高考数学总复习《导数解答题》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《导数解答题》专项测试卷(含答案)

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►知识梳理

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数产/(X)在x=xo处的导数，即曲线产/(X)在点(无0次尤0))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(xo以犹))(不出现州)；

②利用切点坐标写出切线方程：y次(xo)Q-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

L含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：产/⑴在3,6)上单调，则区间Q6)是相应单调区间的子集.

(2加＞)为增(减)函数的充要条件是对任意的尤e(a,6)都有/(x)KX/(x)岂)),且在(a,6)内的任一非空子区间上,

/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数八x)极值的一般步骤：

(1)确定函数兀0的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(尤)=0的根xo左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数/(x)在值句上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八。)，他);

③将函数兀0的各极值与式0,式6)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

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求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点(方程根)问题

利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数兀0的最值，转化为八x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由y(x)=O分离参变量，得a=g(尤)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

(1)一般地，要证y(x)>g(x)在区间(。，6)上成立，需构造辅助函数F(x)=A尤)一g(x),通过分析F(x)在端点

处的函数值来证明不等式.若F(a)=O,只需证明尸(功在(a,6)上单调递增即可；若/(b)=0,只需证明F(x)

在(a,b)上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒成立、存在性问题

解决不等式恒(能)成立问题有两种思路：

(1)分离参数法解决恒(能)成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另

一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由己知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

5.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点方程/(%)的解分别为

再、x2,且a<X]</<b.

(1)若生产wX。,则称函数y=/(X)在区间(玉,々)上极值点X。偏移；

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(2)若与迤>X°,则函数y=/(x)在区间(芯,々)上极值点X。左偏，简称极值点X。左偏;

(3)若与<x0,则函数y=/(x)在区间(%,兀2)上极值点与右偏，简称极值点与右偏.

►举一反三

【题型1函数的切线问题】

【例1】(2023•河南・统考模拟预测)已知函数f(%)=a(ex-1)-In%.

(1)当Q=1时，求/(%)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当a>1时，证明：/(%)>sin%.

【变式1-1](2023•四川雅安・统考一模)已知函数/(%)=aex+bx+c在%=ln2时有极小值.曲线y=/(%)在

点(0/(0))处的切线方程为％+y=0.

(1)求a,b,c的值；

(2)若对任意实数%,/(%)>(e-2)%+m恒成立，求实数m的取值范围.

【变式1-2](2023•广东・东莞市校联考一模)函数/(久)=|+Inx在x=4处的切线方程为y=

⑴求h(%);

(2)已知:<a<1,过(a,b)可作/(%)的三条切线，证明：/i(a)<b</(a).

【变式1-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=alnx—一1)/一2%++1.

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(1)当a=4时，求f(x)的极值及曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程;

(2)若函数/(X)有两个零点，求实数a的取值范围.

【题型2(含参)函数的单调性问题】

[例2](2023・海南•校联考模拟预测)已知函数/(x)=xlnx-ax2.

(1)当a=l时，讨论函数/Xx)的单调性；

(2)若不等式/'(%)>aex+(1-a)x2-x恒成立，求实数a的取值范围.

【变式2-1](2023•黑龙江•校联考模拟预测)己知函数/Q)=xeX,xeR.

⑴求函数/。)=单调区间；

(2)若过点P(l,t)(teR)可以作曲线y=f(x)的3条切线，求实数t的取值范围.

【变式2-2](2023•四川成都•统考一模)已知函数/⑺=2eX—ax,aeR.

⑴讨论函数/(久)的单调性；

(2)当a=e时，求证：/(x)>e(l—cosx).

【变式2-3](2023•河北邢台•宁晋中学校考模拟预测)已知函数/O)=a(a+eT)-1(a是非零常数，e

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为自然对数的底数)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a>0时，若/■(久)-1N/在R上恒成立，求实数a的取值范围.

【题型3函数的极值、最值问题】

[例3](2023・全国•模拟预测)已知函数/'(%)=xlnx+(t—1)(%—t)(tGR).

(1)当t=。时，讨论函数/(x)的极值；

(2)若F(x)=/(久)一捺有两个不同的极值点，求f的取值范围.

【变式3-1](2023•陕西西安•校联考模拟预测)已知奇函数/(£)=ax3+bx2+ex在x=1处取得极大值2.

(1)求/(%)的解析式；

(2)求/(%)在[-4,3]上的最值.

【变式3-2](2023•宁夏固原,宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测)已知实数。>0,函数/(%)=%lna-

alnx+(x-e)2,e是自然对数的底数.

(1)当a=e时，求函数/(%)的单调区间；

(2)求证：/(%)存在极值点%(),并求出的最小值.

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【变式3-3](2023•吉林长春•东北师大附中校考二模)已知函数/(%)=mxe~x+%—lnx(mER).

⑴讨论函数f(%)的极值点个数；

(2)若>0,/(%)的最小值是1+Inm,求实数m的取值范围.

【题型4函数零点(方程根)问题】

【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)=2x+警+a.

(1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,/(1))处的切线方程.

(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

【变式4-1](2023•广东广州•广东广雅中学校考二模)已知函数/(x)=lnx+(—l.

⑴求函数/(%)的最小值；

(2)若g(%)=x2[/(x)+1-a]-%4-a,求函数g(%)的零点个数.

【变式4-2](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=x+1—alnx.

⑴判断函数/(%)的单调性.

(2)若/(%)=1有两个不相等的实根%1，%2，且%1<%2，求证：%i+%2>a・

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【变式4-3](2023•广西•模拟预测)已知函数/(%)=21n(%+1)+—2%+nt有三个零点，mER.

(1)求的取值范围；

(2)记三个零点为且％1V型<%3，证明：x3-xr<2.

【题型5不等式的证明】

【例5】(2023・四川成都・统考一模)已知函数/(%)=2e%—e%.

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)求证：/(%)>e(lnx+cosx).

【变式5-1](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%—?nln%(7neR).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若存在不相等的实数久1，%2，使得f(%1)=/(%2)，证明：0V租<+%2・

【变式5-2](2023・四川成都・统考二模)已知函数/(%)=e%-asin%(a>0),曲线y=/(%)在(0,/(0))处的

切线也与曲线y=2x--相切.

⑴求实数。的值；

(2)若%1是/(%)的最大的极小值点，汽2是/(%)的最大的极大值点，求证：2V/(%1)+/(%2)〈杵M

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【变式5-3](2023•河南新乡•统考一模)已知函数/(%)=xlnx-mx2-1.

⑴当m>|时，讨论/⑺在(0,+8)上的单调性；

(2)已知刀1，尤2是/'(X)的两个零点，证明：%1%2>V6e2.

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】

【例6】(2023・四川内江•统考一模)已知函数/(%)=，/—inx.

(1)当a=l时，求/(%)的极值;

(2)若不等式f(x)2x恒成立，求实数a的取值范围.

【变式6-1](2023•全国•模拟预测)已知/(久)=ae》+ln(x+1),a为任意实数.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)令a=2,对V久>0,均有/(x)>kx+2恒成立，求k的取值范围.

【变式6-2](2023•云南红河•统考一模)己知函数/(*)=mx-Inx-l(m6R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若关于x的不等式e^T+alnx一(a+l)x+a>。恒成立，求实数a的取值范围.

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【变式6-3](2023•安徽•校联考模拟预测)已知函数八乃=ae，—e-L(aGR).

(1)若f(x)为偶函数，求此时f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在久2分别为的极大值点和极小值点.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)若a6(0,1),且gOi)+kg(>2)>0，求实数k的取值范围.

【题型7利用导数研究能成立问题】

【例7】(2023•宁夏银川•校考模拟预测)已知函数/(*)=fcx-ln(l+x)(k>0).

(1)当k=1时，求曲线y=〃久)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)如果存在X。e(0,+8),使得当xe(O,%o)时，恒有/(久)</成立，求k的取值范围.

【变式7-1](2023•河北•模拟预测)已知函数f(%)=(e—a)e*+x(aeR).

⑴讨论函数/(久)的单调性；

(2)若存在实数a,使得关于x的不等式/(“)<2a恒成立，求实数4的取值范围.

【变式7-2](2023•河南郑州•统考模拟预测)已知/(x)=(x-a—l)ex-|ax2+a2x—1.(a6R)

(1)讨论f(x)的单调性;

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(2)若a=-l,且存在xe(0,+8),使得/(x)WInx+"2+伯+1)%，求b的取值范围.

【变式7-3](2023•北京海淀•统考一模)已知函数/(久)=eax-x.

(1)当a=1时，求曲线y=/(久)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求/'(X)的单调区间；

(3)若存在的,久2e[-1,1],使得f(Xi)•f(%2)29,求。的取值范围.

【题型8双变量问题】

[例8](2023・全国•模拟预测)已知函数/(久)=(x+t)ln(x+t)+(t—l)x(teR).

(1)当t=0时，讨论函数f(x)的极值；

(2)已知尸(x)=f(x)-e*,函数F(x)存在两个极值点比1，x2>证明：+x2<0.

【变式8-1](2023•四川自贡・统考二模)已知函数7"(x)=aeX-%2有两个极值点修、型.

(1)求a的取值范围；

(2)若g>3久1时，不等式K1+AX2>2占%2恒成立，求义的最小值.

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【变式8-2](2023・河南•校联考二模)已知函数/(%)=|mx2+(m—l)x—lnx(mER),g(%)=%2—+1.

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)当>0时，若对于任意的%ie(0,+8),总存在%2e[1,+8),使得f(%i)>g(%2)，求血的取值范围.

【变式8-3](2023・河南•校联考模拟预测)已知函数/(%)=高+ln%-其中e为自然对数的底数.

(1)当a=1时，求/(%)的单调区间；

(2)若函数g(%)=/(%)-嗅有两个零点第1，%2(%1<%2)，证明：与•&>e2.

【题型9导数中的极值点偏移问题】

[例9](2023・贵州毕节•校考模拟预测)已知函数/(%)=(2%+a)\nx-3(%-d),a>0.

(1)当％>1时，/(%)>0,求a的取值范围.

1

(2)若函数/(X)有两个极值点X1,久2，证明：%1+%2>2e~.

【变式9-1](2023•四川绵阳・统考模拟预测)已知函数/O)=xlnx--x+a(aGR)在其定义域内有两

个不同的极值点.

(1)求a的取值范围；

1+A

(2)记两个极值点为与,K2，且与<x2.若4N1,证明：e<久1•%2.

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【变式9-2](2023•江西景德镇•统考模拟预测)已知函数/(x)=>+i)，inx)

(1)若函数/(x)在定义域上单调递增，求a的最大值；

(2)若函数/(%)在定义域上有两个极值点%1和%2，若%2>%i，A=e(e-2),求尢r1+外的最小值・

【变式9-3](2023•浙江绍兴•统考模拟预测)已知函数f(x)=/0nx-ga),a为实数.

(1)求函数八%)的单调区间；

(2)若函数/(%)在第=e处取得极值，/'(%)是函数/(%)的导函数，且f'Oi)=/(%2)，第1V%2,证明：2V勺+

%2Ve

【题型10导数与三角函数结合问题】

【例10】(2023•四川雅安・统考一模)已知函数f(%)=ax3+2sinx—xcosx.

(1)若a=0,判断/0)在(—^9上的单调性，并说明理由；

(2)当a>0,探究f(x)在(0,兀)上的极值点个数.

【变式10-1](2023・四川成都・成都七中校考一模)设函数F(x)=(1—Qcosx+2cosa—胆厘丝，其中ae

X—CL

呜

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⑴若2=1,讨论尸⑺在(a,以上的单调性；

(2)当久e(a,9时，不等式F0)<0恒成立，求实数4的取值范围.

【变式10-2】(2023・四川雅安・统考一模)已知函数f(x)=a*3+2sin比—xcosx(其中a为实数).

(1)若a=-之,久€(0,；),证明：f(x)>0；

⑵探究/(久)在上的极值点个数.

【变式10-3](2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)=ex(cosx+V2)-(%+l)sinx,其中e是自然对数的底

数.

(1)求函数的图象在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若x>—1,求证：/(%)>0.

【题型11导数与数列不等式的综合问题】

【例11](2023.山东济南.校考模拟预测)设函数〃>)=*(%>—1),己知/(©>1恒成立.

(1)求实数爪的值；

⑵若数列｛时｝满足与+1=111/(厮)，且的=1—ln2,证明：|ea"-1|<(1)n.

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【变式11-1】(2023・海南・海口校联考模拟预测)已知函数与=In尤—电

x+lX+1

(1)若函数/(%)在[1,+8)上只有一个零点，求a的取值范围；

'-,n=1

2

(2)若%l=\I，记数列｛。九｝的前几项和为立,证明：2Sn<ln(n+3n+2).

5+I

【变式11-2】(2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测)已知函数/(%)=『.

(1)证明:当％<0时，/(%)<1；当％>0时，/(%)>1.

Xn+1

(2)正项数列｛&｝满足:e=/(xn),x±=1,证明：

(i)数列｛%｝递减；

(ii)£忆1阳之2

23n

【变式11-3】(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)设函数加(x)=—1+工+会+段+…+嘉

(1)求函数月(久)在点(1房(1))处的切线方程；

(2)证明:对每个neN*,存在唯一的久几e[|,1],满足/(xn)=0；

(3)证明:对于任意PeN*,由(2)中外构成的数列｛久n｝满足0<-久n+p<；.

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►直击真题

1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数f(x)=G+a)ln(l+x).

(1)当a=-1时，求曲线y=/(%)在点处的切线方程.

(2)若函数/(%)在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数悬,%£(0.

(1)当a=1时，讨论/(%)的单调性;

(2)若f(%)+sinx<0,求a的取值范围.

3.(2023•北京・统考高考真题)设函数/(%)=%-％303+匕，曲线y=/(%)在点(1/(1))处的切线方程为丫=

—X+1.

(1)求Q,b的值；

(2)设函数g(%)=广(%),求g(%)的单调区间;

(3)求/(%)的极值点个数.

4.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃久)=G+a)ln(l+x).

(1)当a=-1时，求曲线y=f(久)在点处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线丫=/G)关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

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(3)若外久)在(0,+8)存在极值，求。的取值范围.

5.(2023•天津•统考高考真题)已知函数f(x)=g+j)ln(x+l).

(1)求曲线y=/(%)在％=2处切线的斜率；

(2)当％〉0时，证明：/(%)>1；

(3)证明：|<ln(n!)_+|)ln(n)+n<1.

6.(2023•全国统考高考真题)已知函数/(%)=a(e%+a)—%.

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)证明：当a>0时，/(%)>21na+1.

7.(2023•全国•统考高考真题)(1)证明：当0<%<1时，x—x2<sinx<x；

(2)已知函数/(%)=cosa%-ln(l-若％=0是/(%)的极大值点，求。的取值范围.

8.(2022•天津・统考高考真题)已知a,bER,函数/(%)=靖—asin%,g(%)=力日

⑴求函数y=/(%)在(0/(0))处的切线方程；

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(2)若y=/(%)和y=g(%)有公共点,

(i)当。=0时，求b的取值范围；

(ii)求证：M+庐〉e.

9.(2022•全国•统考高考真题)已知函数f(x)=ax-1―(a+l)lnx.

(1)当a=0时，求/(%)的最大值；

⑵若/(%)恰有一个零点，求a的取值范围.

10.(2022.北京・统考高考真题)已知函数"%)=e%ln(l+%).

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(%)=尸(%),讨论函数g(%)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明:对任意的s3E(0,+8),有/(s+t)>/(s)+/Q

11.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(%)=：-In%+%-a.

(1)若f(%)N0,求。的取值范围；

(2)证明:若f(%)有两个零点%则久1%2VL

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12.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/'(久)=ex—ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(久)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

参考答案

►举一反三

【题型1函数的切线问题】

【例1】(2023・河南・统考模拟预测)已知函数f(%)=a(ex-1)-In%.

(1)当。=1时，求/(%)的图象在点(1厅(1))处的切线方程；

(2)当a>1时，证明：/(%)>sin%.

【解题思路】(1)分别求出再利用直线的点斜式方程即可求解；

(2)利用作差法并构造函数g(%)=e%-1一In%-sin%,并利用二次导数求出g(%)min>。恒成立，即可求

解.

【解答过程】(1)当。=1时，/(x)=ex-1-Inx,则尸(%)=/-q

所以尸(l)=e—l,又因为/(l)=e—l,

故所求切线方程为y-(e-1)=(e-1)(%-1),即y=(e-l)x.

(2)因为f(%)的定义域是(0,+8),

所以当a>1时，/(x)—sinx=a(ex—1)—In%—sinx>ex-1—Inx—sinx

设9(%)=ex—1—Inx—sinx,则g'(%)=ex——cos%,

设九(%)=g'(%)=ex——cos%,则//(%)=e%+妥+sinx>0在(0,+8)上恒成立，

所以九(%)在(0,+8)上是增函数，则九©=es—3—cos|<0,

又因为h0=M—£—sin：,因为e71>2.73>16=23所以e2>2,

又因为士+sin^v士+丝4L984V2,所以h偿)>0,

TT43.142\47

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所以h(x)在G，g上存在唯一零点Xo，也是％(X)在(0,+8)上的唯一零点,

所以/i(%o)=ex°———cos%=0,BPex°=—+cosx,

x0xo00

当0<%<而时，grM<0,g(%)在(0,g)上单调递减,

当%>%o时，“(%)>0,g(%)在(久°,+8)上单调递增，

x

所以g(%)min=9(%o)—e°—lnx0—1—sinx0=—+cosx0—lnx0—1—sinx0

由于0<&V工，所以三>1,lnx0<0,cosx0>sinx0,

4XQ

所以g(%)min=g(、o)>o，所以g(%)>o,

所以当a>1时,/(x)—sin%>0,即/(%)>sin%成立.

【变式1-1](2023・四川雅安・统考一模)已知函数/(%)=aex+bx+c在%=ln2时有极小值.曲线y=/(%)在

点(0，/(。))处的切线方程为汽+y=0.

(1)求见仇c的值；

(2)若对任意实数%,/(%)>(e-2)%+6恒成立，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)对函数求导，利用在久=比2时有极小值和在点(0,/(0))处的切线方程，即可求出a,仇c的

值；

(2)将函数代入不等式并分离参数，转化成e%-ex-1>僧对任意实数久恒成立问题，构造函数g(%)=留-

ex-l(%E/?),通过讨论新函数的单调性，求出新函数的取值范围，进而得出实数m的取值范围.

【解答过程】(1)由题意，XER,

在/(%)=ae*+b%+c中，((%)=aex+b,

在％=ln2时有极小值.曲线y=/(久)在点(0,/(0))处的切线方程为％+y=0.

(/(0)=。a+c=0a=1

"'(0)=—1即a+》=—1,b=-2

tf(ln2)=0(2a+b=0、c=-1

:./(%)=ex—2%—1,/'(%)=ex—2,

当%>ln2时，/'(%)>0,/(%)在(ln2,+8)上单调递增.

当x<ln2时,/'(%)<0)(<在(一8,ln2)上单调递减.

当％=ln2时，/'(%)=0)(%)在%=ln2时有极小值.

故a=l,b=—2,c=-1符合题意，即为所求.

(2)由题意及(1)得，xER,

在/(%)=ae，+b%+c中，/(%)>(e—2)x+m,即e*—ex—1>ni对任意实数%恒成立,

第19页共91页

设g(%)=ex-ex—1(%GR),则“(%)=ex-e.

当久>1时，ex-e>0,贝！]“(%)>0,故g(%)在(1,+8)上单调递增；

当久<1时，ex-e<0,贝！Jg'O)<0,故g(x)在(一8,1)上单调递减；

当％=1时，ex—e=0,则"(%)=0,

故第=1时g(x)有极小值，也就是g(%)的最小值g(l)=-1,

故m<-1即为所求.

【变式1-2](2023•广东・东莞市校联考一模)函数f(x)=|+Inx在x=4处的切线方程为y=h(x).

⑴求八(久)；

(2)已知过(a,6)可作/(久)的三条切线，证明：h(a)<b</(a).

【解题思路】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)先求出过(a,b)的切线方程，根据过(a,b)可作三条切线，得到所证不等式.

【解答过程】⑴f(x)的定义域(0,+8),尸(%)=_/+"号,

所以r(4)=工，且f(4)=2+In4=^+21n2,

则/(%)在久=4处的切线方程为y-i-21n2=久久一4),

即h(%)=，％+21n2.

(2)设切点QG，|+lnt),又/«)=詈

则切线方程为y-(|+1nt)=(%—t),

又过点(a,b),

所以b-+Int)=詈(a—t),

即b=(|+In。+詈(a-t),

即b=；+Int+a-1，

令g(t)=(+Int+~ra-LtW(0,+8),

则"(t)=/+"*，

4ty一t+4产一(4+ct)t+4a

=T+F-l-------o-CL=----------------

第20页共91页

_(I)仕一a)

一t3，

因为te(0,+8),且：<a<l,所以g(t)在区间(0,a)单调递增，在区间(a,4)单调递减，在区间(4,+8)单

调递增，

且g(e-5)=4e5—5+~—^a—1=e5(4+a—2ae5)—6<0<g(4)=：+ln4+-1=g+21n2,

力趋向+8时g(t)趋向于+8.

又因为过(a,b)可作/(%)的三条切线，所以b与g(t)有三个公共点,

所以g(4)<b<g(a),

又g(4)=2+ln4+=a—1=2+21n2>0,

4168

根据(1)/i(x)=-x+21n2,所以(4)=-+21n2=/i(a),

88

又g(a)=—+InaH—a—1=~+Inn:=f(n),

所以h(a)<b</(a).

【变式1-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-([a—1)/一2x++1.

(1)当a=4时，求/(x)的极值及曲线y=/O)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若函数/(%)有两个零点，求实数。的取值范围.

【解题思路】(1)求导得到单调区间，计算极值，再计算切线方程得到答案.

(2)求导得到导函数，确定/''(1)=0,考虑a22,1<a<2,a=1,0<a<1,aW0几种情况，根据

函数的极值结合零点存在定理计算得到答案.

【解答过程】(1)当a=4时，/(x)=41nx—x2—2x+3,xG(0,+oo),

则尸(x)=i-2x-2=-2(X-：)(X+2),

令尸(%)>0,得0<x<1；令尸(x)<0,得x>l,

/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故f(x)在x=1处取得极大值f(l)=0,无极小值，

/(1)=0,r(1)=0,故曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=0.

(2)尸(%)=^-(a-2)x-2=G(0,+oo),-1)-2+|a+1=0,/'(l)=

0.

①当a>2时，（2—a）x—a<0,

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当0<%<1时，/'(%)>0,/(%)单调递增；

当%>1.时,广(%)<0,/(%)单调递减，

所以/(%)</(1)=0,则/(第)只有一个零点，不符合题意，舍去.

②当1<a<2时，上>1,r(X)=-a)(T)=),

2—ax

令/(%)>0,得X6(0,1)U(三^,+8);令广(%)<0,得XE

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,七)上单调递减，在(士,+8)上单调递增.

因为f(1)=0,所以f(士)<0,取久1>1且%>匕，

贝(If(X】)—alnX]一(act一])一2x1+&a+l—|(1——a)一21x1+alnx1+鼻a+1>[(1——a)—---

%1i+dlnx+-a+11=dlnx+-a+1>0,

111

所以「(E)"(/)<o.因为/(%)在(£,+8)上单调递增，

所以由零点存在定理，得存在唯一与e(士,+8),使得f(%o)=o,

又f(i)=o,此时，函数久支)有两个零点，符合题意.

③当a=1时，/(x)=巨F>0,/(x)在(0,+8)上单调递增，

则f(x)只有一个零点，不符合题意，舍去.

④当0<a<l时，0<，-<1,f鼠x)=Qa)、F)(xT),

2-a)x

令尸(x)>0,得xe(0,士)u(l,+8)；令/(x)<0,得

所以f(x)在(0,士)上单调递增，在(士,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增.

因为f(l)=0,所以/((J>o,且当％>1时，f(x)>0,无零点，

--

取0<x2<eF且久2<f(ef=alnea-(2a-1)(ef—2e«+|a+l<—2+1—|a—2e~a+

—a+1

2

_2

=—2e-a<0,

则/(犯)<0,所以/3)"(£)<0.因为/0)在(o，E)上单调递增，

所以由零点存在定理，可得存在唯一叼e(0,£)，使得f(%3)=。，

第22页共91页

又/(1)=0,此时，函数f(x)有两个零点，符合题意.

⑤当a<0时，(2—a)(%—7^)>0，

当0<%Vl时，型(%)V0,/(%)单调递减;

当％>1时,//(%)>0,/(%)单调递增，

所以/(%)之/(1)=0,则/(%)只有一个零点，不符合题意，舍去.

综上所述：实数a的取值范围为(0,1)U(l,2).

【题型2(含参)函数的单调性问题】

【例2】(2023•海南•校联考模拟预测)已知函数/(%)=x\nx-ax2.

(1)当a=1时，讨论函数f(%)的单调性；

(2)若不等式/(%)>aex+(1-a)x2一%恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)当a=1时，对/(%)求导，令m(%)=/'(%)=Inx+1—2x,x>0,讨论W(%)与0的大小可

得即尸(%)V0,即可得出函数/*(%)的单调性;

(2)由题意可得。<"nq+'在(0,+8)上恒成立,设九(%)=汨+",%e(0,4-00),只需Q</l(x)min,求

解即可得出答案.

【解答过程】(1)当a=l时，/(%)=xlnx—x2,x>0,所以((%)=In%+1—2%,

令m(%)=/'(%)=Inx+1—2x,x>0,

可得nfQ)=(-2=詈，

当工€(0，)时，m'(%)>0,TH(%)单调递增；

当汽G(日,+8)时，m'^x)<O,rn(x)单调递减，

所以当％=决寸，m(%)取得极大值，也为最大值，且=呜+1-1=ln|<0,

所以/(%)<0,所以/(%)在(0,+8)上单调递减.

(2)由/(%)>aex+(1—a)x2—x,得ae*<xlnx—%2+%,

即。<小舍在8)上恒成立.

ex

令&q*,xe(o,+8),可得"(x)="卢也，

ee

令夕(%)=x—2—Inx,可得"(%)=1—^=

令(p'(x)>0,可得久>1；

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令"(%)<0,可得0<%<1,

所以9(%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,

又@(e-3)=e-3—2—Ine-3=e-3+1>0,

(Z?(l)=l-2-lnl=-l<0/

0(4)=4—2—ln4=2-21n2>0,

所以在(ei3,1)中存在唯一的%1使得0(%i)=0,

在(L4)中存在唯一的犯使得0(%2)=0,

即有％1—2—lnx1=0,x2—2—lnx2=。.

因为9(%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,

所以当0<%V%i时，@(%)>0；当％1<%<1时，(/?(%)<0；

当1V%<%2时，0(%)<0；当%>%2时，0(%)>0.

(x-l)(x-2-lnx)

又八'(X)=空照2x〉o,

一ex

所以当0<x<%］时，九'(工)<0；当<x<1时，九'(%)>0；

当1<%<x2时，h'(x)<0;当x>%2时，h'(x)>0,

所以h(x)在(O,X1)单调递减，在(均,1)单调递增,

在(1,叼)单调递减，在(电,+8)单调递增,

所以xe(0,1)时，h(x)的极小值为

x1lnx1一好+

九区)=e%i

xE(1,+8)时，九(久)的极小值为

xlnx一据+%2

心2)=22

eX2

因为％1—2—In%!=0,x2—2—lnx2=。，

可得％1—In%1=2,%2一1n%2=2,所以e%ITn%i=e2fex2-lnx2=已2,

即也e%2_e2,所以言=^=e-2

X1X2

代入In/=/-2和ln%2=x2-2,

xx-2-x

则有h(%i)=i(i)i+xi_xi

同理可得h(%2)=-e-2

所以九(%1)=九(%2)，

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所以％COmin=-e-2=-9，

所以a<—己，即实数a的取值范围为(—8,—

【变式2-1](2023•黑龙江•校联考模拟预测)已知函数/(久)=xe，,x6R.

(1)求函数/(久)=久於单调区间；

(2)若过点P(l,t)(teR)可以作曲线y=f(x)的3条切线，求实数t的取值范围.

【解题思路】(1)求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；

(2)设切点坐标为(Xo，M))，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程t=e&(-/+x°+1)有三个不

等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数、=。,=眇。(-就+殉+1)图像的交点问题，利用导数

判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.

【解答过程】(1)函数/'(x)的定义域为R,f'(x)=ex+xex=ez(x+1),

令尸(久)>0,解得x>-l,所以函数人支)的单调递增区间是(一1,+8)；

令/(x)<0,解得％<-1,所以函数/(%)的单调递减区间是(—8,-1)

(2)由题意可得叶(x)=G+l)e%

设切点坐标为(久o,%)，则切线斜率k=(x0+1)•眇。，

Xo

所以切线方程为y-久06&=(x0+1)-e(x-x0),

x

将P(l,t)代入得t=e°(-%o+x0+1)-

因为存在三条切线，即方程t=留。(-就+%0+1)有三个不等实数根，

xx

方程t=e°(-%o+x0+1)有三个不等实数根等价于函数y=t,y=e°(-%Q+x0+1)的图像有三个交点，

设g(x)=(-x2+x+l)ez,则g'(x)=-(x-1)(%+2)ex,

当x£(一2,1)时，g'M>0,g(x)在(―2,1)上单调递增；

在(一8,-2)和(1,+8)上，g，(久)<0,gO)在(-8,-2)和(1,+8)上单调递减，

9(-2)=-5，g⑴=e；

当X<三更或刀>苫^时，g(x)<0,与画<久<时，g{x~)>0,

当-8时，g(x)70；当x—+8时，g(%)--8,

画出g(x)=(-x2+x+l)e*的图象如图，

第25页共91页

要使函数y=t,y=ex°(-%o+%o+1)的图像有三个交点，需g(2)<t<0,

即—即实数t的取值范围(—go).

ez\ez/

【变式2-2](2023•四川成都•统考一模)已知函数f(x)=2eX—a；c,aeR

⑴讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a=e时，求证：/(%)>e(l—cosx).

【解题思路】(1)求导，然后分aW0和a>0讨论分别求单调性；

(2)当久<0时，通过证明x+1—cosx<0可得结论；当x>0时，转化为证明2e*T—2x>1—cosx—x,

不等式两边分别构造函数，求出函数最值即可得结论.

【解答过程】(1)由已知尸0)=2e，—a,

当aW0时，/(x)>0恒成立，函数/'(%)在R上单调递增；

当a>0时，若尸(x)>0,得x>呜，函数/(%)单调递增，

若尸(久)<0,得x<ln|,函数f(x)单调递减；

综上所述：当aWO,函数/O)在R上单调递增，

当a>0时，函数f(x)在。吟+8)单调递增，在(-8,呜)单调递减；

(2)由。=e,f(x)>e(l—cosx)得2e“—ex>e(l—cosx),

即证2e%T>%+1—cosx,

①当》<0时，设函数k(久)=%+1—cosx,

则/(%)=1+sinx>0,/c(%)在(―8,0]上单调递增,

所以k(%)<fc(0)=0

所以2e%—i>0>%+1—cos%成立；

②当第>0时，要证2e*T>x4-1—cos%成立，

即证2e*T—2%>1—cosx—x

设函数九(%)=2ex~1—2x,x>0,

第26页共91页

则(%)=2ex-1—2,

当血(久)VO时,0<%<1,函数八(%)单调递减,

当"(%)>0时，%>1,函数h(%)单调递增，

所以M%)>h(l)=2e0-2=0,即2e%T-2x>0,

设g(x)=1—cosx—x,%>0

则g'(%)=sin%-1<0,g(%)在(0,+8)上单调递减，

所以g(%)