安徽省天一大联考2025届高三下学期3月调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省天一大联考2025届高三下学期3月调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈N|x<4}，B={x∈R|x2−x−6<0}，则A∩B=A.⌀ B.{−1,0,1,2} C.{1,2} D.{0,1,2}2.已知复数z满足(z+1)i=1+i3，则z=(

)A.−2−i B.−2+i C.2−i D.2+i3.已知等差数列{an}的前8项和为48，a2+aA.1 B.2 C.4 D.84.下列函数中，是奇函数的是(

)A.f(x)=ex+e−x3 B.f(x)=5.已知平面向量a，b满足|a|=1，|2a+b|=2，且A.2 B.3 C.2 6.把函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)−1的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数A.x=−11π24 B.x=11π24 C.7.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为(

)A.13 B.713 C.238.已知f(x)是定义域为R的非常值函数，且f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，f(2)=0，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)的定义域为R.若设f(7)=a，f′(1)=b，则曲线y=f(x)在点P(−5,f(−5))处的切线方程为(

)A.y=−bx−5b−a B.y=bx+5b+a

C.y=−bx−5b+a D.y=bx+5b−a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记数列{an}的前n项和为Sn，则下列条件使{A.an+1an=3 B.an+1210.已知F是抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，点N(32,−52)在圆C:x2A.R=1，p=83

B.与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条

C.若圆C上仅有一个点到l的距离为2，则满足条件的t的值有4个

D.若t=0，E上一点Q到l的距离为d，则|QF|+d11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上(A.△EFG可能为直角三角形

B.若H为△EFG的外接圆的圆心，则三棱锥A1−EFG为正三棱锥

C.若A1E=A1F=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为

．13.过双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=bax的垂线l，垂足为A，l与14.记tanπ32=m，若12tanπ四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若D为AC的中点，且BD的长为2，求bc的最大值，并求此时a的值．16.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π3，△BPC是正三角形，PA=6，E为(Ⅰ)求证：PE⊥平面ABCD;(Ⅱ)求二面角D−PA−B的正弦值．17.(本小题12分)口袋中有编号分别为1，2，3，⋯，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．(Ⅰ)从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率;(Ⅱ)从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为X，求X的分布列及期望．18.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(1,32)在E上，直线y=1(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)证明：△BOC的面积为定值;(Ⅲ)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．19.(本小题12分)若函数f(x)的图象上存在三点A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a<m<b，使得直线AB与f(x)的图象在点M处的切线平行，则称m为f(x)在区间[a,b]上的“中值点”．(Ⅰ)若函数f(x)=x2+3x+2在区间[a,b]上的中值点为m，证明：a，m(Ⅱ)已知函数g(x)=2xlnx−x2+tx(ⅰ)求实数t的取值范围;(ⅱ)当t=k(k∈N∗)时，记g(x)在区间[a,b]上所有可能的中值点之和为Sk参考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.C

7.D

8.D

9.AD

10.ABC

11.BCD

12.122

13.214.8

15.【解答】解：(Ⅰ)由正弦定理得a2+bc=b2+c2，

又根据余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

所以cosA=12，

又A∈(0,π)，

所以A=π3．

(Ⅱ)在△ABD中，由余弦定理得4=c2+b24−2c⋅b2cosA，

整理得16=4c16.解：(Ⅰ)连接AC，AE．

因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC=π3，

所以△ABC是正三角形，

又因为E为BC的中点，

所以BC⊥AE，且AE=3，

因为△PBC为正三角形，E为BC的中点，

所以PE=3，PE⊥BC．

在△PAE中，PA=6=AE2+PE2，

所以PE⊥AE，

又因为BC∩AE=E，BC,AE⊂平面ABCD，

所以PE⊥平面ABCD．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EA，EC，EP两两垂直，以E为坐标原点，EC，EA，EP所在的直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图：

由已知可得B(−1,0,0)，A(0,3,0)，D(2,3,0)，P(0,0,3)，

所以PA=(0,3,−3)，PD=(2,3,−3)，PB=(−1,0,−17.解：(Ⅰ)总共有10个小球，任取3个的组合数为：C103=120，

要求取到的小球编号既有奇数又有偶数，可以通过补集法计算：

全为奇数的组合数：C53=10，全为偶数的组合数：C53=10，

不满足条件的总组合数：10+10=20，

所以满足条件的组合数：120−20=100，

因此取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率P=100120=56；

(Ⅱ)从10个小球中任取5个，最小编号X的可能取值为1，2，3，4，5，6，

则P(X=1)=C94C105X123456P155551

所以E(X)=1⋅1218.解：(Ⅰ)因为E的离心率为12，

所以a2−b2a=12， ①

又点P在E上，所以1a2+94b2=1． ②

由 ① ②，解得a=2，b=3，

所以E的方程为x24+y23=1．

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意有C(x1,−y1).

由3x2+4y2−12=0y=12x+m，得x2+mx+m2−3=0，

Δ>0⇒m2<4，x1+x2=−m，x1x2=m2−3，

S△BOC=12|OB|⋅|OC|sin∠BOC

=12|OB|⋅|OC|1−OB⋅OC|OB|⋅|OC|219.解：(I)由题意知f(b)−f(a)b−a=f′(m)，

因为f(b)−f(a)b−a=b2−a2+3(b−a)b−a=a+b+3，

又f′(m)=2m+3，

所以a+b+3=2m+3，即a+b=2m，

所以a，m，b成等差数列;

(Ⅱ)(i)g′(x)=2lnx−2x+2+t，

设ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=2x−2=2(1−x)x，x>0，

当0<x<1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x>1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减．

故ℎ(x)max=ℎ(1)=t，且当x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→−∞．

若t≤0，则恒有ℎ(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，不符合题意;

若t>0，则ℎ(x)在(0,1)和(1,+∞)上分别存在一个零点，记为x1，x2，

当0<x<x1时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x1<x<x2时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>x2时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减，

故存在b>a>0，满足g(a)=g(b)．

所以t的取值范围是(0,+∞)