高考解答题解题技巧全攻略-2025年高考数学复习热点题型专项训练

热点题型•解答题攻略

专题00高考解答题解题技巧全攻略

o-----------解答题•解法大全-----------♦>

目录

方法一构建答题模板............................................................................1

方法二跳步答题...............................................................................10

方法三分类讨论...............................................................................15

方法四数形结合...............................................................................21

方法五特殊值探路.............................................................................28

方法六正难则反...............................................................................34

♦>-----------解答题•解法探究-----------♦

方法一构建答题模板

构建答题模板，步步为营，不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分，是所有技巧的基础。

1.（2024•广东江苏•高考真题）记△ABC的内角/、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=Vicos3，

ci~+b--c~—

⑴求8;

（2）若ZUBC的面积为3+g,求c.

【详解】（1）由余弦定理有片+〃-/=2仍《«。,

对比已知=缶人

可得cosC="+"-1=避3=变,（注意公式书写和化简）

2ablab2

因为。£（0,兀），所以sinC>0,

从而sinC=

又因为sinC=，即cosing,

注意到5£（0,兀），（容易忽略）

所以2=；.

(2)由(1)可得2=；,cosC--,Ce(O,兀)，从而C=f,A=n-^715兀

32434-12

5兀7171V2V3V216+后

而sinZ=sinsin—+—-------X----------1---------X—=

124622224-一

ab_c

由正弦定理有.71.兀

sin—sin—

1234

从而”®2.也c=@±，,6=@.岳=^c,

4222

由三角形面积公式可知，△/HC的面积可表示为

S/Bc=L“6sinC=L®^-"c・克=^@c2,（分解分步，步骤得分）

aABC222228

由己知△4BC的面积为3+VL可得主芭o?=3+若，所以C=2>/L

8

【变式训练】

一、解答题

1.（24-25高三上•江苏•阶段练习）记△4BC的内角42,C的对边分别为a,6,c,面积为S,已知

b1=2S+abcosC

⑴求A；

⑵若8C边上的高为1且3bcosC=ccos8,求ZUBC的面积S.

【答案】⑴J

4

⑵-4+2.

3

【分析】(1)利用三角形面积公式可得.•，2=〃b(sinC+cosC),进而边化角，利用三角恒等变换可求得

tan=1,可求A；

(2)由已知结合正弦定理可得3tan8=tanC,在△/5C中，作于点为边上的高，即

AH=\,设CH=x,BH=a-x,可得4x=a,利用tan/A4C=tan(NA4〃+NC42/),可求得Q,从而可求

面积.

【详解】(1)=2S+Q6COSC且S“8c=；absinC

b1=ab(sinC+cosC)即b="(sinC+cosC)

由正弦定理得sinB=sin/(sinC+cosC)=sin[%—(4+C)]=sin(/+C)

=sinAcosC+cosAsinC,/.sin/sinC=cosAsinC

•・•在l\ABC中，Ae(0,7T),CG(0,兀),/.sinA>0,sinC>0

兀

/.sin/=cosA,即tanA=l//AG(0,兀),A=—.

4

(2)36cosC=ccosS,由正弦定理得3sin5cosC=sinCeos5

3tanS=tanC

在ZX/BC中，作4"，BC于点为5C边上的高，即/H=l

为8C上的四等分点，.=；

44

RH3/7

•.♦RtZ\/3〃中，tanNBAH=——=—

AH4

Rb/C4中，tan/LCAH=—=-

AH4

tanZBAH+tanACAH

且tanABAC=tan(NB4H+NCAH)=

1-tanZBAH•tanZCAH

a兀132।八-8±4V7

------......—tan-=I,/.—ci+ci—I—0,ci

1324'163

1--------u

16

-8+477

*/a>0,:.a=

3

.=△/Be=；x8Cx///=ga=-4+2近

—-

+i

2.(2024•吉林•三模)已知数列｛%｝满足q=l,an+l=2an+2".

an

(1)证明：数列为等差数列，并求通项

2"

(2)求数列｛%｝的前"项和S”.

【答案】⑴证明见解析，«„=(«-1)-2-；

(2电=(2〃-3>2"+3.

【分析】(1)根据等差数列的定义证明，再由等差数列通项公式求解;

(2)用错位相减法求和.

【详解】⑴•••%=2%+2向…蔚岩+1,即得喙=1，

二像｝是等差数列，公差为1,

-2"

(2)S=-x2+-x22+-x23+••■+—

n22

x2n+1,

相减得-E,=1x2+22+---+2"-^^-x2K+1=1+2,,+1-4-(2«-1)-2"=-3-(2«-3)-2",

所以S"=(2〃-3)2+3.

3.(24-25高三上•江苏•阶段练习)如图，在直四棱柱48。。-4环")|中，441，平面/BCD,AD1AB,

BCVCD,其中48=4D=亚，AA、=2后,尸是B©的中点，。是。，的中点.

B

(1)求证：2尸〃平面CB©；

(2)若异面直线8C、与0所成角的余弦值为立，求二面角片-C。-。的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取BC中点连接“。、PM,证明出四边形是平行四边形，可得出产。//@/,再

利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

(2)取耳C中点连接儿@、PM,分析可知，异面直线8C、与。所成余弦值即直线耳。、8c所成

余弦值，推导出G。，可得出cos/C内。=，，可得出。的值，然后以点。为坐标原点，04、OB、

。。所在直线分别为X、了、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角片-。。-。的余弦

【详解】(1)取3。中点连接儿@、PM,

在直四棱柱NBCD-4用G2中，因为。是。A中点，则AQ//CG且RQ=gcG，

因为尸是与£的中点，则P朋7/C。且尸河=3cq,所以，RQ//PM且D\Q=PM,

所以，四边形PMQ2是平行四边形，所以，PDJIQM,

因为尸2<Z平面QMu平面CB©,所以，肛〃平面

(2)连接G0，设BC=BG=a,连接3Q,

因为明〃CC|且阴=cq,所以，四边形网GC为平行四边形，

所以，BCHBG，

所以，异面直线2C、⑸。所成余弦值即直线与。、BG所成余弦值，

在直四棱柱ABCD-44G2中，口。，面4月GA,

因为用Au平面44CQ,所以，Bfi^DxQ,

在R344A中，44=42=血，且4月，4乌，则42=q2+4〃；=2,

因为。为。2的中点，且DD\=2下,

所以，在Rt△耳〃。中，瓦。|=2,DQ=4i,则40=两限匚5谈=3,

因为CG，平面4月GA，4Gu平面4台£。，则CG_L8C，

因为及G_LCi2，cqnGA=G，CC］、G，u平面CCQQ,

所以，瓦G，平面CCQQ，

又因为GQU平面CG2。，则用0，G0，

在RtABQG中，cos/C40=软=:=g，则.=百，

4233

连接2。，取其中点。，连接20、OC,取3a的中点q,

因为=。为AD的中点，则

以点。为坐标原点，。/、OB、0a所在直线分别为X、了、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

贝！)0(0,0,0)、A(l,0,0)、5(0,1,0),。(0,-1,0)、40,0,26)、4(0,1,2石)、

、

〃(0,-1,2回C-，-go、G-，-于2出、0（。,-1,

7

设平面百。Q的法向量iH=（x,y,z）,^2=（0,-2,-V5）,鸵=—亨|,一26

m-ByQ--2y-y[5z=0

取昨而，可得/=卜底值-2研

市麻=-冬弓"2任=0

易知面DCQ的一个法向量力=-手而26(拒3Q

=(l,V3,0),

万•拓84M

cosm,H=

\m\-\n\2A/38X219

由图可知'二面角4--。为钝角‘因此‘二面角4--。的余弦值为-书.

4.（2024•陕西宝鸡•模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表

为2020年—2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2020年—2024年对应的代码依次

为1—5.

年份代码X12345

市场规模了3.984.565.045.866.36

”5.16,屋1.68，£匕》产45.10,其中4=嘉

Z=1

参考公式：对于一组数据（匕,%）、（%，%）、…、（V.，”），其经验回归直线歹=加+。的斜率和截距的最小二

^v^-nvy

乘估计公式分别为2=号.....-,”1.83.

Z=1

（1）由上表数据可知，若用函数模型y=6«+a拟合了与x的关系，请估计2028年我国在线直播生活购物用

户的规模（结果精确到0.01）；

（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P,现从我国在线直播购物用户中随

机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P（X=5）=尸（X=4）,求X的数学期

望和方差.

【答案】⑴7.77亿人

⑵E（X）吟，O（X）=||

【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出6的值，即可得出丁与x的拟合函数关系式，再将x=9

代入函数关系式，即可得出结论；

（2）由题意可知，X~8（5,P）,由2（万=5）=2（丫=4）结合独立重复试验的概率公式可求得尸的值，然后

利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.

【详解】（1）设丫=石，贝！|尸加+。，

_55

因为yai5.16,va1.68,=>,%=15,

i=lM

v5v

X^i~y45.10-5x1.68x5.16

所以,“98

6=V-----15-5xl.682

/=1

所以，了与x的拟合函数关系式为昨1.98«+1.83

当x=9时，y=1.98x3+1.83=7.77,

则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人.

（2）由题意知篇~网5,尸）,所以，尸（X=4）=C爹"（I一尸）=5尸40_尸）,

尸(X=5)=C；尸5,

由尸(X=5)=尸(X=4),可得5尸4(>p)=p5,

因为0cp<1,解得尸=）,

6

所以，E（X）=5x1=F，

66o6736

22

5.（2024高三・全国•专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为片，外，实轴长为

2,M为。的右支上一点，且（|孙

（1）求。的方程；

（2）设C的左、右顶点分别为42,直线/与C交于R。两点，与x轴交于点］直线AP与8。交于点

G,证明：点G在定直线上.

2

【答案】（l）x2-^-=l.

（2）证明见解析

【分析】（1）由双曲线定义将条件（|孙H”Ln=3转化为（匣闾+i）2-i最小值，从而利用阿用扁=。-1

求最小值解C即可；

（2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得尸,0坐标关系式，再设直线/尸与8。方程

并联立求得点G坐标的表达式，利用点G横、纵坐标关系可证明点G在定直线上.

【详解】(1)由题知2〃=2,即〃=1,

又M为C的右支上一点，典)|旃|一|外|=2。=2,

所以讣|+2)•眼剧=(|舫小I)?一1,

故当叫最小时,IMF」•|MFz|最小,

W\^-^2Imin=C—a=c—l,故(c—1+1)—1=3,

即d=4,故〃=02_/=3,故C的方程为*一£=1.

3

(2)

当直线/的斜率为0时，不满足题意；

当直线/的斜率不为0时，由/过点，;,0),可设其方程为

联立2消去x得(4媾-16)/-24力-45=0,

x2—^―=1,

I3

设P(xi,y。，Q(x2,y2)>

贝“必+%=高'^2=-48^16,故优%=一£(必+%)(*)'

由(1)知4(-1,0),5(1,0),

则直线AP的方程为y=三5+1),直线时的方程为y=—(x-1),

X]+1x2~I

J]

y=(x+l),

演+1必

联立消去y得x+1)=

石+1

”上7.(I)，

x2-1

将士=协-：,马=仇-；代入上式得，

得户吗U消•，将(*)代入化简得

_-8*1(必+%)一5+%)+4(%-乂)__20乂一12%_4,

4(弘+%)一(%-弘)5弘+3%’

即%=-4,所以点G在定直线x=-4上.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用%%=-浮(必+%),将不对称的九％关系

O

5

x/吗+1",利用上式消去参数/,从而可以化简求值.

x

6.(24-25高三上•天津•阶段练习)设函数f(x)^lnx-a(x-l)e,其中aeR.

⑴若a=—l,求曲线>=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若0<。<一,

e

(i)证明：函数/(X)恰有两个零点；

(ii)设X。为函数/(x)的极值点，%为函数/(x)的零点，且%1>%0,证明：3xo-X]>2.

【答案】⑴昨(e+l)x-e-l

⑵(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)先/'(x),再求/'⑴J⑴，由点斜式即可求解；

(2)(i)求导得D(x)J一1"，构造g(x)=l_a/e'并应用导数研究单调性，进而判断了'(x)符号确定〃x)

单调性，可求极值点所在的区间为(Lin』)，再证x>l上lnx<x-l,由此得结合零

点存在性定理即可证结论；

(ii)由①结合题设可得/"。=彳野，结合X>1上lnx<x-l,即可证结论.

【详解】(1)由题设，〃x)=lnx+(x-l)e，且x>0,贝！j/(外=J+xe',

所以广⑴=l+e,又"1)=0,

所以切线方程为y-O=(l+e)(x-l),即：j=(l+e)x-l-e.

(2)(i)由一次,，令8(尤)=1_磔％、，又0<a<L

xe

易知g(x)在(O,+e)上递减，

又g(l)=l-ae>0,

g(x)在(0,+8)上有唯一零点，即/'(X)在(0,+8)上唯一零点,

设零点为％,贝!|l<X0<ln1，

a

.%0<x<x0,/(x)递增；/，(x)<0,/(x)递减;

・・・/是/(x)唯一极值点，且为极大值，

令/z(x)=lnx—x+l且%>1,贝！]//(x)=L—1<0,故〃(x)在(1,+8)上递减，

.♦.//(%)</z(x)=O,BPlnx<x-l,

.­./^ln^=ln^n^-lnl+l=^ln^<0,X/(x0)>/(l)=0,

根据零点存在性定理知〃x)在卜,In'上存在零点，又•:/(x)在(%,+8)单调递减;

〃x)在(x°,+co)存在唯一零点，

又•.•"1)=0,/(力在(0,%)上单调递增；l<x0,

.•J(x)在(0,%)上的唯一零点为1,

故〃x)恰有两个零点;

⑹由题意，KX0ax^QXfi=1

\nxl=。(再一l)e/

则In西=。，即=空四

龙o再一1

当x>l时，lnx<x-l,又网>x。>1,则e'f<一(*_11=%；，

1・X]-x0<21nxo,得再一为<Zin/<2(x0-1)=2x0-2,

gp3x0-xl>2,得证.

【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研

究.

方法二跳步答题

解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能否得到

结论，或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻克这一卡壳

处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后，继续有一直做到底，这就是跳步

解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想

不出来，可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。

彳典型丽窥i

2.(2024•全国•高考真题)如图，平面四边形/BCD中，AB=8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

__k2_______,i___

NBAD=30°,点、E,尸满足荏=AF=-AB,将△/£尸沿族翻折至△尸斯，使得尸C=46.

(1)证明：EFLPD；

(2)求平面PCD与平面P8F所成的二面角的正弦值.

【详解】(1)由48=8,4。=56,冠=：石,万=3加，

得NE=2百,4尸=4,又/8/。=30",在△/£尸中，

由余弦定理得EF=JNE'+/尸2-2/E-/FcosNB4。={16+12-2・4・26=2,

所以/炉+石尸2=/尸，贝|J/E_LE尸，即斯14D,

所以£F_LPE,£F_LDE,又PEC\DE=E,PE、OEu平面如£\

所以£FJ_平面PDE,又PDu平面PDE,

故斯，尸D;(可以将第一问证明当作条件应用于第二问)

(2)连接CE,由4OC=90",ED=3G,CD=3,贝!|CE?=ED?+C》=36,

在APEC中，PC=4瓜PE=25EC=6,得EC?+PE?=PC?,

所以PE_LEC,由(1)知PE上EF,5LEC[}EF=E,EC.EF^^-^ABCD,

所以PE_L平面48cZ),又EDu平面48CZ),

所以PE_LEZ),则PE,E尸,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

则E(0,0,0),P(0,0,2g),0(0,30,0),C(3,3瓜0),尸(2,0,0),4(0,-2班,0),

由尸是48的中点，得3(4,240),

所以定=(3,3瓜-15,PD=(0,36,-26),PB=(4,2瓜-2®PF=(2,0,-2再)，

设平面尸CD和平面PBF的一个法向量分别为3=区,弘,4),有=每,％,Z2),

n-PC=3X]+3由必一2^/32；=0m-PB=4x2+2y/3y2-2mz=0

'[万•丽=3月必-20Z]=0'[m-PF=1x2-2y/3z2=0

=

令M=2,X2=V3,得X[=0,Z]=3,y2=-l,z21，

所以"=(0,2,3),碗=(6,-1,1),

\m'n\___1_V65

同同后5一65

【变式训练】

一、解答题

1.(24-25高三上•河北•期中)已知数列｛叫的前”项和为5“，且邑-26=5〃-1.

⑴求证：数列卜“-以为等比数列；

⑵若bn=Qn+1)]|一°J,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】⑴证明见解析

⑵7；=2+(2〃-1>2向

【分析】(1)由条件可得为-1=-2,=故可证明数列,“-为等比数列.

(2)表示数列抄“｝的通项公式，利用错位相减法可得结果.

3

【详解】(1)--Sn-2an=-n-l9

3

・・・当拉22时，Sn_1-2an_x=-(^-1)-1,

两式相减得，%-2%+2a,T=|,整理得见=2a,i-|,即=

313

—

令n=1得9%-2%=—1,ciy=――f——=—2f

是以-2为首项，2公比的等比数列.

n

(2)由(1)得，an--=-2x2-'=-2",%=『,

.也=(2〃+1)||-aj=(2〃+l)-2".

Tn=3x2+5x22+7x2、…+(2〃+l)2,

2T"=3x22+5x23+7x24+---+(2H+l)-2n+1,

两式相减得，

23,,+1

-Tn=3X2+2X2+2X2+---+2X2"-(2„+1)-2

=2+22+23+---+2"+1-(2H+1)-2H+1

2(1-2"+),,

=\2/-3+1)-2向=-2+(1-In)-2向，

n+1

:.Tn=2+(2n-l)-2.

2.(2024高三•全国・专题练习)记△ZBC的内角45,C的对边分别为a,6,c,已知(a+b)sin2=csin(/-3).

⑴证明：a=26；

(2)若a=2,点。在线段上，且5瓶=3而，AACD=2ZBCD,求CZX

【答案】⑴证明见解析

(2)cr>=—

40

【分析】(1)由(a+6)sinS=csin(4-8),利用正弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得到

(siivl+siiiB)(sirk4-2sin8)=0,即sin^=2sinB,再利用正弦定理求解；

(2)由a=2,结合(1)得到6=1,由575=3丽，设3=3x,BD=5x,分别在“CD和△BCD中，

3

利用正弦定理联立得到cosNBCD=w，从而求得cos44GD,然后分别在和△5C。中，利用余弦定理

联立求解.

【详解】(1)解：由正弦定理得(sirU+sin^)sin5=sinC-sin(Z—5)=sin(Z+5)sin(/—B),

即siiL4sia5+sin2J?=sin24cos-cos2^sin25=sin?/(1-sin25)-cos2^sin25=sin2^-sin25,

所以(sirU+sirLS)(siiL4-2sin5)=0,

又siiL4+sinB>0,所以siM=2sin5,

由正弦定理可得〃=2b.

(2)因为〃=2,结合(1)可知b=l,

由5诟=3丽可设/D=3x,BD=5xf

如图所示：

ADB

sinZACDsin2ZBCD

在△/CD中，由正弦定理得sin/ZOC=

3x3x

在中，由正弦定理得sin/5QC=--------------,

5x

又ZADC+NBDC=n,所以sin/4QC=sin/5OC,

口口sin2NBCD2sinZBCD2sinZBCDcosZBCD2sinZ5CD

即---------=----------=>------------------=----------

3x5x3x5x

3

解得COS/5CQ=M，

°7

所以cos//CD=cos2/BCD=2cos2Z5CD-l=--,

在A/CD中，由余弦定理可得9，=。加+1-2CDxlx

3

在4BCD中，由余弦定理可得25/^CD2+4-2CDx2x~,

两式进行相除，解得。=工.

40

3.（24-25高三上•河北•期中）如图，在平面五边形"BCD中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABLBC,

将△尸工。沿4D翻折，使点P到达点月的位置，得到如图所示的四棱锥耳-且仲=旧，E为PQ

的中点.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）推导出CD，平面P/Q,可得出/ELCD,利用等腰三角形三线合一可得出，利用

线面垂直的判定定理可证得/E1平面片，再利用线面垂直的性质可证得/£1月C；

（2）推导出或/，/。，以点A为坐标原点，AB、AD、/片所在直线分别为X、V、z轴建立空间直角坐

标系，利用空间向量法可求得平面ABE与平面BCE夹角的余弦值.

【详解】（1）翻折前，在平面五边形尸/3C。中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABIBC,

则CDVAD,

翻折后，在四棱锥耳-/3C。，且片3=而，44=2,

222

所以，I^A+AB=PtB,则所以，CD±P.A,

又因为CD_L4D,PXA[}AD=A,[/、4Du平面片40,所以，CZ）_L平面P/Q,

因为N£u平面440,所以，AE1CD,

因为48//CZ）,AB=CD,则四边形NBC。为平行四边形，则/O=3C=2,

所以，PXA=AD,

因为E为的中点，则片。，

因为耳。口。=。，他、CDu平面耳C。，所以，NE_L平面耳CD,

因为耳Cu平面<C£>,故qC.

222

（2）因为片。=2近，且4/=/。=2,所以，P1A+AD=P1D,贝

因为CD_L平面尸4，ABUCD,贝!!N3_L平面尸4。,

以点A为坐标原点，AB.AD,4耳所在直线分别为X、了、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4（0,0,0）、3（3,0,0）、C（3,2,0）、£（0,1,1）,

设平面曲的法向量为四=（再,为4）,28=（3,0,0）,通=（0,1,1）,

m•AB=3x=0/、

则一，取必=1,可得应=(0,1,-1),

m-AE=y1+zl=0

设平面8CE的法向量为万=(%，%，Z2),BC=(0,2,0),BE=(-3,1,1),

n•BC=2%=0/、

则_—2，取无2=1,可得万=0,0,3),

n•BE=-3X2+y2+Z2=0

m-n-3375

所以,cos伍万)=

H-|»lV2x7io~L0~

因为，平面/BE与平面5CE夹角的余弦值为述.

10

方法三分类讨论

解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去,

这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解,

这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图

形位置的不确定性，变化、不等式的求解等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，

不重不漏。

彳典题题1

3.(2024•全国•高考真题)已知函数=-")ln(l+x)-x.

(1)当”=-2时，求/(x)的极值;

(2)当xZO时,/(%)>0,求。的取值范围.

【详解】(1)当。=-2时，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故/''(>)=21n(l+x)+^^-l=21n(l+x)--—+1,

1+X1+X

因为>=21n(l+x),y=—+1在(-1,+8)上为增函数，

故/'(X)在(-L+X)上为增函数，而广(0)=0,

故当-1<%<0时,/'(%)<0,当x>0时，>0,

故/(x)在x=0处取极小值且极小值为〃0)=0,无极大值.

(2)/〈X)=-aln(l+x)+-——-1=-aIn(1+x)-+

？X>Q,

1+X1+X

、E/\\(Q+1)X

设s(x)=-6zln(l+x)-^———,x>0,

\-a(a+1)a(x+l)+a+lax+2a+l

则7-7；-7=-V—=一I，(注意利用范围端点的性质来确定如何分类)

X+l(1+x)(l+x)(1+X)

当aW-；时，s[x)>0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,即/<x)>0,

所以〃x)在［0,+功上为增函数，故/(x)"(O)=O.

当一L<a<0时，当0Vx+1时,s'(x)<0,

2a

故s(x)在，，-宁)上为减函数，故在(0,-然^上s(x)<s(o),

即在(0,-等］上广⑴<0即为减函数，

故在-智］上〃x)<〃0)=0,不合题意，舍.

当a>0,此时s'(x)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上/(x)</(O)=O恒成立，不合题意，舍；

综上，a---

【变式训练】

一、解答题

1.(23-24高三上•山东威海•期末)已知函数/(乃=，4+表3+-J-aSeR).

(1)当。=-1时，求“X)的单调区间；

⑵设函数g(x)=，+a)e，-△斗，若x=0是g(x)的极大值点，求。的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)2

【分析】(1)求出函数导数，判断导数的正负，即可求得答案；

(2)由题意构造函数访(x)=(x-l)g(x),将x=0是g(x)的极大值点转化为x=0是〃(x)的极小值点，根据导数

与函数极值点的关系，结合一元二次方程的判别式分类讨论，并判断每种情况能否满足题意，即可求得答

案.

【详解】(1)当。=一1时，f\x)=x3+2x2-3x=x(x2+2x-3)=x(x+3)(x-1),

当尤e(-co,-3)时，/'(x)<0,当xe(-3,0)时，f'(x)>Q,

当xe(O,l)时，r(x)<0,当xe(l,+s)时，-(x)>0,

所以/'(x)的单调递增区间为(-3,0),(1,+«)；

单调递减区间为(-8,-3),(0,1).

(2)设A(x)=(x-l)g(x)=(x-l)，+a)e'-/(x),

当x<l时，由于》-1<0,所以g(x)与力(x)的函数值正负相反，

又g(0)=〃(0)=0,所以无=0是g(x)的极大值点，当且仅当无=0是力(x)的极小值点，

h'(x)=x(ex-l)(x2+2x+a-2'),可知x20时，ex-1>0,x<0时，ex-1<0,

^x(eA-l)>0,

"，(x)=x?+2x+a-2,A=4(3—a),

①当a23时，A<0,贝！］当xe(-oo』］时，m(x)>0,gph\x)>0,

所以〃(无)在(-*1］上单调递增，因此x=0不是g)的极小值点；

2

②当2<a<3时，A>0,m(x)=x+2x+a-2=0x12=-l+y/3-a,

此时-1+百金<0,当-1+百三<x<l时，a(x)>0,BP/z'(x)>0,

所以〃(x)在卜1+5工上单调递增，

因此x=0不是h(x)的极小值点;

③当。=2时，Az(x)=x(ex—l)x(x+2),

当xe(-2,0)时，h\x)<0,当xe(0,l)时，h\x)>0,

所以〃(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

因此x=0是/x)的极小值点，满足题意；

④当。<2时，-i+行工>0,记％=min]l,-l+-3—〉｝,可知x。〉。，

则当-1-"二'<x<Xo时，m(x)<0,gpA(x)<0,

所以/x)在㈠一」3-6Z,XQ)上单调递减，因此x=0不是〃(x)的极小值点，

综上可知，<2=2.

【点睛】难点点睛：本题难点在于根据函数的极值点求解参数，解答时要根据函数解析式的结构特点构造

新函数，并采用分类讨论的方法，说明能否满足题意，从而求解问题.

2.(23-24高二上•浙江宁波・期末)己知数列｛%｝的首项%=可，且满足“"+i=r(〃eN*).

(1)求证：数列]:-1，为等比数列；

⑵若6"=(6-冷(2"+1),令c.=a,b,,求数列｛同｝的前〃项和S,.

【答案】(1)证明见解析

f(7-n)2"+1-14,„<6

⑵S=八7

I'"[(«-7)2"+1+242,??>7

---1

【分析】(1)根据递推公式证明》」为定值即可；

——1

%

(2)先利用错位相减法求出数列｛叫的前"项和，再分"W6和心7两种情况讨论即可.

【详解】(1)由“用=乌7，

%+1

---------1

1__]2.%+1-2%

得%=%+1=2ati=2a“=,

J__]2

a

nananan

所以数列"是以，T=；为首项，；为公比的等比数列；

J422

11

(2)由(1)得TT=f，所以%=六，

un乙2+1

所以4=。也=（6-“）2",

设数列｛4｝的前"项和为北，

贝！］北=5x2+4x22+3x23+…+（6-〃）2",

234+1

2Tn=5X2+4X2+3X2+---+（7-/7）2"+（6-H）2",

两式相减得W=10-22-2,——2"-（6-〃）2田

二10一工（1一2二）

+（〃-6）2向=（〃-7）2向+14,

1-2

所以北=（7-〃）2向一14,

令q=（6—〃）2"20,贝!］〃W6,令q=（6—”）2"<0,贝！|">6,

故当"W6时，卜J=c”，当"27时，k」=-c.，

所以当"V6时，S.—+C2+…+c,=S“=（7-"）2向-14,

当〃27时，=（C1+c2+•••+c6）-（c7+c8+•••+c；］）=2s$-Sn

=228-［（7-«）2,,+1-14］=（7i-7）2n+1+242,

（7-»）2,,+1-14,«<6

综上所述，£=

（«-7）2,,+1+242,«>7

2222

3.（2024高三・全国•专题练习）己知椭圆£：'+与=1（%＞4＞0）与椭圆G：，+＞白＞0）的

a；4%b2

离心率相等，。的焦点恰好为G的顶点，圆/+/-（2+后,+20=0分另IJ经过G，C?的一个顶点.

⑴求G，G的标准方程.

⑵过G上任意一点/作C?的切线与£交于点/，N,点8是C|上与跖N不重合的一点，且历=2而+〃砺

（点。为坐标原点），判断点尸（4以）是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

222

【答案】⑴土+匕=1,—+/=1;

422

⑵是，x2+y2=L

【分析】（1）利用椭圆的性质及圆的方程确定叫,出的值，再根据离心率相等计算即可；

（2）设M,N的坐标，根据砺=2两+〃丽得B的坐标，先求当直线MN的斜率存在时，设直线MN

的方程，联立方程，结合M,N,B在G上并利用根与系数的关系得万+储=1，再求直线MN的斜率不

存在时，求出M,N的坐标，得B的坐标，代入C1的方程，得外+〃2=1即可.

【详解】（1）由。的焦点恰好为G的顶点，可得为＞与.

在x~+/—（2+V^）X+2A/^=0中令y=°,得》=2或工=V2,

因为圆/+/-(2+应卜+2收=0分另1」经过0,C2的一个顶点，

所以%=2,・

因为£的焦点恰好为G的顶点，所以6：=-片=4-2=2,

22

所以G的标准方程为,+5=1.

因为q,G的离心率相等，所以业」=业1二区，

即"三=工妻，所以8=1,所以a的标准方程为《+/=