北师大版七年级数学下册同步训练：平方差公式和完全平方公式（10类热点题型）解析版

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)

学习目标

1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用;

2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算;

3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.

思维导图

平方差公式:两个数的和与这两个

数的差的积,等于这两个数的平方

差.

平方差公式和完全平方完全平方公式:两数和(差)的平方,

公式等于它们的平方和加(减)它们积

的2倍.

平方差和完全平方差区别

知识清单

知识点01平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

即(a+b)(a-b)="-b2

公式的几种变化：

①位置变化：(6+。)(-6+。)=(a+b)(a-Z?)=a2~b2；

(-a-b)(a-b)=(rb-a)(V+a)=(~b+a)(-b-a)=(­£>)2-a1=b2~a2

②系数变化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4〃-9〃

③指数变化：(〃+〃)("_")=(〃)2_g2=a4-b4

④增项变化：Q-b-c)(a-b+c)=(a~b)2

44

⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(〃+〃)=—(/+〃)=(")2_g^a-b

⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知识点02完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-Z?)2=a2-2ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

(2)公式的变化：

①储+62=(。+6)2-2。6；②〃$=(a-b)2+2ab；③(a+6)2=(a-6)z+4a6；④(«-/?)2=(«+/?)2-^ab

⑤(a+b)2~(a-b)2=4ab

知识点03平方差和完全平方差区别

平方差公式：(a+b)(a-&)=〃-〃

完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

题型精讲

题型01判断是否可用平方差公式运算.

【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是()

A.+2bH-2“B.(-2x+3y)(-3y-2x)

C.(—2x+y)(_2x-y)D.

【答案】D

【详解】解：4&+2,&--(26))可以使用平方差公式;

3、(-2x+3y)(-3y-2x)=(-2域-(3y『，可以使用平方差公式;

C、(-2x+y)(-2x-j)=(-2x)2-y2,可以使用平方差公式;

。、(x-l)(-x+l),两项都不相同，可变形为完全平方公式，不能使用平方差公式.

故选：D.

【变式训练】

1.下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(3+x)B.(-x+j)(x-y)C.(5m+n)(-5m-n)D.(3m+n)(3m—n)

【答案】D

【详解】解：4不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

2、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；

D,能使用平方差公式，故本选项符合题意；

故选：D

2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是()

A.(2x-j)(2x+y)B.(-x+j)(x-y)

C.(/?-fl)(Z?+a)D.(x-y)(-y-x)

【答案】B

【详解】解：A、(2x-y)(2x+y),能用平方差公式进行计算，不符合题意；

2、(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y),不能用平方差公式进行计算，符合题意;

C、(b-a)(b+a),能用平方差公式进行计算，不符合题意；

D、(x-yX-y-x)=-(x-y)(x+y),能用平方差公式进行计算，不符合题意;

故选8.

题型02运用平方差公式进行运算.

【例题】(2023上•全国•八年级专题练习)计算：

⑴(。+6)(。_2);⑵1-^卜+野；

(3)(m+n)(m-A2)；

(4)(o.i-x)(o.i+x)；⑸(x+y)(-y+x).

【答案］(1)a2+ba-2a—2b

⑵--;

(3)"「一”2

(4)0.01-x2

(5)x2-y2

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，平方差公式：

(1)利用多项式乘以多项式的法则即可求解；

(2)利用平方差公式即可求解；

(3)利用平方差公式即可求解；

(4)利用平方差公式即可求解；

(5)利用平方差公式即可求解.

掌握多项式乘以多项式以及平方差公式的法则是解题的关键.

【详解】(1)解：(。+6)(。一2)=。2+6。一2”一防；

⑵解:(“丁［尤+>2-；；

(3)解:(m+n){rn—n)=m2—n2；

(4)角军：(0.1—x)(0.1+犬)=0.01—%2；

(5)解：(x+y)(-y+x)=x2-y2.

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

(1)(5/M—3H)(5m+3??)；(2)(—2/+5Z?)(—2〃—56)；

⑶(++„%+，；(4)(-3y-4x)(3y-4x).

【答案】⑴25m2-9/

(2)4/一25〃

(3)y2--x2

16

(4)16x2-9y2

【分析】(1)原式利用平方差公式计算即可得到结果；

(2)原式利用平方差公式计算即可得到结果；

(3)原式利用平方差公式计算即可得到结果；

(4)原式利用平方差公式计算即可得到结果；.

【详解】(1)(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2;

(⑶2)(—2〃2+5〃)(一2.2—5Z=?)="(—"2Q2一)—(5%6)2♦=4a4_25匕2

(4)(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x+3y)(Tx-3y)=(-4^)2-(3y)2=16x2-9y2.

【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2.(2023・上海•七年级假期作业)计算：

⑴(2。-3)(2“+3乂44+9)；⑵+.

【答案】⑴161-81

(2)〉工

10

【分析】(1)连续运用平方差公式求解即可；

(2)连续运用平方差公式求解即可；

【详解】(1)(2。-3)(r+3乂4/+9)

=(4a2-9)(4o2+9)

=16fl4-81;

=(7a。-从)(］。2+^2)

=-a4-b\

16

【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

题型03利用平方差公式进行简便运算.

【例题】(2023上•吉林长春•八年级校考阶段练习)用简便方法计算：

(1)498x502⑵20222-2023x2021

【答案】⑴249996

(2)1

【分析】(1)根据498x502=(500-2)x(500+2),利用平方差公式计算即可得；

(2)根据20222-2023x2021=20223-(2022+l)x(2022-1),利用平方差公式计算即可得.

【详解】(1)解：M=(500-2)x(500+2)=5002-22=250000-4=249996.

(2)解：原式=2022?-(2022+1)x(2022-1)=2022?-(20222=2022?一2022z+1=1.

【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键.

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

(1)10.3x9.7；(2)2020x2022-20212.

【答案】⑴99.91

(2)-1

【分析】(1)根据平方差公式计算即可；

(2)根据平方差公式计算即可.

【详解】(1)解：10.3x9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；

(2)解：2020x2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=202F-1-20212=-1.

【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特征是解题的关键.

2.(2023上•八年级课时练习)计算：

13

(l)100-x99-.

(2)198x202.

(3)________________

20222-2023x2021'

【答案】⑴999走

(2)39996

⑶2022

【分析】(1)(2)(3)运用平方差公式即可求解.

【详解】(1)解：原式=(100+111004=100-=10000」=9999”

I4八4J41616

(2)解：原式=(200-2)x(200+2)=2002-2?=40000-4=39996

__________2022__________20222022

⑶解：原式-20222_(2022+1)、(2022-1)20222-(20222-1)=20222-20222+1=2°22

【点睛】本题考查平方差公式的运用.熟记公式形式(。+切(。-9=/-62是解题关键.

题型04平方差公式与几何图形.

【例题】(2023上•江苏泰州•七年级靖江市靖城中学校联考期中)图1、图2分别由两个长方形拼成.

⑴图1中图形的面积为片一"，图2中图形的面积为(a-6)x_.(用含有a、b的代数式表示)

⑵由(1)可以得到等式：

⑶根据你得到的等式解决下列问题：

①计算：68.52-31.52.

②若m+4〃=2,求(m+l)2-nv+(2〃+1)~-(2n-l)2的值.

【答案】⑴(。+6)

(2)a2-b1=^a-b)^(a+b)

⑶①3700；②5

【分析】本题考查平方差公式与几何面积.

(1)利用长方形的面积公式作答即可；

(2)根据两个图形的面积相等，即可得出等式；

(3)①利用(2)中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可.

解题的关键是得到a2-b2=(a-b)x(a+b).

【详解】(1)解：图2中图形的面积为(4-。)*(4+。)；

故答案为：(。+))；

(2)由(1)可得:"=(a—b)x(a+6)；

故答案为：a2-b2=(tz-Z?)x(6Z+Z?)；

(3)①68S-31S

=(68.5-31.5)x(68.5+31.5)

=37x100

=3700；

②回租+4〃=2,

[?](m+l)2-m2+(2n+l)2-(2H-1)2

=(m+l—+—2n+l)(2zi+l+2n—1)

=2m+l+8n

=2(m+4n)+l

=2x2+1

【变式训练】

1.（2023上•陕西安康•八年级校联考阶段练习）【实践操作】

（1）如图1,在边长为。的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（。＞。），把图1中L形的纸片按图②剪

拼，改造成了一个大长方形如图③，用含。、6的式子表示图③中大长方形的面积为

图①图②图③

（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：；

【应用探究】

（3）利用（2）中验证的公式简便计算：499x501+1；

(4)计算:“一七

【答案】(1)a2-Zj2；(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.(3)250000；

(4)—.

4048

【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可;

（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出（。+3s--加；

（3）观察（2）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成500-1,将501拆成500+1即

可；

（4）利用。2-62=（。+6）（4一6）将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘

积为1,故答案为第一个因式乘以最后一个因式；

本题考查了"数形结合"中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律.

【详解】（1）2（。-6）1一+

=^a-b）^a-b+2b）,

=（a-/?）（a+Z?）,

=a2—b2,

故答案为：a2-b2;

（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，

团（a+6）（a_b）="_b?,

故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；

（3）原式=（500-1）（500+1）-1,

=5002-l2-b

=5002=250000；

（4）原式=『JTU力i+卜“-击（+盘］1-圭I"圭］,

1324352022202420232025

—___V___X/____V____y___V___yy___________X/___________X/___________\/___________

-2233442023202320242024?

12025

=——x,

22024

2025

-4048,

2.（2023上•山东济南•七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1,边长为a的大正方

形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.

⑴上述操作能验证的公式是(请选择正确的一个).

A.a2+ab=a(^a+b)B.a2-b2=(o-fe)(a+Z?)C.a2-2ab+b2=(a-b'f

(2)请应用上面的公式完成下列各题：

①已知4a之一从=24,2a+b=6,贝!]2。-6=；

②计算：1002-992+982-972+......+42-32+22-I2；

③计算：（2n）2一（2〃-以+（2〃-2）2-（2〃-3）2+……+42-32+22-I2（«>1）

【答案】⑴B

⑵①4；@5050；③2"+，，

【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键.

（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；

（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果.

【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：cr-b1,

图二中阴影部分面积为：（a+b）（a-b）,

而这两者面积相等，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）.

故选：B.

（2）解：①4cr-b2=（2a+Z;）2（a-Z7）=24,

又2。+6=6,

:.2a-b=4.

②1002-992=（100+99）（100-99）=100+99,

982-972=（98+97）（98-97）=98+97,

22-12=（2+1）（2-1）=2+1,

；・原式=100+99+98+97+...+4+3+2+1=5050.

③（2n）2-（2n-l）2+（2n-2）2-（2n-3）2+...+42-32+22-I2（«>1）

=（2〃+2〃-1）（2〃-2〃+1）+（2〃-2+2〃-3）（2"-2+2〃+3）+……+（4+3）（4-3）+（2+l）（2-l）

—2〃+2几—1+2〃—2+2n—3+...+4+3+2+1

_（2〃+1）22〃

一2

=2n2+n•

题型05运用完全平方公式进行运算

【例题】（2023上•河南信阳•八年级校考阶段练习）用乘法公式计算

⑴（x+y+z）2

（2）（2x-3+y）（2x-y+3）

【答案1（l）x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

（2）4%2-y2+6y-9

【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知（。+力=/+2ab+b2,（a-勿（a+6）=/-k是

解题的关键.

(1)根据完全平方公式进行求解即可；

(2)先把(y-3)看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案.

【详解】(1)解：原式=(x+yy+2z(x+y)+z2

=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz；

(2)解：原式=[2x+(y-3)][2尤-(y-3)]

=4x?-(>-3)2

—4x2_6y+9)

=4x2-y2+6y-9.

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

⑴(x+7»；

⑵(Ta+5力；

⑶(一2加一,J；

(4)(2x+3y)(-2x-3y).

【答案】⑴f+14孙+49/

⑵25〃-40316〃

(3)4m2—4mn+n2

(4)-4x2-12xy-9y2

【分析】(1)根据完全平方公式计算即可；

(2)根据完全平方公式计算即可；

(3)根据完全平方公式计算即可；

(4)先提出负号，再完全平方公式计算即可；

【详解】(1)解：(x+7y)2=x2+2-x-7y+(7y)2=x2+14xy+49y2；

(2)解：(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2-5b-4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2；

(3)解：(—2〃z—=(2〃z+〃)~=(2机)~+2・2〃工・〃+〃2=4〃/—4〃加+“2；

(4)解：(2x+3y)(-2x-3y)

=-(2元+34

=-[(2x)~+2.2x3y+(3y)]

=—4x2—12xy—9y2.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键.

2.(2023上•八年级课时练习)计算：

⑴(x+2y-z)(尤-2y+z)；

⑵(5a+26-3c)2；

(3)(5o+3&-2c)(5a-3&+6c).

【答案】⑴x?-4y2+4yz—z?

(2)25a2+20ab-30ac+4b2-12bc+9c2

(3)25a2+20ac-9b2+24bc-12c2

【分析】(1)先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案；

(2)两次利用完全平方公式计算即可得答案；

(3)将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案.

［详解］(1)解：(x+2y-z)(x-2y+z)

=［x+(2y-z)］［x-(2y-z)］

=x2-(2y-z)2

=x2-(分?—4yz+z2^

=x2-4y2+4yz-z2.

（2）解：（5a+2b-3c）2

=［（5a+2Z?）-3c］~

2

=（5。+26）2-2（5。+26）.3c+（3c）

=25a2+20ab+（2Z?）2-30ac-12bc+9c2

=25a2+20ab—30ac+4b2-12bc+9c2.

（3）（5a+3b-2c）（5。-3b+6c）.

=［（5a+2c）+（3b-4c）］［（5a+2c）_（36-4c）］

=（5a+2c）~-（36-4<?y

=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2

=25a2+20ac-9b2+24bc-12c2.

【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：（。+6）（。-6）="一〃；完全平方公式：

（°±6）2="±2成+后；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创

造条件套用公式.

题型06利用完全平方公式进行简便运算

【例题】用简便方法计算：^X3.72-3.7X2.7+1X2.72.

22

【详解】解：原式=；*(3.7?-2x3.7x2.7+2.72)

=1x(3.7-2.7)2

-2,

【变式训练】

1.用简便算法计算

(1)20172-2016X2018(2)2022+202x196+982

【详解】(1)解：原式=20172-(2017-1)(2017+1)

=20172-(20172-I2)

=20172-20172+1

=1.

(2)解：原式=2022+2X202X98+982

=(202+98)2

=30()2

=90000

题型07通过对完全平方公式变形求值

【例题】(2023上,四川宜宾•八年级校考阶段练习)已知：a+b^-3,ab=2,求下列各式的值:

(l)a2+b2;

⑵(aW.

【答案】⑴5

(2)1

【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算.

(1)根据公式(a+=片+2。人+〃变形计算即可.

(2)根据公式一2他+从计算即可.

【详解】(1)解：团a+b=-3,ab=2,

22

团=9,+=a+2ab+b,

团9=Q2+2X2+〃，

角军得/+/=5.

(2)解：回/+。2=5,ab=2,

1

团(］一/?)2=〃2_2ab+b,

团(a-bp=a1—lab+b1=5-4=1.

【变式训练】

1.已知机-〃=T,mn=2,求下列代数式的值.

(1)m2+n2

(2)(m+l)(n-l)

【详解】(1),

团("i一九『=16,

0m2—2mn+n2=16,

团mn=2,

团机2+〃2=16+2mn=16+4=20;

(2)(m+l)(n-l)

=2-(T)-1,

=5.

3.

2.已知a+b=5,ab=-,求下列式子的值：

(1)6?2-ab+b2;

⑵(

3

【详角军】(1)^\a+b=5,ab=—

2f

团Q2—cib+—(a+Z?)2—3ab

=52-3X-

2

_41

团(a-Z?)2=(a+一4ab

-52-4X-

2

=19.

题型08求完全平方式中的字母系数

【例题】已知关于x的式子4尤2+4+1是某个多项式的完全平方，那么A是.

【答案】4x、Tx和4/

【详解】解：®E4X2+A+1=(2X)2+A+12,

0A=±2.2x-l=±4x,

②若A+4/+1是多项式的平方，

则A=4d；

故答案为：4x、Tx和4/.

【变式训练】

1.若Y+m—l)x+25是一个完全平方式，则。=.

【答案】n或-9/-9或11

【详解】解：回/+(。-1)》+25是一个完全平方式，

团(a—1)x=±2•x•5=±10x,

13a—1=±10,解得o=ll或一9,

故答案为：11或-9.

2.若整式4/+/+。是完全平方式，请写出所有满足条件的。是—.

【答案】±4V或士1或1

【详解】解：①当。为4/和/的中间项时。=±4/；

②当4/为。和/的中间项时。=土炉；

③当V为。和4/的中间项时。=J；

故答案为：±4尤3或士炉或

4

题型09完全平方式在几何图形中的应用

【例题】(2023上・江苏•九年级专题练习)我们已经学习了乘法公式(a±b)2="±2/+方2的多种运用，可

以运用所学知识解答：求代数式无2+4x+5的最小值.解答如下：

解:X?+4x+5=+4x+4+1=(x+2)+1,

(x+2)2>0,13当x=-2时，(+2)2的值最小,最小值是0,

ffl(x+2)2+l>l,团当(x+2)/时,(x+2)?+l的值最小，最小值是1,

回炉+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题.

⑴知识再现：当天=时，代数式/一人+15的最小值是；

(2)知识运用：若》=*+6苫-15,当尸时，y有最______值(填"大"或"小")，这个值是

(3)知识拓展：若-炉+5苫+>+10=0,求y+x的最小值.

【答案】⑴2,II

(2)3,大，一6

(3)-14

【分析】(1)根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；

(2)将等式右边配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；

(3)首先得到有关x+y的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可.

【详解】(1)解：0X2-4X+15=(X-2)2+11,

团当x=2时，有最小值11；

故答案为：2,11;

(2)解：Ely=—尤？+6x—15=—(x—3)2—6,

回当x=3时有最大值-6；

故答案为：3,大，-6；

(3)解：a-x2+5x+y+10=0,

0x+y=x2-4.r-10=(x-2)2-14,

El(无一2)2NO,

0(X-2)2-14>-14,

团当x=2时，y+尤的最小值为-14.

【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

【变式训练】

1.例：求代数式炉+4彳-5的最小值.

222

解:x+4x-5=x+4.r+4-4-5=(x+2)-9,

V(X+2)2>0,A(X+2)2-9>-9,

当x=-2时,代数式炉+4尤-5有最小值-9,

仿照以上方法，完成下列问题：

⑴求代数式x2-3x+2023的最小值；

(2)求代数式一2/+尤+3的最大值.

【详解】(1)解：/一3x+2023=f-3x+0+2023=(尤一£|+2020：,

仆-。］>0,/尤-+2020->2020-1

I2jI2)44

33

.•.当％=时，代数式f_3%+2023有最小值2020-；

24

(2)一2x?+无+3=—2［尤2—g尤］+3=—21》一(1+3+［=—2［无一］］+y,

125

Ta”代数式"+"有最大值孩

2.我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2=（.a±b）-,观察下列式子:

x~+4x+2=(x~+4x+4)-2=(x+2)~-2,

.(x+2)2>0,.-.X2+4X+2=(X+2)2-2>-2,原式有最小值是一2；

-X2+2x_3=_(彳2_2x+1)-2=-(X-1)—2,

.~(x-1)~W0,—x2+2x—3=-(x—I)--2<—2,原式有最大值是—2；

并完成下列问题：

围墙(大于100米)

x-------►

_________________|木屣

⑴代数式/一4尤+1有最（填大或小）值，这个值=.

⑵解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设

计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为工米，完成下列任务.

①用含x的式子表示花圃的面积；

②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

【详解】（1）解：X2-4X+1=（X-2）2-3,

团（无一2）2>0,

0（X-2）2-3>-3,

团代数式Y-4X+1有最小值，最小值为-3；

故答案为小，-3；

（2）解：①由图可得花圃的面积：双100-2工）=（-2—+100幻平方米；

②由①可知：-2/+100x=-2(x-25>+1250,

.当x=25时，100-2x=50<100,>-2(x-25)2<0,

.,.当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米.

题型10完全平方公式在几何图形中的应用

【例题】现有长与宽分别为。、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个

图1图2图3

⑴根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于“、b的关系式：（用。、6的代数式表示出来）；

图1表木：；图2表示：；

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（2）若x+y=8,x2+y2=40,贝尤；孙=；

（3）如图3,点C是线段A3上的一点，以AC,8C为边向两边作正方形，设AB=7,两正方形的面积和

工+邑=16,求图中阴影部分面积.

【详解】（1）解：图1中，由图可知S大正方形=（a+4，

S组成大正方形的四部分的面积之和=。-+b?+2ab,

由题意得，S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和，

即（a+%）~=4+b2+2ab,

故答案为：（。+6『=。2+廿+2。6.

图2中，由图可知S大正方形=（a+5）~,Sj、正方形=（。一6）2,S四个长方形=4ab,

由题图可知,S大正方形=$小正方形+S四个长方形,

即（a+6）2=（a—Op+4ab,

故答案为：（。+6）~=（a-6y+4aZ?.

（2）解：（尤+»=x?+;/+2旬，

.■x+y=%,x2+y2=40,

...^=1(82-40)=12,

团(x-y)2=x2+y2-2孙=40-2x12=16.

故答案为：16；12.

(3)解：由题意得AB=AC+C3,

AB=7,

:.AC+CB=7,

S[+邑=16,

:.AC2+CB2=16,

(AC+BC)2=AC2+CB-+2ACCB,

AC-CB=-^AC+CB)2-(AC2+CB2)]

=3(7―6)

_33

33

OS阴影=CD.CB=AC.C8=万.

33

即图中阴影部分的面积为£.

【变式训练】

1.将完全平方公式(。±))2=/±2"+〃进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若。+匕=3,

ab=l,求a?+b2的值.

解:因为a+b=3,所以(a+6)2=9,Bpa1+2ab+b2=9.

又因为。6=1,所以。2+/=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,则冲=_；

(2)若x-y=6,xy=5,求x?+y2的值；

(3)两个正方形ASCD、AEFG如图摆放，面积和为34,BG=3,则图中阴影部分面积和为.

【详解】⑴解：.x+y=8,

/.(x+»=64,即f+2xy+y?=64,

22

又x+y=40f

2xy=64-40,

xy=12,

故答案为：12；

(2)解：团x—y=6,xy=5,

x2+y2=(x—y)2+2xy=36+2x5=46；

(3)解：设正方形ABC。的边长为机、A£FG的边长为〃,

.•.m2+〃2=34,m+n=8,

m2+n2=(m+n)2—2mn,BP34=64—2mn,

mn=15,

2

(机—〃J=m+〃2_2mn=34-30=4,

m—n=2,

m+n=8,/.m—n=2,

解得：m=5,n=3,

阴影〃

S=gx(m_)XM=-x2x5=5

2

故答案为：5.

2.如图①，正方形ABC。是由两个长为。、宽为6的长方形和两个边长分别为“b的正方形拼成的.

⑴利用正方形ABCD面积的不同表示方法,直接写出（a+6）2、/+〃、曲之间的关系式,这个关系式是

（2）若能满足（2024-m丫+（机-2023）2=4047,请利用中的数量关系，求（2024-租）（m-2023）的值；

⑶若将正方形EFG"的边FG、G”分别与图①中的尸G、MG重叠，如图②所示，己知Pb=8,NH=32,

求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）.

【详解】（1）Ca+b）2=a2+b2+2ab

（2）设2024—m=a,m—2023=b,

贝!］（2024—m）（机一2023）=",a+b=\,

由已知得：/+/=4047

（。+6）+b"+2ab,

012=4047+2血

团公=—2023,

0（20242023）=-2023

（3）设正方形EFG”的边长为x,则PG=x-8,NG=32-x,

0S阴=S正方衫APGM+2s长方形PBNG+S正为彩CQGN

OS阴=（无一8）2+2（X—8）（32—X）+（32—X）2

团（a+6）+2o6

El5阴=［（》-8）+（32-尤）1=242=576

强化训练

一、单选题

1.(2023上•河南驻马店•八年级统考阶段练习)下列算式能用平方差公式计算的是()

A.(x+y)(y+x)B.(-x-y)(-x+y)

C.(x-j)(-x+y)D.(x—y)(y-x)

【答案】B

【分析】本题主要考查了平方差公式.根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解.

【详解】解：4(x+y)(y+x)=(x+y)2,不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

B、(-x-y)(-x+y)=(x+y)(x-y),能用平方差公式计算，故本选项符合题意；

C、(x-y)(-x+y),不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

。、(x-y)(y-x)，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；

故选：B

2.(2023上•河南南阳•八年级统考期中)下列式子：①(x+y)2=(-x-4；②(彳_»=(y一打；③

(-%-y)(-x+y)=x2-y2,其中正确的是()

A.①②③B.只有①②C.只有②D.只有①

【答案】A

【分析】本题考查平方差公式：（4+6）（。-。）="-〃、完全平方公式：（4±32="±2"+〃，根据公式

一一判断即可.

【详解】解：（T-y）2=[-（x+y）『=G+y）2,故①符合题意；

（x-y）2=%2-2xy+y2,（y-x）2=y2-2xy+x2,故②符合题意；

（-x-j）（-x+y）=（-x）2-y2=x2-y2,故③符合题意；

故选：A.

3.（2023上•四川宜宾,八年级校考阶段练习）若。+人=-3,ab=-10,则/+〃的值是（）

A.27B.28C.29D.30

【答案】C

【分析】本题考查运用完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形是解题的关键.

【详解】解:a2+b2=（«+Z7）2-2aZ?=（-3）2-2x（-10）=29,

故选C

4.（2023上•山东济南•七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）若a=2023°,8=2021x2023-20222,

（>2022<Y023

c十;3x|4，则。，6,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】B

【分析】本题考查零指数幕，平方差公式，积的乘方，先分别计算。，6,c的值，再比较即可.

【详解】解：（7=2023°=1,

6=2021x2023-20222=（2022-1）x（2022+1）-20222=20222-1-20222=-1,

4

因为所以6<a<c,

故选:B.

5.（2023上•山东青岛•八年级统考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可

以得到一个数学等式.例如由图1可以得到M+3必+%2=（。+%乂。+3.若已知

a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=3S,由图2所表示的数学等式，贝!|a+b+c的值为（）

b

a

abb

11

bba

图1

A.12D.9

【答案】B

【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式,

即可求解.

【详解】解：由图2可得(<7+Z?+c)~=合+〃+/+2ab+2"c+2ac

0a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=3S,

EI(a+6+c)2-a2+6?+c2+2"6+6c+ac)=45+2?38=121,

又Ela+6+c>0

0a+Z>+c=ll

故选为：B.

二、填空题

6.(2023上•上海杨浦•七年级统考期末)计算：(-x-2y)(-x+2v)=.

【答案】%2-4/

【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则.

【详解】A¥：(-x-2y)(-x+2j)=(-x)2-(2_y)2=x2-4y2,

故答案为：x2-4y2.

7.(2023上•重庆开州•八年级校联考阶段练习)若--(a+l)x+4是一个完全平方式，那么。=

【答案】3或-5

【分析】本题考查了完全平方公式.熟练掌握(。±6)2=片±2必+加是解题的关键.

由题意知，-(。+1口=±4尤，计算求解即可.

【详解】解：由题意知，X2-(a+l)x+4=x2-(a+l)x+(2)2,

0-(a+l)x=±4x,

解得，。=3或a=—5,

故答案为：3或-5.

8.(2023上•河南新乡•八年级校考阶段练习)如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为6的小正方形

(a＞垃,把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式.

b

【答案】a2-b2=(G-Z?)(a+/?)

【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根

据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答.

【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为"一/；

由右图可得：阴影部分的面积为：；(2a+26)(a-6)=S+6)(a-6)；

所以/~b2=(4-。)(<7+万).

故答案为J-匕2=(a-b)(a+b)

9.(2023上•黑龙江牡丹江•八年级统考阶段练习)设6是实数，定义一种新运算；=(4-6)2.下面有

四个推断：(1)a*b=b*a；@(a*Z?)2=a1*b1；(3)(-«)*£>=«*(-£>)；(4)o*(Z?+c)=a*b+a*c.其中正确推断

的序号是.

【答案】①③/③①

【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是新运算规则，对选项逐个进行判断.

【详解】解：a*b=(^a-by,b*a=(b-a)2=(a-Z?)2,故①正确；

=(a-b?,a2*b2=(a1-b1^=(a-Z?)2(a+Z?)2,故②错误；

(-a^*b=(-a-by=(a+Z?)2,a*(-6)=［a-(-b)T=(a+Z?)?,故③正确；

a*(b+c)=(a-b-c)2,a*b+a*c=(a-b^2+(a-c)2,故④错误；

即正确的为①③，

故答案为：①③.

10.(2023上•甘肃兰州•七年级兰州市第五十五中学校考开学考试)对于任意的代数式a,b,c,d,我们规

ab(x-y)2x

定一种新运算：jad-bc.根据这一规定，计算

ca-3y(x+y)

［答案］x2—y2+6xy

fx-y)2x-、

【分析】按照规定的运算方法把+化为(zx-H(x+y)+2x.3y，利用平方差公式计算整理即可.

【详解】解：根据题意得：

(x-y)2x

-3y(x+y)

=(尤-y)(x+y)+2x-3y,

=x2—y2+6xy.

故答案为：x2-y2+6xy.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键.

三、解答题

H.(2023上•江苏南通•八年级校联考期中)计算：

(l)(4%-3y)2；

⑵(x+y+l)(x+y-1)；

(3)(2x+3y)~-(2x+y)(2x-y)；

(4)(-x2y5)-(xy)3.

【答案】⑴16尤2-24冲+9y2

(2)x2+2xy+y2-l

(3)12xy+10y2

⑷「

【分析】本题考查的是整式的混合运算.

(1)利用完全平方公式计算即可求解；

(2)先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；

(3)利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；

(4)先乘方，再计算乘法.

【详解】(1)解：(4x—3y『=16f-24孙+9y=

(2)解：(x+y+l)(x+y-l)

=(%+,)2T

=x2+2xy+y2-1；

(3)解：(2x+3»—(2%+y)(2x-y)

=4x2+12xy+9y2-4x2+y2

=12xy+10y2；

(4)解：(-丹5).(孙丫

=(-/打

12.(2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习)利用乘法公式计算下列各题

(1)(—2m—n)(2m—n)

⑵(r+3y广

(3)1032+972

22

(4)(tZ+Z?)((2-Z?)_(Q_/?)(〃+Z?)(〃2+/)

【答案】⑴4疗

(2)x2-6xy+9y2

(3)20018

(4)—2*+2/

【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)利用平方差公式求解即可；

(2)利用完全平方公式求解即可；

(3)利用完全平方公式求解即可；

(4)利用平方差公式和完全平方公式求解即可.

【详解】(1)(-2m-w)(2m-n)

二(-〃J—(2m)2

=n2—4m2;

(2)(-x+

=x2-6xy+9y2；

(3)1032+972

=(100+3)2+(100-3)2

=10000+600+9+10000-600+9

=20018；

(4)(a+0)2+〃)

=[(a+0)(a—/?)[2—(々2_人2)(〃2+人2)

=,2_〃)2_(八町

=a4-2a2b2+b4-a4+b4

=-2a2b2+2b4.

13.(2023上•四川宜宾•八年级校考阶段练习)⑴已知34-4°-7=0,求代数式伽-以-⑺+外5-切-廿

的值.

(2)若x?---5,求x4H--r

XX

【答案】(1)8；(2)27

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，

(1)先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再由3/一船-7=0得到3/一4°=7,

最后利用整体代入法求解即可；

111

(2)根据=5,才巴等式两边同时平方得至U—+2=25,贝U+=27.

XXX

【详解】解：(1)(2a-l)2-(a+b)(a-b)-b2

=4a2-4Q+1-(Q?一b2)一62

=4片-4<2