cm

例2如图所示是一块长，宽，高分别是6cm,5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长

方体木块的顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点8处吃食物，那么

它需要爬行的最短路径的长度为.

对应练习：

1.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有

一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8c7”，底面边长为50〃，则这圈金属丝的长度至少

2.我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱

的高为15尺，底面周长为4尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点

B处，则葛藤的最短长度是（）

A.25尺B.历1尺C.5g尺D.5V^尺

3.如图，在一个长为20加，宽为16根的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较

长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2羽的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点

C处需要走的最短路程是（）m.

A.8V13B.4V41C.2V185D.2V233

4.如图，长方体的长、宽、高分别为3c7九，Icwt,6cm.如果一只小虫从点A开始爬行，经

过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点2处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（）

A.5cmB.4小cmC.6cmD.1cm

5.图①所示的正方体木块棱长为4c",沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，

得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距

离为cm.

B

图①

【解法提炼】

①将立体图形转化为平面图形，再使用勾股定理求最短路径长;

②当路径经过几何体的表面和内侧时，还考察将军饮马问题模型;

③有时展开路径的不同，得到的路径长度不一样，学生应全面考虑所有情况，分类讨论，最

后将不同情况的结果进行比较，得出最短的路径的长度.

九.勾股数相关问题

【题型解读】在几何问题中，当判断出三角形的三边是勾股数时，可以直接利用勾股数的性

质确定三角形是直角三角形，并且可以快速得到边长之间的关系.在实际应用中，要先根

据实际情况构建直角三角形模型，然后看边长是否符合勾股数的特征，如果符合，就可

以简化计算过程.因此，掌握常见的勾股数及勾股数的性质非常重要，是常考题型，是大

题中的常用巧妙计算工具.

L勾股数概念：满足+〃的三个正整数，称为勾股数.

2.常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41；10,

24,26等等.

3.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数左(左为正整数)，得到一组新数，这组数

同样是勾股数.

例1已知：整式A=(次+1)2-(«2-1)2,整式B>0.

尝试：化简整式A；

发现：A=#,求整式B；

联想：由上可知，B2=(n2+l)2-(n2-1)2,BPS2+(n2-1)2=(n2+l)2,当”>1

时，B,"2-1,居+1为直角三角形的三边长，如图，填写下表中8的值：

直角三角形三边/-1B/+1

勾股数组I/17

勾股数组n35

对应练习：

1.有六根细木棒它们的长度分别是3,4,6,8,10,12(单位：cm),从中取出三根首尾

顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为()

A.3,4,8B.4,6,12C.6,8,10D.3,8,12

2.观察下列勾股数组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；-a.b、c.你能发

现什么规律，根据你发现的规律，请写出：

(1)当a=19时，则b、c的值是多少？

(2)当a—2n+l时,求b、c的值.你能证明所发现的规律吗.

3.观察下列勾股数

第一组：3=2X1+1,4=2X1X(1+1),5=2X1X(1+1)+1

第二组：5=2X2+1,12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1)+1

第三组：7=2X3+1,24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1)+1

第四组：9=2X4+1,40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1)+1

…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是(只填数，不填等式)

【解法提炼】

①勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数左(左为正整数)，得到一组新数，这组数

同样是勾股数；

②勾股数具有一定的规律，需要结合题目条件通过观察找出规律求解；

③在寻找勾股数时，如果没有注意等条件限制，可能会得到不符合要求的结果.另外，在应

用勾股数时，没有正确判断是否是直角三角形就盲目使用勾股数的性质，也会导致解题

错误.

十.勾股定理与全等三角形的综合

【题型解读】勾股定理主要用于直角三角形中边的关系求解，全等三角形则侧重于三角形形

状和大小完全相同的判定与性质应用.当这两个知识点综合在一起时，通常会涉及到复杂

的几何图形，往往需要通过构造全等三角形，同时结合勾股定理求出相关线段的长度来

完成解答.勾股定理与全等三角形的综合问题是中考常考题型.

例1如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接B4,尸8,PC,以BP为边作/尸8。=60°,

S.BQ=BP,连接CQ.

(1)观察并猜想AP与C。之间的大小关系，并证明你的结论；

(2)若NAPB=150°,PB=8,E4=6,连接PQ,求PC的长.

例2如图，四边形A2CD的对角线交于点E,BE=ED,ZBAC=90°,ZACD^2ZACB.若

对应练习：

1.如图，在△力中，4B=4。=5,BC=6,线段AB,4C的垂直平分线交于点。，贝|04的

长度为________________.

2.如图，四边形ABC。中，对角线点F为CD上一点，连接交于点E,

AF±AB,DE=DF,ZBAG=ZABC=45°,BC+4G=20/，AE=2ER贝UAF=()

17V2

A.12B.8V2C.10

3.如图，在Rf^CDE中,/DCE=90°,分别以CD、DE为边在放外部作正方形

ABCD和正方形DEFG,连接AG,若S^ADG^=V10,S正方形A3CD=10,则EF的值为.

CE

4.在RfAABC中，NC=90°,点M为边AB的中点，点D在边3c上.

(1)如图1,若AC=6,8C=8,MDLAB,求M。的长；

(2)如图2,过点M作0与边AC交于点E,试探究：线段AE,DE,三者

之间的数量关系，并说明理由.

【解法提炼】

①利用全等三角形性质创造勾股定理应用条件：

首先观察图形，寻找全等三角形的条件(如SSS、SAS.ASA、A4S、HL).一旦证明了三角

形全等，就可以得到对应边相等、对应角相等的结论，这些结论可以帮助我们确定直角三角

形的边或角的信息.就可以进行线段的等量代换，再利用勾股定理进行计算.

②通过勾股定理获取边的信息辅助全等三角形证明：

在一些情况下，需要先利用勾股定理求出某些边的长度，以此来补充全等三角形证明的条件.

比如，己知两个直角三角形有一条公共斜边，且另外两条边的长度关系已知，通过勾股定理

求出各自另一条直角边的长度，从而证明两个三角形全等.

③综合利用两者解决复杂问题：

在求解边长、角度或面积等问题时，要灵活转换思路.如果是求边长，可能先通过全等得到

部分边相等，再在直角三角形中用勾股定理求出其他边；如果是求角度，先利用全等得到角

相等，再结合直角三角形内角的性质（如两锐角互余）求解；对于求面积，可能先通过全等

转化图形形状，再利用勾股定理求出关键边长来计算面积.

十一.勾股定理与找规律问题

【题型解读】勾股定理中的找规律问题是一种综合性较强的题型.它主要是在勾股定理的基

础上，通过一系列给定的直角三角形边长数据、几何图形排列等内容，让学生发现其中

隐藏的规律.这种题型不仅考查学生对勾股定理本身的理解和运用，还考验他们观察、归

纳和推理的能力.

例1如图1,在•△ABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=2,将△ABC放置在平面直角坐

标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上.将AABC按如图2方式顺时针滚动

（无滑动），则滚动2024次后，点8的横坐标为（）

A.2024+6746B.2023+673有

C.2025+674逐D.2022+673V5

对应练习：

L如图，直角二角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1.执行下面的操

作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为

边长作正方形.重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和

为.

2.如图，△OA1A2为等腰直角三角形，04=1,以斜边OA2为直角边作等腰放△OAM3,

再以043为直角边作等腰RfZ\OA3A4,…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则

的长度为.（用含w的式子表示）

3.在△ABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为s,

s

周长为/,探索］与a+b-c的值之间的关系.

（1）填表:

S

abca+b-c—

l

345-------------

51213--------------

81517--------------

（2）分析后猜想：若设a+6-c=〃？（机为正实数），贝=（用〃7表示）；

（3）请写出（2）中结论的推导过程.

4.在平面直角坐标系中,将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放,

点P从原点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边

。4—442-4243—4344—444…的路线运动，设第九秒运动到点B（"为正整数），则点

「2023的坐标是（）

【解法提炼】勾股定理找规律问题解题步骤:

①观察分析数据或图形特点：

1.对于边长规律问题，先观察每组勾股数的大小关系、差值、倍数等特点；

2.对于几何图形规律问题，要仔细观察图形的拼接方式、边长变化、角度变化等.比如在拼

接的正方形和直角三角形组成的图形中，注意每个新添加的图形对整体边长或面积的影

响，是按固定比例增加，还是有其他的数量关系；

②尝试建立数学模型或表达式：根据观察到的规律，尝试用代数式来表示.在几何图形规律

问题中，建立边长、面积等与图形序号"（表示第n个图形或第〃层图形等）的数量关系；

②验证规律的正确性：对于找到的规律，通过代入更多的数据、图形序号等来验证其是否正

确.

易错点分析：

①观察不全面：只看到部分数据或图形的特点，忽略了其他重要信息，导致找到的规律不完

整或者错误.例如，在观察勾股数时，只关注了数字的递增，而没有考虑到三边之间的运

算关系.

②错误建立表达式：在建立数学表达式时，可能由于对规律的理解不准确，导致表达式错误.

比如，在几何图形规律中，错误地判断了边长与图形序号的函数关系，使得计算结果不

符合实际图形.

③验证不严谨：验证规律时，只是简单地代入了少量数据，没有进行全面的验证.当规律比

较复杂时，少量数据的验证可能会遗漏一些特殊情况，导致错误的规律没有被发现.

十二.勾股定理与新定义问题

【题型解读】勾股定理中的新定义问题是一种创新型题型.它是在勾股定理的基础上，引入

新的概念、规则或运算方式，要求学生运用勾股定理以及对新定义的理解来解决问题.

这种题型能够很好地考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和创新思维.常见题型有:

新定义几何概念、新定义运算或关系、新定义动态几何情境，比如，在平面直角坐标系

中定义一种动态的“勾股点”.勾股定理中的新定义问题是考试命题热点.

例1如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角

形”.在•△ABC中，ZC=90°,AC=4V3,若△ABC是“美丽三角形”，则BC的

长

对应练习：

1.定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的

“中高偏度值”.如图，在R/TXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,则△ABC中

AB边的“中高偏度值”为()

1213

C.——D.—

55

2.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABCD,

对角线AC,BD交于点O.

(1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,请求出B&CD2,ZM2的值；

(2)若AB=6,C£)=10,求BC2+AZ)2的值；

(3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.

3.若三角形有一边上的中线等于这条边的长，则称这个三角形为“等中三角形”.

(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,求证：ZvlBC是"等中三角形”；

(2)在放ZXABC中，/C=90°,AC=2值，若△ABC是“等中三角形”，求BC的长.

4.定义:在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a,b、c满足收+/二廿，则称这个三角

形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:

（1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,请求

ZA的度数.

（2）如图2所示，在△ABC中，且NONA,求证：△ABC为“类勾股

三角形”.志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD=CD,再作CEA.BD,请你帮

助志明完成证明过程.

5.方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点

多边形

（1）在图1中确定格点并画出一个以A、B、C、。为顶点的四边形，使其为轴对称图形

（一种情况即可）；

（2）直接写出图2中4EG8的面积是；

（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17.

【解法提炼】

①仔细研读新定义：遇到新定义问题，首先要认真阅读并理解新定义的内容.明确新定义所

涉及的对象（是几何图形、运算还是其他概念）、条件（满足什么要求才能符合新定义）

和结论（根据新定义可以得到什么结果）.例如，对于“勾股四边形”的定义，要抓住

对角线互相垂直这个关键条件，以及联想到与四边形面积计算相关的直角三角形.

②将新定义与勾股定理结合：在理解新定义后，思考如何将其与勾股定理联系起来.如果是

新定义几何图形，看看图形中的直角三角形（可能是隐含的）与新定义的关系.如在“勾

股四边形”中，对角线互相垂直就形成了直角三角形，可利用直角三角形的边（对角线

的部分线段）和勾股定理来解决面积等问题.对于新定义运算，要根据勾股定理确定运算

中涉及的边的关系，再代入运算.

第十七章勾股定理单元重难点题型归纳与训练

题型归纳

一.作辅助线构造直角三角形求线段长度

二.利用勾股定理的几何意义求图形面积

三.利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

定理的逆定理

四.方程思想在勾股定理中的运用\1-----1十.勾股定理与全等三角形的综合

五.以弦图为背景的问题—J—勾股定理与找规律问题

六.勾股定理与折叠问题1十二.勾股定理与新定义问题

题型讲解

一.作辅助线构造直角三角形求线段长度

【题型解读】通过合理地作辅助线构造直角三角形，再结合直角三角形的各种性质（勾股定

理等），就能有效地解决求线段长度的问题，关键是要根据题目所给的图形和条件特点，

巧妙地选择作辅助线的方式.

1.在三角形中作高构造直角三角形：当已知三角形的一些边和角的信息，但所求线段在非

直角三角形中时，常通过向某条边作垂线（即作高）来构造直角三角形.这样就可以利用

直角三角形的相关性质（勾股定理等）来求解线段长度.

2.割补四边形作辅助线构造直角三角形：对于四边形（如梯形、平行四边形等），如果要

求其中某些线段的长度，可通过连接对角线、作高、平移某条边、同时往外延长边等方

式来构造出直角三角形..

例1如图，在△ABC中，ZACB=90°,CE是斜边A8上的高，角平分线8。交CE于点

M.

（1）求证：△COM是等腰三角形；

（2）若AB=10,AC=8,求CM的长度.

c

【解答】（1）证明：・・・3。平分NABC,

：.ZCBD=ZABDf

VZACB=90°,CE上AB,

：.ZCBD+ZCDB=90°,ZABD+ZBME=90°,

'：ZBME=ZCMD,

：.ZABD+ZCMD=90°,

:・/CDB=/CMD,

:・CM=CD,

・・・△CD”是等腰三角形；

（2）解：作。尸，A3于点尸，如图所示，

*：ZDCB=90°,平分NA8C,

:,DC=DF,

VZACB=90°,AB=10,AC=8,

BC=7AB2-24c2=V102—82=6,

*：SAABC-SABCD+S/\ADB，

ACBCBCCDABDF

----=----+-----，

222

厂8X66CD10DF

即—=—+----，

222

解得CD=DF=3,

由（1）知：CM=CD,

：.CM=3,

即CM的长度为3.

【小结】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是

明确题意，利用数形结合的思想解答.

例2如图，在四边形ABC。中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,贝l]A8=

8A/3_.

【解答】解：过点。作OELAB于点E,CT^LOE于尸,

则有四边形BC尸E为矩形，BC=EF,BE=CF,

VZA=60°,

A30°,

VZr>=90°,

：.ZCDE=6Q°,ZDCF=30°,

在△CO尸中，

：C£>=9,

：.DF=1CD=CF=,CD=^,

;EF=BC=6,

921

：.DE=EF-^-DF=6+^=苗，

贝UAE=噌=学，

v3/

：.AB=AE+BE^学+竽=8®

故答案为：8V3.

A

【小结】本题考查了勾股定理的知识以及含30度角的直角三角形的性质，注意掌握在直

角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，难度一般.

对应练习：

1.如图，四边形ABC。中NA=60°,/B=/D=90°,AD=8,AB=I,则2C+C£)等于

()

A.6A/3B.5V3C.4V3D.3百

【解答】解：如图，延长AB、3c相交于E,

在中，可求得AE?-。£2=4。2,且AE=2A£),

计算得AE=16,DE=85

于是BE=AE-AB=9,

在中，可求得BC2+BE2=CE2,且CE=2BC,

:.BC=3®CE=6A/3,

于是CD=DE-CE=2y/3,

BC+CD=5V3.

故选：B.

【小结】本题考查了勾股定理的运用，考查了30。角所对的直角边是斜边的一半的性质，

本题中构建直角△4£»£求8E,是解题的关键.

2.如图，AABC>AB=4,BC=6,2。是△ABC的角平分线，Z)E_L4B于点E,AF±BC

10

于点「若DE=2,则AF的长为一.

-3-

【解答】解：过点。作OH_LBC于H,

A

VDE±AB,DHLBC,是△ABC的角平分线,

：.DE=DH=2,

SAABD+5△CBD-s△ABC，

111

x4x2+-x6x2=_x6xAF,

222

解得4F=学，

故答案为：?.

【小结】此题考查角平分线的性质，三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的

两边的距离相等是解题的关键.

3.如图，四边形ABCD中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>9Q°,AC1.BC,若AB=2,

【解答】解：过点A作AELC。于点E