浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1．设函数fx=ax+1，若f'A．2 B．−2 C．3 D．−32．已知随机变量X的分布列为PX=k=1A．116 B．332 C．5423．若函数y=fx在x=x0处的导数等于aA．a B．2a C．3a D．14．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对p,p+2称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（）A．114 B．17 C．3145．2−3x2A．17 B．20 C．75 D．1006．函数fxA．f'1<C．f'1<f7．已知P(A)=0.6，P(AB)=0.A．P(B)=0.4 C．P(A|B)=08．把函数f(x)=x3−3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u>0，曲线CA．2 B．4 C．6 D．8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.20.10.40.1若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有（）A．EX=2 B．DX=1.8 C．10．已知(2x−1)7A．a0=1 C．a5=−672 11．已知函数f(x)A．不等式f(x)B．若直线y=k与函数f(x)的图象有且只有两个不同的公共点，则C．方程f(D．若关于x的不等式f(x)<ax三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．方程C15x213．过原点的直线l与y=ex相切，则切点的坐标是14．若函数fx=x−13sin2x+asin四、解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．已知函数fx=2x（1）求实数a,b的值；（2）当x∈0,3时，求函数f16．在x+（1）求二项式系数最大的项；（2）若第k+1项是有理项，求k的取值集合；（3）系数最大的项是第几项.17．某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男､女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.18．有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X表示这3个球的得分之和，求X的分布列及数学期望；（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.19．已知函数fx（1）当a=12时，求函数（2）若函数fx有两个极值点x（i）求a的取值范围；（ii）证明：f

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵f'1=∴a=2．故答案为：A．【分析】利用导数的定义可求a的值.2．【答案】D【解析】【解答】P1<X≤3故答案为：D.【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.3．【答案】B【解析】【解答】limΔ答案为：B.【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.4．【答案】B【解析】【解答】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含C8而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为P=4故答案为：B.【分析】根据古典概型概率公式的计算，即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】因为2−3因为(1+x)5的通项为：T令r=3可得C53x3=10所以2−3x2(1+x)5故答案为：A.【分析】由2−3x2(1+x)5=2(1+x)5−6．【答案】C【解析】【解答】设A1,f(1),B2,f(2)而kAB故f'故答案为：C.【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.7．【答案】B【解析】【解答】因为P(A)=0.6，所以P(A)=0.4,P(AB)=0.3,

P(AB)+P(AB)=P(B),P(BA)=P(BA)P(8．【答案】B【解析】【解答】根据题意曲线C2的解析式为y=(x−u)3−3(x−u)−v,则方程(x−u)3−3(x−u)−v=x3−3x，即3ux2(u3−3u+v)≤0，即v=−14ai2+3u对任意u>0恒成立，于是v=−14ai2+3u的最大值，令g(u)=−14u3+3u(u>0),则9．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A：由q+0.2+0.1+0.4+0.1=1，解得q=0.2，所以E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.1=2，故A正确；对于B：D(X)=(0−2)对于C：E(Y)=E(2x+1)=2E(X)+1=5，故C正确；对于D：D(Y)=D(2x+1)=2故答案为：A、B、C.【分析】根据分布列的性质求得参数q，结合分布列求得E(x),D(X)，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A：令x=1，可得a0对于B：令x=2，a0所以a1对于C：[1+2(x−1)]7二项式的展开式的通项公式为T6所以a5对于D：令x=32，可得所以a0所以a1故答案为：A、B、D.【分析】利用赋值法可判断A、B、D正确；由(2x−1)711．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=x当x<−2或x>1时，f'(x)<0，所以f(x)在当−2<x<1时，f'(x)>0，所以f(x)在所以f(x)在x=−2处取得极小值，f(−2)=−e2，在x=1处取得极大值，而x>1时，恒有f(x)>0成立，所以f(x)的最小值是−e2，即f(x)B、若函数f(x)与直线y=k有且只有两个交点，由A可得函数f(x)的大致图象如下：由图可知，当−e2<k≤0或k=5eC、由f(x)=0，得x2+3x+1=0，解得x=−3±52，令f(x)=−3+52，和f(x)=−3−综上，方程f(D、直线y=ax过原点，且f(−1)=−e，f(−2)=−e2，记k1易判断，k1<k2，不等式f(x)<ax恰有1个负整数解，即曲线f(x)在故答案为：AD.【分析】对函数f(x)求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线f(x)的图象，根据图象可判断B选项；令f(x)=0，解得x=−3±5212．【答案】1或2【解析】【解答】由C15x2+2x=则：x2−2x+1=x−1解得：x=1或x=2或x=−8，当x=-8时，显然不符合题意；当x=1时，则C15当x=2时，则C15故x=1或x=2.故答案为：1或2.【分析】由组合数的性质由C15x2+2x=13．【答案】(1,e)【解析】【解答】由题意设切点坐标为(x由y=ex，得y'=e则直线l的方程为y−e将(0,0)代入，得−e则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)【分析】设切点坐标为(x0,14．【答案】−【解析】【解答】解：函数fx=x−1由题意，函数fx=x−1∴f'x=1−即−43cos令t=cosx，则t∈−1,1∵−43cos∴gt=−4又∵gt∴g−1=−4∴a的取值范围是−1故答案为：−1【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在−∞15．【答案】（1）解：f'因为fx在x=1所以f'1此时f'令f'x<0可得：1<x<2；令f'x所以fx在1,2上单调递减，在−∞,1所以fx在x=1所以a=9,fx又f1=2−9+12+b=6（2）解：fx=2列表如下：x00,111,222,33f+0-0+f1↗极大值6↘极小值5↗10由于1<5，故x∈0,3时，f【解析】【分析】（1）由f1=6f（2）对fx求导，得出fx的单调性和极值，结合端点值即可求出函数fx（1）f'因为fx在x=1所以f'1此时f'令f'x<0可得：1<x<2；令f'x所以fx在1,2上单调递减，在−∞,1所以fx在x=1所以a=9,fx又f1=2−9+12+b=6（2）fx=2列表如下：x00,111,222,33f

+0-0+

f1↗极大值6↘极小值5↗10由于1<5，故x∈0,3时，f16．【答案】（1）解：x+2x28（2）解：二项式x+2x当4−52r为整数时为有理项，即r=0,2,4,6,8，则k（3）解：设第r+1项的系数最大，则C8r2r≥故系数最大的项为第6项和第7项.【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质求解即可；（2）由二项式展开式的通项公式代入计算求解即可；（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算求解即可.​17．【答案】（1）解：方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有C2方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有C12（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故共有C8（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选，有C11第二类：女组长不当选，男组长当选，有C10共有C11【解析】【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：有一名组长和两名组长，故共有C2方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有C12（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，故共有C8（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：第一类：女组长当选，有C11第二类：女组长不当选，男组长当选，有C10共有C1118．【答案】（1）解：由题意，X的可能值为3,4,5,6.PX=3PX=5所以X的分布列为X3456P231282所以EX（2）解：记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件B1，“选择2号盒子”为事件B2，则PB1=PB2=12【解析】【分析】（1）由题设X的可能值为3,4,5,6，并计算出对应概率，即得分布列，进而可求数学期望.（2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可.（1）由题意，X的可能值为3,4,5,6.PX=3PX=5所以X的分布列为X3456P231282所以EX（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件B1，“选择2号盒子”为事件B则PBPA=PB由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：PB19．【答案】（1）解：当a=12时，f'显然f'x≥0所以fx在0,+（2）解：（i）由题设f'x=若a≤0，则f'x<0即fx单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故a>0又fx则x1,x所以Δ=4a−12−4a2=4（ii）由（i）0<a<12且x1则f==aln要证fx1−fx2只需证lnx即12lnx1x由（1）可知当a=12时，fx又0<t<1，故f