专题8.5 空间直线、平面的平行【八大题型】（人教A版2019必修第二册）

专题8.5空间直线、平面的平行【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1证明线线平行】 3【题型2直线与平面平行的判定】 4【题型3平面与平面平行的判定】 6【题型4由线面平行的性质判定线线平行】 8【题型5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 10【题型6由线面平行求线段长度】 12【题型7面面平行性质定理的应用】 13【题型8平行问题的综合应用】 15【知识点1空间中的平行关系】1．直线与直线平行(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2．直线与平面平行(1)判定定理①自然语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3．平面与平面平行(1)判定定理①自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的推论①自然语言如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.【注】1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.4．若α//β，aα，则a//β.【题型1证明线线平行】【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA//O1A1，OA与O1A1A．OB//O1B1C．OB与O1B1不平行 D．OB【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【变式1-3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行【题型2直线与平面平行的判定】【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知平行六面体ABCD−A1B1CA．DB1 B．A1D1 【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上底面边长为(1)证明：AC1//(2)求该正四棱台的表面积.【变式2-3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点．

(1)求证：BC//平面PAD；(2)M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP//HG.【题型3平面与平面平行的判定】【例3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体EFGH−E1FA．平面E1FG1与平面EGHC．平面F1H1H与平面FHE【变式3-1】（23-24高一下·浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，D，E，F为正方体的三个顶点，则能得出平面ABC//平面DEF的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式3-2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：平面MNQ//平面PBC.【变式3-3】（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE//平面DMF；(2)平面BDE//平面MNG．【知识点2平行关系的相互转化及综合应用】1．平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【题型4由线面平行的性质判定线线平行】【例4】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体ABCD被一平面所截，截面EFHG是一个平行四边形.求证：CD//GH.【变式4-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，AB=2,∠BAD=60°，对角线AC,BD交于点O,PO⊥平面ABCD，平面α是过直线AB的一个平面，与棱PC,PD交于点E,F，且PE=14PC

【变式4-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点，平面PBC∩平面

(1)l与BC是否平行？说明理由；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【变式4-3】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

(1)若E为侧棱SC的中点．求证：SA//平面EDB；(2)若过A,B,E的平面与SD交于点F，求证：EF//DC；【题型5\o"由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置"\t"/gzsx/zj168438/_blank"由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】【例5】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为线段PC上一点，当PA//平面EBF时，PFPC=（A．3 B．4 C．13 D．【变式5-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为（

A．1 B．2 C．12 D．【变式5-2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点.(1)求证：PC//平面BFD；(2)已知M点在PD上满足EC//平面BFM，求PMMD【变式5-3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C(1)证明：EG//平面D(2)棱CD上是否存在点T，使AT//平面B1EF【题型6\o"由线面平行求线段长度"\t"/gzsx/zj168438/_blank"由线面平行求线段长度】【例6】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 【变式6-1】（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且A．34 B．23 C．12【变式6-2】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，F为AD的中点，点E为

【变式6-3】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为(1)若λ=12，证明：EG//(2)连接BD，点M在线段BD上，且满足D′M//平面EFG.当λ∈【题型7面面平行性质定理的应用】【例7】（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面α所截，截面为【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D,E,F分别为棱【变式7-2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体ABCDEF中，DE//CF，四边形ABCD是平行四边形，DE=2CF．(1)证明：平面ADE//平面BCF．(2)若G是棱BC的中点，证明：AE//FG．【变式7-3】（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点.证明：(1)平面EFG//平面PAB(2)AP//平面EFG【题型8平行问题的综合应用】【例8】（2024·四川遂宁·模拟预测）在正方体ABCD−A1B①AD②平面AB1D③AD④AD1//A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【变式8-1】（2024·新疆·一模）如图，在长方体ABCD−A1B1CA．BB．BD与EF异面C．EH//平面