初中数学期末压轴题分类（必刷60题15种题型专项训练）解析版

期末压轴专题分类01(必刷60题15种题型专项训练)

一.解一元二次方程-因式分解法(共1小题)

1.对于实数a,b,定义运算“*”：a*b=.a-ab(a>b).例如4*2,因为4>2,所以4*2=4?-4X2

ab-b2(a<b).

=8.若XI，X2是一元二次方程，-5x+6=o的两个根，则X1*X2=3或-3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：..51,X2是一元二次方程--5x+6=0的两个根，

(x-3)(x-2)=0,

解得：x=3或2,

①当xi=3,犯=2时，XI*X2=3?-3X2=3；

②当xi=2,X2=3时，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案为：3或-3.

二.根与系数的关系(共1小题)

2.设a,0是方程x2+9x+l=0的两根，则(a2+2009a+l)(俨+20090+1)的值是()

A.0B.1C.2000D.4000000

【答案】D

【解答】解：•••a,0是方程/+9x+l=0的两个实数根，

/.a+P=-9,a»p=1.

(a2+2009a+l)(俨+20090+1)

=(a2+9a+l+2000a)(俨+邪+1+20000)

又：a,0是方程x2+9x+l=0的两个实数根，

/.a2+9a+l=0,伊+邪+1=0.

(a2+9a+l+2000a)(俨+邪+1+2000。)

=2OOOa,2OOO0

=2000X2000邓，

而支邛=1,

二(a2+9a+l+2000a)(俨+90+1+20000)=4000000.

故选：D.

三.一元二次方程的应用(共3小题)

3.如图，A,B、C、。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点尸、。分别从点/、。同时出发,

点尸以3c加/s的速度向点3移动，一直到达2为止，点0以2cm/s的速度向。移动.

(1)P、。两点从出发开始到几秒时，四边形P3C。的面积为33cm2；

(2)P、。两点从出发开始到几秒时，点P和点。的距离是10c%.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)设尸、。两点从出发开始到x秒时四边形尸8C。的面积为33cZ,

贝U尸8=(16-3x)cm,QC=2xcm,

根据梯形的面积公式得工(16-3x+2x)X6=33,

2

解之得x=5,

(2)设尸，。两点从出发经过/秒时，点P,0间的距离是10cm,

作。EL48,垂足为E,

则0£=/。=6,尸0=10,

,:PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-2E=|16-5f|,

由勾股定理，得(16-5?)2+62=102,

解得/I=4.8,?2=1.6.

答:(1)尸、。两点从出发开始到5秒时四边形PBC。的面积为33c/；

(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点。的距离是10cm.

2

4.阅读下列材料：求函数yn:%+2乏的最大值.

x2+x+0.25

解：将原函数转化成X的一元二次方程，得(y-3)X2+(y-2)x1y=O

为实数，，△=(y_2)2-4(y-3)x[y=-夕+420，因此，y的最大值为4.

2

根据材料给你的启示，求函数y=3：+.X.+2的最小值.

X2+2X+1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得S-3)/+(2y-1)x+y-2=o,

为实数，

・•・△=(2y-1)2-4(y-3)(厂2)=电-2320,

・＞23

16

因此y的最小值为23.

16

5.某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了

尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么

商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是(0.3-x)元，则商城多售出100x+0.1=1000x

张.

(0.3-x)(500+1000x)=120,

解得xi=-0.3(降价不能为负数，不合题意，舍去)，x2=0.1.

答：每张贺年卡应降价0.1元.

四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)

6.如图，两个反比例函数y=2和＞=上在第一象限的图象如图所示，当尸在y=2的图象上，PCLx轴于

XXX

点C,交》=上的图象于点P。，了轴于点。，交＞=工的图象于点2,则四边形的面积为1.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由于P点在y=2上，则S口?COD=2,4、8两点在■上,

xx

贝ISADBO=SAACO=工乂1=—•

22

••S四边形以OB=S口?COD-S&DBO-SAACO=2-A-i=1.

22

二四边形口。8的面积为1.

故答案为：1.

五.反比例函数图象上点的坐标特征(共3小题)

7.如图，△/BC的三个顶点分别为/(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=K在第一象限内的图象与

△/BC有交点，则左的取值范围是()

C.2WK6D.2W左W型

42

【答案】A

【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为/,

•过点/(1,2)的反比例函数解析式为y=2,

二栏2.

随着左值的增大，反比例函数的图象必须和线段2C有交点才能满足题意,

经过8(2,5),C(6,1)的直线解析式为y=-x+7,

y=-x+7

.k，得--7%+左=0

y=Y

根据△》（），得左〈至

4

综上可知2WLW至.

4

故选：A.

8.如图，点小，山依次在叵（x>0）的图象上，点囱，比依次在X轴的正半轴上.若△N1O31，

X

△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（6后,0）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：作出。，。团，垂足为C,

•••△4。以为等边三角形，

/.ZAiOBi=60°,

A.C1-

tan60°=―--=、3,

0C

—Moe,

设出的坐标为（加，加），

•.•点小在歹=生巨（x>0）的图象上，

x

，冽■愿ir=9«,解得加=3,

・•・0c=3,

.'.OBi=6f

作42。_£51比，垂足为D

设5iQ=a,

则OD=6+a,A2D=y[^a,

••A2（6+a,

,：A2（6+a,在反比例函数的图象上,

・，・代入尸9追，得（6+。）

x

化简得a2+6a-9=0

解得：a=-3±3&.

•・Z>0,

.'.a--3+3

-6+6A/2>

,OB2=OB\+B\Bz=6^2，

所以点药的坐标为（6版,0）.

9.如图，若双曲线y=K（左>0）与边长为3的等边△/O3（。为坐标原点）的边04、48分别交于C、D

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过点C作CELx轴于点E,过点。作。尸，x轴于点凡

设OC=2x,则3£>=x,

在RtZkOCE中，NCOE=60。,

则OE=x,CE=MX，

则点C坐标为（x,

在RtZkADF中，BD=x,ZDBF=60°,

则3歹=工，。产=运京，

22

则点。的坐标为（3-1，叵），

22

将点c的坐标代入反比例函数解析式可得：k=43x2,

将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：左=3应x-叵£

24

则后=3区-退后

24

解得：x\=—,X2=0（舍去），

5

故左=

25

故答案为：毁巨.

六.反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

10.如图，动点尸在函数y=L（x>o）的图象上运动，PM_Lx轴于PN_Ly轴于N,线段尸河、PN分

2x

别与直线/2：>=-工+1交于点£、F,则/>的值是（

A.4B.2C.1D.1

2

【答案】C

【解答】解：作/G，x轴，

•尸的坐标为（。，1-）,且PN_L03,PMLOA,

2a

的坐标为（0,_L）,A/■点的坐标为（.a,0）,

2a

:.BN=\-J_,

2a

在直角三角形8NF中，NNBF=45

・・・三角形OAB是等腰直角三角形,

.\OB=OA=l,

:.NF=BN=\--L,

2a

二尸点的坐标为(1-_L,_L),

2a2a

同理可得出E点的坐标为(Q,1-〃)，

：.AF2=(1-1+—)2+(―)2=_1,BE2=(4)2+(-4)2=2〃2,

2a2a2a2

/.AF2'BE2=—1—•2a2=1,即AF-BE=1.

2a2

故选：C.

11.如图，反比例函数y=-」上的图象与直线y=L+6(6>0)交于/,B两点(点/在点2右侧)，过点

x2

/作X轴的垂线，垂足为点C,连接/O,B0,图中阴影部分的面积为12,则6的值为

【答案】见试题解答内容

【解答】解：过8作于£>,过4作轴于H,设4c交于G,如图:

设M■为45的中点，A(xi,yi),B(工2,歹2),

12

由，得了+2及+24=0,

.*.xi+x2=-2b,

yi+y2=(工i+b)+(L2+/O=—(xi+x2)+2b=b,

222

：.M(-b,旦),

2

而直线y=L+b(b>0)交于坐标轴于£、F,

2

：.E(-2b,0),F(0,6),

二环的中点为Lb,也■),即E尸的中点也为M,

:.EM=FM,BM=AM,

：.EB=FA,

又NFAH=NBED,ZAHF=ZEDB,

：./\EDB^AAHF(AAS),

：.AH=ED=OC,

,•*(S^ZGO+SaGC。)+(S^GCO+S四边形GCDB)=—1^|+—|A：|=12,

22

且图中阴影部分的面积为12,

S^BDE—2s&GCO

：.工ED・BD=2X1VC*GC,

22

:.BD=2GC,

：.OD=2OC,即X2=2XI

设％1=冽，贝!J工2=2冽，

•"•A(m,--A2.),B(2m,-—

mm

将4(m,-卫_),B(2m,--)代入得:

,解得加=2jE（舍去）或加

：.b=---X(-2«)=3«.

-2V32

故答案为：3M.

12.如图，A(-4,—),5(-1,2)是一次函数yi=Qx+b与反比例函数》=典图象的两个交点，AC-Lx

2x

轴于点C,轴于点D

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，yi-y2>0?

(2)求一次函数解析式及机的值；

(3)P是线段上一点，连接PC,PD,若△PC4和△PD8面积相等，求点尸的坐标.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴当yi-”>0,

即:y\>yi,

...一次函数y1=ax+b的图象在反比例函数夕2=四■图象的上面,

x

\'A(-4,■1),B(-1,2)

2

当-4<x<-1时，yi-y2>0；

(2),・》2=典图象过5(-1,2),

x

:・m=-1X2=-2,

•.?i=ax+6过N(-4,-1),8(-1,2),

2

j1fa』

・•.「4a+b=q,解得？

,-a+b=2b节

•••一次函数解析式为；y=L+$,

22

（3）设尸（加，上《+»）,过尸作尸轴于M,PN_Ly轴于N,

22

PN—-m,

22

；APCA和△PZM面积相等，

即；yXy（m+4）=yXIX（2-ym-y）,

乙乙乙乙乙

解得,

2

：.P（-分,互）.

24

七.反比例函数综合题（共8小题）

13.如图，点/是反比例函数y=_2在第二象限内图象上一点，点2是反比例函数yni■在第一象限内图象

XX

上一点，直线45与歹轴交于点C,&AC=BC,连接04、OB,则△405的面积是（）

T11

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】c

【解答】解：分别过4、5两点作轴，反口轴，垂足为。、E

■:AC=CB,

：.OD=OE,

设4（-a,2）,则B（a,A）,D。［~~E*

aa

=

故S"OB=S梯形ADEB-S"OD-S^BOE—（—+—）X2。-LxZ-AcZXA=3.

2aa2a2a

解法二：过4,5两点作歹轴的垂线，由NC=5C求两个三角形全等，再求面积，

故选：C.

14.如图，梯形4。5。中，对角线交于点E,双曲线yj：（左＞0）经过4、£两点，若NC：05=1：3,梯

形4OBC面积为24,贝I左=()

:・CE：EO=1：3,AE：EB=\：3,

设aXCE的面积为S,则可得出△BOE的面积为9S,△4OE的面积为3S,△。砂的面积为3S,

又•・,梯形/O8C面积为24,

・・・S+9s+3S+3S=24,

解得：s=3,

2

设的面积为0,则尸的面积也为a,

故可得的面积=18-a,的面积=21-a,

2

27__

从而可得S4BEF=(型)2,即上_1=_9_,

,△ABM福18一216

解得：=即S/^AOM=S/^OEF=

77

故可得人=2X至鱼=期.

77

故选：A.

15.如图，反比例函数y=K(x>0)的图象经过矩形0Ase对角线的交点M，分别与/8、5c相交于点。、

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设河点坐标为（a,b）,则左=。6,即尸或

:点M为矩形OABC对角线的交点,

：.A(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),

点的横坐标为2a,E点的纵坐标为26,

又•.•点。、点£在反比例函数y=3/的图象上,

X

：.D点的纵坐标为L,E点的横坐标为L,

22

,**S矩形O45C=S/^O4D+SaOC£H~S四边形

2a*2b=—•2a•L?+_L・2b•-lzz+6，

2222

ab=2,

:・k=2.

故答案为2.

16.如图，已知反比例函数y上L（x<0）的图象与直线产检也将于交于/（-L6）、8（-6,加两

X

点，直线交x轴于点点C是X轴正半轴上的一点，

（1）求反比例函数及直线N5的解析式；

（2）若&/BC=25,求点C的坐标；

（3）若点C的坐标为（1,0）,点。为x轴上的一点，点E为直线ZC上的一点，是否存在点。和点E,

使得以点D、E、48为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出£点的坐标；若不存在，请说

明理由.

y

【答案】(1)y=--,y=x+7；

x

(2)C(3,0)；

(3)存在.点E的坐标为(一鱼，7)或(一2,5)或(旦，-5>

333

kk

【解答】解：(1)将/(-1,6)代入y=-L,得6=力，

解得：k\=-6,

・・・反比例函数的解析式为：y=-1；

将5(-6,m)代入y=-―,

x

得m=\,

：.B(-6,1),

•.•直线^=切叶6经过4(-1,6)、8(-6,1)两点，

+

6=-k2b

，

・・<l=-6k2+b

解得」Q=i,

lb=7

二直线48的解析式为：y=x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

:点C是x轴正半轴上的一点，

.•.设C(x,0)(x>0),

C.MC^x-(-7)=x+7,

S^ABC=S^AMC-s&BMC=25,

/.IMC-(6-1)=25,即5(x+7)=25,

22

解得：x=3；

...点C的坐标为（3,0）；

（3）若点C的坐标为（1,0）,点。为x轴上的一点，点E为直线NC上的一点，是否存在点。和点E,

使得以点。、E、/、8为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说

明理由.

（3）存在.点E的坐标为（一生，7）或（-2,5）或（2，-5）

333

设直线AC的解析式为y=Qx+c,

则尸a+c,

（0=a+c

解得：卜=-3,

lc=3

直线NC的解析式为：y=-3x+3；

设。(t,0)、E(〃，-3〃+3),

又A(-1,6)、B(-6,1),

当4B、为平行四边形的对角线时，AB、的中点重合,

.f-l-6=t+n

16+l=-3n+3+0

r17

t=~

解得：，，

4

n=^3

E（•7）；

o

当4。、为平行四边形的对角线时，AD、的中点重合,

.（t-l=n-6

16+0=-3n+3+l

f17

t=~

解得Ic

2

-E（4-5）；

o

当AE、5。为平行四边形的对角线时，AE、的中点重合,

Jn-l=t-6

I0+l="3n+3+6

23

t丁

解得，c

,nT

，E得,-5>

o

综上所述，点£的坐标为(一'，7)或(-1*,5)或(,，-5).

17.已知：一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=K(左>0)的图象相交于/,8两点。在3的右

x

侧).

(1)当/(4,2)时，求反比例函数的解析式及8点的坐标；

(2)在(1)的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点尸，使△/MB是以N2为直角边的直角

三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当/(a,-2a+10),B(b,-26+10)时，直线CM与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,

【解答】解：(1)把/(4,2)代入丁=工得k=4X2=8.

X

...反比例函数的解析式为

X

y=-2x+10

解方程组，8，得

y二一

卜虫或卜=4

Iy=8Iy=2

...点2的坐标为(1,8)；

(2)①若/A4P=90°,

过点A作AHLOE于H,设/P与x轴的交点为M,如图I,

对于y=-2x+10,

当y=0时，-2x+10=0,解得x=5,

:.点E(5,0),OE=5.

\'A(4,2),：.OH=4,AH=2,

：.HE=5-4=1.

,：AHLOE,：.N4HM=N4HE=90°.

又；NBAP=90°,

ZAME+ZAEM^9Q°,ZAME+ZMAH^90°,

ZMAH=ZAEM,

：.AAHMs^EHA,

•AH=MH

"EHAH'

-2=典

-T

：.MH=4,

：.M(0,0),

可设直线/P的解析式为

则有4加=2,解得加=工，

2

直线NP的解析式为>=工，

-2

...点尸的坐标为（-4,-2）.

②若N48尸=90。，

同理可得：点P的坐标为（-16,-1）.

2

综上所述：符合条件的点P的坐标为（-4,-2）、（-16,-1）；

2

（3）过点B作BSA-y轴于S,过点C作CTLy轴于T,连接OB,如图2,

则有8S〃CT,

:.&CTDS/\BSD,

•.•CD=,CT•

BDBS

•••BC-_-5，

BD2

•••CT_CD_!■3.

BSBD2

'：A(a,-2a+10),B(b,-26+10),

AC(-a,2a-10),CT=a,BS=b,

.,.包=3,即b=2La.

b23

,：A(a,-2a+10),B(.b,-26+10)都在反比例函数＞=区的图象上,

x

**.a(-2a+10)=b(-2b+10),

•.a(-2a+10)=2(?(-2义2«+10).

33

「aWO,

-2a+10=2(-2x2+10),

33

解得：〃=3.

：.A(3,4),B(2,6),C(-3,-4).

设直线BC的解析式为歹=px+q,

则有的+口=6,

(-3p+q=_4

解得：(p=2,

U=2

直线BC的解析式为y=2x+2.

当x=0时，y=2,则点。(0,2),。。=2,

SACOB=SM)DLSAODB

=1X)D'CT+1JOD'BS

22

=JLX2X3+-LX2X2=5.

22

,：OA^OC,

••S/^AOB~S/^COBf

，SAABC=2sAeOB=10.

18.如图，直线＞=三X与双曲线＞=区■（左WO）交于/,8两点，点4的坐标为（加，-3）,点C是双曲线

2x

第一象限分支上的一点，连接8C并延长交x轴于点。，且3c=2CD.

（1）求左的值并直接写出点2的坐标；

（2）点G是y轴上的动点，连接G3,GC,求G8+GC的最小值；

（3）尸是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点尸，Q,使得四边形48尸。是矩形？若存在，请

求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）将点4的坐标为（冽，-3）代入直线中,

2

得-3=

2

解得:m=-2,

：.A(-2,-3),

:・k=-2X(-3)=6,

...反比例函数解析式为y=旦,

...点8的坐标为(2,3)；

(2)如图1,作轴于点£,CFLx轴于点凡

：.BE//CF,

：.XDCFsXDBE,

•DC=CF

"DBBE"

'：BC=2CD,BE=3,

C-D1

DB3

C3F1

3

/.CF=1,

：.C(6,1),

作点8关于y轴的对称点夕，连接8'C交y轴于点G,

则2,C即为3G+GC的最小值，

•:B'(-2,3),C(6,1),

:-B，c=7(-2-6)2+(3-1)2=2V17-

：.BG+GC=B'C=2V17；

(3)存在.理由如下：

①当点尸在x轴上时，如图2,设点P的坐标为(a,0),

过点8作轴于点E,

•：/OEB=/OBP\=90°,NBOE=/P\OB,

:.丛OBEsAOP\B,

.OB_OE

"OP7OB'

,:B（2,3）,

'-OB=422+32=，

.7132

••----=

aV13

•••"u———-1-3,

2

...点尸1的坐标为do）；

2

②当点P在了轴上时，过点8作轴于点N,如图2,

设点P2的坐标为（0，b）,

'：ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

:.△BONSBZOB,

-QB_0NgpVi3=3

?

,0P2OB,bV13

.•.Q里

3

...点22的坐标为（o,工3）；

3

综上所述，点尸的坐标为（至，0）或（0,

19.如图1,平面直角坐标系xOy中，A（4,3）,反比例函数y=K（左＞0）的图象分别交矩形4soe的两

X

边4C,AB于E、尸两点（E、/不与/重合），沿着跖将矩形430C折叠使4、。两点重合.

（1）4E=4-K（用含有左的代数式表示）；

3

（2）如图2,当点。恰好落在矩形/80C的对角线3C上时，求CE的长度；

3

（2）CE=2；

（3）所求。点坐标为（23,3）或（里，3）.

8255

【解答】解：（1）:四边形/BOC是矩形，且N（4,3）,

：.AC^4,OC=3,

7点E在反比例函数y=K上,

X

：.E（区，3）,

3

：.CE=h.,

3

：.AE=4-工

3

故答案为：4-<

3

(2)如图2,"：A(4,3),

；./C=4,AB=3,

•AC4

••—二一

AB3

点/在y=K上，

X

：.F(4,K),

4

.k

4----

.AE=3T

=-

"AFQJLT

•AE_AC=4,

"AF"ABT

/4=NA,

：.△AEFs^ACB,

：.ZAEF=ZACB,

J.EF//BC,

：.ZFED=ZCDE,

：.£\AEF^/\DEF,

：.NAEM=/DEM,4E=DE,

：.ZFED=ZCDE=Z.AEF=NACB,

CE=DE=4E=^AC=2；

2

(3)过。点作DN_L4B,

①当时，如图3,有NZA©=90°，AN=BN=LiB=£

22

/.ZDAN+ZADN=9G°,

VZDAN+ZAFM^90°,

ZADN=NAFM,

.\tanNADN=tan/AFM=妪

AF3

••--A-N二-一4，

DN3

,:AN=3,

2

:.DN='

8

：.D(4-9,3),即。(23.,3_).

8282

②当/8=/。=3时，如图4,

在RtLADN中，tanZADN=tanZAFM=9

AF3

,.•-A-N-=--4,

AD5

；.AN=LD=2~X

555

：.BN=3-AN=3-11=3,

55

■:DN=^AN=Sx^-=-1

4455

：.D(4-9,3),即。(H,3)；

5555

③当时，LAEF2LDEF,

：.DF=AF,

：.DF+BF^AF+BF,即DF+BF=AB,

：.DF+BF=BD,

此时。、F、2三点共线且尸点与2点重合，不符合题意舍去，

综上所述，所求。点坐标为(23,3)或(旦，1).

8255

20.在如图平面直角坐标系中，矩形。48。的顶点2的坐标为(4,2),04、OC分别落在x轴和y轴上，

QB是矩形的对角线.将△048绕点。逆时针旋转，使点8落在y轴上，得到△ODE,OD与CB相交于

点尸，反比例函数y=K(x>0)的图象经过点尸，交于点G.

x

(1)求人的值和点G的坐标；

(2)连接尸G,则图中是否存在与42尸G相似的三角形？若存在，请把它们一找出来，并选其中一种

进行证明；若不存在，请说明理由；

(3)在线段04上存在这样的点尸，使得△尸尸G是等腰三角形.请直接写出点P的坐标.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1):四边形。4BC为矩形，点3的坐标为(4,2),

：./OCB=NOAB=NABC=9Q°,0C=48=2,OA^BC=4,

「△ODE是△042旋转得到的，即：LODE2LOAB,

：.ZCOF=NAOB,：.△COFs/\AOB,

.•.史=匹，.•①=2,CF=1,

ABOA24

点尸的坐标为(1,2),

■.>=K(x>o)的图象经过点凡

X

；.2=工,得后=2,

1

,点G在上，

・••点G的横坐标为4,

对于歹=2,当x=4,得》=工，

x2

...点G的坐标为(4,1)；

2

(2)ACOF^ASFG；/\AOB^/\BFG；△ODEs^BFG；/\CBO^/\BFG.

下面对尸G进行证明：

:点G的坐标为(4,工)，

22

,.皿=0/=4,CF=\,AB=2,

：.BF=BC-CF=3,

BG=AB-AG=^-.

2

•AO4胆2—4

•---~____-----

BF3BG33

2

•AOAB

"BF"BG'

'：ZOAB=ZFBG=90°,

：.AOABsAFBG.

(3)设点尸(m,0),而点尸(1,2)、点G(4,A),

2

贝I］尸G2=9+9=至，PF2=-1)2+4,PG2=(m-4)2+A,

444

当GP=P尸时，即至=(w-I)2+4,解得：2±V29(舍去负值)；

42

当尸歹=PG时，同理可得：m15

T

当G/nPG时，同理可得：m=4-VT1；

综上，点尸的坐标为（4-Vll>0）或0）或（2±叵_,0）.

82

八.菱形的性质（共3小题）

21.如图，在菱形/BCD和菱形8所G中，点48、£在同一直线上，尸是线段。尸的中点，连接PG,PC.若

D.亨

【答案】B

【解答】解：如图，

延长GP交。。于点X,

：尸是线段。尸的中点，

:.FP=DP,

由题意可知。C〃G尸，

：.ZGFP=ZHDP,

:/GPF=AHPD,

：.&GFP”丛HDP,

：.GP=HP,GF=HD,

•.•四边形/8C。是菱形，

：.CD=CB,

：.CG=CH,

...△CHG是等腰三角形，

：.PG±PC,（三线合一）

又；NABC=/BEF=6Q°,

：.ZGCP=60°,

22.如图，已知边长为4的菱形45C。中，AC=BC,E,尸分别为45,40边上的动点，满足连

接跖交4。于点G,CE、CF分别交AD与点跖N,给出下列结论：①/AFC=NAGE；②△成下面

积的最小值为3日；③若4/=2,则氏W=TW=ON；④若/b=1,则跖=3/G；其中所有正确结论

【答案】①②③

【解答】解：①;四边形为菱形.

：.AB=BC=CD=AD.

•：AC=BC.

：.AC=BC=AC.

•••△Z5C为等边三角形.

ZABC=ZBAC=ZACB=60°.

ZCAD=ZACD=ZADC=60°.

；・NABD=NCBD=/ADB=NCDB=30°.

•：AC=BC,/CAD=/CBA,AF=BE.

・•・△ACFmABCE(SAS)

：.FC=EC,ZFCA=ZECB.

：.ZFCE+ZACE=ZECB+ZACE.

：.ZFCE=ZACB=60°.

.♦.△ECF为等边三角形.

：.ZCEF=6Q°.

ZBEC+ZAEG=120°.

・•・/AGE=/BEC.

'：△ACFWABCE.

：.ZAFC=ZBEC.

：.ZAFC=ZAGE.

故①正确.

②由①知，方是等边三角形.

・・・当CE最小时，XECF的面积最小.

当CE_L/5时，CE=4X近=2%.

2

...△CM面积的最小值为3畲，

故②正确.

@'：AB=AD=4,当4尸=3£=2时，

CFLAD,CELAB,DF=2.

；/4BD=NADB=30°,DF=BE=2.

：.DN=BM=^H-.

3

'：AB=AD=4,ZBAD=nO°.

:.BD=m

：.MN=BD-DN-BM=^^.

3

:.BM=MN=DN=

3

故③正确.

（4）VZBAC=ZEFC=60°.

ZEGA=ZCGF.

：./\AEG^>/\FCG.

•GE=GC

"AEFC"

同理：4ACF〜FCG.

■FC_AF

"CG"GF'

•GF_AF

'GE'AE

；4F=1.

\BE=\.

\AE=3.

AF1_

AE3'

GF

一

GE3'

\GE=3GF.

EF=GE+GF=4GF.

故④错误.

故答案为①②③.

23.二次函数的图象如图，点。为坐标原点，点4在y轴的正半轴上，点8、C在二次函数

的图象上，四边形0A4C为菱形，且/。24=120°,则菱形OR4c的面积为，愿

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接8C交CM于。，如图，

•.•四边形OA4c为菱形，

：.BC±OA,

,：ZOBA=nO0,

；./0出)=60°,

：.OD=43BD,

谈BD=t,贝lj

:.B(/,

把8(r,Mt)代入夕=我/得向於=正/,解得a=0(舍去)，包=1，

：.BD=1,OD=M，

:.BC=2BD=2,OA=2OD=2M，

，菱形OBAC的面积=上义2义2畲=2日.

2

故答案为2愿.

九.矩形的性质（共3小题）

24.如图，在矩形/BQ）中，AB=3,AD=4,点尸在上，PELAC^E,PF_LBD于F,则尸E+尸尸等

5555

【答案】B

【解答】解：连接。尸，过。作4c于"，

:四边形/BCD是矩形，

:.AO=OC=XAC,OD=OB=1.BD,AC=BD,ZADC=90°

22

：.OA=OD,

由勾股定理得：^C=^32+42=5,

•；Syoc=Lx3X4=-lx5XW,

22

:.DM=1L,

R

,**SAAOD=S^APO+S/^DPO,

/.A(AOXDM)=A(AOXPE)+A(DOXPF),

222

即PE+PF=DM=巫,

5

故选：B.

25.如图，一张矩形纸片沿对折，以中点。为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿

CA剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)，则NOC〃等于()

■4....................晶—►/：X

A.108°B.114°C.126°D.129°

【答案】C

【解答】解：展开如图：五角星的每个角的度数是：”