高考数学专项复习训练之函数性质

2025年高考数学专项题型点拨训练

函数性质

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称

轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代

数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟

练于心，才能保证做题的速度与准确度。

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)=m时，则f(x)关于

点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

当h(x)wm时，则有f(x)+f(-x)=2h(x).

推论若f(x)=g(x)+rn,则f(X)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+P-2,则f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+^-csinx+3,则f(ln3)+f(In-)=6.

x3

(3)已知函数f(x)=ln(A/1+X2-X)+2，则f(lg5)+f(lg1)=4.

⑷已知函数f(x)=ln(V1+9X2-3X)+b则f(膜)+f(lg1)=2.

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m来破解.

变式1:(2024.浙江绍兴.二模)已知定义在R上的函数在区间上单调递增,且满足〃4-尤)=〃力,

f(2-x)=-f(x),贝U()

10

A.B./(0.9)+/(1.2)<0

k=l

c./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</^ln|j

变式2：(2024・广西•二模)己知定义在R上的函数〃尤)满足〃2+x)-/(2-x)=4x.若〃2x-3)的图象关

于点(2,1)对称，且"0)=0,则()

A.〃x)的图象关于点(1,1)对称

B.函数g(x)=〃x)-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=〃x)-2x的周期为2

D./(1)+/(2)+...+/(50)=2499

<抢分通关

【题型一】中心对称性质1:几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若/(力满足“a+x)+/(b-x)=2c,则关于(等,c］中心对称

特殊的奇函数：(考试难点)：

,•人1m-nx-m+nx..1-x.1-kx,x-1

1、对数与反比例复合：y=loga-----,y=loga------,如：loga；—,loga——,loga--

m+nxm-nx1+x1+kxx+1

2、指数与反比例复合：y=4±Ly=FL,y=N，丫=工

2

3、对数与无理式复合：y=loga“(kx)2+l土kx),如：y=loga(A/(X)+1+X)

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

典例精讲

【例1】(2024.陕西西安.三模)已知函数〃犬上岛+间^^一%),若yg-l)+/(2/)>2,贝心的取

值范围为.

【例2】(多选)(2024•重庆・模拟预测)函数〃X)=2；2'g(#=>(，1+9/一3q,那么()

A./(x)+g(x)是偶函数B./(办g(x)是奇函数

g(x)

C.是奇函数D.g(/(x))是奇函数

f(x)

【例3】(多选)(2024・湖南娄底.一模)已知函数/(x)的定义域和值域均为{x|xwO,xeR},对于任意非

零实数x,y,无+"0,函数"X)满足：f(x+y)(f(x)+f(y))=f(x)f(y),且在(一咫0)上单调递减,

/（1）=1,则下列结论错误的是（）

2023

A.f2B.=22023-2

Z=1

C./（尤）在定义域内单调递减D./（x）为奇函数

I—I

名校模拟

【变式1］（2024.江西上饶.二模）定义在R上的奇函数〃x）满足/•（2r）=/'（x）,且在［0,1］上单调递减,

若方程/（力=1在上有实数根，则方程/（力=-1在区间［3』1］上所有实根之和是（）

A.28B.16C.20D.12

【变式2】（2024.全国.模拟预测）函数〃尤）=xc°s》+sinx的部分图象为（）

A.B.

D.

2+x

【变式3】（2024.上海徐汇.二模）已知函数＞=/（尤），其中=

（1）求证：y=/（尤）是奇函数；

⑵若关于x的方程/⑴=10§1（X+人）在区间［3,4］上有解，求实数k的取值范围.

2

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适。

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与

坐标轴交点，或则别的合适的点

典例精讲

尤一:］+则不等式

【例1】（2024•全国.模拟预测）已知函数=+sin51,

/（2x+l）+/（2—力之2的解集为（）

A.(-oo,2]B.[2,-H»)C.[-2,2]D.[-2,-Ko)

【例2】（2024・湖南.模拟预测）已知函数/⑺满足〃x+8）=/（x）,/（x）+/（8-x）=0,当xe［0,4）时,

y(x)=lnfl+sin^x,则函数户（x）=〃3x）-在（0,8）内的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

।—i

名校模拟

【变式1](多选)(2024・江苏•一模)已知函数〃力=/吧丁，则()

2—cos2x

A.的最小正周期为无B.〃龙)的图象关于点(兀,0)对称

C.不等式无解D.“X)的最大值为李

【变式2](2024.河南.一模)已知函数〃尤)及其导函数尸(尤)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).且

2024

/(l-3x)+/(3x-l)=0,g(l+x)+g(l—x)=0,当xw(O,l],/(x)=sin^x,贝⑺卜_____.(用数字作

2z=i

答)

【题型三】轴对称

数学语言：

1.函数““对于定义域内任意实数X满足+=-X),则函数关于直线尤=一对称，特另I」

地当/(x)="2a-x)时，函数“X)关于直线x=a对称；

2.如果函数j=/(x)满足/(«+x)=/(a-x),则函数y=/(x)的图象关于直线*=。对称.

3.y=/(a一%)与y=(x—6)关于直线％=对称。

常见的偶函数：

偶函数:①函数f(x)=±(ax+a-x).

②函数〃x)=loga(a」+l)-学.

③函数/(W)类型的一切函数.

I—I

典例精讲

【例1】(多选)(23-24高三下.山东荷泽•阶段练习)已知函数/(X)的定义域为R,且

/(x+力〃X7)=产(耳_r3，〃1)=2,/(3+1)为偶函数，则()

A./(3)=2B./(x)为奇函数

2024

C.42)=0D.£/W=0

k=l

【例2】(2024•宁夏银川•二模)定义域为R的函数/*)满足/(x+2)为偶函数，且当玉＜Z＜2时，

5

"(x2)T«)](Zf)＞。恒成立，若。=/⑴，Z?=/(lnl0),0=/(31)，则。，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【例3】（2024•全国•模拟预测）设/（x）是定义域为R的偶函数，且〃2x+l）为奇函数,若=3

5

A.|BD.

-4c-16

名校模拟

【变式1］（2024.全国.模拟预测）若定义在R上的函数〃尤）满足川x|）=〃x）,且

/（2+x）+f（2-x）=6,/（3）=6,则下列结论错误的是（）

A.〃8+x）=/（x）B./⑺的图象关于直线x=4对称

C."201）=3D.y=〃x+2）-3是奇函数

【变式2］（多选）（2024•全国•模拟预测）已知函数y=#（x+l）为偶函数，且〃l—x）=〃x+3）,当xe［0,l］

时，f（x）=2-T,贝U（）

A.“X）的图象关于点（1,0）对称B.“X）的图象关于直线尤=2对称

C.“X）的最小正周期为2D./（1）+/（2）+-+/（30）=-1

【变式3］（多选）（2024.河北邢台・一模）已知函数〃尤）和函数g（元）的定义域均为R,若〃2x-2）的图

象关于直线尤=1对称，g（x）=/（x+l）+x-l,g（x+l）+/（—x）=x+2,且/（0）=0,则下列说法正确的是

A.“X）为偶函数

B.g（x+4）=g（x）

C.若〃x）在区间（0,1）上的解析式为于（x）=log2（x+l）,则“X）在区间（2,3）上的解析式为

/（x）=l-log2（x-l）

20

D.±g（i）=210

i=\

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

基本规律

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心（a,0）与（b,0））,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心（a,0）与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。

I—I

典例精讲

【例1】(2024・浙江•一模)设函数y=的定义域为R,且〃x+l)为偶函数，1)为奇函数，当

2023

xe[T,l]时，/(x)=l-x2,则'传)=.

k=\

【例2】(2024•陕西西安・二模)已知函数满足/'(x+y)=/(x)+/(y)+2w，/Qj=|JiJ/(100)=.

【例3】(多选)(2024・江西.模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，/(x+2)为偶函

数，当xe[l,2]时，/(x)=a-log2x.则下列结论正确的是()

A."1)=1B./(8)=-1

206100

c.Z〃k)=TD.㈤=50

k=lk=l

I-------1

名校模拟

【变式1](多选)(2024.吉林白山.二模)已知函数的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若

“"(—Jr,则()

4

A./(2-3x)+/(3x)=4B.f(x)=f(x-4)

20

C.”2025)7046D.⑺=-340

«=1

【变式2](多选)(2024.广东韶关二模)己知定义在R上的函数〃x),g(x)的导函数分别为r(x),g'(",

且/(X)=/(4T),/(l+x)-^(x)=4,/,(x)+g,(l+x)=0,则()

A.8(%)关于直线尤=1对称B.g'⑶=1

C.尸(x)的周期为4D.尸5)H5)=0(〃eZ)

【变式3](2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数的图象关于点(1,0)对称，〃x+l)+〃x+2)=0,

且当xw0,-时，/(x)=—i-+log2(3^+l).若外根+1)<_(则实数机的取值范围为()

A.(2左+§,2左+1](左eZ)B.1左一左一%)(左Z)

C.(左一eZ)D.(2A—eZ)

【题型五】画图：类周期函数

基本规律

“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大。

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0。

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移。

I—I

典例精讲

【例1】定义：若存在非零常数鼠T,使得函数八尤)满足yu+7)=/(尤)+左对定义域内的任意实数无恒成立，则

称函数/U)为"距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”.则()

A.一次函数均为"距周期函数”

B.存在某些二次函数为*距周期函数”

c.若“1距周期函数，加)的“类周期”为1,且/⑴=1,贝：危尸尤

D.若g(x)是周期为2函数，且函数y(x)=x+g(x)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数兀0=尤+8(尤)在区间[2小

2〃+2]上的值域为⑵?，2«+1]

名校模拟

【变式1】定义“函数y=/(x)是。上的。级类周期函数”如下：函数y=/(x),xeD,对于给定的非零常数

。，总存在非零常数T,使得定义域。内的任意实数x都有力'(xH/a+T)恒成立，此时T为/(x)的周期.

若>=/(同是[1,+s)上的。级类周期函数，旦7=1，当xe[l,2)时，〃x)=2x+l,且y=〃x)是[1,+8)上的

单调递增函数，则实数。的取值范围为()

A.|>+00]B.[2,+oo)C.'1'+00)D.[10,-Ko)

【变式2](多选)(2024•山东济南模拟预测)已知函数〃尤)定义域为R,满足/(x+2)=,当-1W%<1

[x+l]

时，f(x)=W.若函数y=/(x)的图象与函数g(x)=gj2(-20234x42023)的图象的交点为(看，%)，

亿,人)，…伍，笫)，(其中因表示不超过x的最大整数)，则()

A.g(x)是偶函数B.“=2024C.如,=0D.£%=2皿-

z=li=l

【题型六】恒成立和存在型问题

基本规律

常见不等式恒成立转最值问题：

(1)VxeD,/(x)>7〃o/(x)1n1,>m；

(2)3xeD,/(x)>m<^>/(%)max>m；

(3)X/x&D,f(x)>g(x)<^>(f(x)-g(x))injn>0；

(4)BxeD,/(龙)>g(x)o(/(尤)-g(x))111ax>0；

(5)Vx,eD,X2eM,f{xx)>g(x?)o/(占心。>g(xj1mx；

(6)3X1GD,X2GM,/(jq)>g(x2)Of(xA)max>gU2)min；

(7)VxjeD,3X2SM,/(占)>g(x2)o/(^)mn>g(^2)min；

(8)3%1&D,\/X2GM,/a)>g(X2)O/(Xl)max>g(X2)max；

«—I

典例精讲

—X1+ax+20,-4<%<0

【例1】（2024•上海黄浦・二模）设函数/（x）=2c沙,，若/。)>0恒成乂,则实数a的取

ax2-2%+3,0<%<4

【例2】（2024.全国.模拟预测）已知函数〃尤）对任意恒有〃x+y）=/（x）+〃y）,且当x<0时,

〃龙）<0,"2）=3.若存在无目-2,2］,使得〃句>苏-2租成立，则实数加的取值范围为（）

A.(-3,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(-1,3)

:3x,x<3若瑞£R,使得〃%0)(10m+4帆2成

【例3】（2024•广东深圳•模拟预测）已知函数〃力=<

log3x,x>3

立，则实数加的取值范围为（）

9_j_

A.45"4B.-?0

91

C.—00,-------U——,+ooD.u[0,+«9)

44

名校模拟

【变式1］（多选）（2024.全国.模拟预测）已知定义在R上的函数满足：对任意无，yeR,

《亨）［亨卜苴小）+小）］恒成立，且〃1）=T'则（）

A.函数”尤）的图象过点（0,1）

B.函数的图象关于原点对称

C.8（0=［”口了的图象关于点］；,£|对称

D./（98）+2/（99）+/（100）=0

【变式2］（2024•上海奉贤.二模）已知定义域为R的函数y=/（x）,其图象是连续的曲线，且存在定义域

也为火的导函数y=/'(x).

⑴求函数"x)=e'+eT在点(OJ(O))的切线方程；

⑵已知/(x)=acosx+bsinx,当。与b满足什么条件时，存在非零实数左，对任意的实数x使得

=恒成立？

⑶若函数y=/(尤)是奇函数，且满足/(X)+〃2T)=3.试判断/'(x+2)=1f(2T)对任意的实数x是否恒

成立，请说明理由.

【变式3](21-22高三上.全国•阶段练习)已知函数/(同=|4》+“|-卜+々.

(1)若”=2,求不等式+的解集；

(2)若士eR,3ae[0,2],使得/仁工]>相能成立，求实数机的取值范围.

【题型七】嵌套函数

在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.在函数里面调用

另外一个函数，就叫做函数嵌套.如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套.

一嵌套函数解析式问题的解题方法：

换元法：将被嵌套的部分换为一个主元3即求出y=f(t)解析式，属于通法.

待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可.

二不动点与稳定点

不动点：对于函数f(x)(xeD),我们把方程f(x)=x的解x称为函数f(x)的不动点，即y=f(x)-^y=x

图象交点的横坐标.

例如：函数f(x)=2x-l有一个不动点为1,函数g(x)=2x2-1的不动点.有两个不动点1.

2

稳定点：对于函数f(x)(xeD),我们把方程f[f(x)]=x的解x称为函数f(x)的稳定点，gpy=f[f(x)]

与y=X图象交点的横坐标。很显然，若X。为函数y=f(x)的不动点，则X。必为函数y=f(x)的稳定点.

证明：因为f(Xo)=Xo，所以f(f(X。))=f(X。)=Xo,故X。也是函数y=f(x)的稳定点.

I—I

典例精讲

-xex+i,x<0

【例1】(2024.全国.模拟预测)已知函数〃x)=_]_,//(%)=[/(x)]2-2^(x)+4(aeR),若

inx,%>u

4

函数网力恰有6个零点，则实数。的取值范围是()

【例2】(2024•安徽池州•模拟预测)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定

理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函

数“X),存在一个点%,使得/(毛)=~,那么我们称“X)为“不动点”函数.若“X)存在〃个点%。=1,2,…/),

满足〃％)=%,则称“X)为“〃型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是()

A./(x)=l-lnxB./(x)=5-lnx-ex

4e“一2/、

C.f(x)=-------