北京市朝阳区2024-2025学年高二年级上册期末质量检测数学试题（含答案解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.经过点（1,0）且倾斜角为45。的直线的方程为（）

A.x+y-l=0B.%一歹一1二0

C.x+y/3y-1=0D.百x+y-l=0

2

2.双曲线，-匕=1的渐近线方程为（）

3

B.尸土与

A.y=±^x

3

C.y=±>/3xD.尸±3%

3.已知函数〃力=腔而，则x)=()

A.excosxB•-excosx

C.ex(sinx+cosx)D.ex(sinx-cosx)

4.已知｛。〃｝是等比数列，a3=2,a4=10,则%=()

A.5B.12C.20D.50

5.如图，在三棱柱ABC-45cl中,£/分别为棱/B,4G的中点.设焉=万,%=反函=,,

则丽=()

B

n1-L-

A.--a+-b+cB.—uH—〃+c

2222

1一17一

C.—a——b+cDc.—1a-+—1bt-c-

2222

试卷第1页，共4页

6.圆心为。,2)且与直线3x+4y-l=0相切的圆的方程为()

A.(x-l)2+(^-2)2=2B.(I)?+3-2)2=4

C.(x+l)2+(y+2)2=2D.(x+l)2+(y+2)2=4

7.已知日=(-2,0㈤是直线/的方向向量，所=(1,0,2)是平面a的法向量，若Ua,则实数

k=()

A.-4B.-1C.1D.4

8.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S",贝「j>0”是“｛S“｝为递增数歹炉的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一

段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量少与时间/的关系如下图所示.

下列叙述中正确的是()

A.在［0/］这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0

B.在,出］这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率

C.甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率

D.乙水库在4时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在42时刻蓄水量的瞬时变化率

10.已知数列｛叫满足q=2%+1-1(“=1,2,3广一)，设7；=a^2Lan,则《025=()

1120242025

A.------B.------C.------D.------

2026202520252026

二、填空题

11.已知空间向量1=(1,3,-2)3=(2,0,2),则忖+3卜.

试卷第2页，共4页

12.设直线/i：x-4y+l=0,/2：2x-4y+7=0,若口与，则实数彳=.

13.设抛物线C：/=2/（P>O）的焦点为尸。，0），则。=；点八在抛物线C上,

若M尸1=5,则点A的横坐标为.

14.某校计划新建一个容纳300个座位的阶梯教室，若设置10排座位，且从第二排起每一排

都比前一排多2个座位，则第一排需设置的座位数为.

15.已知曲线C:上一+=J=1（加eZ且加*±2）.若C为双曲线，则〃z的一个取值

m+22-m

为;若C为椭圆，则加的所有可能取值为.

16.在长方体N8CD-44G。中，43=4D=2,叫=4,尸为棱44上的动点（不与重

合），在直线CG上的点。满足给出下列四个结论:

®CP±BD；

②/尸。。为定值；

③存在点尸，使得平面。2。，平面O3P；

④存在点P,使得点。到平面尸的距离为2.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

17.已知函数〃x）=——41nx.

⑴求曲线y=〃x）在点（1J⑴）处的切线方程；

（2）求函数/（x）的单调区间.

18.已知｛%｝是公比大于1的等比数列，%=1,且％，32，%成等差数列.

⑴求｛4｝的通项公式；

试卷第3页，共4页

⑵若也｝是等差数列，且4=%，%=%.设c“=%+6,,求数列匕｝的前〃项和小

19.如图，在六面体N8C跖中，。为48的中点，四边形CDEE为矩形，且ECLC民/CLC3,

AC=CB=4.

(1)求证：EC,平面N3C；

(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面瓦4尸与平面EC8的

夹角的余弦值.

条件①：AE=5；

条件②：尸的面积为6立；

条件③：六面体4BCEF的体积为16.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

20.已知椭圆氏，+/=1(°>6>0)的右顶点为/(2,0),离心率为

(1)求椭圆£的方程；

(2)过点尸(0,2)作斜率为k的直线/与椭圆£交于不同的两点C。.在了轴上是否存在点。使

得直线QC与直线0D的斜率之和为0?若存在，求出点。的坐标：若不存在.说明理由.

21.给定正整数〃23,设数列4吗、4、L、肉满足卬=匚。=1,2,…对于正数x,定

n

义G(x)=maxk,其中maxM表示数集M中最大的数.记某合

G(4)=｛G(q)hl,2,…设G(幻的元素个数为g(幻.

⑴写出集合G(4)、G(4)；

⑵若〃-g(4)=i,求〃的所有可能取值；

(3)证明：存在无穷多个〃使得g(4)=g(4+J.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCCDABABDA

1.B

【分析】用点斜式直线方程即可求出结果.

【详解】由直线的倾斜角为45°可知斜率为后=tan450=1,

再因为直线经过点(1,0),由点斜式直线方程得：＞=

整理得：x-v-l=0,

故选：B.

2.C

【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出其渐近线方程.

2

【详解】双曲线f一4=1的渐近线方程为y=±瓜.

故选：C

3.C

【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可.

【详解】因为"x)=e，sinx,

所以/'(X)=(e*)sinx+e"(sinx)=ersin.x+excosx=ex(sinx+cosx).

故选：C.

4.D

【分析】根据等比数列的性质和通项公式计算即可.

【详解】因为｛%｝是等比数列，设公比为4,

由题意得?=1=5,所以%=%次=50,

故选：D

5.A

【分析】根据几何体，结合向量的线性运算，即可求解.

------*-----•-------•-------•I------*I------►-------•II-►

【详解】EF=EA+AA,+A,F=--AB+-AC+BB.=--a+-b+cT.

2222

故选：A

答案第1页，共12页

6.B

【分析】由点到直线的距离公式求得圆心到直线3x+4yT=0的距离，由圆与直线相切得到

圆的半径「，然后写出直线方程.

/、一13x1+4x2-11

【详解1点1,2到直线3x+勺-1=0的距离d=J~/丁」=2,

V32+42

因为圆与直线3x+4y-l=0相切，所以圆的半径厂=〃=2,

所以圆的方程为(x-l)2+"-2)2=4.

故选：B

7.A

【分析】根据空间位置关系的向量法判断力〃而，再根据向量平行的坐标运算，即可求解.

【详解】由题意可知，u/Im,

—2=X

所以反=丽，BP0=2-0,解得：2--4.

k=2A

故选：A

8.B

【分析】根据等差数列的性质，由S3>0,得出>0,不能判断为的正负，所以不能判断S3,S,

的大小，故不能确定｛y｝是否递增数列；但由｛'｝为递增数列，能得到S3〉。进而即得.

【详解】由｛4｝是等差数列，色>0,得S3=%+%+%=32,所以。2>。,

S4=%+，+%+。4，不能判断。4的正负，所以不能判断S3,S4的大小,

所以不能确定｛'｝是否递增数列；

若｛'｝为递增数列，则S〃一Si>0(〃N2),即让2时%>0,

所以。2>0,邑=%+。2+。3=%2，所以S3>0,

所以5>0是｛5｝为递增数列的必要不充分条件.

故选：B

9.D

【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.

答案第2页，共12页

【详解】对A：由图可知，在［0/］这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0,

乙水库的蓄水量的平均变化率大于0,故A错误；

对B：由图可知，在,出］这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库的蓄水

量的平均变化率大于0,

故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误;

对C：由图可知，甲水库在，2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，

乙水库在芍时刻蓄水量的瞬时变化率大于0,

故甲水库在才2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率,故C错误;

对D：由图可知，乙水库在4时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快,

故乙水库在4时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在42时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.

故选：D.

10.A

【分析】根据递推关系可通过列举一些项，进而根据规律猜想得%即可求解.

n+l

【详解】由a“%+i=2%+1-1(〃=1,2,3广)可得%+1：2^(»=1,2,3,…),

112131415

由q=5,得％===针％==="%==一,〃5=

2—%52—46

YI

由此猜想…

nn+1n〃+1

当时'此时~，2%+i-1=2i=—,满足

n+2n+2

%=2%-=3,…),故％

12320251

因止匕北a„=—x—x—xLx---=---

05"23420262026

故选：A

11.372

【分析】利用空间向量的坐标运算，来求向量的模.

【详解】由「+4=|(1,3,-2)+(2,0,2)|=|(3,3,0)卜=3板,

故答案为：3VL

答案第3页，共12页

12.—/-0.5

2

【分析】由两直线垂直的充要条件求解即可.

【详解】直线4：X-AV+1=0,/2:2尤-4y+7=0,

若则2+44=0,所以2=-;，

故答案为：

2

13.24

【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合抛物线的定义进行求解即可.

【详解】因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸(1,0),

所以有段'=lnP=2;

设点A的横坐标为七,该抛物线的准线方程为：x=-l,

因为点A在抛物线C上，

所以根据抛物线的定义，由以司=5=%-(-1)=5n%=4,

故答案为：2；4

14.21

【分析】设第《=1,2,3,…,10)排的座位数为弓，由题意可知，数列是公

差为d=2的等差数列，结合等差数列的求和公式可求得包的值.

【详解】设第m=123,…,10)排的座位数为小

由题意可知，数列{%}(〃410,"eN*)是公差为［=2的等差数列，

10x9

由题意可得10%+0一〃=10。|+90=300,解得q=21.

故答案为：21.

15.3(答案不唯一)±1

【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得；

【详解】若C为双曲线，则产+?但一根)<°,解得%>2或加<-2,

\m卡±2

又加eZ,所以加的一个取值可能为3；

答案第4页，共12页

m+2>0

若。为椭圆，则《2—冽〉0,解得—2<加<2且冽。0,

m+2w2—m

又〃zeZ,所以机的所有可能取值为±1；

故答案为：3(答案不唯一)；±1.

16.①④

【分析】根据给定的长方体，建立空间直角坐标系，由。尸确定点尸，。的竖坐标关系,

再利用空间位置关系的向量证明判断①③；利用向量夹角公式求解判断②；利用点到平面距

离的向量求法求解判断④即可得解.

【详解】在长方体-44GA中，AB^AD=2,AA^4,建立如图所示的空间直角坐

标系，

则。(0,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),设尸(2,01)(0<f<4),。(0,2,5),

-.___,—.4

。尸=(2,-2,/),。0=(0,2,$),由。。_LCP,得。尸•。。=白一4=0,解得s=7，

对于①，丽=(2,2,0),CPDB=0,因此CP_L8D,①正确；

re"前标-DPDQ_tS4

对于②，赤=(2,0,0，〈'"一|西函一吊巨曲7一卜2+4(产+3

不是常数，因此/尸。。不为定值，②错误；

对于③，由“，8D,D0J.C尸,。8n。。=。,。2,。。u平面Z)5。，得CPL平面功。,

即平面DBQ的一个法向量为CP=(2,-2,0,设平面DBP的法向量n=(x,y,z),

ii•DB=2x+2y=0一_k__，一

则_.,令z=2,得”=(-，/,2),CP"=-2<0，即CP,"不垂直，

n•DP=2x+tz=0

因此不存在点尸，使得平面。50，平面D8P,③错误；

答案第5页，共12页

—"2/H—

对于④，点。到平面。8尸的距离m川吆+2s|t,若d=2,

In|12-+4+4

则j2/+4=/+；,整理得〃一犷一16=0,解得:也+2君e(0,4)，

因此存在点尸，使得点。到平面D8P的距离为2,④正确，

所以所有正确结论的序号是①④.

故答案为：①④

【点睛】关键点点睛：由几何体的结构特征建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解决

问题的关键.

17.(l)2x+y-3=0.

(2)单调减区间是(0,0),单调增区间是(血,+8).

【分析】(1)求出导函数/'(x)，计算导数/'⑴得切线斜率，再求得/⑴后由点斜式得切线

方程并整理成一般式；

(2)由尸(x)>0得增区间，由/(x)<0得减区间.

4

【详解】(1)r(x)=2x--,/'⑴=2-4=-2,又/(1)=1,

所以切线方程为)T=-2(x-l),即2x+y-3=0.

(2)/(x)=x2-41nx,定义域是(0,m)，

/，(X)=2XJ=2(X0)(X+&),

XX

当O〈x<0时，/V)<0,当x>五时，/V)>o,

所以/(X)的单调减区间是(0,V2),单调增区间是(V2,+oo).

18.(1)%=2"T

(2)(=2”-1+〃(3〃+1)

【分析】(1)设等比数列公比为q,由。3,3出，%可得关于0的方程，据此可得答案;

(2)由题可得｛"｝的通项公式，然后由分组求和法可得答案.

【详解】(I)设等比数列公比为0,因生，3出，4成等差数列，

贝I6a2=%+%=6q=q2+q3=^>+^—6=0(q>1)=>(q+3)(q—2)=0=>q=2.

答案第6页，共12页

则。“=27；

(2)设也｝公差为d,因。=。3，4]=%,

=4n/=4

得6〃=4+6(〃-1)=6〃-2.

bn=bx+\Od=64\d=6

贝[]g=2〃i+6〃-2,故(=q+&+…+g=%+%+—an+bx+b2+—\-bn

12〃一1〃(6〃+2),、

=1+2+…+21+4+10+…+6〃—2=-------F△------幺2〃—1+nin+\).

2-12

19.(1)证明见解析

C、3后

34

【分析】(1)根据矩形性质，结合线面垂直判定证明即可；

(2)首先根据已知条件求出相关线段的长度，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量,

再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值即可.

【详解】(1)已知四边形CDEE为矩形，根据矩形的性质，邻边相互垂直，

所以ECJ_C。，又ECLCB,并且C2nCZ»=C,CB,CDu平面/3C,

所以£C_L平面/8C.

(2)选择条件①：AE=5,

因为EC_L平面48C,所以EC_L/C.

在RM/CE中，根据勾股定理EC=，/炉-叱，

已知4E=5,AC=4,则£C=后孑=3.

因为£C_LC3,AC±CB,所以EC,/C,C8两两垂直，可建立空间直角坐标系C-平，

得到4(4,0,0),8(0,4,0),£>(2,2,0),£(0,0,3),尸(2,2,3).

进而得到通=(-4,0,3),丽=(2,2,0).

一m-AE=0f-4x+3z=0

设平面£4尸的法向量为加=(x,y,z),由<—.，即c„>

-m-EF=0[2x+2y=0

令x=3,则＞=-3,z=4,于是记=(3,-3,4).

因为/C，平面ECB,所以7=(1,0,0)是平面ECB的法向量.

设平面EAF与平面ECB的夹角为。，

答案第7页，共12页

|丽,司33南

贝l]cos0=|cosm,n\='{_7^=~f=-

网网V3434

选择条件②：△/时的面积为6亚，

因为NCJ.C8,AC=CB=4,所以/8=4也.

由A4B尸的面积为,48•五。=1*4拒乂㈤=6后，可得阳=3,即EC=3.

22

以下同选择条件①的计算过程求出平面胡尸与平面ECB的夹角余弦值为2.

34

选择条件③：六面体48CEF的体积为16,

在RtZ\4BC中，AC=CB=A,。为的中点，

所以4B=4A历，CD=242.

且/3_LCD,因为£C_L平面/BC,NBu平面48C,

所以48_L£C,CD^EC=C,CZ>,ECu平面.

所以平面CDEE.

K面体ABCEF的体积V—七棱锥N-COFE+/棱锥3-CDFE，

根据体积公式/二g,s矩形3；葭/5=16,已知45=4收，可得S矩形CD即=68.

又因为s矩形COM=8•EC,CD=2V2,所以EC=3.

以下同选择条件①的计算过程求出平面切产与平面EC8的夹角余弦值为小.

34

⑵存在，

【分析】(1)由右顶点及离心率可得a,C,然后可得椭圆方程.

(2)设直线/：>=代+2,0(04,。(再,必),。(%％),将直线方程与椭圆方程联立，利

用韦达定理可化简直线0c与直线0。的斜率之和的表达式，即可得答案.

答案第8页，共12页

【详解】（1）因椭圆右顶点为幺（2,0）,离心率为当，

________2

则〃=2,c=VJ=>/?=\la2-c2=1，故椭圆方程为：~^+/=1；

（2）由题，设直线方程为>=履+2,将直线方程与椭圆方程联立，

（2

X

可得"十，2nJ+外自+2『—4=0=（1+4左2卜2+16履+12=0.

y=kx+2

因直线与椭圆E交于不同的两点C,。，则A=256〃—48—192左2>。=左2>

4

设。（再,必），。（9,名），由韦达定理再+%2=1+4左2=]+4k2.

/\.,,V\~ty^—tfK=kx+2

又设。(oj),贝0c+勺「?+?，又:一:]+2

人]人2Iyy—।乙

y1~t]/kX[+2—t]kx?+2—t2AXJ%2+(2—%)(再+x?)

则I-H—d)

/、/、24左—(2—)16左

=>2kxix?+(2—)(玉+/户----j~~-----0.

31

贝lj24左一(2—16左=0^>2—Z=—=>/=—.

故J轴上存在点0m使得直线0C与直线QD的斜率之和为0.

21.（l）G（4）={0,l,3},G（4）={0』,2,4}

（2）5、6、7、8

（3）证明见解析

【分析】（I）写出数列4、4,根据题中定义可得出集合G（4）、G（4）；

（2）由题意可得g（4）=〃T,由（1）可知，"=3或4不合乎题意，可得出”25,推导出

9

1<-<2,求出”的可能取值，然后逐一检验即可得解；

n

（3）讨论〃=4后，左eN*和"=4斤+1,左eN*两种情况，结合题中的定义，求出g（4j、

答案第9页，共12页

g（4+J,即可证得结论成立.

【详解】（1）因为数列4：；，p3,则G（4）={0,l,3},

数列4：；,1,1,4,则G（4）={0」,2,4}.

（2）由题意可得g（4）=〃-L

由（1）可知，当"=3或4时，g（An）=n,不合乎题意，所以，“25,

对于给定的"，因为a;+1-a,>O（z=l,2,•••,«-1）,

所以，G（aM）>G（a,.）,即G