7.4.1 二项分布 高二数学（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布7.4.1二项分布目录学习目标01情景导入02新知探究03课本例题0405课本练习06题型探究方法归纳0807课本习题课堂小结学习目标1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);(3)P(AB)=P(A)·P(B)(当A与B相互独立时).

前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？(2)P(B|A)=;情景导入

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoullitrials）．

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立．“重复”意味着各次试验成功的概率相同．概念归纳在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X．进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列．思考下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．新知探究新知探究探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?解：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，则X的概率分布列为由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次数X的分布列为思考如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列．新知探究

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.概念归纳例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为：例题讲解例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.解：例题讲解例3

甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率．解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为例题讲解为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？例3

甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？例题讲解对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征．因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n,p)．归纳总结探究：假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

我们不妨从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此可猜想，若X～B(n，p)，则有新知探究若X~B(n,p)，则有下面对均值进行证明.证明：解：1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.21课堂练习解：2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12，0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y～B(6，0.1).解：

每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X～B(12，0.25).(1)正确.理由如下：

每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误.理由如下：【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．题型1

n重伯努利试验的判断题型探究方法归纳解：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．n重伯努利试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．【例2】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?题型2

n重伯努利试验的概率的求法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．题型3二项分布的均值与方差解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．【例4】

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中