勾股定理的应用【八大题型】（浙教版）（原卷版）

专题2.7勾股定理的应用【八大题型】

【浙教版】

【题型1勾股定理之大树折断模型】............................................................1

【题型2勾股定理之风吹荷花模型】............................................................3

【题型3勾股定理之蚂蚁行程模型】............................................................4

【题型4勾股定理之方向角问题】..............................................................5

【题型5勾股定理之梯子问题】.................................................................7

【题型6勾股定理之范围影响问题】............................................................9

【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】...................................................12

【题型8勾股定理应用之其他问题】............................................................13

。如尸二

【题型1勾股定理之大树折断模型】

【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高

50/77的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸

在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上—米处折断.

【变式1-1]（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米3

处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）

AC

A.10米B.12米C.14米D.16米

【变式1-2]（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度将

它往前推送4%（水平距离BC=4"）时，秋千的踏板离地的垂直高度BE=2根，秋千的绳索始终拉得很

直，求绳索AD的长度.

【变式1-3］（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树

顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵

树原来的高度.

甲树

乙

树

B

【题型2勾股定理之风吹荷花模型】

【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长

在它的中央，高出水面的部分为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶

端与岸齐，则芦苇高度是一尺.

【变式2-1]（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度将

它往前推送4m（水平距离2C=4"z）时，秋千的踏板离地的垂直高度8尸=2加，秋千的绳索始终拉得很

直，求绳索的长度.

【变式2-2]（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时

绳子BC的长为13/71.

（1）开始时，船距岸A的距离是—m-,

（2）若淇淇收绳5爪后，船到达D处，则船向岸A移动m.

C

【变式2-3]（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁

高12cm.若这支铅笔长为18%则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【题型3勾股定理之蚂蚁行程模型】

【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10CM,高AB为12cm,是直径，一只蚂

蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）

B.13cmC.12cmD.14cm

【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3c机和1cm,A和2是这个

台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点

出发，沿着台阶面爬到8点，最短线路是多少？

【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高明的端点A到达4,若圆柱底面半径号高为5,

则蚂蚁爬行的最短距离为

【变式3-3]（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6e",4cm和3cm的长方体木块,

一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,

那么它需要爬行的最短路径的长是（）

A.（3+V13）cmB.V97cmC.V85cmD.A/109cm

【题型4勾股定理之方向角问题】

【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔。的东北方向8海里处有一轮船A,在灯塔的东南方向6

海里处有一渔船则AB间的距离为（）

A.9海里B.10海里C.11海里D.12海里

【变式4-1]（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海

里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达2,另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A

出发，向南偏东30°方向航行到达C,则此时两艘海舰相距多少海里？

【变式4-2]（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某

方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口4判断此时AABC的形状，该船

从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由.

【变式4-3］（2022春•潮南区期中）如图，某港口。位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号

轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行

12海里.

（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、3处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方

向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.

（2）若“远航”号沿北偏东600方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急

回到PE海岸线上，若他从尸处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线

吗？说明理由.

【题型5勾股定理之梯子问题】

【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙

角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离

地面2米，则小巷的宽度为一米.

【变式5-1]（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达

到4.5米的墙头吗？

【变式5-21（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上.其

中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯

子去拿衣服.问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到

衣服吗?

【变式5-3]（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米,

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【题型6勾股定理之范围影响问题】

【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路A2由点A向点8行驶，已知点C为一所

学校，且点C与直线上两点A,8的距离分别为150机和200m，又AB=250m,环卫车周围130/〃以

内为受噪声影响区域.

（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？

（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

【变式6-1］（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路方向离。点80

米处有一所学校A,当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以尸为圆心，50米长为半径的圆形区

域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车尸与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车尸沿道路

ON方向行驶的速度为5米/秒.

（1）求卡车尸对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车尸沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间.

【变式6-2］（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口。向东北方向航行,

乙渔船以6海里/时的速度离开港口。向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相

A.12海里B.13海里C.14海里D.15海里

【变式6-3］（2022春•禁江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大,

影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向A3由A向8移动，已知点C为一

海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300Aw,BC=400km,又AB=500历〃，经测

量，距离台风中心2605J及以内的地区会受到影响.

（1）求的度数；

（2）海港C受台风影响吗？为什么？

（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

AB

【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】

【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、8两个村庄，A村庄到公路的距离AC=

8km,3村庄到公路的距离14切w,测得C、。两点的距离为20而，现要在CD之间建一个服务区E,

使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长.

cED

B

【变式7-1］（2022•市北区期末）如图，某学校（4点）到公路（直线/）的距离为300米，到公交车站

点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则

商店C与车站D之间的距离是米.

【变式7-2］（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高8处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树

跑到A处（离树10米）的池塘边.另一只爬到树顶。后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴

子所经过的距离相等，则这棵树高米.

【变式7-3］（2022•和平区三模）如图，某校4距离笔直的公路/为3hw,与该公路上某车站。的距离为

5km,现要在公路旁建一个小商店C,使之与学校A及车站。的距离相等，则BC=.

【题型8勾股定理应用之其他问题】

【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以为直径的半圆，

下方是长方形的仿古通道，已知AD=2.3米，CD=2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6

米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由.

【变式8-1］（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如

图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60机的C处，过了4s后，小

汽车到达离车速检测仪A100机的8处，已知该段城市街道的限速为60切皿，请问这辆小汽车是否超速？

小汽车小汽车

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观测点

【变式8-2］（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场