2025苏教版高二数学上学期期末教学质量模拟检测（一）（含解析）

2024-2025学年上学期苏教版高二年级期末教学质量模拟检测（三）

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

22

1.已知耳，工是双曲线2__匕=1（人〉0）的左、右焦点，过耳的直线与双曲线的左、右两支分别

4b2

交于A,8两点，若为等边三角形，则匕=（）

AA/6B-2A/6C.4aD.4n

2.如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是必=2y,ye[0,10],在凹槽内

放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）

22

3.抛物线E:y=^x2的焦点到其准线的距离为（）

4

11

A.-B.-C.2D.4

84

4.设A,8为双曲线炉—于=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(—D

5.过点（0,—2）与圆/+4x—1=0相切的两条直线的夹角为c,贝|sina=（）

A.lB.---C.---D.------

444

6.点（0,-1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.lB.A/2C.V3D.2

7.若直线2x+y—1=0是圆(%—。)2+丁=1的一条对称轴，则〃=()

111

A.—B.----C.ID.—I

22

8.过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.x-y+l=0B.x+y-l=0

C.2元一y=0或x-y+l=0D.2元+丁=0或x+y+l=0

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线(夕>0)上，过点8(0,—1)的直线交C于P,

0两点，贝K)

A.C的准线为y=—lB.直线AB与C相切

C.OPOQ>OA1D.BPBQ>BA2

10.已知直线/：以+力-尸=0,圆C：必+y2=厂2,点A(q,b).下列命题中的真命题有()

A.若A在C上，贝心与C相切B.若A在C内，贝门与C相离

C.若A在C外，则/与C相离D.若A在/上，则/与C相切

11.在平面直角坐标系中，己知点A(2,0),8(0,2),圆C:(x—a)2+V=1.若圆。上存在点知，

使得1MAi2+|MB|2=12,则实数。的值可以是()

A.-2B.OC.2D.4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线乙，4的斜率％，42是关于。的方程2a2+8a+〃=0的两根，若/i，］，则实数“=.

13.已知直线x—阳+1=0与OC:(x—1)2+/=4交于a,g两点，写出满足“△ABC面积为二”

的m的一个值___________.

14.设〃zeR,过定点A的动直线为+7型+/"=0和过定点B的动直线阿v-y-m+2=0交于点

P(x,y),贝11R41+1|的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.将圆必+9=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E.

(1)求曲线£的方程;

(2)设点A(O,1),点尸为曲线E上任一点，求|上4|的最大值.

16.已知圆C的圆心为(-2,1),且圆C.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上,

并完成解答.

①与直线3x+4y+17=0相切；

②与圆M:(x—2)2+(y—4)2=4相外切；

③经过直线3x+y+2=0与直线%—3y+14=0的交点.

(1)求圆C的方程.

(2)圆N:(x-根)2+/=苏(根＞o),是否存在实数沉，使得圆N与圆C公共弦的长度为2?若

存在，求出实数机的值；若不存在，请说明理由.

17.某湿地公园内有一直角梯形区域ABC。，AD//BC,ADA.CD,|3C|=2|AQ|=40m.相关

部门欲在A,B两处各建一个景点，将。边建成人行步道(人行步道的宽度忽略不计).

C~P------]D

b(1)若分别以A,8为圆心的两个圆都与直线。相切，且这两个圆外切，求A,8两点之间的距离.

(2)若|A31=20夜m,今欲在人行步道(线段CD)上设一观景台P,已知观景台尸在过A,B

两点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台尸设在何处时，观赏和拍

摄的效果最佳？

18.已知直线2x—3y+l=0和直线x+y—2=0的交点为P.

(1)求过点尸且与直线x—3y—1=0平行的直线方程；

(2)若直线/与直线x—3y—1=0垂直，且尸至心的距离为普，求直线/的方程.

19.已知抛物线C的顶点为坐标原点，C关于无轴对称且过点(1,2).

(1)求C的标准方程;

（2）若直线/与。交于4（石,％）,5（%2，%）两点，且玉+%2=8，AB=6,求直线/的方程.

参考答案

1.答案：B

解析：•・・△458为等边三角形，二|AB卜|叫|=忸闾，

\AFi\=\BF1\-\BA\=\BF1\-\BF2\=2a=4>|AF；|=|AF；|+2a=8-N串*=120。，

△耳A居中,由余弦定理有(2c)2=|A片「+|明广—2|4?讣|4?讣cosl20。=112,

••c2—28'b1—c~~a~—24，•-b-2y[6-

故选:B.

2.答案：B

解析：如图，设小球圆心(o,%)(%>0)，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径厂=%•抛物线上点

(x,y)到圆心距离的平方为/=炉+(y—%了=2y+(y-阳了=V+2(1—%)y+y；.若小球触及

凹槽的最底部，则储的最小值在(0,0)处取到，又y20,所以—2(1；%)W0,即为<1,所以

解析：抛物线=即必=4>，则2p=4,所以p=2,

所以抛物线的焦点到其准线的距离为p=2.

故选：c.

4.答案：D

解析：结合选项可知，直线A8的斜率存在且不为零.设4(%,%),A3的中点为

%-L122

/(七,%)，由点A，B在双曲线上，得19两式作差，得『'J—」,即

卜一.9

(Xf)(%+々)=5一%)(…％),化简得『2户+J=9,即

'八'9(i2)(石+々)

入二造•一2_=左加•&=9,因此=9•E.由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x.对于A,

玉一尤2可+尤2%%

2

因为kAB=9X：=9>3,所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B,因为

-191

kAB=9x-=--<-3,所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C,kAB=9x-=3,此

时直线的斜率与渐近线y=3x的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D,

因为KB=9X——==<3,所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.

AB-44

5.答案：B

解析：设圆好+丁―以―1=0为圆c,化简得(x—2)2+/=5,圆心为C(2,0),半径厂=百.如

图，设NCB4=e,则a=2。，sin£=01=,&=*,易知cos。〉。，

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22A/2

J3Jl5

则cos。二一产,所以sin。=sin20=2sin9cose=-----.故选B.

2V24

6.答案：B

解析：点(0,—D到直线H—y+左=0的距离1=里生=、且。竺=、1+^^.当左40时，

TFT!V产+ivF+i

<.1+-=V2,当且仅当左=工，即左=1时等号成立.综上,

d<\；当左>0时，d

V2k

点(0,-1)到直线y=左(x+1)距离的最大值为V2.故选B.

7.答案：A

解析：依题意可知圆心坐标为(。,0),又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴，所以圆心在该直线上,

即2。+0—1=0,解得。=!，故选A.

2

8.答案：C

解析：当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0,满足题意，

2-0

又因为直线过点AQ2),所以直线的斜率为丁了=2,所以直线方程为y=2x,即2%-y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为匹+上=1,因为点A(l,2)在该直线上，所以工+2=1,解得

a-aa-a

a=-l,所以直线方程为x—y+1=0.故所求直线方程为2x—y=0或x—y+l=0.故选C.

9.答案：BCD

解析：如图，因为抛物线C过点所以l=2p,解得。所以C：》2=y的准线方程为

1-(-1)，=*,得

因为左”二一字=2,所以直线A3的方程为y—l=2(x—1),即y=2x—l,由<

1—0y=2x-l,

X2-2X+1=0,A=0,所以直线A3与C相切，所以B正确;

由[y=履—1得%2_6+]=0

设？(%，%)，。(％2，72)，直线PQ的方程为丁=近一1，所以

尤=y

2

xx+x2=k,XjX2=1,且A=^-4>0,得k>2或k<-2所以

OPOQ=Jx；+y；.也;+£=+%；）（¥+x；）

=++k%=J1+（X1+%2）-2%逮2+x；x；=>2-OA1,所以C正确;

BPBQ=收+（%+1）2々考+（为+1）2=+（、+1）2.'考+（后+1）2

=x：+3尤;+1）（x；+3x；+1）=Jx：x；+（3x；x；+3）（x；+x；）+x：+x；+9x；x；+1

解析：圆心(0,0)到直线ax+6y-/=0的距离若点A在圆上，则4+^二产，则

22

d=,r=—=\r\,所以直线/与圆C相切，故A正确；若点A在圆内，则标+匕2</，则

77寿Id

22

d=,'>—=\r\,所以直线/与圆C相离，故B正确；若点A在圆外，则4+62>产，则

必寿Id

22

d=-*'<L=|川，所以直线/与圆。相交，故C错误;若点A在直线/上，则之+廿一产=0,

77寿Id

即4+廿=产，则点A也在圆C上，d=\r\,所以直线/与圆C相切，故D正确.

11.答案：BC

解析：设M(x,y),由|MA|2+|MB|2=12,得(x—2丁+/+必+"—2y=12,整理得

(x—1)2+(y—=4,所以点M的轨迹是以。(1,1)为圆心，半径(=2的圆.圆C:(x—万+y=1

的圆心为C(a,0),半径々=1,由于点M存在，两圆有公共点，所以2—1W|CD|W2+1,即

1<7(«-1)2+1^3,1<(«-1)2+1<9,其中l<(a—iy+1恒成立，由(a—1『+1<9得

(o-l)2<8,|a—1区2应，则—2点Ka—1<2行，解得1—2后<a<1+2行，所以实数a的

值可以是B,C选项，故选BC.

12.答案：—2

解析：因为4,4,而且斜率存在，

所以左］•&=一1，

又上i,左2是关于a的方程2〃2+8〃+〃=0的两根，

所以匕•%=：=—1，解得〃=—2.

故答案为：-2.

13.答案：2或-2或或—工（填一个即可）

22

解析：方法一：由题知，OC的半径r=2,圆心C（l,0）.设圆心C到直线x—阳+1=0的距离为d,

则弦长|AB|=214—d2,所以S-c=g><2j4_d2.叩=|,解得或Q2=g,所以

d=2叵或4=拽.由点到直线的距离公式可知，当d=2叵时，2=撞，解得〃=±2；

555册2+15

当［=上4J5时，2乙=4A*/5,解得加=±±1.综上，加=±2或土I二

5册2+1522

2

方法二：由题知，OC的半径〃=2,圆心CQ0）,圆心C到直线x—“y+l=0的距离/-----Y2,

，加2+i

所以niwO.直线方程x—阳+1=0可化为y='（x+l）,所以直线的斜率为,且过定点（—1,0）.因

mm

1QQ

为点（—1,0）在0c上，设为A（如图），所以S%c=5lAC||%|=，解得1yBi=，所以点B

的纵坐标为土代入0c方程，得（1）2+包=4,解得点B坐标为当或［□,-鼻或

525155］（55）

［―士9］或（―因为4-1,0）,所以直线A8的斜率为土工或乜，故加=±2或土L

（55J155J22

14.答案：［厢,26］

解析：由题意可知，动直线x+缈+根=。经过定点A（0,-1）,

动直线mx-y-相+2=0,即y—2二加（％-1）,经过定点5（1,2）,

所以|A3|=J(O—1)2+(—1—2)2=而，

显然动直线x+my+根=0和动直线和x-y-根+2=0始终垂直,

又因为尸是两条直线的交点，所以E4LPB,

所以|PA「+忸@2==10,

设NAB0=氏贝MQA|=JI5sine,|PB|=710cos6",

因为且|尸耳NO,可得夕e0弓，

所以|PA|+|P周=7i5sin，+Mcos，=2V^sin,+；1,

因为Oejo,巴］,所以，+巴e|*巴,空］,

L2］4144」

所以也＜sin［e+P］〈l,即加＜2百sin［e+四］＜26.

故答案为：［厢,26］.

15.答案:(1)—+y2=1

解析：(1)在曲线E上任取一点Af(x,y),贝！JA/'(x,2y)在圆九2+

所以丁+(2丁)2=4,即一+/=1,

所以曲线£的方程为土+/=1.

(2)设尸(x,y),贝|]|尸4|2=/+(、—1)2=4—4/+(y—1)2

-3/-2y+5=-3+—»ye[-1,1],

所以当y=—!时,(|出|2).=^

所以IPALax=W，即|申|的最大值为半

16.答案：(1)(x+2)2+(y—iy=9

(2)存在实数加=巫匚

2

解析：(1)设圆C的半径为r.

若选条件①，圆C与直线3x+4y+17=0相切,

则圆心C到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径，即r=i+；+17|=3,

所以圆C的方程为(x+2)2+(y—1)2=9.

若选条件②，圆C与圆M:(x—2)2+(y—4『=4相外切，圆M的圆心为(2,4),半径为2,

所以r+2=J(2+2)2+(4_lf=5,所以厂=3,

所以圆C的方程为(x+2y+(y-1『=9.

若选条件③，圆C经过直线3x+y+2=0与直线x—3y+14=0的交点,

13%+y+2=0,x——2,

由V得，所以「二4—1=3,

1%-3丁+14=0,。=4,

所以圆C的方程为(x+2)2+(y—I)?=9.

(2)圆N：(x-7〃y+y2=>0)的圆心为(私0),半径为机，

_________rs

两个圆有公共弦，贝U|〃7—3|<|OV|<〃?+3,BP|m-3|<7(m+2)2+l<m+3,解得机〉

7X+2)2+(V-1)2-Q

由'\，'得，两圆公共弦所在直线的方程为(m+2)x—y—2=0,

(x-m)+y~=m'

又两圆的公共弦长为2,则圆心C到公共弦所在直线的距离为

d=|-2m-4-l-2J=\2m+7\；且2的-储=2,

J(机+2/+1yjm2+4m+5

铲汨V10_11

解得m=-----或m=-------,

22

2A/j7)_1

又m>—,所以m----.经检验符合题意.

52

故存在实数加=巫匚，使得圆N与圆。公共弦的长度为2.

2

17.答案：（1）60m

（2）观景台尸设在C处时，观赏和拍摄的效果最佳

解析：（1）因为分别以A,3为圆心的两个圆都与直线8相切,

所以这两个圆的半径分别为20m和40m,

又因为两个圆外切，所以两个圆心A,8之间的距离为|A5|=40+20=60m,

故A,8两点之间的距离为60m.

（2）以C（。）为原点，C£）所在直线为x轴，8c所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示,

则5(0,40),设A(x,20)(x>0),

由|AB|=2O7I,得|AB=7^^3=200，解得x=20.

所以A(20,20),5(0,40).

因为观景台尸在过A,B两点的圆与直线C。相切的切点处,

所以设过A,B两点的圆的方程为（x—a>+（y—加2=",

已知此圆与线段CD切于点尸（。,0），则0WaW20,

"(20-4+(20-bp=b2,

由A,8两点在圆上，把两点的坐标代入得<