北京市2025届高三数学二轮复习过关检测：函数（含答案）

北京市2025届高三数学二轮复习专题过关检测

函数

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

v<1

1.已知函数/'(%)='x-'则/(/(2))=()

10g38x>l,

11

A.2B.-2C.—D.--

22

3

2、已知a=3°/，b=2,c=log30.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

3、函数/(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间是

A、(0,1)B、(1,2)

C、(2,3)D、(3,4)

4、设函数/(x)=1+l°g?x的定义域为D,则对。内的任意实数x,有

log2X

A、/(x)+/(-)=0B、/(x)-/(-)=0

XX

c、/(%)+/(-)=2D、/(%)-/(-)=2

XX

5、下列函数中，使y=/(x+l)-/(x-l)既是奇函数又是增函数的是

1

A、/(%)=—B、/(x)=%9-

X

C、/(x)=exD、f(x)=cosx

6、记水的质量为d=——，并且d越大，水质量越好.若S不变，且4=2.1,人=2.2,则々与

Inn

%的关系为()

A.nx<n2

B.%>%

C.若Svl,则“<%；若S>1,则4>%；

D若S<1,则%>%；若S>1,则

2，+1—JTl%«0

7、若函数/(%)=<'—，恰有两个零点，则实数机的取值范围是()

(x-1)Inx,x>Q

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]

8、已知(%，弘),(尤2，%)是函数丁=2'图象上不同的两点，则下列正确的是()

A.log,22B.log22

,y,+y,,y,1+y,2x,1+x,2

C.log?2>石+々D.log22>2

9、已知实数a,6满足2"=log〈，log2Z,=(g],给出下列三个结论：

①aZ?>1；②2"=b；③2"+1<e".

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.②C.①③D.②③

10、2024年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200

万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加10%.记甲、乙两公司在2023年第〃个月的盈利分别

为。1("),。2(〃)(单位：万元).已知2(1)=1200,2(1)=11。0,则0](〃)-。2(〃)最大时，

n的值为()

(参考数据：lgl.l«0.0414,lg2«0.3010)

A、7B、8

C、9D、10

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数/(x)=4*+log2X,则

12、函数/(x)=ln(l+£)的定义域为.

13、已知函数/(%)为R上的奇函数，且在[0,+8)上单调递增，/(2)=1,若

-l</(3x-l)<0,则x的取值范围是.

14、已知函数/(x)=(若/(%)无最大值，则实数Q的一个取值为_______；若/(X)存在

[3x-x,x^a.

最大值，则a的取值范围是

x+2,x<-a,

15、设a>0,函数/(x)=<Va2-x2,-a<x<a,,给出下列四个结论:

—Jx-l,x>a.

①/(x)在区间(a-L+8)上单调递减；

②当时，/(无)存在最大值；

③设加(%,/(%))(玉<a),A^(x2,/(x2))(x2>a),贝！||A/N|>1；

④设网项,/(&))(项<一。),0(%4，/(%4))伍•若IPQI存在最小值，则a的取值范围是

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=k>g°x(a>O,awl).

(1)若=求a的值；

(2)当0<a<l时，若函数8。)=|/(力|在［。,2@上的最大值与最小值的差为3,求。的值；

2+x

17、已知函数/(X)=log”----(a>0且awl).

2-x

(1)判断函数“X)的奇偶性，并证明

(2)若1求实数a的取值范围.

18、已知函数/（x）=n（aeR）是定义在R上的奇函数.

（1）求“X）的解析式；

⑵判断/（X）的单调性并用定义证明；

（3）解关于x的不等式/（4'）+/（2—3x21<0.

19、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种乌龙茶用

100回的水泡制，等到茶水温度降至60回时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温

下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔Imin测量一次茶水温度，得到茶水温度随

时间变化的如下数据：

时间/min012345

水温/团100.0092.0084.8078.3772.5367.27

设茶水温度从100团开始，经过xmin后的温度为现给出以下三种函数模型：

@y=kx+b（左<0,x>0）；

@y-kax+b（左>0,0<a<i,x>0）；

③y=log“（x+左）+6（<2>1,k>Q,x>0）.

（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min

的数据求出相应的解析式；

（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到

0.01）；

（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少回，并说明理

由.（参考数据：1g2ao.301,1g3^0.477.）

20、已知函数/（元）=4'"一〃-2抖1,xe[-l,2].

（I）当a=2时，求/（尤）的最小值;

(II)记/(X)的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.

21、在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度y(单位：毫克/毫升)与时间/(单位：小

aln(?+l),0<?<2

时)满足函数关系y=左，其中”，左为大于。的常数.已知该药物在血液内

—，/>2

的浓度是一个连续变化的过程，且在2小时时达到最大值21n3毫克/毫升.

(1)直接写出“，上的值；

(2)当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效.求该药物有效的时间长度丁(单位：小时).

参考答案

一、选择题

1、A2、B3、C4、C5、B6、C7、D8、D9、D10,B

二、填空题

11、112、(-l,0)O(0,-H»)

111

13、［一］§］I*t(答案不唯一);［a©15、②③

三、解答题

16.(1)因为/［：］=log0!=2,可得片=4，

且a>0,awl,所以。=」.

2

(2)因为0<。<1,当xe(0,l)时，loga%>0；当xe(L+8)时，logax<0；

可知g(x)=|〃x)|在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增，

且g(a)=l,g⑴=0,

若函数g(x)=|/(x)|在上的最大值与最小值的差为可得2a<1,即0<a<；,

可知g(x)在［a，2a］上单调递减，则logaa-logaZanlogogng,解得a=:,

所以。的值为

4

17、(1)令^—＞0得—2(尤＜2,故函数/(尤)的定义域为(—2,2),

2-x

•.•对于Vxe(-2,2),

/(―x)+/(x)=log.M+logfl言

Z+XZ—X

2-x2+x

=log.=log」=0

2+x2-x

2

.•./(—X)=—“X),且/⑼=logq=0

••./(%)是奇函数

51

⑵由/m111

>T可化为logfl|>logfl-,

3a

513

若Ovavl,则一〈一,・,.()<〃<一,

3a5

513

若Q>1,则一>—>0,**•CL>—,

3a5

综上，a的取值范围是(O,|)U(L+S).

18、(1)由题设知f(-x)=-f(x),则2'+4=1+分2'"恒成立,

八2-x+l1+2X2'+1

所以l+a2=—2，—a，即。+矶2,+1)=0,贝以=—1,

所以〃x)=|^；

(2)/(%)是R上的增函数,证明如下:

任取石，々eR,且石＜々，

2-1-12迎一1（2"'-1）（21'2+1）-（2"+1）（2"2-1）

则/（%）一，（尤2）=

2为+12迎+1

2

由药<%2，则2丑_2f<0,且（2为+1）（2f+1）>0,故/（%）</（%），

所以函数“力在田上单调递增；

（3）因为"％）是定义在丑上的奇函数，且/（4，）+/（2—3x2*）<0,

所以/（平）<一/（2-3x2）=/（3x2X—2）,

由（2）知，/（九）在A上单调递增，

所以4*<3x2*—2,

令2工=/>0，则/—3/+2<0，解得1</<2,故2%（1,2）,

因为函数>=2"在R上单调递增，所以xe（O,l）.

所以不等式/（4*）+/（2—3x2，）<0的解集为（0.1）.

19、（1）选择②'=总'+6（左>0,0<«<1,%20）作为函数模型.

由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；

当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数

模型①.

故应选择②'（左>0,0<a<l,x>0）

\QQ=k+bpt=80

将表中前2min的数据代入，得（92=履+匕，解得。=0.9,

84.8=攵/+匕[b=2Q

所以函数模型的解析式为：y=80x0.9"+20.

（2）由⑴中函数模型，有80x0.9*+20=60，即0.9"=；,所以x=logogg,

-lg2lg20.301

即x=合6.54

lg0.9l-21g31-2x0.477

所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min能达到最佳饮用口感.

(3)由y=80x09"+20为减函数，且当x越大时，y越接近20,考虑到茶水温度降至室温就不

能再降的事实，

所以乌龙茶所在实验室的室温约为200.

20、解：(I)设1=23因为xe[-1,2],则red,4],

2

贝I』〃⑺=r-2袱，re[-,4],

2

当0=2时，71(0=？-4r=(r-2)2-4,re[-,4],

2

所以f=2时，/7(r)mmi(2)=-4，即当x=l时，f(x)n.n=-4.

(II)由(I