高考数学一轮复习新高考题型专练：直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析）

直线与圆、圆与圆的位置关系

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：直线与圆的位置关系的判断...............................................2

题型二：弦长与面积问题”.........................................................3

题型三：切线问题'切线长问题....................................................5

题型四：切点弦问题.............................................................6

题型五：圆上的点到直线距离个数问题.............................................8

题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题...................................9

题型七：圆与圆的位置关系......................................................11

题型八：两圆的公共弦问题......................................................12

题型九：两圆的公切线问题......................................................13

02重难创新练..................................................................15

03真题实战练.................................................................25

题型一：直线与圆的位置关系的判断

1.（2024•山东淄博•二模）若圆C:x2+2x+/-3=0,则直线/：小+歹=0与圆。的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.相交或相切

【答案】A

【解析】/：必+了=0经过定点（0,0）,由于（）2+2XO+O2-3=-3<O，则定点在圆内.

故直线hnx+y=0与圆。的位置关系是相交.

故选：A.

2.（2024・安徽•三模）直线/：办+了-2=0与圆C：卜-1丫+（y-2>=1的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

【答案】C

【解析】由直线八依+y-2=0,可得直线/过定点（0,2）,

又由圆C：=1,可得点（0,2）在圆C上，

因为直线/的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.

故选：C.

3.（2024・高三•江苏扬州•期末）己知集合/=｛（x,.y）lf+丁=2｝,8=｛（%引x+y=4,则/c8中元素个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】方程/+/=2,表示圆心为（0,0）,半径为

则圆心（0,0）到直线：x+y-2=0的距离为怛詈2=8，

得直线与圆相切，只有一个交点，则AcB中元素的个数为1.

故选：B

4.直线/：y=x+l与圆c：（工-咪+/=4的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.都有可能

【答案】A

【解析】圆C的圆心坐标为（1,0）,半径为2,直线/的方程为x-y+l=0,

圆心到直线/的距离为匕£型=也＜2,

所以直线/与圆C的位置关系是相交.

故选：A.

题型二：弦长与面积问题

5.（2024・天津•模拟预测）若直线，：y=2x与圆。：/+/一2》_7=0交于48两点，贝1]|/同=.

【答案】苧/六

【解析】由题意可得圆C的标准方程为卜-炉+/=8,

所以圆C的圆心为（1,0）,半径为2加，

,|2xl-0|2石

所以圆心（1,0）到直线/：了=2x的距离d=e+（_]）2=?，

1275

所以以a=2

故答案为:

6.（2024・高三・广东广州•期中）如果直线3x+4y-10=0被圆/+/一如+/一4=0截得的弦长为2几,

那么实数。=.

【答案】5或g

【解析】由题意知/+/一2办+。2一4=0可化为（无一。）2+_/=4,

可知圆心坐标为（。,0）,半径r=2,

根据点到直线的距离公式和弦长关系可得

A/32+42

解之可得。=5或？

故答案为：5或9

7.(2024•陕西商洛•三模)已知直线/：》+到一5。-3=0与OC:(x-l)2+(y-2>=4,若直线/与。C相交

于48两点，且|/刈=E，则。=.

7

【答案】或T

【解析】若直线/与。。相交于43两点，且

则圆心C到直线/的距离1=,4/巫]=立，所以毕二"=]£，

N(2J2V1W2

7

解得"一行或。=-1.

故答案为：得7或T.

8.(2024•江西•模拟预测)已知圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,若直线/：3x+4y-5=0与圆C相交于4台

两点，则VABC的面积为.

【答案】12

【解析】圆C：(x-3)2+(y-4)2=25,得圆心为C(3,4),半径为厂=5,

圆心到直线的距离d=4,因止匕|/凶=2/2-/=2也5-16=6,

所以凡布=；H8|，d=；x6x4=12.

故答案为：12.

9.直线办+如+c=0与圆。：/+/=16相交于两点M,N,若满足/=4(/+〃)，则邑加产.

【答案】46

【解析】圆。:/+/=16圆心为。(0,0),半径厂=4,

所以圆心。到直线办+勿+。=0的距离

所以阿=2J以一人二2"1-22=4G

所以%«W=92X4G=4^.

故答案为：4A/3.

题型三：切线问题、切线长问题

10.（2024・四川绵阳•模拟预测）已知圆C:/+（y-3）2=1,点尸在抛物线T:，=4y上运动，过点尸作圆C的

切线4,4,切点分别为43,则四边形上4cB面积最小值为.

【答案】V7

【解析】...圆C的标准方程为：尤2+3-3）2=1,圆心为Q3）,半径为3,

:点尸在直线=4y上运动，过点尸作圆C的两条切线P/、PB,切点分别为A,B点.

：.CBLPB,CALPA,1aHe8|=1,易得AP4c=APBC,

所以%==2%公=2x；|C41x|尸川=|尸川，

丁设尸（。,6）,a2=4bf贝！J|尸C,=『+,一3）=（6—1）+8

故|尸。陞8,（当6=1时取等号），

|以|=、尸°|2_|。|2=]PC『_I2=

SpACB=归/I-不，

可知四边形上4cB面积的最小值为V7.

故答案为：V7

11.从圆（》-1）2+5-1）2=1外一点*2,3）向圆引切线，则切线长为.

【答案】2

【解析】点尸（2,3）到圆心（1,1）的距离为J（2-+（3-=■，则切线长为/（Vrf-F=2.

故答案为：2.

12.（2024・高三・四川眉山・期中）圆C的圆心在x轴正半轴上，与y轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长

为20，直线/：cos8x+sin分+1=0与圆C相切，则直线/的斜率是

【答案】±且

3

【解析】设圆C的方程(x-a)2+/=。2,。>0,

\a-Q\_a

则圆心到直线x-y=o的距离

Vi2+i2-V2

所以2』/-(4)2=2后，解得a=2,

所以圆C的方程(尤-2)2+/=4,

则圆心C(2,0)到直线/的距离d=12TOS^+1==2,

Vcos20+sin26>

i3/q

贝i]cose=二或cos6=-；(舍去)，所以sin6=±Y_,

222

故直线/的斜率左=-锂=±也.

sin。3

故答案为：旦

3

题型四：切点弦问题

13.已知圆。:(尤-1)2+(了-2)2=9外一点尸(-4,2),过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和3,则直线

AB的方程为.

4

【答案】x=-j

【解析】由题意，切点弦ZB所在直线的方程为：

(-4-l)(^-l)+(2-2)(y-2)=9,

4

化简得：x=-j.

4

故答案为：=--.

14.(多选题)已知圆C(X-3)2+/=4,点M在抛物线7：/=4x上运动，过点〃引直线小人与圆C相

切，切点分别为尸,0,则下列选项中归0|能取到的值有()

A.2B.2后C.2VID.2^/5

【答案】BC(x_；y+3+2)2=；仁+64)

【解析】解析：如图,

连接CP,CQ,CM,题意，CPIMP,CQLMQ,而1cpl=|CQ|=2,而|MP|=|上Q|,则。彳垂直平分线段

PQ,

于是得四边形MPC。面积为RUCRW面积的2倍,

从而得3尸0H

2|CPL|4j|O/|2—|CP|2

\CM\—-\CM\

设点M亿s),而。(3,0),『=4G0),

则|CM|2=(Z-3)2+52=Z2-2Z+9=(/-1)2+8>8,BP|CM|2G[8,+OO),

4114

所以°<所用’即5江西F<i,得2gqpor，

所以I尸01的取值范围为［2应,4）.故选BC.

15.（2024•山东泰安•统考模拟预测）已知直线/：〃a-了+加+1=0（〃件0）与圆。：/+必-4x+2y+4=0,

过直线/上的任意一点P向圆C引切线，设切点为48,若线段期长度的最小值为百，则实数用的值是（）

【答案】A

【解析】圆C：(x-2)2+(y+l)2=l,设NNCP=(0<e<，

贝!JME|=2sinezVI,则sin。2手，...。呜学,

则|尸。=—>2,所以圆心C到直线/的距离是2，

cos”

\2m+1+m+11/dc12

---/.~L=2,得5〃/+12机=0，；/nw0：.m=----

+15

故选：A.

题型五：圆上的点到直线距离个数问题

16.（2024・全国•模拟预测）已知直线/:y=丘+后，圆/+V=4上恰有3个点到直线的距离都等于1,则

k=（）

A.1或CB.-1或一亚C.也或一1D.1或一1

【答案】D

【解析】如图所示，圆一+/=4的半径为2.设点尸（x,y）在圆/+V=4上运动.

圆心。到直线/:y=fcc+后的距离4,令二==1,贝!）后=±1.

yji+k2J1+左,

①当先=1时，与直线y=x+夜平行且距离等于1的直线是卜=》，y=x+2近,

与圆的三个交点是6，P2,P3,满足题意.

②当人=-1时，与直线了=-》+及平行且距离等于1的直线是>=-x,y=-x+2后，与圆的三个交点是耳，

P],P4,满足题意.

综上，斤=±1.

故选：D.

17.已知圆。：x2+/=r2（r>0）,直线/：匕3=乂4-4）.若对任意实数左，圆O上到直线/的距离为

1的点有4个，贝卜•的取值范围是（）

A.[5,+oo）B.（5,+00）C.[6,+co）D.（6,+00）

【答案】D

【解析】设直线/过定点/（4,3）,

不论左取何值，。到直线最远的距离始终为|。闻=5,

/.r-5>1,

解得r>6.

故选：D.

18.已知圆。：/+产=4上到直线/：%+»=〃的距离等于1的点至少有2个，则〃的取值范围为（）

A.卜3后,3血）B.18,-3亚）口（3板,+可

C.卜2A/^,2A/^）D.卜0,-2A/^）U（2^/^,+00）

【答案】A

【解析】由圆的方程可知圆心为（0,0）,半径为2,因为圆上的点到直线/的距离等于1的点至少有2个，所

以圆心到直线/的距离d<r+l=3,即4=\<3,解得-3也<”3旨.

故选:A.

题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题

19.已知圆。:/+必+2工-4夕+3=0,直线/:加x+2y+机-2=0,若直线/与圆C交于48两点，则|/目的

最小值为.

【答案】2

【解析】由直线/：："x+2y+机一2=0可得："（尤+1）+2（>一1）=0,即直线/经过定点M（-1,1）.由

匚/+/+2》一4>+3=0可得：（x+1）2+（y-2）2=2,即圆心为C（-l,2）,半径为如图.

连接CM，过点M作CM的垂线交圆C于点A,B,则此时取最小值.

（理由如下：过点/作另一条直线交圆。于点4,4,过点用于点AG，

22

在Rt中，显然|CMX|<|CM|,而1=2,|/C『一|现2,।/声|=2^\BtC\-\CMt\,

HIpc|=MCI故有I|<|I,即|4B|是最短的弦长）

止匕时，|CM|=]|AB|^=27MC|2-|CM|2=2V2^i=2.

故答案为：2.

20.（2024•河北邢台・模拟预测）已知直线/：>=x-l上一点/,圆C:/+（y_2）2=2上一点2,贝力/切的

最小值为.

【答案】

22

【解析】圆C:/+(y-2)2=2,

所以圆心坐标为(0,2),半径

又直线/：龙-广1=0,

所以圆心到直线的距离为

八0二逑

2

所以|力引的最小值为1-厂="一收=包,

22

故答案为：也.

2

21.直线x+V-2=0分别与x轴，丁轴交于8两点，点尸在圆(x+2y+O-l)2=；上，则4期面积的

取值范围是.

【答案】[2,4]

【角军析】对于％+>—2=0,当x=0时，>=2,当歹=0时，x=2,

所以力(2,0),8(0,2),

所以|工同=A/22+22=2V2，

圆(x+2)2+(y—l)2=g的圆心C(一2,1),半径厂=日

卜2+1—2|3y[2y/2

圆心。(一到直线x+y-2=0的距离为d

2,1)-72-~~T>~

所以点尸到直线的距离的最大值―厚+祟2H

点尸到直线的距离的最小值小=乎-浮/，

所以AJ即面积的最大值为g|/8|"+r)=；x2也*2也=4,

面积的最小值为:|/同"—)=928、亚=2,

所以AJ即面积的取值范围是[2,4],

故答案为：[2,4]

题型七：圆与圆的位置关系

22.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）圆G：（x-2）2+（y+l）2=3与圆G：/+（，T）2=3的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

【答案】A

【解析】由已知得圆G的圆心为G（2,-1）,半径为4=6,

圆g的圆心为C?（0,1）,半径为々=百，

故0=|4_胃<|。02卜J；2-0）2+（-l-l）2=26<4+々=23,

所以圆G与圆C2相交.

故选：A.

23.已知点1（3,0）,圆C:（x-a）2+（y_02=1,若圆。上存在点尸使得力=2,则0的取值范围为（）

A.[0,3]B.（0,3）C.[-3,0]D.（-3,0）

【答案】A

【解析】由尸/=2,则点P在圆/:（x-3）2+V=4上，

又有点尸在圆。上，所以圆/和圆C有公共点（尸），

两圆半径分别为2、1,

所以2-1VJ（3-ay+（0-a）2V2+1,

所以ae[0,3].

故选：A.

24.（2024・广东深圳•模拟预测）已知圆M:Y+r-2"=0（a>0）的圆心至!]直线2x+y=2距离是石，则

圆〃与圆N:（尤-2）2+（尸1）2=1的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内含D.内切

【答案】C

2222

【解析】01Af:x+y-2tzx=0（d!>0）BPHM:（x-tz）+y=/（〃〉o）的圆心半径分别为/（见（））/=a,

圆N:(x-2『+(3；+1)2=1的圆心半径分别为N(2,-1)，G=1,

因为--7=—=yj~5,解得!或a=(舍去)，

V522

从而所以卜行:=乎，

因为\MN\=+1=~~~<彳-4=］，

所以圆M与圆N:(x-2『+(y+l『=1的位置关系是内含.

故选：C.

题型八：两圆的公共弦问题

25.(2024•新疆喀什，二模)已知圆C|：X2+J?=4和圆C2：/+y2_2x+2y=0,则两圆公共弦所在直线的

方程为.

【答案】x-y-2=0

【解析】圆G:/+/=4的圆心弓(0,0),半径12,圆。2：(x-1)?+(y+1)?=2的圆心C?(-1,1),半径马=拒,

显然|C6|=V2e(2-72,2+72),因此圆C15C2相交，

所以两圆公共弦所在直线的方程为4_2x+2y=0,SpX-y-2=0.

故答案为：x-y-2=0

26.已知圆A/:x?+y2=4和圆N:尤2+/+x+y=3交于43两点，则以却=.

【答案】714

【解析】将圆=4和圆N:x2+/+x+y=3的方程作差得x+y+l=0.

1_V2

圆心M(0,0)至U直线x+y+l=0的距离为

V2-2

故答案为：V14.

27.圆/+丁-4=0与圆x?+V-4x+4y-12=0的公共弦所在直线方程为；公共弦长为.

【答案】尤-y+2=0272

【解析】圆V+y2=4的圆心。(0,0),半径〃=2,圆(X-2)?+(y+2『=20的圆心C(2,-2),半径々=2右,

显然|0。=727正2)7=2拒€(々-%马+外)，即圆O,C相交，

将两圆方程相减得4x-4y+8=0,所以两圆的公共弦所在直线方程为x-y+2=0；

点。(0,0)到直线x-y+2=0距离1=胪+㈢,=也，所以公共弦长为2M=26

故答案为：x-y+2=0；2V2

题型九：两圆的公切线问题

28.(2024•内蒙古赤峰•三模)已知圆G++(v+l)~=2,圆。2：/+V-4x-4y=0,则两圆的公切线条

数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】圆。2标准方程为(》一2)2+3-2)2=8,

则已知两圆圆心分别为G(T，T)C(2,2),半径分别为血,2后，

圆心距为|GG|=J(2+1)?+(2+1)2=3亚=也+26,

因此两圆外切，它们有三条公切线，

故选：B.

29.两圆(x-2y+(y+l?=4与(x+2)2+Q-2)2=16的公切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【解析】圆(x-2)2+(y+l『=4的圆心为半径为2,

圆(x+2)"+(了-2丫=16的圆心为(-2,2),半径为4,

所以圆心距d=^(2+2)2+(-1-2)2=5.

又4-2<5<4+2,所以两圆相交，所以公切线只有2条.

故选：B

30.曲线G：了=关于y=x-i对称后的曲线为则C］与公切线为（）

A.x+2y+V2=0B.x+y-s/2=0

C.x+2j-V2=0D.x+y+\/2=0

【答案】B

【解析】C,:y=Vl-x2x2+y2=l（y>0）,

所以曲线G是圆心为原点，半径为1的圆在X轴上方的部分，

又G与G的图形关于直线P=x-1对称，

设G上一点尸（X。,%）,该点关于直线y=X-1对称的对称点为耳（网,％）,

则PP\的中点在直线y=X-1上，且直线理的斜率与直线y=x-i的斜率之积为-1,

%+%X。+X]

-1

2-2%=%+]

所以，解得即P(Vj+1,^-1),

.「-I乂=再一1

代入G方程，得（再-1）2+（乂+1）2=1,即G：（x-i>+（y+i）2=i（只是该圆的一部分），如图,

易知G与G的公切线〃/GG，所以勺=T,结合图，设/：x+y-b=0（“0）,

所以点G到直线/的距离为"吗=1，解得b=e，

所以G与g的公切线为x+y-亚=0.

故选：B

㈤2

1.（2024•福建福州•模拟预测）已知圆/+产+4〃忒-2叼+〃7=O（〃7eR）与x轴相切，则〃z=（）

A.1B.0或;C.0或1D.1

【答案】D

【解析】将尤'+_/+4znx-2叼+加=0（meR）化为标准式为：（x+2机丫+（>-加『=5病一〃z,

故圆心为（-2见⑼半径为r=&，且%>g或加<0,

2

由于尤2+y+4刃％-2便y+加=0（加eR）与x轴相切，故r=屈了二^=同，

解得加=!，或机=0（舍去），

4

故选：D

2.已知圆C:（x-3）2+（y-4）2=9,直线/：（加+3）尤-（加+2）y+"?=0.则直线/被圆C截得的弦长的最小值

为（）

A.2近B.VwC.272D.V6

【答案】A

【解析】直线/：（加+3）x-（m+2）y+机=〃2（x-y+1）+3尤-2y=0,

[x-y+l=0[x=2,、

令，\C,解得。，所以直线/恒过定点尸2,3,

[3x-2y=0[了=3

圆C:（x-3y+（y-4）2=9的圆心为C（3,4）,半径为r=3,

且|尸仔=但-3）2+（3-4）2=2<9,即尸在圆内，

当CP，/时，圆心C到直线/的距离最大为d=|PC|=V2,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2/^=2近.

3.（2024・四川德阳•模拟预测）已知OC:卜-2y+/=1,过坐标原点。作。c的两条切线，切点为4、B,

则四边形。4cB的面积为（）

A.1B.V3C.2D.2百

由题意得。。圆心为（2,0）,半径r=l,\OC|=2,

则Q|=|O81=7lOC|2-r2=V3，

则四边形OACB的面积S=2slMc=2x/C冈CMI）=#.

故选：B.

4.（2024•高三・贵州•开学考试）已知圆C:/+/—以―6歹+4=0关于直线/："+制-1=0（仍〉0）对称，则

3+3的最小值是（）

A.2B.3C.6D.4

【答案】D

【解析】因为圆C:（x-2『+（y-3）2=9关于直线/：。、+勿-1=0（仍>0）对称,

所以直线/过圆心（2,3）,即2。+3b=1,

e11」+3b2a

则---1------=+36)=2

2a3b2a2a3b

因为〃6>0,且2〃+36=1,所以。〉0,6〉0,

匚匚I、I11c3b2QCc[Tb~~2a

所以——+—=2+——+——>2+2J——x—=4,

2a3b2a3b\2a3b

当且仅当11=祭即等号成立，

则》:的最小值是义

故选：D.

5.（2024•安徽•模拟预测）已知尸（一2°,0）,09,仍）（0>0,6>0）,动圆（x-a>+（y-6尸=户位>0）经过原点,

且圆心在直线x+2y=2上.当直线尸。的斜率取最大值时，r=（）

AV2n2V20出n2百

3333

【答案】B

【解析】由题意可得，/+/=，,a+2b=2,直线P。的斜率为七

2a+b

「2a+b12zC7)\26

因为———+—(a+26=35+"

ab

当且仅当一=牛，即“S4时，等号成立，所以小^|,

即当直线尸。的斜率取最大值时，。=6=|，所以/=/+/=|,故一孚.

6.（2024・安徽•一模）已知直线x+V-左=0（左>0）与圆/+/=4交于不同的两点48,。是坐标原点，且

有Ia+万上百I万I,则实数后的取值范围是()

A.(V3,V6)B.[V2,V6)C.[&,20)D.[76,273)

【答案】C

【解析】设43中点为C,则0C—8,

・板+词2百画，

“2网N班画一..画《手西,

V|oc|2+；画2=4n||oc|224,即|oc|2>3,

又•.•直线x+y-无=0(左>0)与圆炉+下=4交于不同的两点4B,

.­.Idel2<4,故4>碗，3,

-1-k>0,：.y/6<k<2\/2.

7.(2024•广西南宁•三模)已知圆C:(x-4)2+/=4,点M在线段>=x(0<x<3)上，过点“作圆C的

两条切线，切点分别为A,B,以N8为直径作圆C',则圆C的面积的最大值为().

A.兀B.2兀C.—D.3兀

2

【答案】D

【解析】由题可知，|/C卜忸。=2,ABLCM,AC=BC=2,ACLAM,BCLBM,乙4cM为锐角，

当圆C的面积取最大值时\AB\最大,

MC

而SMACB=^\\xM同=2x；x\BC\x\BM\,

所以|/同=

因为点M在线段＞=x（04x43）上,

2

所以=加-4『+》2=^2（JC-2）+8e12啦,4],

故|48|=2.1--=V3,即圆C'半径的最大值为6,

IImax16

所以圆C的面积的最大值为37t,

8.（2024•安徽•模拟预测）已知4（2,0）,尸为圆C：/+/=1上的动点，且动点。满足：OP=OA+CQ,

记。点的轨迹为£,则（）

A.E为一条直线B.E为椭圆

C.E为与圆C相交的圆D.E为与圆C相切的圆

【答案】D

【解析】设p（%o，yo），由丽=7+而，可得而=砺-况，

所以。点坐标为

x=x。一2,,即x=x+2,

设。点坐标为（X/）,则0

了=%，乂=乂

把尸（x+2j）代入圆c,则。点的轨迹E的方程为：（尤+2『+/=1,

即E是圆心为（-2,0）,半径为1的圆,

由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即£为与圆C相切的圆.

故选：D.

9.（多选题）（2024•江西南昌•模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，已知圆G：（x-iy+/=2的动弦N8,

圆。2：（X-。）2+3-血）2=8,则下列选项正确的是（）

A.当圆G和圆存在公共点时，则实数。的取值范围为[-3,5]

B.A/2G的面积最大值为1

C.若原点。始终在动弦4B上，则方.砺不是定值

D.若动点尸满足四边形。4尸3为矩形，则点尸的轨迹长度为2君兀

【答案】ABD

【解析】对于A,圆G：（xiy+/=2的圆心为（1,0）,半径为逝，

圆G:（尤-4+（广物2=&的圆心为但亚），半径为2四，

当圆G和圆C2存在公共点时，2V2-V2<|GC21V2V2+V2,

所以0W（a-l）2+近2^3收，解得-3VaW5,所以实数。的取值范围为［-3,5］，正确;

对于B,A4BG的面积为S.ABC、=；x血x血xsinZACtB=sinZACtB<1,

jr

当N/G8=5时，A/BG的面积有最大值为i,正确；

对于C,当弦A8垂直x轴时，^（0,-1）,5（0,1）,所以西•砺=0+lx（_l）=_l,

当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为了=丘，

与圆6«-1）2+/=2联立得，（1+后2b2-2x-l=0,

设/（无］,必）,B（x2,y2）,

2

OA-OB=xtx2+yxy2=XjX2+kxxx2=

综上方•赤=-l，恒为定值，错误；

对于D,设P（&,yo）,OP中点，该点也是中点，且AB=OP=J*+>，

化简得（％-仔+需=3,所以点P的轨迹为以（1,0）为圆心，半径为百的圆,

其周长为长度为26兀，正确.

故选：ABD

10.（多选题）（2024•山东青岛•三模）已知动点M,N分别在圆G：（xT『+（y-2『=l和

22

C2:（x-3）+（y-4）=3上，动点尸在x轴上，则（）

A.圆G的半径为3

B.圆G和圆g相离

C.忸叫+忸时的最小值为2而

D.过点尸做圆G的切线，则切线长最短为百

【答案】BD

【解析】圆G的圆心G（l,2）,半径4=1,圆C2的圆心。2（3,4）,半径〃=石,

对于A,圆a的半径为百，A错误；

对于B,|CGI=2板>i+VL圆G和圆a相离，B正确；

对于c,圆G关于X轴对称的圆为G)：(xT)2+(y+2)2=i,c0(i,-2),连接ca交X于点1，连接4G，

由圆的性质得，I尸M>|pq|-i+|PC2|-V3=|PCO|+|PC2|-I-73

>|COC2|-1-V3=2V1O-1-V3,当且仅当点P与4重合，

且是线段月q/c2分别与圆。和圆c?的交点时取等号，C错误；

对于D,设点P&0),过点尸的圆CI的切线长|尸/|=Jpc；-/C；=4-1)2+22-1»6,

当且仅当1=1,即P(l,o)时取等号，D正确.

11.(多选题)(2024•湖南长沙•模拟预测)若圆q:/+产+2戈-3=0与圆。2:/+/-23；-1=0交于/,

8两点，则下列选项中正确的是()

A.点(1,T)在圆Q内

B.直线AB的方程为无+了-1=0

C.圆Q上的点到直线距离的最大值为2+收

D.圆仪上存在两点P，°，使得户。|>|/同

【答案】BC

【解析】对于A,因为F+(-1)2-2X(-1)-1=3>0,所以点(1,T)在圆Q外，故A错误；

对于B,圆q:x?+/+2x-3=0与圆。2:/+/-2y-1=0交于43两点,

因为圆和圆Q相交，将两圆相减可得：尤+尸1=0,

即公共弦所在直线的方程为x+y-1=0,故B正确;

对于C,圆&的圆心坐标为(-1,0),半径为2,

圆心。1到直线AB:x+y-l=0的距离d

所以圆a上的点到直线距离的最大值为2+血，故c正确;

对于D,直线48经过圆。2的圆心（。』），

所以线段N8是圆&的直径，故圆Q中不存在比N3长的弦，D错误.

故选：BC.

12.（多选题）（2024•湖南长沙三模）已知圆C:（x+2）z+丁=4,直线/:（机+1）尤+2了-1+优=0（加eR）,

则（）

A.直线I恒过定点（-1,1）

B.当加=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆。可能相切

D.若圆C与圆/+/一2》+匕+。=0恰有三条公切线，贝!|a=8

【答案】AD

【解析】由直线/：(〃7+l)x+2v-l+/M=O(meR),得m(x+l)+x+2y-l=0,

因为小R，则满足口x2+广l=10=。,解得x=-\

>=1

所以直线恒过定点（-1,1）,故选项A正确.

因为当ZM=0时，直线/为:x+2y-1=0,

则圆心C（-2,0）到直线/的距离为4[7+0-"二型,

Vl2+225

则此时直线/与圆相交所得劣弧的顶点到直线/的距离&=2-¥€（0,1）,

所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故选项B错误.

因为直线/过定点（-1,1）,又（-1+2）2+12<4,

所以定点在圆内，则直线/与圆C--定相交，故选项C错误.

由圆的方程x2+y2-2x+8y+a=0可得，+（了+4）?=17-a,

所以圆心为（1,-4）,半径为

因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，

则J（l+2『+（O+4）2=5=2+J17-a，解得。=8,故选项D正确.

故选：AD.

13.（2024•陕西•模拟预测）圆（尤-。）2+5-2°-3）2=9上总存在两个点至以2,3）的距离为1,则。的取值范

围是.

【答案】:割U修2）

【解析】圆（》-0）2+5-2°-3）2=9上总存在两个点至|（2,3）的距离为1,

转化为：以(2,3)为圆心1为半径的圆与已知圆相交,

1(

可得3-1<J(2-a)2+(3-2a-3)<3+1，即5a-42>0

5Q2—4Q—12<0

解得一或g<a<2,即°的取值范围是[一■|,o]u[g,2

故答案为：：可

14.(2024・山西运城•三模)已知动圆N经过点N(-6,0)及原点。，点p是圆N与圆M:x2+(y-4)2=4的

一个公共点，则当/。上4最大时，圆N的半径为.

【答案】3

【解析】因为动圆N经过点/(-6,0)及原点O,记NO的中点为8,则圆心在x=-3上，

如图：

记圆N半径为R,ZOPA=G,则/NNO=26,4BN0=。,

BO3

所以sinZOPA=sinZBNO=——=-,

ONR

当/。尸/最大时，R最小，此时两圆外切.

由已知设动圆N的圆心为N(-3J),

又圆M+(y-4)2=4的圆心M(0,4),半径r=2,

所以R+2=|MN|,

22

即J(一3—0)2+(/0)2+2=^_3-0)+(/-4),

解得f=0,所以R=3,即圆N的半径为3,

此时圆N为卜+3『+丁=9,圆心N(-3,0),ZOPA=^.

故答案为：3.

15.(2024•黑龙江•三模)已知圆C：(X-1)2+(V-4)2=r2(r>0),-3,0),8(—1,0),若C上存在点尸,

使得ZAPB=90°,则r的取值范围为.

【答案】［4,6］

【解析】因为点”（-3,0）,3（-1,0）,而点尸满足/Z尸8=90。，则点P的轨迹是以线段为直径的圆M（除

点/,8外），圆环（x+2）2+/=1自知），半径「I,

又点P在圆C：（x-l）2+（y-4）2=r2（r>0）±,圆C的圆心C（l,4）,半径为r,|CM|=7（-2-1）2+4=5,

依题意，圆M■与圆C有公共点,因此卜BP|r-l|<5<r+l,解得44r46.

故答案为：［4,6］.

16.（2024•湖北黄冈•模拟预测）已知圆C:尤2+（了-2）2=1和圆。：/+/一6彳-10了+30=0,M、N分别是

圆C、。上的动点，尸为X轴上的动点，则户M+|PN|的最小值是.

【答案】V58-3

【解析】C:/+（y-2）2=1的圆心为C（0,2）,半径为1,

■D:尤?+/_6》_10>+30=0=（工一3~+（J7-^2=4圆心为。（3,5）,半径为2,

结合两圆位置可得，|尸M+I尸N⑶尸C|-|CM+『犯-QM=|尸C|+|尸0-3,

当且仅当尸,M,C三点共线，且尸,N,。三点共线时，等号成立，

设C关于x轴的对称点。（0,-2）,连接C'。，与x轴交于点尸，此点即为所求，

此时CD=［（3-0）2+（5+2）2=屈,

故尽即为|尸。+|尸切的最小值，

故1PM+|/W|的最小值为V58-3

故答案为：V58-3

17.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知圆C:x2+j?=i,直线/：x+y+2=0,P为直线/上的动点，过点?作

圆C的两条切线，切点分别为A,B,则直线NB过定点.

【答案】■一］

【解析】根据题意，P为直线/：x+y+2=0上的动点，设尸的坐标为a-27），

过点尸作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则尸/L/C,PBLBC,

则点A、5在以尸。为直径的圆上，

又由C（0,0）,P（52T）,则以尸。为直径的圆的方程为MXT）+>5+2+/）=0,

变形可得：工2+歹2—6+（/+2）>=0,

22

则有［x+-y+=U1+2）广。,可得.：jx+z（'+2.）y=o，

变形可得：l+2yT（x-y）=0,即直线48的方程为1+2y—（无-回=0,

1

X=-----Z

l+2y=0故直线过定点卜

则有解可得VZ8

x-y=022

1.（2021年北京市高考数学试题）已知直线>=丘+机（加为常数）与圆/+/=4交于点河，N，当k

变化时，若也W|的最小值为2,则加=

A.±1B.+y/2