北京市通州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

北京市通州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.8的立方根是（）

A.2B.-2C.+2D.+4

2.2024年7月27日，第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城

秩序的杰作”列人《世界遗产名录》.下面是北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴

线标志设计赛道”中的其中四个设计图案，其中不星轴对称图形的是（）

■3

A.C.画

D.案

3.下列各式正确的是)

A.=B.(-应)2=-2C.=±2D.±A/64=±8

4.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）

A.1；1；1B.2；3；4C.1；52D.a；3；5

5.估算回的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

6.下面是“作403的角平分线”的尺规作图方法:

（1）以点。为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线。4、03于点C、D.

（2）分别以点C、。为圆心，大于;C。的长为半径作弧，两弧在ZAO3的内部交于点

（3）作射线ON.就是的平分线.

上述方法通过判定OMCAOMD得到Z.COM=ZDOM,其中判定,OMCqOMD的依据

是（)

A,

c

DB

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.三边分别相等的两个三角形全等

7.一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从

盒子中摸出2个球，下列事件属于必然事件的是（）

A.摸出的2个球中有黑球B.摸出的2个球中有白球

C.摸出的2个球都是黑球D.摸出的2个球都是白球

8.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个‘蝴蝶”的平面图案.如图，其中△OA3与ODC

都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,歹分别是底边AB,C。的中点，OELOP.下

列推断错误的是（）

OB1ODB.NBOC=ZAOB

OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

二、填空题

9.若&方在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是.

,7T

10.以下各数:①T,②③0,®~,⑤3.14,⑥灰，⑦2.1212212221……（每相邻两

个1之间依次多一个2）中，其中是无理数的有个.

11.比较大小：2娓5（填“>”，"=”或

试卷第2页，共6页

12.方程丁二+工=0的解为______.

2x-6x

13.若最简二次根式H/与"是同类二次根式，则机的值是.

14.如图，在VABC中，AC=4,线段AB的垂直平分线交AB,AC于点M,N,若BN=3,

则NC的长为.

15.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明在

一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1

张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的

可能性为.

16.如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别

为a,b（a<Z?）,连结“尸，段HF=m,完成下面问题：

（1）ZHGF=°；

（2）给出下面四个结论：①匕<£；②a+bNa2；③a+b<m；@^/2（a+b）>m.

上述结论中，所有正确结论的序号是.

三、解答题

17.计算：收一6『胡.

18.计算：A/6（A/8->/2）+（2A/3+1）（273-1）.

19.已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF,AD=BE,ZCAB=ZFED.求

证：BC=DF.

21.化简求值：1其中尤=正一］.

x+2x+lIx+lj

22.小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形.

已知：在VABC中，ZACB=90°.

求作：线段C。，使得线段。将VABC分割成两个等腰三角形.

下面是小明设计的尺规作图的作法：

①作直角边AC的垂直平分线与斜边A8相交于点。；

②连接CD.

则线段CD为所求.

(1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明：・直线是线段AC的垂直平分线，点。在直线上，

:.DC=DA.(_)(填推理的依据)

/.N_=N_.

ZACB=90°,

ZBCD=90°

4=90。—ZA.

.\ZBCD=ZB.

:.DC=DB.(_)(填推理的依据)

/.ADCB和△OC4都是等腰三角形.

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23.乡村振兴，交通先行.近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村

交通基础设施.某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技

术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道

路多少米.

24.如图，VA3C为等边三角形，8。平分/ABC交AC于点。，DE〃BC交AB于点、E.求

证：AE=-AB.

2

25.如图，在边长为1的小正方形组成的6'8网格中，VABC的三个顶点均在格点上，请按

(1)在网格中，画线段且使CD=AB,连结AD；

(2)线段AD的长为AC的长为一，8的长为」

(3)ACD为一三角形，点A到CD的距离为

26.如图，在四边形中，AB=AC,?D90?,3E_LAC于点孔交CD于点E,连

结E4,若胡平分NDEF.

⑴求证：AABF^AACD；

(2)若3尸=7,DE=3,求CP的长.

27.我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料:

当a>0,b>0时：

•(,\/^_yfby=〃_2,ab+b

又扬)2..O

**•a—2y[ab+b..O

•*•a+b..2y[ab

当且仅当a=b时，a+b=2^[ab.

请利用上述结论解决以下问题：

(1)当x>0时，4x+」的最小值为此时尤=_；

⑵若y="+9(%>_2),求>的最小值.

x+2

28.如图，VA3C中，AB=AC,/B4C=c(0。<«<90。)，。为线段AC上一点，连结8D,

将线段80绕点。顺时针旋转180。-［得到线段DE.

⑴求证：ZABD=ZADE；

(2)连结CE,取CE的中点F连结AF,DF.

①依题意补全图形；

②求NATO.

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《北京市通州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678

答案ACDCDDBB

1.A

【分析】本题考查了立方根.熟练掌握立方根是解题的关键.根据23=8,即可得出结果.

【详解】解：.23=8,

••.8的立方根是2,

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了轴对称图形判断，根据定义逐项判断即可.将一个图形沿某直线折

叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形.

【详解】因为图A是轴对称图形，所以A不符合题意；

因为图B是轴对称图形，所以B不符合题意；

因为图C不是轴对称图形，所以C符合题意；

因为图D是轴对称图形，所以D不符合题意.

故选：C.

3.D

【分析】本题主要考查了求平方根，算术平方根，

根据算术平方根解答A,B,C,再根据平方根解答D即可.

【详解】解：因为斤记=粗=1,所以A不正确；

因为(-&>=(&)2=2,所以B不正确；

因为4=2,所以C不正确；

因为=±8,所以D正确.

故选：D.

4.C

【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解

【详解】A.F+FMZWF，不符题意;

B.22+32=13^42,不符题意；

C.l2+(73)2=4=22,符合题意；

答案第1页，共14页

D.(V7)2+32=16^52,不符题意

故选C

【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键.

5.D

【分析】根据无理数的估算方法估算回的范围即可.

【详解】解：4<V20<5,

.,•同在4和5之间，

故选：D.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是解此题的关键.

6.D

【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图得到OC=CM=,再根据,

得到OMCgOMD(SSS),即可.

【详解】解：由作图过程可知，OC=OD,CM=DM,

"：OM=OM,

_OMCgOMD(SSS),

判定/cOMD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.

故选：D.

7.B

【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机

事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题

的关键.

【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意；

B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意；

C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意；

D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意；

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

答案第2页，共14页

A.由对称的性质得NAO3="OC,由等腰三角形的性质得ZBOE=~ZAOB,

2

ZDOF=-ZDOC,即可判断;

2

B.N3OC不一定等于即可判断；

C.由对称的性质得OAB^ODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GNLO”,可得NGOD=NBOH,由对称性质得=同理可证

ZAOM=ZBOH,即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.OE1OF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由对称得ZAOB=Z.DOC,

点E,尸分别是底边A8,CO的中点，△OAB与ODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF^90°,

:.OB1OD,结论正确，故不符合题意；

B.4OC不一定等于40瓦结论错误，故符合题意；

C.由对称得OABqODC,

:点E,尸分别是底边AB,CD的中点，

：.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作G扬，O”,

・..NGOD+/DOH=900,

/BOH+/DOH=9伊，

:./GOD=/BOH,由对称得/BOH=/COH,

;.ZGOD=ZCOH,

答案第3页，共14页

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

9.x>3

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，

根据二次根式有意义的条件可得％-320,求出答案即可.

【详解】根据题意，得x-320,

解得x>3.

故答案为：x>3.

10.3

【分析】本题主要考查了无理数，根据定义：无限不循环小数是无理数解答即可.

【详解】解：-4彳,0,3.14是有理数；言,而2.1212212221…（每相邻两个1之间多一个2）

是无理数，一共有3个.

故答案为：3.

11.<

【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键.根据实数

的性质进行求解即可.

【详解】解：由（2斯『=24,52=25可知：2娓<5.

故答案为：<.

12.x=2

【分析】本题主要考查了解分式方程，

根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1,最后检验即可.

【详解】解：—^-+-=0,

2%-6尤

两边都乘以x（2x—6）,得x+2x—6=0,

移项，合并同类项，得3x=6,

系数化为1,得x=2.

经检验，尤=2是原方程的解.

故答案为：尤=2.

13.-1

答案第4页，共14页

【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解.

【详解】解：："是最简二次根式，且最简二次根式^与指是同类二次根式

4—2m=6

m=—l,

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个

最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式.

14.1

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到N4=NB,进而解答即可.

【详解】解：•••MN是线段的垂直平分线，

NA=NB,

CN=AC-AN=AC-BN=4-3=1,

故答案为：1.

15.—/0.5

2

【分析】本题主要考查了概率的计算，

先确定所以可能出现的结果，再判断符合条件的结果，然后根据概率公式计算即可.

【详解】解：一共有8张卡片，其中小寒有4张，

所以随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为,

o2

故答案为：■

16.90②③④

【分析】对于(1),根据直角三角形的两个锐角互余及全等三角形的对应角相等可得答案;

对于(2),先说明四边形EFGH是正方形，根据勾股定理得疗=2(/+〃)，再逐个判断即

可.

【详解】解：：DGH-CFG,

：.ZDGH=乙CFG,HG=FG.

ZCFG+ZCGF=90°,

ZDGH+Z.CGF=90°,

答案第5页，共14页

NFGH=90。.

故答案为：90；

由(1),同理可得N£HG=4ffiF=9O。，

,GH=GF=\la2+b2,

/.四边形EFGH是正方形，

根据勾股定理，得HG2+FG1=HF-,

即a2+b2+a2+b2=m2,

解得病=2(a2+b2).

由"/=2.2+2/x2,得m>6b，不能确定机，2b的关系.

所以①不正确；

根据三角形的三边关系可得a+b>万定.

所以②正确；

:机z=2(/+〃)，

a+b<m.

所以③正确；

由m2=2(/+"),

得m2+4ab=2(/+2ab+b2),

即m2+4ab=2((z+Z7)2,

开方,得y/m2+4ab=V2(a+b),

yfl{a+b)>m.

所以④正确.

正确的有②③④.

故答案为：②③④.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正方形的判定，勾股定理，直角三角形的性质,

三角形的三边关系，完全平方公式的应用，证明内部四边形是正方形是解题的关键.

17.6+

答案第6页，共14页

【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将各二次根式化为最二次根式后再合并即可得

出答案.

【详解1解：A/27—6，^+卡

=3石-2石+2近

=73+2>/2

18.25/3+11

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据单项式乘以多项式以及平方差公式计算后

再合并即可得出答案.

【详解】解：A/6（V8-72）+（2^+1）（2A/3-1）

=V48-V12+（2V3）2-1

=4A/3-2A/3+12-1

=25/3+n

19.见解析

【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明四=DE,再利用SAS证明

△ABC丝△£1£）厂即可.

【详解】证明：•.,AD=BE,

:.AD+BD=BE+BD,

/.AB=DE,

在VABC和£E昭中，

AB=DE

<ZCAB=NFED,

AC=EF

：.AABC^AE£>F（SAS）,

：.BC=DF.

20.4

【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，

先将x=6+2整理为x-2=g,再将待求式配方，然后整体代入求值.

答案第7页，共14页

【详角军】解：・「X=G+2,

x—2=A/3•

••%2-4x+5,

=x2-4x+4+l,

=(X-2)2+1,

=(⑻2+1,

=4.

21.—,近

x+15

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，

先计算括号内的，再将除法变为乘法，同时分解因式，然后约分化为最简，最后代入数值计

算即可.

【详解】原式=「口

x+2%+1%+1

x-1x+1

(X+1)2X—1

1

X+1

Vx=V5-l,

x+1=石，

•腰式—1一石

••际工I——f=-•

65

22.⑴见解析

(2)线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；ZA=ZDCA；ADCA-,同一个三角形中，

等角对等边

【分析】本题考查了作图一尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质：

(1)根据作法补全图形即可求解；

(2)根据垂直平分线的性质得OC=ZM,再根据角的等量代换得N3CD=NB,进而可证

得DC=DB,由等腰三角形的判定即可求证结论；

熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键.

答案第8页，共14页

【详解】（1）解：作法：①以点A为圆心，大于!AC为半径画弧，以点8为圆心，以相同

2

长度为半径画弧，与前弧相交，

②连接两个交点得直线交A8于点D,

③连接C。，

如图所示，即为所求.

郑

（2）直线是线段AC的垂直平分线，点。在直线上,

：.DC=DA.（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等），

:.ZA=ZDCA.

ZACB=90°,

:.ZBCD=900-ZDCA.ZB=90°-ZA.

:.ZBCD=ZB.

.•.DC=D3.（同一个三角形中，等角对等边），

ADCB和△DG4都是等腰三角形.

故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；ZA=ZDCA；ZDCA；同一个三

角形中，等角对等边.

23.200米

【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意

列出分式方程，解方程即可求解.

【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，

解得：x=200,

经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意.

答：原来每天修建道路20。米.

答案第9页，共14页

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

24.见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边，平行线的性质，由VABC为等边三角

形，结合三线合一，得到AO=Cr>=，AC,由平行线的性质可证明NAEE>=/ADE=60。，

2

可得钻=AD,从而证明结论.

【详解】证明：是等边三角形，8。平分一ABC交AC于点。

/.AD=CD=-AC

2

•/DE//BC

：.ZAED=ZASC=60°,ZADE=/C=60。

：.ZAED=ZADE

/.AE=AD

：.AE=-AC=-AB.

22

25.⑴见解析

(2)0，2石，5

(3)直角，2

【分析】本题考查作图-应用与设计、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、

直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

(1)利用平移的性质画出图形即可；

(2)利用勾股定理计算即可；

(3)利用勾股定理的逆定理证明，再运用等积法即可解决问题.

【详解】(1)解：如图，CD即为所画，

AD=A/12+22=^；

AC=742+22=V20=2A/5；

答案第10页，共14页

CD=打+不=5

故答案为：'s/s;2下;5；

⑶解：AD-=5,AC2=20,CD2=25,

AD2+AC2=CD2,

「ACD是直角三角形，且/。。=90。，

设点A到C。的距离为〃，则有：

-ADAC=-CDh,

22

.,ADACA/5X2A/5、

CD5

即：点A到CO的距离为2,

故答案为：直角；2.

26.⑴见解析

(2)CF=布

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，

对于(1),根据角平分线的性质得AF=AD,再结合已知条件根据“斜边直角边”证明这两

个三角形全等；

对于(2),先根据全等三角形的性质求出CE,再根据角平分线的性质求出口，然后根据

勾股定理得出答案.

【详解】(1)证明：：？。90?,

/.DEJ.AD.

平分且3E_LAC,

AF=AD.

[AB^AC

.,.在RtABF和Rt^ACD中jA尸.A。

答案第11页，共14页

AABF^AACD(HL)；

(2)解：,；AABF^AACD,

：.BF=CD=1.

•/EA平分NDEF,

/.ZAEF=ZAED.

又"E_LAC,DE,LAD,

/.ZEAF=ZEAD,

：.ED=EF=3,

在RtZXEFC中，EC=4,EF=3,

CF=yJCE2-EF2=A/7.

27.(1)4,1

（2）y的最小值为26

【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用,

对于（1）,根据题意可得4元+224,再根据题意求出x的值即可；

X

对于（2）,将原式整理为了=尤+2+三，再结合已知条件可得x+2+4—N2、（x+2）•工

x+2x+2Vx+2

接下来可得答案.

【详解】（1）解：根据题意可知

xVx

即4x+4Z4.

X

当4x=!时，4.r+-=4,

XX

解得X=1时，4x+L的最小值是4；

2x

故答案为：4,g；

(2