高考数学一轮复习题型讲义：常用逻辑用语（含解析）

高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

常用逻辑用语（精讲）

考点归纳

①充分、必要条件的判断

②根据充分必要条件求参数的取值范围

③全称量词命题与存在量词命题的否定

④根据全称'存在量词命题的真假求参数的取值范围

一、必备知识整合

->充分条件、必要条件、充要条件

1.定义

如果命题“若夕，则q”为真（记作0-q）,则夕是q的充分条件；同时q是夕的必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

①若夕nq且p,则P是q的充分不必要条件；

②若夕4q且qnp,则夕是q的必要不充分条件；

③若p=>q且q=>p,则夕是q的的充要条件（也说p和夕等价）；

④若P4q且q&p,则）不是g的充分条件，也不是q的必要条件.

注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p^q,则夕是q的充分条件，同时《是夕

的必要条件.所谓“充分”是指只要夕成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得）成立，必须要q成立（即如果

q不成立，则?肯定不成立）.

二、全称量词与存在童词

1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个，，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号，，v”表示.含

有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有P（x）成立"可用符号简记为

读作"对任意x属于河，有p（x）成立

2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个不，使夕（%）成立"可用符号简记为

(4，

3x0EM,P(X0Y,读作“存在M中元素玉,使p(x0)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三'含有一个量词的命题的否定

1.全称量词命题pxeM,p(x)的否定r?为h0eM,r?(Xo).

2.存在量词命题p:3x0eM，T?(X0)的否定“为VxeM，r?(x).

常用结论

1.从集合与集合之间的关系上看：设/={x»(x)},5={xm(x)}.

(1)若,则0是q的充分条件(0=q),q是夕的必要条件；若/<=X,则夕是q的充分不必要

条件，q是夕的必要不充分条件，即夕且p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若5口2,则夕是q的必要条件，q是夕的充分条件；

(3)若2=8,则夕与q互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

㈢两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合”中的每一个元素X证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合”中的一个x。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合”中能找到一个％使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

二、考点分类精讲

【题型一充分、必要条件的判断】

判断充分、必要条件的几种方法

确定条件p和结论q,尝试p=q,q=p,确定

定义法—

条件,和结论q的关系

等价条件和结论带有否定性词语的命题，常转

——

转化法化为其逆否命题来判断真假

1

1根据,应成立时对应的集合之间的包含关

系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小

关系法-

范围推得大范围，即可解决问题

【典例1】(单选题)设小夕是两个不同的平面，/，加是两条直线，且加则”，上，是“加〃夕，的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.

【详解】且所以〃//£,又mua,所以"〃万，充分性满足，

如图：满足加//,m^a,l±a,但不成立，故必要性不满足，

所以“/，夕，是“mH(3”的充分而不必要条件.故选：A.

【典例2】（单选题）设S“为无穷等比数列｛%｝的前"项和，则"｛%｝有最大值”是“｛$“｝有最大值”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】分别考虑。“=1和。”=-£的情形，即可说明条件既不是充分的也不是必要的.

【详解】当氏=1时，S„=n,此时显然｛%｝有最大值1,

而｛5｝没有最大值，这表明条件不是充分的；

当时，由于〈-击=3故｛%｝是递增数列，从而｛%｝没有最大值.

又由于S“+「S“=%=_击＜0,故电｝是递减数列，

从而｛5｝有最大值这表明条件不是必要的.

故选：D.

■题型训练■

一、单选题

1.（2024高三•全国・专题练习）已知48CD是平面四边形，设0：港=3灰,q：四边形/BCD是梯形,

则〃是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】在四边形Z3C。中，若羽=3皮，则ZB//DC,且4B=3OC,

即四边形43。为梯形，充分性成立；

若当4D,2C为上底和下底时，满足四边形/BCD为梯形，但君=3皮不一定成立，

即必要性不成立，故。是0的充分不必要条件.

故选:A.

2.（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知复数z=（a+6i）i（a,6eR,i为虚数单位）的共软复数为7,贝为纯虚数”

的充分必要条件为（）

A.a2+b2^0B.ab=O

C.a=Q,b0D.a^O,b=Q

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共朝复数和纯虚数的定义即可求解.

【详解】因为z=（a+bi）i=-b+ai^a,b&R）,

由亍=-6-ai为纯虚数，即-6=0且-awO,

即“w0且6=0.

故选：D.

3.（2024・全国•模拟预测）是0加"加/的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性.

【详解】由不等式的性质可知，。^6时一定有切川之力/成立，

而am22Zw?成立时，若m=0就不能推出aN6.

所以a2b是am2>bm2的充分不必要条件.

故选：B.

4.（2024•全国•模拟预测）已知直线"ax+3y-6=0,直线小2x+（a-l»-4=0,贝1]“。=一2”是“4〃人”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线平行求解。的值，结合充要关系的定义判断即可.

【详解】由4〃4可得6=。（。-1）,解得a=3或0=-2.

当a=3时，4：3x+3y-6=0,l2；2x+2y—4=0,显然乙，4重合，舍去，

故4〃4时，a——2.

因此“a=-2”是“4〃4”的充要条件.

故选:C

5.(2024•江西南昌•二模)已知集合/={Mln『F0},3={x|2x^},则“xe/”是“xe8”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.

【详解】不等式InxWO解得0<xWl,则/=(0』；

不等式2y2解得XVI，贝!13=(-*1].

(0,1]S],

所以“xe/”是“xeB”的充分不必要条件.

故选：A

6.(2024高三・全国・专题练习)在“3C中，角A,B,C的对边分别为a,6,C,贝!!“C为钝角”是“c?>，/+/),,

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据。为钝角和余弦定理可得>/+/>；(/+/),反之不成立，结合充分不必要条件的定义

即可得出结果.

【详解】当C为钝角时，cosC<0,由余弦定理，得cosC=土型主<0,^a2+b2-c2<0,贝！J

2ab

c2>a2+b2>^(a2+b2).

根据“c2>；(/+/)，，无法推出，，C为钝角*

故“C为钝角”是“>g(/+〃),，的充分不必要条件.

故选：A.

7.(2024・陕西汉中•二模)已知加，〃为两条直线，a,，为两个平面，mua,nuIn,则加_L/?是。_L〃

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通过举例说明&得不出加，£,即可得出结

果.

【详解】若机，夕，因为加ua,所以即由？，，可以得到

若£_1_/，如图，在正方体中，取平面为平面a,平面48c。为平面乃,

取NR为直线加，CD为直线〃，显然有加ua,〃u£,7M_L”,al/?,但加与，不垂直，即由a_L/7得不到

m±/?,

故选：A.

8.(2024・四川成都•三模)已知圆C：x2+v2=1,直线/：x-y+c=O,贝!!'=在''是"圆C上恰存在三个

2

点到直线/的距离等于的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用圆。上恰存在三个点到直线/的距离等于等价于。(0,0)到直线/：x-y+c=0的距离为

从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.

【详解】因为圆C：x?+，=l的圆心0(0,0),半径为厂=1,

当圆C上恰存在三个点到直线/的距离等于g时，

则0(0,0)到直线/：尤-y+c=o的距离为:，

所以肘=4=:,解得c=±正，即必要性不成立；

V1+122

当,=孝时，由上可知0(0,0)到直线/：x-y+c=o的距离为:，

此时圆C上恰存在三个点到直线/的距离等于y,即充分性成立；

所以“c=Y2，，是“圆C上恰存在三个点到直线I的距离等于；”的充分不必要条件.

22

故选：A.

9.(2024•浙江金华•模拟预测)已知函数〃x)=3,g(x)=cosx,设甲：/(x)>g(x)；乙：x>0,则()

X

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究/(X)的单调性和值域，结合三角函数的有

界性，从而判断必要性.

【详解】/[鼻=匚/>°,g[-^]=o,满足/'(力>8(尤)，但£<o,故甲不是乙的充分条件；

~2

令Mx)=e，-x-l(x>0),贝！|“(x)=e'_l>0,故〃(x)在(。,+向单调递增，

即〃(“>"0)=0,也即e，一x-l>0在(O,+s>恒成立，贝!J=>1在(。,口)，恒成立；

X

故当x>0时，/(x)>l>cosx,/(x)>g(x),甲是乙的必要条件.

综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.

故选：B.

10.(2024•北京东城一模)设等差数列｛叫的公差为d,贝胪0</<"”是“｛5｝为递增数列”的()

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等差数列通项公式求出"，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即

n

得.

【详解】由等差数列｛%｝的公差为d,得%则％=~+d,

nn

当0</<〃时，ai-d<Q,而工>」，贝！]因此{%}为递增数列;

〃〃+1n〃+1nn+1n

当{&}为递增数列时，贝!]&<&,即有幺m<q,整理得可<〃，不能推出0<%<〃,

所以"0<%<d，，是“{&}为递增数列”的充分不必要条件.

n

故选：A

【题型二根据充分必要条件求参数的取值范围】

触类旁通

1.充分、必要条件的探求方法（与范围有关）

先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大''的方法确定符合题意的条件.

2.利用充要条件求参数的两个关注点

（1）巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集

合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.

【典例1】（单选题）已知2：/-2苫-8<0国:2-0<》<0+1,且4是P的必要不充分条件，则实数。的取

值范围是（）

A.（-8,3）U（O,+S）B.[4,+oo）C.[-3,0]D.（-3,0）

【答案】B

【分析】解出命题〃所表示的不等式，再根据必要不充分条件列出不等式组，解出即可.

【详解1x2-2x-8<0,-2<x<4,记尸={x|-2<x<4},0={x\2-a<x<a+}],

由乡是〃的必要不充分条件，可得尸三。且尸片。，

故一“；二2’且等号不同时成立,解得

f[a+1>4

故选：B.

【典例2】（单选题）函数，（x）=log]£一依T）在（1,+⑹上单调递减的一个充分不必要条件是（）

3

A.a<-\B.«<0C.a<1D.a<2

【答案】A

【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得。的范围，结合充分、必要条件的

判定方法，即可求解.

【详解】令T一诉一1,则y=bgj,其中（>0,

3

因为klog』在（1,+8）上单调递减，所以-办-1在（1,+«0上单调递增，

-<1（a<2

则满足2，即―，解得整0,

[l2-«xl-l>0…

所以，的一个充分不必要条件是。<-1

故选：A.

22

【典例3]（单选题）命题P：方程上」+工=1表示焦点在了轴上的椭圆，则使命题P成立的充分必要条

5-mm-\

件是（）

A.4<m<5B.3<m<5

C.1<m<5D.1<m<3

【答案】B

【分析】求出当命题〃为真命题时实数机的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.

22

【详解】若命题。为真命题，则方程上二+」二=1表示焦点在y轴上的椭圆，

5-mm-\

\m-\>5-m

所以，<<„，解得3〈加<5,

因此，使命题〃成立的充分必要条件是3<小<5.

故选：B.

■题型训练■

一、单选题

1.（23-24高三上•四川•期中）已知p:x-a>0,q:尤>1,若。是乡的充分不必要条件，则实数。的取值范围

为（）

A.{a\a<1}B.（a\a<ljC.{a|a>1}D.{ala>l}

【答案】C

【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.

【详解】P：x>a,因为。是夕的充分不必要条件，所以。>1.

故选：c.

2.（2023•贵州铜仁•模拟预测）已知=-3,则/（x）<5的一个必要不充分条件是（）

A.X〉-4B.x>—3C.—2D.x<c—3

【答案】A

【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式/（》）<5的解集，结合选项，以及必要不充分条件

的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式/（x）<5,可得-3<5,唳］<8,解得》>-3,

结合选项，可得了（可<5的一个必要不充分条件为x>-4.

故选：A.

3.（2023・海南海口•模拟预测）己知集合尸=[X\X2-2X<0],Q=卜金<1）,则尸U。=P的充要条件是（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<tz<lD.0<a<l

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合P,解根式不等式求集合Q,根据集合并集结果有。1尸即可求参数a

的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.

【详解】由题设，P={x[0<x<2},Q={x\a<x<a+\},

[a〉0

若尸UQ=P,则。=尸，故I/。，可得0<aVl.

[a+l<2

所以0<。41是尸UQ=P的充要条件.

故选：B

2

4.（2023・四川甘孜•一模）设°：唾2卜-1）<见4二>1.若。是9的充分不必要条件，则冽的取值范围是（）

A.（-<»,0]B.[0,+（x>）C.[-l,+oo）D.

【答案】A

【分析】对夕进行化简，然后利用充分不必要条件的定义求解即可.

【详解】因为0：1082（》一1）<〃2,

所以0<x-l<2%即1cx<2皿+1,

2

因为g:—>1,

X

所以0<x<2,

若夕是夕的充分不必要条件，则2"+1（2,

解得，m<0,

故选：A.

5.（22-23高三下•北京・开学考试）函数/卜）=3-6-。（尔+云+4是偶函数的充分必要条件是（）.

A.b=0B.ac=0

C.。=0且。=0D.。=0,。=0且bwO

【答案】C

【分析】利用偶函数的定义求得（e，-e-'）（2办2+2c）=0恒成立，即可求出a,c,再验证b=0时情况即可判

断作答.

【详解】显然函数/（x）=（e*-eT）（ax2+foc+c）定义域为R,

因一（X）是偶函数,即VxeRJ（-尤）=f（x）,亦即0-尸）（°尤2=（e~x-ex）（ax2-bx+c）,

整理得。-「）（2加+23=o,而6''-尸不恒为0,因此，2ax2+2C=0,即。=0且C=0,

当6=0时，/（外=0也是偶函数，D不正确，

所以一定正确的是C.

故选：C

z1\X2-3tx

6.（23-24高三上•四川德阳•阶段练习）使得“函数=K在区间（2,3）上单调递增”成立的一个充分

不必要条件可以是（）

4

A.t>2B.t<2C.t>3>D.-<?<3

3

【答案】C

【分析】根据指数型函数的单调性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.

【详解】/（x）=QJ3*=3*+3%二次函数了=一产+3n对称轴为x=g,

因为函数/卜）=，：必在区间（2,3）上单调递增，

所以有3W募=此2.

A：122显然是充要条件，不符合题意；

B：，V2推不出d2,所以本选项不符合条件；

C：由的3能推出此2,但是由此2推不出此3,所以本选项符合题意；

D：由推不出所以本选项不符合条件，

故选：C

7.（23-24高三上•浙江宁波•期末）命题“二4-2』，/一为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.aW：—B.a<0C.a>6D.a>8

4

【答案】D

【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数。的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.

【详解】若命题“上«-2』，x2-x-a>0”为假命题，

则命题的否定“Vxe[-2,1],x2-x-aVO”为真命题，

即aZi-x,xe[-2,1]恒成立，

y=/—x=xe[-2,l],当无=-2,取得最大值y=6,

所以。26,选项中只有是｛4°26｝的真子集，

2

所以命题“*e[-2』，x-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a>8.

故选：D

8.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）已知命题？：函数/（x）=2无3+x—a在（1,2]内有零点，则命题。成立的一

个必要不充分条件是（）

A.3<a<18B.3<a<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出。的取值范围，结合必要不充分条件的意义

判断即得.

【详解】函数/■（尤）=2/+工_。在R上单调递增，由函数〃x）=2x3+x-a在（1,2]内有零点，

得、八，解得3<a418,即命题P成立的充要条件是3<。418,

[〃2）=1O8-。20

显然3<QW18成立，不等式3（。<18、3<〃<18、〃<18都不一定成立，

而3<。（18成立，不等式“23恒成立，反之，当。23时，3<〃<18不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是tz>3.

故选：D

【题型三全称量词命题与存在量词命题的否定】

触类旁通全称量词命题与存在量词命题的否定

（1）改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进

行改写.

（2）否结论：对原命题的结论进行否定.

3

【典例1】（单选题）已知命题及VxeR,X+2X-1>0，则力为（）

eR

A.3x0>x；+2x0-lWOB.3x0eR,+2x0-1<0

C.VxeR,x3+2x-l^oD.VxeR,x3+2x-l<0

【答案】A

【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.

【详解】将原命题的任意量词VxeR换成存在量词七°eR,结论中的“〉0”换成“40”就得到原命题的否

定”为：

3x0eR,+2尤0—1W0,

从而A正确.故选：A

■题型训练■

一、单选题

1.（2024高三・全国•专题练习）命题“VxeZ,/20”的否定是（）

A.3XGZ,X2>0B.Z,x2<0

C.3XGZ,%2<0D.Z,%2<0

【答案】c

【分析】根据命题“WxeM,M》）”的否定是「p（x）”直接得出结果.

【详解】命题“VxeZ,/20”的否定是FxeZ,/<0”.

故选：C.

2.（2024・四川成都・模拟预测）命题*e[-l』,x+N<0的否定是（）

A.3xe[-l,l],x+|x|>0

B.Vxe[-l,l],x+|x|>0

C.Vxe（-<»,-l）<j（l,+a?）,x+|jc|>0

D.Vxe尤+国<0

【答案】B

【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.

【详解】因为命题上«T』,x+N<0,

则其否定为Vxe[-l』,x+k|N0.

故选:B

3.（2024•山西吕梁•二模）设命题P：对任意的等比数列｛%｝,｛%+%+J也是等比数列,则命题P的否定

为（）

A.对任意的非等比数列｛%｝,[%+。7｝是等比数列

B.对任意的等比数列｛%｝,｛%+。川｝不是等比数列

C.存在一个等比数列｛6｝,使｛a,+%+J是等比数列

D.存在一个等比数列｛%｝,使｛%+。用｝不是等比数列

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出命题的否定.

【详解】因为：R：存在一个等比数列｛0“｝,使｛见+。用｝不是等比数列.

故选:D

4.（2024♦山西•一模）设命题〃：*㊂氏优>日，则「以为（）

A.VxGR,<7X>AxB.3xGR,tzx<

C.\/xeR,ax<kxD.BxeR,ax=kx

【答案】C

【分析】

根据存在量词命题的否定形式判定即可.

【详解】由题意可知可：VXERM"

故选：C

5.（2024・全国•模拟预测）命题“Va>l,函数/'（x）=x"在卜,+动上单调递增”的否定为（）

A.347>1,函数/'（x）=x"在［.,+<»）上单调递减

B.3a>1,函数/（x）=x"在［a,+oo）上不单调递增

C.3a<l,函数［3=/在［。,+«>）上单调递减

D.3a<1,函数/（无）=x"在［a,+oo）上不单调递增

【答案】B

【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题“V。>1,函数/（x）=£在内）上单调递增”的否定为“3a>1,函数/'⑺=x"在+⑹上不单

调递增

故选：B.

6.（23-24高一上•山东青岛•期中）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数〃>2,关于x）,z的方

程x"+V=z"没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定

理，则费马大定理的否定为（）

A.对任意正整数〃>2,关于x，%z的方程x"+/=z"都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于x,%z的方程x"+y=z"至少存在一组正整数解

C.存在正整数“V2,关于x,y,z的方程x"+/=z"至少存在一组正整数解

D.存在正整数〃>2,关于xj，z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

【答案】D

【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.

【详解】“对任意正整数〃>2,关于x，%z的方程x"+V=z”没有正整数解”的否定为:

存在正整数〃>2,关于xj,二的方程/+y"=z"至少存在一组正整数解.

故选：D.

【题型四根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围】

触类旁通根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围一般思路

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求

真命题的补集即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

3.与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解

问题.解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不

等式（组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围

【典例1】（单选题）命题“心3,2],2，+尤-5*”为真命题，则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-2]B.（-oo,-l]C.（-8,2]D.（-<»,1]

【答案】A

【分析】求解出函数了=2,+x-5在区间[1,2]上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.

【详解】解:因为命题"Vxe[l,2],2，+x-5"”为真命题,

所以（2，+x-5）>«,

因为函数>=2,+x-5在区间[1,2]上单调递增，

所以当x=l时，（2工+x-5）--2,

\/min

所以只需〃《—2.

故选：A.

【典例2】(单选题)若命题“王e[T,2],使/+1>加”是真命题，则实数机的取值范围是()

A.(-<»,1]B.(-oo,2)C.(-切⑸D.(5,+oo)

【答案】C

【分析】由存在性问题得(f+1)皿=22+1=5即可得解.

【详解】由题意命题“玄«-1,2],使x?+l>加”是真命题，所以加<，+l)a=4+1=5,

当且仅当x=2,有，+1心=22+1=5,所以实数m的取值范围是(-8,5).

故选：C.

■题型训练■

—>单选题

1.(23-24高三下•云南昆明•阶段练习)若命题“Wx<2,2工<a”为真命题，则实数。的取值范围为()

A.(一8,4]B.(-℃,4)C.[4,+00)D.(4,+<»)

【答案】C

【分析】x<2时，有2，<4,则命题“Vx<2,2工<a”为真命题时，有

【详解】函数了=2工在R上单调递增，当x<2时，2，<2=4，

“Vx<2,2,<°”为真命题，则a24,即实数a的取值范围为[4,+8).

故选：C.

2.(2024高三•全国•专题练习)若命题Ex。eR,%-2%+机<0”为真命题，则实数用的取值范围是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]

C.(0,1)D.(1,+«0

【答案】A

【分析】由题意可得不等式一一2彳+〃?<0在区上有解，结合A>0计算即可求解.

【详解】由题意可知，不等式Y-2x+m<0在R上有解，

A=4-4m>0,解得m<lf

・・・实数m的取值范围是

故选：A.

3.(2024・四川•模拟预测)已知命题“V尤机20”为真命题，则实数加的取值范围为()

A.(-co,e-2]B.[一834一；C.[e-2,+co)D.e4-1-,+GO

【答案】A

【分析】分离参数加We'-：,求函数/(x)=[1,4]的最小值即可求解.

79

【详解】因为命题"Vxe[l,4],e、-二加20”为真命题，所以X/xe[1,4],冽4V，.

XX

令/("=1-：/«1,4],尸砂与尸-：在[1,4]上均为增函数，

故/'(x)为增函数，当x=l时，/(x)有最小值e-2,即加Ve-2,

故选：A.

4.(2024•四川凉山•二模)已知命题“VxGR,sin2(7i+x)+2cosx+m<0”是假命题，则m的取值范围为()

A.[-2,+oo)B.(-2,+00)C.(-oo,-l)D.(-GO,-2]

【答案】B

【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.

【详解】命题“VXER,sin2(兀+x)+2cosx+冽40”是假命题，

则“m/GR,sin2（兀+x）+2cosx+别>0”是真命题,

所以加〉-sin2（兀+x）-2cosx有解,

所以冽〉[—sir?（兀+x）-2cosx],

」min

X-sin2（兀+x）—2cos%=-sin2x-2cosx=cos2x-2cosx-l=（cosx