2025新高考数学：数列新定义与综合应用

3新右考裁考,微利新定义易候金成用

CLIEJO

题型一斐波那契数列......................................................................1

题型二差数列及阶差数列..................................................................3

题型三平方数列与类平方数列.............................................................7

题型四数列的单调性......................................................................8

题型五数列的凹凸性.....................................................................11

题型六数列的周期性.....................................................................18

题型七数列的新概念.....................................................................26

题型八数列的新性质.....................................................................35

好题训练.................................................................................40

高考真题训练.............................................................................69

题型一斐波那契数列

L（2024•黑龙江大庆•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列

数：1,1,2,3,5,8,…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样

的一列数所组成的数列｛册｝称为“斐波那契数列”，则出+/+a什…+a强是斐波那契数列中的第

。2024

______项.

【答案】2025

【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果.

Q+i+a,

【详解】依题意有：an+2=九n

a2024a2025=。2024（。2024+。2023）=滤024+a2023（a2023+a2022）

=<2-2024+。?023+。2022（。2022+。2021）=a2024+。?023+a2022H1~咫+Q2al

—咫024+咫023+谖0224----卜咫+瑞,

所以.，+一+成H------1-忌02402024a2025_

一—a2025，

0-202402024

故答案为：2025.

2.（2024.贵州遵义.模拟预测）（多选）数列｛耳｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，又称

黄金分割该数列,从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即用+2=冗+i+F<nGN*）,则下列选项

正确的是（）

A.Eo=55B.£+用+耳+片+...+鸟3=月4

C.耳+用+或+展+……+居侬=耳025D.母+靖+后2+皆+……+琛=工•尺+]

【答案】ABD

【分析】根据递推公式进行验证.

【详解】由已知Eo=21+34=55,A正确；

=

&=&+&=月3+&+&=•••=月3+P11------1■用+F月3+&H----1■用+耳，B正确；

2•••

岳025=^024+E()23=Eo24+耳022+鸟021=…=^024+^2022H>■胤+玛=Eo24+另022H>■胤+岳+E,。错；

尺尺+i=同(£+同_J=琛+Fn_xFn=琛+耳T(笈t+E-2)=温+琛-1+冗-1尺-2=…=琛+琛-1H^莺

+网月

=琛+雁1+--+琢+月(月+却=理+展1+-+琢+琢+月月=琛+辟1+--+号+莺+匿，。正确，

故选：ABD.

3.（23-24高三上•河北廊坊・期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,

5,8,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a.+2=an+i+a„（n€7V*），故此数列称为斐波那

契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为a”=±［（土笋『—（六⑤『］,设"是不等式

1082［（1+函）”一（1一0）"］>"+6的正整数解,则71的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】。

nn

【详解】因为log2[(l+V5)-(l-V5)]>n+6,

nnn-—nrl

所以log2[(l+V5^)-(1—V5)]—n>*6,log2[(l+A/5)(1V5)]—log22>6,

即】。段[(力⑤

故厅卜一）">26

故「我［（笞>（二『］>为，所以a>,，

012912

由斐波那契数列可知（18=21，丽=34,则成V—,端>一,

55

所以?I的最小值为9,

故选：D.

4.（2024•河南•模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技

术领域有着广泛应用，把斐波那契数列｛£｝（百=司=LE+2=冗+工+1）中的奇数换成0，偶数换成1

可得到0—1数列｛aj，若数列｛an｝的前几项和为S.,且=100,则k的值可能是（）

A.100B.201C.302D.399

【答案】。

【详解】因为=2*2=1,E,+2=Ei+Fn+1,

所以月=2,胤=3,居=5,耳=8,耳=13,久=21,网=34,…，

所以数列｛aj的前若干项为：

a1—^—0,^—1,^—0,a5—0,a6—l,a7—0,as—Q,a9—l,■■■,

则+U>2+--a4+（Z5+de—Gty+Ct>8+Gtg—***—1,

所以Sioo=33x1+0=33,$201=67X1=67,

$302=100x1+0x2=100,$399=133X1=133.

故选：C.

5.（24-25高二上•山东青岛•阶段练习）在数学上,斐波纳契数列｛%｝定义为：的=1,a2=1,an+2=an+

an+1，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据a,l+2=an+an+1可得册=册+2—册+i,所以的十

Q2H----5=(。3一。2)+(。4一。3)4-----卜@+2—M+1)=%+2-。2=册+2-1，类比这一方法，可得

+••，*=()

A.714B.1870C.4895D.4896

【答案】。

【详解】根据题意,数列｛%｝满足册=an+2-an+1,即an+1=an+2~%,

两边同乘以an+1，可得Q"I=an+2an+1-an+1an,

贝I曷+弱-I—<Zio=备+(a2a3—a2«i)+(a3a4—a2a3)+

...+(的()&11-cz-gGtio)~1—a2al+OjioCbn—1—1+55X89=4895.

故选：C.

6.(2024•山东•模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一

列数：1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等

于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F(n)(n67V*)表示斐

波那契数列的第八项,则数列｛尸⑺｝满足：F⑴=尸⑵=l,F(n+2)=F(n+1)+F(n).则下列说

法正确的是()

A.尸(10)=34

B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)

C.F(l)+F⑵+-+F(2023)=尸(2025)-1

D.[F(l)]2+[斤⑵?+…+[斤(2023)『=斤(2023)5(2024)

【答案】BCD

【详解】对于由题意可知斐波那契数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

所以F(10)=55,所以4错误，

对于B,当n>3时，F(n—1)+F(n—2)=F(n),F(n+1)=F(n)+F(n—1),F(n+2)=F(n+1)+

Fg,

所以三式相加得F(n-1)+F(n-2)+F(n+1)+F(n+2)=F(n)+F(n)+F(n-1)+F(n+1)+F

(九)，

所以3F(n)=F(九一2)+F(n+2)m>3),所以B正确，

对于。，因为数列｛F(n)｝满足：F(1)=F(2)=l,F(n+2)=F(n+l)+F(n),

所以F(3)=尸⑵+F⑴,F(4)=F(3)+F(2),F(5)=F(4)+F⑶,……,

F(2023)=F(2022)+F(2021),F(2024)=F(2023)+F(2022),F(2025)=F(2024)+F(2023),

以上2023个等式相加得F(2025)=尸(2)+F⑴+F(2)+F⑶+…+F(2022)+F(2023),

因为F(2)=1,所以F⑴+F(2)+…+F(2023)=F(2025)-1,所以。正确，

对于。，因为F(l)=F(2)=1,歹(九+2)=F(n+l)+歹(九)，

所以[F⑴/=F(1)F(2)，[尸(2)]2=F(2)F(3)--⑴F⑵,

[F(3)]2=F(3)F(4)-F(2)F(3),[F(4)]2=F(4)F(5)-F(3)F(4),

[F(2022)『=F(2022)F(2023)-F(2021)F(2022)

[F(2023)]2=F(2023)F(2024)-F(2022)F(2023),

所以[F⑴『+[F⑵]2+…+[F(2023)『=F(2023)・F(2024),所以。正确,

故选：BCD

题型二差数列及阶差数列

7.（23-24高二上•云南昆明・期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出

了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从

第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶

等差数列.现有二阶等差数列｛%｝,其前六项分别为1,3,6,10,15,21,则马鲁的最小值为

n+1

【答案】1

【详解】数列｛飙｝的前六项分别为1,3,6,10,15,21,

依题知电一期=2,为一电=3,为一03=4,…，an—an_i=n（n^2）,

叠加可得：®—s=2+3+…+n=ST)\2+.m>2),

n2+n

整理得a—(心2),

n2

当兰甘n2+n

n=1,5=1,满足a—

n2

2

所以册=n+n

2

Tl2+ni-iJ_

所以&±上==_=2+^=2±L+^_J_>2\W1

n+1n+12n+12n+12v22

当且仅当卫>=一^时，即九=2—1,时等号成立，

2n+1

又九GN*,所以等号取不至L所以最小值在几=1时取得,

当？1=1时，0n+1=1，所以最小值为1.

n+1

故答案为：1

8.（23—24高三下.重庆.阶段练习）定义:满足—：2=q（q为常数，nGN*）的数列｛册｝称为二阶

Q/i+ian

等比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列laj的二阶公比为方,的=1«2=方,则使得册>2024

成立的最小正整数"为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【详解】由题意知二阶等比数列Ian｝的二阶公比为，5,的=142=血，则—=V2,

故卫=（血广1,"=（2广2,…丝=应,

12

将以上各式累乘得：%=（皿广1.（2广2.….方=（方）厘=2中，

的

.（九一1）⑺一!,）.

故斯=2^^,令24>2024,由于21°=1024,2口=2048,

故（n；）n>I。，即（"_1）九>40,•M

又（71—1）九的值随九的增大而增大，且（7—1）x7=42,（8—l）x8=56,

（7tT）n21

当71=7时，2^-=2石=21°X方<21°义2=2024,

（n—l）n

当71=8时，2^^=214>2024,

故n的最小值为8,

故选：B

9.（2024•全国•模拟预测）给定数列｛册｝,称｛“—电-｝为｛册｝的差数列（或一阶差数列）,称数列｛3―

册-｝的差数列为｛册｝的二阶差数列……

（1）求｛2叶的二阶差数列;

（2）用含小的式子表示｛2叶的m阶差数列,并求其前n项和.

【答案】⑴｛2"-2｝

（2）｛2九一馆｝2九+i—7n—m

【详解】⑴由差数列的定义，数列｛2叶的一阶差数列为｛2"-2"-1｝=｛22｝

数列｛2"｝的二阶差数列为｛2"-1｝的一阶差数列，即｛2吁1-2"T｝=｛2n-2｝

故数列｛2叶的二阶差数列为｛2-2｝.

（2）通过找规律得，｛2号的小阶差数列为｛2时叫，下面运用数学归纳法进行证明:

①当?n=1时，显然成立；nz=2时，由（1）得结论也成立.

②假设该结论时成立，尝试证明其对m=%+1时也成立.

由差数列的定义，｛2吁的A;+1阶差数列即｛2"｝的看阶差数列的一阶差数列，即

｛2九—左_2九_七_1｝=｛2九—左一1｝=｛zn—lk+D｝

故该结论对?71=k+1时也成立，证毕.

故｛2九｝的小阶差数列为｛2n-m｝,该数列是以21fl为首项，2为公比的等比数列,

故其前几项和为Sn=Q«l—⑻=2f2"）=2„+1_m_2l-m

1—q1—2

nn+1m1m

故｛2｝的rn阶差数列为｛2九一吗，其前几项和为Sn=2--2-.

10.（2024.四川自贡.一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积

公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者

高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数

歹!J,其前7项分别为3,7,13,23,39,63,97,则该数列的第8项（）

A.131B.139C.141D.143

【答案】。

【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第8项.

【详解】Qi=3,。2=7,。3=13,。4=23,。5—39,%=63,即=97,

=

设瓦=。21的=4,b2=a3—«26,A=包一。3=10,

匕4=。5­。4=16,生=。6­。5=24,仇=。7­。6=34,

设C1=b2—b1=2,C2=匕3—=4,C3=匕4一匕3=6,C4=65—&4=8,c5=b6-&5=10,

所以品+1-C九=2,所以｛cn｝是首项为2,公差为2的等差数列，

所以「6=2+5x2=12,即fe7-b6=12,b7=12+b6=12+34=46,

所以岳二。8—。7=46,4=。7+46=97+46=143.

故选：D

IL（2024・四川南充•三模）对于数列｛册｝,规定Aa”为数列｛an｝的一阶差分，其中=a„+1-a„（nGN*）,

规定△%”为数列｛册｝的k阶差分，其中—^an（nCN*）.若册=型T）,

2

则Aa6=（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】O

【分析】由数列的新定义计算即可.

【详解】由Aan=an+1—an[nETV*）可得

A8x7x157x6x13

Aa=a-a=------------------=49,

7s76o

A7x6x136x5x11”

△06=。7-。6=---飞--------------=36,

O6

fc-1fc_12

由九=Aan+i—Aan（nCN*）可得Aa6=Aa7—Aa6,

2

所以Aa6=Aa7—Aa6=49—36=13,

故选：D

12.（2024.吉林长春.模拟预测）对于数列｛册｝,称。册｝为数列｛册｝的一阶差分数列，其中△an=an+「

a<n£N*）.对正整数k（k>2）,称｛△%/为数列｛QJ的k阶差分数列，其中=△（"%）=

卡&已知数列｛an｝的首项a1=1,且。。…―Q九—2九｝为｛册｝的二阶差分数列.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

1n

（2）设⑥=另（?12—71+2）,｛为｝为数列｛bn\的一阶差分数歹U,对VneN*,是否都有\为以=M成立?

2i=i

并说明理由；（其中&为组合数）

（3）对于（2）中的数列｛xn｝，令物=产"尸，其中J<tV2.证明：£>,.V2八一2号.

2Ni=i

【答案】（1）册=n-2"T;

（2）成立,理由见解析；

（3）证明见解析.

【详解】（1）因为｛Aa„+i—an—2"｝为｛%｝的二阶差分数列，所以Aam+i—an—=

2n

将Aa„=Aan+1-Aa„,代入得Aa„+1-an-2=Aa„+1-Aa„，整理得Aa„-a„=2",?Pan+1-2an=2",

所以乌号一马=1.故数列（乌4是首项为《，公差为《的等差数列，

2九+12h212nJ22

因此，?=春+（n—1）。,即％=n•2f

2”22

（2）因为｛g｝为数歹”｛bj的一阶差分数列，所以为=bn+1—bn=nf

n

故>国《=Qn成立，即为&+2。"---\~nCn—n•2n-1.①

i=l

当71=1时，①式成立；

当九>2时，因为展23=九・（1+1厂1=71・（或_1+^_1+—+零1）,且九&二；=红方，

n

所以①成立，故对Wn6N*都有1=。九成立.

2=1

⑶%=严/"，因为方<力<2,所以（2t）">l,tn<2n,

n

故（2"+25）-（r+r）=Jy（2"—严）[（2±）"—1]>0,即伊+<2"+2-”,

所以它仇=；力?’+厂）<；®（2』2T）=52（；；）+2（12"）=（2-1）+；（-0）=2-

2=12i=i2?=i22—11一上2\2/

L2J

y（l+2-n）<2n-y-2-VF"=2n-2~^

题型三平方数列与美平方数列

13.（23—24高三上.四川绵阳.阶段练习）若数列｛6｝满足—+1=燃则称｛品｝为“平方递推数列”.已知数

列｛册｝是“平方递推数列”，且5>0,&¥1,则（）

A.｛Igaj是等差数列B.｛也册+1-Iga”｝是等差数列

C.｛anan+i｝是“平方递推数列”D.｛册+i+aJ是“平方递推数列”

【答案】。

【分析】对于AB,由题意得册+i=成，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD,由平方递推数列的

定义分析判断.

【详解】对于48,因为｛%｝是“平方递推数列"，所以册+1=成.

又的>0,所以飙>0,则lga„+i一lga„=Ig-^-=lga„,（lga„+2-lga„+i）一（lgan+i-Iga”）=lgan+i-\gan

=lga”

所以｛lga„｝,｛lga„+i—lga„）不是等差数列，所以AB不正确.

对于。，因为斯+2飙+1=成+1成=（a.+iaj，所以｛MM+J是“平方递推数列”，所以。正确.

2

对于。，因为an+2+an+1—a"i+成片（a„+i+a„）,

所以｛a“+i+aj不是“平方递推数列”，D不正确.

故选：C

14.（2024•海南•模拟预测）（多选）已知数列｛“｝满足:①ajCZ；②ViGN*,i4九，火+i=R2,keN*,则

称数列｛册｝为“类平方数列”，若数列｛勾｝满足:①数列｛bn｝不是“类平方数列”;②将数列｛bn｝中的项

调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列｛0｝为“变换类平方数列”，则（）

A.已知数列an=n（l<n<7,n6N*）,则数列｛册｝为“类平方数列”

B.已知数列｛册｝为：3,5,6,11,则数列｛%｝为“变换类平方数列”

C.已知数列｛册｝的前八顶和为今4+■!■4+得出则数列｛册｝为“类平方数列”

D.已知册=sin等，"=1,2,3,4.则数列｛an｝为“变换类平方数列”

【答案】CD

【分析】利用“类平方数列”的定义判断AC;利用“变换类平方数列”的定义判断BD

【详解】对于力，16U"&7,如+1=2"当1W2时，2i不是正整数的平方，数列｛%｝不为“类平方数列”，力

错误；

对于B,i€N*,i&4,当出=11时，氏+i=ll+iC｛12,13,14,15｝,•M

即无论11为数列的第几项，11+i都不可能为正整数的平方，数列｛飙｝不为“变换类平方数列”,B错误;

对于C,当九＞2时，a”=《[n3—（n—l）3]+[n2—（n—l）2]+[[n-（n—1）]=4n2—n,

32o

而5=3+2_+g=3满足上式，则飙=4疗一九，当iCN*,i&n时，出+i=4i2=（2i）2,

326

数列｛aj为“类平方数列”，。正确；

对于。，数列｛aj的4项依次为-1,0,0,1,将此数列调整为0,-1,1,0时，

有0+1=-1+2=12,1+3=0+4=22,因此数列｛%｝为"变换类平方数列”，。正确.

故选：CD

题型四数列的单调性

15.（2024•江西新余•模拟预测）我们规定:若数列｛鼠｝为递增数列且｛告｝也为递增数列，则｛鼠｝为“X-

数列”.

2

（1）已知：an=得）,bn=loggn,c„=n，数列｛a„｝,｛6„｝,｛c„｝中其中只有一个X-数列，它是：；请

从另外两个数列中任选一个证明其不是X-数列.

（2）已知数列｛aj满足：n（M+i—Q/=Q九+。1，Qi=1,5九为｛an｝的前几项和，试求｛an｝的通项并判断

数列｛爱｝是否为X—数列并证之.

⑶已知数列｛%｝、｛bn｝均为x—数歹U,且的＞o,优＞o,求证:数列金=%•勾也为x—数列.

【答案】⑴｛品｝,证明见解析

⑵册=2九一1,1员）不是X-数列，证明见解析

（3）证明见解析

【详解】⑴空格处填｛品｝.

3.

321

原因如下：因为q=nJ,则Q,

n

由氟函数沙=/2与夕=12在[0,+GO）上都是增函数，由n6N*,

故数列｛品｝与｛资｝都是递增数列，则｛品｝为“X—数列

若选｛aj，下面证明｛厮｝不是X—数列.

证明：由％=（曰）"，则号=看2

T。八・

故牛＞三,所以｛崇｝不是递增数列.

故｛册｝不是X—数列;

若选｛鼠｝,下面证明｛60｝不是X—数列.

h*2,logj4210g苴2

证明：由b”=logsn,5!1]=—六，寸=——22

~2ZZ442X2匕

所以bn不是递增数列.

n

故｛b｝不是X—数列.

n•••

(2)由n(Q九+1一册)=+Qi=。九+1可得nan+1=(n+l)an+l,

所以Qxi_1_11

n+1nn(n+l)nn+1

设“崇，则'-瓦V,…,X

n

累加得bi1=l_]+U+…+/ix=1,n—1

nnn

又仇=察=1,故⑥=3=2—二1,

1nnn

=

所以dn—2Tl—1.由dn+i—an—2(n+1)—1—(2TI—1)2,

故｛Q/是以1为首项，2为公差的等差数列.

(l+2n-l)nSSn1

所以5九二-----------=疗2，贝|]一n二九，=1.

2

2nn

即数列｛+｝是递增数列，但｛当｝不是递增数列，故｛・｝不是X—数列.

⑶数列｛册｝、｛6“｝均为X—数列，且的＞0,瓦＞0,

由题意可得Q九＞＞0,6n＞&!＞0,

且乌旦＞旦＞0,传旦＞生＞0,

n+1nn+1n

由不等式的性质可得，等也合＞巴?，又品=anbn＞0,

(n+1)2n2

则cn＜nd+：＜Cn+1,所以｛c“｝为递增数列，

(九+1)

且有上＜—，，+1

n(n+1)

而cn+1cn(n+l)c„+icn(n+l)c„+1ncn+l

n+1n(n+1)2九(n+1)2(n+1)2

故｛£｝也是递增数列，故｛c„｝为X—数列.

16.(24—25高三上•河南•开学考试)若数列｛册｝的相邻两项或几项之间的关系由函数/(①)确定，则称

/(T)为｛册｝的递归函数.设｛an｝的递归函数为/(4)=一"+3

⑴若0V1,M+i=/(a*)(?2eN*),证明:｛册｝为递减数列；

⑵若叫1=/(册)+5册+成，且出=白，｛册｝的前ri项和记为S。.

O

①求Sn；

②我们称g(支)=[划为取整函数，亦称高斯函数,它表示不超过田的最大整数，例如[1.2]=1,[-1.3]

n3。12024

=-2.若北=2，求！＞(©・

i=lSi—电+1i=l

【答案】(1)证明见解析

(2)①誓一:；②10120

OO

【分析】(1)根据定义得出anE(0,1),再根据a”+i-a“=—嫌＜0即可证明；

nR

⑵根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出北=Z——-——，当71=1时，Z

E=I2・6T—1

=总_=5,所以[亚=5;当n>2时，由放缩得出黑〈5+鲁=5.6,结合黑>7]=5得出g(4)=[7；]=

5进而求解.

【详解】(1)证明：若0V力V1，显然/(力)=/(1—⑼E(0,1).

又0VQ1V1,所以(0,1),a3e(0,1),…，册+1=/(册)G(0,1),

所以VhGN*,anE(0,1).

因为/(力)=一/+/，。九+1=/(。/,所以册+1=-04+为，

an+1—an=—*V0,所以册>an+1,所以｛an｝是递减数列.

(2)①由题意得an+l——a^+an+5an+a1=6an,

又Qi=~|■，所以Q九W0,所以Q/1=6,

3an

所以｛厮｝是以］为首项，6为公比的等比数列，

O

%（1—q"）=.（1-6"）=61_X

贝IS=

n1-Q1-633'

3alnr

②由①得55，所以FGi

Si-di+1&152x61—1

333+1

5

当九=1时，骡==5,所以［工］=5;

2-1

当i>2时，——-——<一-一=—

2・&T-12・&T6'T

所以当九>2时，£=身―堤一<5++^-+-+^—1=5+4（1一一I），

刍2-6i-1-l16626"一1/5V6n-1'

所以当口二2时，北<5+3=5.6,

5

又cJ>0,所以了力宣=5,

2X&T—1

所以VzzCN*,54方〈5.6,所以9（7；）=［雹］=5,

2024

所以Zg（Z）=2024x5=10120.

2=1

17.(2024•广东深圳•模拟预测)已知｛册｝是各项均为正整数的无穷递增数列，对于kCN*,定义集合Bk=

｛iCN"a｛<k｝,设bk为集合Bk中的元素个数，特别规定:若瓦=0时，bk=0.

(1)若册=2”,写出仇，星及b10的值；

(2)若数列｛0｝是等差数歹U,求数列｛册｝的通项公式；

(3)设集合S=｛s\s=n+an,nEN*｝,T=｛址=??,+*"CN*｝,求证：SUT=N*且SClT=0.

【答案】⑴仇=0,8=0,瓦o=3;

(2)a„=n;

(3)证明见解析.

【分析】⑴根据数列®｝的定义，分别求出瓦，3fe10;

(2)假设«1=m>2,a„+1—册>2,均与数列｛0｝是等差数列矛盾，进而得到数列｛斯｝是以1为首项,1为

公差的等差数列，进而得到册=n;

(3)根据定义得到数列缶+K｝是递增数列；用反证法证明snT=。,假设存在正整数pesn7,若pe

S,则推出P届T,与假设矛盾，所以SCT=0;SUTQN*,所以要证SUT=N*,只需证N*USUT,qC

N*且qCS,能推出qCT,所以qCSUT,所以N*QSUT,所以结论成立.

10

【详解】(1)因为©=2">2,所以bi=0,62—0,

由2。<3得，n=1,所以&3=1,

由2"V10得，ri=1,2,3,所以瓦o=3;

(2)由题可知囱>1,所以Bi=0,即仇=0,

若的=Hi>2,则瓦=0,Bm+1—｛1｝,

所以星=0,bm+l=1,与｛6„｝是等差数列矛盾，所以5=1,

设dn=a——即(九eN*),因为｛aJ是各项均为正整数的递增数列，所以%eN*,

假设存在％CN*使得(4>2,设&=t，由册+1-a”>2得ak+1>t+2,

由&=tVt+lV1+24afc+1得瓦<卜,bk+1—既+2=%，与｛&/是等差数列矛盾，

所以对任意nCN*都有d”=1,

所以数列｛aj是等差数列，a”=1+(n—1)=n;

(3)因为对于nCN*,所以b“+i,所以n+幻<九+bn+1<n+1+bn+i,即数列｛n+bj是递增

数列，

先证明SCT=0,

假设sntwo,设正整数pesnT,

由于pCS,故存在正整数i<p使得p=i+%,所以a.=p—i,

因为｛aj是各项均为正整数的递增数列，所以出+1>p—i+1,

所以■=i-1,6p_i+1=i,

所以(p-i)+%_/=(p-i)+(i-1)=p-l,(p-i+l)+%_计1=(p-i+1)+i=p+l,

又因为数列｛n+与｝是递增数列，所以T,与假设矛盾，

所以SClT=0;

再证明SUT=N*,

由题可知SUTGN*,所以要证SUT=N*，只需证N*QSUT,设qCN*且qCS,

因为数列伍+为｝是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数。使得qV/+%,

令/=min｛Hq</+电｝,

若%=1则9<1+5,即Oq>q—1,所以a1>q,所以％=0,所以q+%=q+0=qeT,

若名>1,则(%—1)+%LiVqV%+%。，所以％『Vq-Jo+K%。所以(q-%+1)++i=(q—%+1)+

(%-1)=q,

因为(q-%+1)+%_毋1CT,所以qCT,所以qCSUT,

所以N*USUT;

综上所述，SUT=N*且SCIT=0.

题型五数列的凹凸性

18.(2024.安徽池州.模拟预测)定义:若对VkCN*,k>2,ai+&+i42&恒成立，则称数列｛%｝为“上凸

数列”.

(1)若册=/?二7,判断｛册｝是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是,请说明理由.

(2)若｛aj为"上凸数列"，则当m>7i+2(m,7ieN*)时，am+a„<am-i+an+1.

(i)若数列Sn为｛an｝的前八项和，证明：S”>葭@+a”)；

•M

(ii)对于任意正整数序列如力2,g,…金，…，喝("为常数且八＞2,九6N*),若送-1U

i=l

—1恒成立，求4的最小值.

【答案】(1)是，证明见解析

(2)(i)证明见解析;(ii)n-l

【分析】(1)构造函数/(c)=JQ+1)—1—婚―I,QI,利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判

定即可；

(2)(i)利用''上凸数列"定义及倒序相加法证明即可;令飙=Vn2-1，利用条件及数列求和适当放缩计算

即可.

【详解】(1)｛斯｝是“上凸数列”，理由如下：

2—a=2

因为an=A/T11,O，n+1—nd(九+1)~—1—Vn—1,

令/(a?)=jQ+l)2—1—^/x2—l,x>1,

如="+1=y/(x+l):s(x-l)-y/x3(x+2)

V(s+l)2—1J/—]J(rc+])2_].Ja;2T

当x^l时，(z+—1)—x3(x+2)=—2x—KO,

所以J(c+l)3(c—1)<+,

所以广(,)<O,/Q)在区间[l,+oo)上单调递减，

所以/(九)>/(n+1),a„+1-an>an+2-an+1,

所以an+2+a„<2an+1,

所以｛©｝是“上凸数列

(2)(i)证明：因为｛4｝是“上凸数列”，由题意可得对任意IWiWn(ieM),

di+O，n-i+l>ai-l+an-i+2>ai-2+an-i+3O>2+<^n-l>的+斯，

所以2Sn=(ai+an)+(a2+an-i)H---F(a„-i+a2)+(%+aJ^n(ai+a„),

所以S»>£(出+册).

(ii)解:令a”=Vn2—1,

由⑴可得当a”=Vn2-1时，｛aj是“上凸数列”,

由题意可知，