高考数学二轮复习：概率与统计常考小题归类（15大核心考点）（讲义）（解析版）

专题20概率与统计常考小题归类

【目录】

考点一：抽样方法与随机数表....................................................................7

考点二：统计图表及其数字特征..................................................................7

考点三：传统线性拟合..........................................................................9

考点四：非线性拟合处理.......................................................................10

考点五：传统独立性检验.......................................................................10

考点六：创新类定义统计.......................................................................12

考点七：正态分布.............................................................................14

考点八：超几何分布与二项分布.................................................................14

考点九：随机变量的分布列、期望、方差.........................................................15

考点十：古典概型.............................................................................15

考点十一：条件概率与全概率...................................................................16

考点十二：概统结合问题.......................................................................16

考点十三：传统规则的概率问题.................................................................17

考点十四：新赛制概率问题....................................................................17

考点十五：递推型概率命题....................................................................19

概率与统计小题是每年高考必考的内容.一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相

互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等.

考点要求考题统计考情分析

2023年上海卷第14题，4分【命题预测】

2022年甲卷第2题，5分预测2024年高考，多以小题

统计图表、方差、平均数、中位数

2021年甲卷第2题，5分形式出现，也有可能会将其渗

2021年I卷第9题，5分透在解答题的表达之中，相对

2023年乙卷第9题，5分独立.具体估计为：

2023年甲卷第4题，5分(1)以选择题或填空题形式

古典概型

2022年I卷第5题，5分出现，考查逻辑推理与数学运

2022年甲卷第6题，5分算两大核心素养.

相互独立事件和相互独立事件的概2022年乙卷第10题，5分(2)热点是古典概型.

率乘法公式2021年天津卷第14题，5分

2023年天津卷第7题，5分

回归方程、正态分布

2021年II卷第5题，5分

1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋势

以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断.

2、在频率分布直方图中，注意小矩形的高=禁，小矩形的面积=组距/禁=频率，所有小矩形的

组距组距

面积之和为1.

3、求回归方程

(1)根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关.

(2)利用公式，求出回归系数，.

(3)待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数0.

4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当卜|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.

5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法

(1)通过计算K2的大小判断：K?越大，两变量有关联的可能性越大.

⑵通过计算W-巧的大小判断：门-历|越大，两变量有关联的可能性越大.

6、独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2x2列联表.

n(ad-bc\

(2)根据公式K2=-—1-------------，计算K2的观测值尸.

(a+b\(a+c)(6+d)(c+1)

(3)比较上与临界值的大小关系，进行统计推断.

7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力

(1)与数列结合的实际问题

(2)与函数导数结合的实际问题

(3)与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题

(4)与统计结合的实际问题

(5)与其他背景结合的实际问题

1.（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法

正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

2.（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、

乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

3.（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校

文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述

A.从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大

B.从2018年开始，进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，进口总额逐年增大

D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

5.（2022•新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

6.（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、

丙比赛获胜的概率分别为乃，p2,P3,且03＞0＞月＞0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝1（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

7.（2022•甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为（）

1

AR1c22

5353

8.（2022•甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位

社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问

卷答题的正确率如图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

9.（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调

查数据整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

10.（2021•新高考II）某物理量的测量结果服从正态分布NQO,/）,则下列结论中不正确的是（）

A.er越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

11.（多选题）（2021•新高考I）有一组样本数据%,%,…，xn,由这组数据得到新样本数据%,当，…，

y„,其中y=%+c（i=l,2,n）,c为非零常数，贝ij（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

12.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为三和三，且每次活动中甲、乙猜对与否

65

互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜

2次的概率为

考点一：抽样方法与随机数表

[例1]（2024•青海西宁•高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中

选

取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）

A.8人B.6人C.4人D.2A

【变式1-1]（2024•全国•高三专题练习）总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下

面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取

两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.02C.63D.01

【变式1-2]（2024•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习）某饮料厂生产A,8两种型号的饮料，每小

时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，

其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时8型号饮料的产量为（）

A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶

考点二：统计图表及其数字特征

题型特训

【例2】（多选题）（2024•江西•高三玉山一中校联考阶段练习）江西省2017年到2022年常住人口变化图

如图所示，则（）

江西省常住人口（单位:万）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值

B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万

C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万

D.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万

【变式2-1］（多选题）（2024•广东惠州•高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、

丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100,则认为

该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断,

环境治理一定达标的地区是（）

A.甲地区：平均数为90,方差为10B.乙地区：平均数为60,众数为50

C.丙地区：中位数为50,极差为70D.丁地区：极差为20,80%分位数为80

【变式2-2］（多选题）（2024•广东珠海•高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采

用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本.其中，男性平均体重为64千克，

方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159,男女人数之比为5:3,下列说法正确的是（）

A.样本为该单位的职工B.每一位职工被抽中的可能性为白

C.该单位职工平均体重元=61D.单位职工的方差『=169

【变式2-3］（多选题）（2024•广东广州•广东实验中学校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索引

擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，

对与该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索

指数变化的走势图.

35000搜索指数____________________________

30000...............-.......................................................

25000（..............A.......................................................

15000................../

10000-……................................

5000.........................................................Y-"上一一

9月10月11月12月1月2月

2018年2019年

根据该走势图，下列结论正确的是（）

A.这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B.这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱

C.从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差

D.从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值

【变式2-4］（多选题）（2024•河南•模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，

笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和

扇形统计图所示，则（）

A.90后考生比00后考生多150人B.笔试成绩的60%分位数为80

C.参加面试的考生的成绩最低为86分D.笔试成绩的平均分为76分

考点三：传统线性拟合

■k题型特训

【例3】某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探

究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量y（个）与温度x（℃）的部分数据如下表：

温度x（°C）481018

微生物数量y（个）30221814

由表中数据算得回归方程为9=-x+4,预测当温度为27C时，微生物数量为个.

正好经过样本点（2,15）,则£%=

1=1

【变式3-2】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如

下数据:

单价（元）456789

销量（件）908483807568

由表中数据，求得线性回归方程9=Tx+”，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为

考点四：非线性拟合处理

Mk题型特训

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特•高三统考期末）用模型、拟合一组数据组（4》）［=1,2,3,…,7）,

其中为+赴+…+七=14,设z=lny,得变换后的线性回归方程为：=x+l，则%为…%=（）

3521

A.eB.eC.35D.21

【变式4-1］（2024•四川宜宾・四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵

某河流生态后的前3个月繁殖数量》（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型

y=e4'（aeR）对y与r的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（）

第，个月123

繁殖数量yeL4e2-2e2-4

A.e3百只B.e35百只

C.百只D.e"百只

【变式4-2］（2024•全国•高三专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅

销售价格（单位：。元/千克）与上市时间/（单位：天）的数据如下表所示：

时间〃（单位：天）102070

销售价格。（单位：元/千克）10050100

根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间/的变化关系：

。二必+瓦0二^产+初+^0二人兄0二人卜8八利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格

最低的日期为（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

考点五：传统独立性检验

【例5】（2024•全国•高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽

取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的二，女性喜爱足球的人数占女性人数的!，若

63

本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至

少有（）人

2

2_n(ad-be)

”(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8415.6357.87910.828

A.11B.12C.13D.14

【变式5-1]（2024•四川达州•统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合

改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对

部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）

A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C.样本中选择物理学科的人数较多

D.样本中男生人数少于女生人数

【变式5-2]（2024•浙江温州•高三苍南中学校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7

选3的3+3模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信

息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）

选物理不选物理总计

男生340110450

女生140210350

总计480320800

表一

选生物不选生物总计

男生150300450

女生150200350

总计300500800

表二

试根据小概率值。=0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）

n(ad-bc)2

附:/=n-a+b+c+d.a=P{<%2>j

(。+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.选物理与性另I有关，选生物与性别有关

B.选物理与性别无关，选生物与性别有关

C.选物理与性别有关，选生物与性别无关

D.选物理与性别无关，选生物与性别无关

考点六：创新类定义统计

■k题型特训

【例6】（多选题）（2024•全国•模拟预测）教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，

通常将考生的原始分数转化为标准分数.定义标准分数z,=:■-，（i=l,2,L,〃），其中七为原始分数，工为

原始分数的平均数，,为原始分数的标准差.已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩［=115,标准

差5=10.8,转化为标准分数后，记平均成绩为机，标准差为则（）

A.加=115B.m=OC.cr=10.8D.a=l

【变式6-1］（2024•湖北•高三校联考开学考试）定义空间直角坐标系中的任意点P（x,〉,z）的“N数”为：

在尸点的坐标中不同数字的个数,如：N（LLD=1,N（1,3,1）=2,N（1,2,3）=3,若点P的坐标羽丁*e{0,1,2,3},

则所有这些点P的“N数”的平均值为（）

3725

A.—B.64C.—D.40

1616

【变式6-2］（2023•甘肃兰州•统考一模）一组数据为,々,不，…，毛的平均数为"现定义这组数据的平均

差£）」当一M+同一］+匕一天|+…+其「”下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图

n

甲组数据频率分布折线图乙组数据频率分布折线图

根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差。,2的大小关系是（）

无法确定

A.DX<D2B.Dt=D2C.Dt>D2D.

【变式6-3]（2024•江西九江•统考一模）恩格尔系数（EwgelsCo助7cie”）是食品支出总额占个人消费支出总

额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为

我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.

201220132014201520162017201820192020

给出三个结论：

①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；

②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；

③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.

其中正确的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

考点七：正态分布

一题型特训

【例7】已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X〜N（5.5,〃），P（x>6）=0.2.现

从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【变式7-1］（2024•重庆•高三重庆八中校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐

公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）

x的密度/八丫的密度

O\26303438x

A.¥的数据较X更集中

B.若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大

C.若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大

D.P（X>30）+P（y<30）=1

【变式7-2）（2024•全国•模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X〜N（1000,2500）

（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（）

（若随机变量X〜，则尸（〃一b4XM〃+b）=0.6827,P（/z-2cr<X<//+2cr）»0.9545,

-3cr<X<//+3cr）«0.9973）

A.236B.246C.270D.275

考点八：超几何分布与二项分布

一题型特训

【例8】（2023上•上海浦东新•高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取

3件产品，则恰好含1件二等品的概率为（结果精确到0.01）.

【变式8-1］（2023•浙江金华•校联考模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6,则称

这是一次成功试验.现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为.

【变式8-2］（2023上•江苏常州•高三常州高级中学校考开学考试）设随机变量X~8（〃,0）,记

kkk

pk=cnp（i-py-,左=o』,2,在研究”的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若

（〃+l）P为正整数，当々=（〃+1）P时，P«=PI，此时这两项概率均为最大值；若5+1）。不为正整数，则当

且仅当左取（〃+l）P的整数部分时，P«取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出

现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100

次投掷试验中，点数1总共出现的次数为的概率最大.

考点九：随机变量的分布列、期望、方差

题型特训

【例9】（2024.全国•高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学

每道题答对的概率为0.6,每道题答对与否相互独立.若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得

分的数学期望为，方差为.

【变式9-1］（2024•全国•高三专题练习）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3

件，若X表示取到次品的次数，贝|P（X=2）=,D（X）=.

【变式9-2］（2023上•全国•高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中

次品的件数记为X,则次品件数X的期望为.

考点十：古典概型

题型特训

【例10】（2024•全国•模拟预测）某艺术展览会的工作人员要将A,B,C三幅作品排成一排，则A,B这

两幅作品排在一起的概率为.

【变式10-1］（2024•全国•模拟预测）如图，A氏C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯，其中开关A控制

着2,3,4号灯，开关8控制着1,3,4号灯，开关C控制着1,2,4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动

A3,C这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为.

【变式10-2］（2024•全国•模拟预测）2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举

行.在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶

文化、酒文化.这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅

酥”“象形枇杷”.假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），贝产沙葱牛肉”“北京烤鸭”

相邻的概率为.

考点十一：条件概率与全概率

一题型特训

【例11]（2024•山东滨州•高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中

甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出

一球放入乙箱，分别用A、4和4表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出

一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则P（4|B）=

【变式11-1]（2024•河南•模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A,8满足尸（A）=（,P（B）=]，

_1

P（A|B）=-,则P（A|8）=.

【变式11-2]某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现

需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为；在至

少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率.

考点十二：概统结合问题

【例12]（2024•黑龙江大庆•铁人中学校考模拟预测）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板.上钉着

若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口

落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会

均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（）

—B.—C.—D.—

32643216

【变式12-1]（2024•海南•统考模拟预测）我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续

教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除.某单位老年、中年、青年员

工分别有90人、270人、180人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6人调查专项附加扣

除的情况，再从这6人中任选2人，则选取的2人中恰有一名是中年员工的概率为（）

【变式12-2】（2024•四川绵阳•盐亭中学校考模拟预测）已知x、丫的对应值如下表所示:

X02468

y1m+12m+l3m+311

y与x具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程y=L3X+0.6近似刻画，则在y的取值中任取两个数均

不大于9的概率为（）

考点十三：传统规则的概率问题

【例13]（2024•浙江宁波•效实中学校考模拟预测）盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任

取i«=1,2）个球,在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为X,。=1,2），则（）

A.P（X1=2）>P（X2=2）,E（Xj>E（Xj

B.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X）＞E（XZ）

C.P（X1=2）＞P（X=2）,E（X1）＜E（X2）

D.P（X1=2）＜P（X2=2）,E（X1）＜E（X2）

【变式13-1]（2024•全国•高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，

其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各

取到1个的概率是

【例14】（2024•广东清远•高二统考期末）盒中有。个红球，6个黑球，c个白球，今随机地从中取出一

个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（）

a+b+ca+b+c+d

b+d-b+d

D.---------------

a+b+c-----------------------------------------a+b+c+d

考点十四：新赛制概率问题

题型特训

【例15]（2024•河南信阳•高二统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟

比赛中3:3战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分7:5战胜法国队，第三次获得世界杯冠军.其中门将马

丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选

择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而

且门将即使方向判断正确也有g的可能性扑不到球.若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑

出点球的个数X的期望为（）

112

A.-B.5C.-D.2

623

【变式15-1】通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是

将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一

个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳

性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.

调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.

根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，

记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测丫次，已知当0＜。＜0.001时，

（1-0晨1-秋据此计算矶X）:E（F）的近似值为（）

A.1B.匕C.❷D.2

227119

【变式15-2]（2024•辽宁本溪•高二校考期末）疫情期间，甲、乙、丙三人均来自高风险地区，需要进行

核酸检测，假设每个人的检测结果是否为阳性相互独立，若甲和乙都不是阳性的概率为:，甲和丙都不是阳

性的概率为:，乙和丙都不是阳性的概率为],则甲、乙、丙三人中最多有2人是阳性的概率为（）

A.—B.-C.4D.-

24424

【变式15-3]（2023下•江苏常州•高二江苏省漂阳中学校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”

组成的序列.现连续发射信号”次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的•记发射信号“1”的次数为X.

①当〃=6时，尸（XV2）=；

②已知切比雪夫不等式:对于任一随机变量乙若其数学期望后代）和方差D（Y）均存在,则对任意正实数a,

有尸（卜--根据该不等式可以对事件中-E（Y）|＜a”的概率作出下限估计为了至少有

98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数"的最小值为.

考点十五：递推型概率命题

■■题型特训

【例16］（2023.广东佛山.统考二模）有〃个编号分别为1,2,w的盒子，第1个盒子中有2个白球1

个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒

子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第〃个盒子中取

到白球的概率是.

【变式16-1］（2023•湖北•校联考模拟预测）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机

取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：

（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为；

（2）取了“5=2,3,4,…）次后，所有红球刚好全部取出的概率为.

【变式16-2］（2024上.甘肃.高三统考阶段练习）某学校有A、3两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这

两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，

假如第1天甲选择了A餐厅，则第几天选择A餐厅的概率与为.

专题20概率与统计常考小题归类

【目录】

....................................................................................................................................................29

考点一：抽样方法与随机数表...................................................................29

考点二：统计图表及其数字特征.................................................................30

考点三：传统线性拟合.........................................................................33

考点四：非线性拟合处理.......................................................................34

考点五：传统独立性检验.......................................................................36

考点六：创新类定义统计.......................................................................39

考点七：正态分布............................................................................41

考点八：超几何分布与二项分布.................................................................42

考点九：随机变量的分布列、期望、方差........................................................44

考点十：古典概型............................................................................44

考点十一：条件概率与全概率...................................................................46

考点十二：概统结合问题......................................................................47

考点十三：传统规则的概率问题.................................................................49

考点十四：新赛制概率问题....................................................................50

考点十五：递推型概率命题....................................................................52

概率与统计小题是每年高考必考的内容.一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相

互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等.

考点要求考题统计考情分析

2023年上海卷第14题，4分【命题预测】

2022年甲卷第2题，5分预测2024年高考，多以小题

统计图表、方差、平均数、中位数

2021年甲卷第2题，5分形式出现，也有可能会将其渗

2021年I卷第9题，5分透在解答题的表达之中，相对

2023年乙卷第9题，5分独立.具体估计为：

古典概型2023年甲卷第4题，5分(1)以选择题或填空题形式

2022年I卷第5题