高考数学二轮复习专练：解三角形（面积问题）原卷版+解析版

解三角形面积问题问题

（含定值，最值，范围问题））（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求三角形面积（定值问题）......................2

题型二：求三角形面积（最值问题）......................3

题型三：求三角形面积（范围问题）......................5

题型四：四边形中面积问题..............................7

三、专项训练............................................9

一、必备秘籍

基本公式1、正弦定理及其变形

ab

=2R（7?为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinC

(1)a=2RsmA,b=2RsmB9c=2RsmC(边化角公式)

(2)sin4=2,sin5二—9sinC=—(角化边公式)

27?2R27?

(3)a:b:c=smA:smB:sinC

基本公式2、余弦定理及其推论

,b2+c2-a2

cosA=-------------

2bc

a1=b2+c2-2bccosA

a2+c2-b1

b2-a1+C1-laccosBcosB=-------------

lac

c?—a?+b?—2cibcosC122

「a+b-c

cosC=-------------

lab

基本公式3、常用的三角形面积公式

(2)=—absinC=—bcsinA=—casinB(两边夹一角)；

核心秘籍1、基本不等式

①而3

2

②a1+按22ab

核心秘籍2：利用正弦定理化角(如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围)

利用正弦定理a=2RsinZ,b=2Rsin8,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根

据角的取值范围，求面积的取值范围.

二、典型题型

题型一：求三角形面积(定值问题)

1.(23-24高二下•福建福州•期中)在AA8C中，内角42,C所对的边分别为a,b,c,且满足

a~+b——ab—/•

(1)求角C的大小；

(2)若方=2,c=2bcos8,求的面积.

2.(2024•北京丰台•二模)已知满足GsiM+cos/=2.

(1)求A；

(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求

的面积.

条件①："6=2；条件②：cos8=噌；条件③：c=8.

3.（2024•北京西城•一模）在"8。中，atanB-2bsmA.

（1）求N8的大小；

（2）若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为己知，使“8C存在，求一3C的面积.

条件①：3c边上中线的长为亚；

2

条件②：cos/=-§；

条件③：6=7.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

4.（2024•全国•模拟预测）在“3C中，内角4瓦。的对边分别为6,。，已知

（a-6）cosC=sin（C-S）,且^ABC外接圆的面积为无.

⑴求C.

TT

（2）若1-8=5，求”8C的面积.

题型二：求三角形面积（最值问题）

1.（23-24高一下•浙江•期中）已知的内角4及C所对的边分别为6,c且

m=卜0,百（：05/）与〃=何11。,<?）垂直.

⑴求A大小；

（2）若8c边上的中线长为亘，求。3c的面积的最大值.

2

2.（23-24高三下•全国•阶段练习）A48C中，a,b,c分别为角4B,C的对边，且

sinB+sinC=V3sinAsinC+sinAcosC.

⑴求4

⑵若a+2K=b+c，求"2C的面积S的最小值.

3.(23-24高二下•辽宁本溪•开学考试)在①(a-c)sin(/+8)=(a-6)(sin/+sinB)；

②2S=C虱锭;®bcosC=a-—csmB;这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

'〜3

中，并解答问题(其中S为。8C的面积).

问题：在“8C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且______.

⑴求角B的大小；

(2)/C边上的中线RD=啦，求"3C的面积的最大值.

4.(23-24高一下•上海•阶段练习)AABC的内角4C的对边分别为a,b,c,若2加iM=atanS；

⑴求8;

(2)若a+c=2b,试判断“BC的形状.

(3)若b=5，求”3C的面积的最大值.

5.（23-24高二上•云南•期末）在。8C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且满

足6（6-ccos/）=asinC.

⑴求角C;

⑵若c=2,求"3C面积的最大值.

题型三：求三角形面积（范围问题）

1.（23-24高一下•广东•阶段练习）在锐角"3C中，内角A,B,C所对边分别为“，b,

（1）求角A；

（2）设是角A的平分线，与3C边交于。，若BD=5,CD=3,求b,c；

（3）若6=8,求。8c面积的取值范围.

2.（2024・四川德阳•二模）AABC的内角42,C的对边分别为a/,c,已知

siriS=26cos2"十°.

2

⑴求8;

（2）若“3C为锐角三角形，且c=l,求”3C面积的取值范围.

3.（2024-山西•一模）AABC中角48,C所对的边分别为a,b,c,其面积为S,且4S=〃+（?-/.

⑴求A；

（2）已知"=2后，求S的取值范围.

4.（23-24高二上•河北秦皇岛•开学考试）在锐角“3C中，角4,B,C的对边分别为a,

cosB+cosC_2siih4

b,c,若cos8+6sin5=2,

bcV3sinc

⑴求角B的大小和边长b的值;

（2）求“8C面积的取值范围.

5.（23-24高三上・湖南长沙•阶段练习）的内角/,B,C所对边分别为a,b,c,点

O为"BC的内心，记△OBC,MAC,QB的面积分别为豆，邑，邑，已知S；+S；-SR=国,

AB=2.

（1）在①acosC+ccos/l=l；②4sin5sirt4+cos2N=1；③~2cos/+12cos2=,中选一个

~sirk4sin5

作为条件，判断“3C是否存在，若存在，求出“Be的周长，若不存在，说明理由.（注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

⑵若“3C为锐角三角形，求“BC面积的取值范围.

题型四：四边形中面积问题

1.(23-24高三上•湖南•阶段练习)如图，在平面四边形4BCD中,

BCLCD,AB=BC=2,NABC=6*1200<6»<180°.

⑴若8=120。,3=6,求N4DC的大小;

(2)若2co.sing=8!C,求四边形48CD面积的最大值.

2.(22-23高一下•广西南宁・期末)请从①cos2C+cosC=0；

②sin2N+sin。5-sin2C-sinAsinB=0;③ccosB+(b-2a)cosC=0这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填

写到答题卡对应位置上).

⑴求角。的大小；

(2)若c=l,。为“8C的外接圆上的点，BA.BD=BA，求四边形/BCD面积的最大值.

3.（2023•云南保山•二模）如图，在平面四边形4BCD中，AB=1,BC=3,AD=CD=2.

⑴当四边形48co内接于圆。时，求角C；

⑵当四边形48co面积最大时，求对角线2D的长.

4.（22-23高三上•黑龙江牡丹江•期中）如图，在平面四边形48c。中，BC=1,CD=6,

且=BD=DA.

（1）若A8=G，求cosN/BC的值;

⑵求四边形N5CD面积的最大值.

5.（22-23高二上•陕西渭南•阶段练习）如图，已知圆。的半径为1,点C在直径的延长

线上，BC=\,点尸是圆。上半圆上的一个动点，以尸C为斜边做等腰直角三角形尸CD,且

。与圆心分别在尸C两侧.

AOBC

⑴若ZPOB=e,试将四边形OCD尸的面积》表示成。的函数;

（2）求四边形0co尸面积的最大值.

三、专项训练

1.（2024高三•全国•专题练习）在平面四边形中，已知C,。四点共圆，且

ZABD=ZCBD.

⑴求证：AD=CD；

（2）若4B=1,BC=2,BD=3,求四边形ABCD的面积.

2.(2024高三下•全国・专题练习)如图，已知平面四边形45co中，AB=BC=岳,CD=3,

AD=5.

(1)若A,B,C,。四点共圆，求AABC的面积;

(2)求四边形48co面积的最大值.

3.(23-24高一下,湖北•期中)在“BC中，角/C的对边分别是a,b,c,ftb2+c2-be=a2.

⑴求角A的大小；

(2)若6=2,sinC=1,求“BC的面积.

4.(2024高一下•江苏・专题练习)已知“BC的内角48,C所对的边分别为a,6,c,向量

m=(a,y/3b)与〃=(cosN,sin5)平行.

⑴求A；

⑵若a=V7,6=2,求AZ8C的面积.

5.(2024•全国•模拟预测)设“BC的内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足

2acosB+b=2c,a-5.

⑴求dBC的周长的取值范围；

(2)若“3C的内切圆半径厂=上，求AABC的面积S

6

6.(2023•广东•二模)如图，在平面内，四边形48co的对角线交点位于四边形内部，48=3,

BC=1,A/CD为正三角形，^ZABC=a.

(1)求ZC的取值范围；

(2)当a变化时，求四边形48cD面积的最大值.

7.(23-24高三上•广西柳州•阶段练习)如图某公园有一块直角三角形48c的空地，其中

TTTT

N4CB=-,NABC=-,/C长。千米，现要在空地上围出一块正三角形区域。EF建文化景观

26

区，其中。、E、F分别在8C、AC.43上.设NDEC=e.

(D若。=],求9斯的边长;

(2)求ADEF的边长最小值.

8.(2024・全国•模拟预测)记锐角三角形/3C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

已知bcosN=6-4cos8,2asinC=V3.

⑴求A.

(2)求ABC面积的取值范围.

9.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)在AA8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,

Gc+6sin/-y/hacosB-

⑴求A；

⑵若点。是3C上的点，4D平分/A4C,且40=2,求。8C面积的最小值.

10.(23-24高二上•黑龙江哈尔滨•开学考试)设AABC内角4B,。所对的边分别为a,b,

c,J!LacosC+—c=b.

2

(1)求角/的大小；

(2)若。=2,求锐角AASC的面积的取值范围.

解三角形面积问题问题

（含定值，最值，范围问题））（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求三角形面积（定值问题）......................2

题型二：求三角形面积（最值问题）......................3

题型三：求三角形面积（范围问题）......................5

题型四：四边形中面积问题..............................7

三、专项训练............................................9

一、必备秘籍

基本公式1、正弦定理及其变形

ab

=2R（7?为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinC

(1)a=2RsmA,b=2RsmB9c=2RsmC(边化角公式)

(2)sin4=2,sin5二—9sinC=—(角化边公式)

27?2R27?

(3)a:b:c=smA:smB:sinC

基本公式2、余弦定理及其推论

,b2+c2-a2

cosA=-------------

2bc

a1=b2+c2-2bccosA

a2+c2-b1

b2-a1+C1-laccosBcosB=-------------

lac

c?—a?+b?—2cibcosC122

「a+b-c

cosC=-------------

lab

基本公式3、常用的三角形面积公式

（1）SMBC=gx底X高；

（2）5根g=gabsinC=g3csin/=gcasinB（两边夹一角）；

核心秘籍1、基本不等式

①疝3

②a?+b222ab

核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）

利用正弦定理a=2RsinZ,b=2Rsin8,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根

据角的取值范围，求面积的取值范围.

二、典型题型

题型一：求三角形面积（定值问题）

1.（23-24高二下•福建福州•期中）在AA8C中，内角42,C所对的边分别为a,6,c,且满足

a~+b——ab—/.

（1）求角C的大小；

（2）若方=2,c=2bcos2,求的面积.

【答案】（呜

（2）273:V3

【分析】（1）由余弦定理求出即可.

（2）利用边角转化求出角B,进而由正弦定理求出。，最后求出三角形面积.

【详解】（1）在AABC中,由-。6=C2,贝。2+尸一c2=a6,

a2+b2-c2ab1

由余弦定理知:cosC=

2ab2ab2

因为。£（0,兀），所以。=（

（2）因为6=2,c=26cosB,所以cosB>0,即

由正弦定理sinC=2sin5cos8，

由C=V■,所以2sinBcosB,sin25=^~,

322

由Be[。,]],256（0,7：）,解得：28=1或22=1，

即3=2或

o3

①当3=工时，A=n-B-C=-,

62

b=2=

在中，由正弦定理」7=「；，所以"二+万=1=,

smAsin^―

所以SjBc=；a6sinC=2g；

②当B=1时，三角形为等边三角形，a=b=c=2,

S=-aZ>sinC=-x2x2x—=73.

"222

综上：当时，6；当3=W时'

2.（2024•北京丰台•二模）已知“8C满足忘iM+cos/=2.

（1）求A；

（2）若“BC满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求

“8C的面积.

条件①：a-b=2；条件②：cosB=9~；条件③：c=8.

【答案】（呜

⑵选①③，面积为io6，

【分析】⑴根据辅助角公式可得sin,+《]=l,即可求解』三,

3

（2）选择①②，根据正弦定理可得6=正。>。与。-6=2矛盾，即可求解，选择②③,

根据8$8=立<[,故8>:，a<b,这与。-6=2矛盾，即可求解，选择①③，根据余弦

1423

定理可得b=5,a=7,即可由面积公式求解.

【详解】⑴由gsiM+cos/=2得2sin]+R=2,所以/+*三+2en/=1+2祈,后eZ,

由于Ne（O,兀），所以/=5

（2）若选①〃-6=2,②cosB="

14

贝I」cosB=,:.Befo,']sinB“-cos-=

142J14

由正弦定理可得一==上=。色近多也nb=^a>a，这与〃-6=2矛盾，故不可以

sin/sin5142<7

选择①②，

若选①a-6=2,③c=8,

由余弦定理可得cos/=工二=82+〃一仙+2）2,解得6=5,。=7,

22bc16b

S05C=;bcsin/=:仓田8^^10*75,

选②③，

由于cos5=B0,—\

14I2；

又cosH=<L故B,

1423

而4=]，故Q<b,这与〃一6=2矛盾，因此不能选择②③

3.（2024•北京西城•一模）在。中，atSinB=2bsinA.

⑴求的大小；

（2）若己=8,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使力BC存在，求“3C的面积.

条件①：5C边上中线的长为亚；

2

条件②：cosA=--；

条件③：6=7.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

【答案】（1）/8=；

（2）答案见解析

【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；

（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样

的A^BC.

【详解】（1）由“taiR=2加iih4,得qsinS=26siih4cosB,

在一5。中，由正弦定理得siiL4sin5=2sirk4sirL5cos5,

因为sirU>0,sin5〉0,所以cosH=L

2

TT

又0</8〈兀，所以23=—；

3

（2）选条件①：3C边上中线的长为亚：

设8c边中点为连接贝!!/"=亚,8河=4,

在ANEW中，由余弦定理得/A/?=/笈+及欣2-2/斤创八858,

即21=Ag2+16-8/8-cos%

整理得痴-4/B-5=0，解得/8=5或43=-1（舍），

所以“3C的面积为黑龊=；W8Csin8=$5x8sin/=106,

选条件③：6=7：

在"BC中，由余弦定理得62=/+。2一2℃38,即72=8?+c2-16c-cos§,

整理得/-8c+15=0,解得c=3或c=5,

当c=3时，AABC的面积为Sabc=-acsinS=-x8x3sin—=6y/3.

223

当c=5时，AABC的面积为S）BC=；acsinZ?=^-x8x5sin；=10忑".

不可选条件②，理由如下：

若cos/=—y,故A为钝角,则silL4=Jl,

8V3

nl,asinB12vB,4322nn

则6=.,=—六=――,&=—>a2,即j心

sin/，555

T

其与A为钝角矛盾，故不存在这样的小5C.

4.（2024•全国•模拟预测）在中，内角的对边分别为。也c,已知

（tz-Zj）cosC=sin（C-5）,且AZSC外接圆的面积为兀.

⑴求

TT

（2）若=求28C的面积.

【答案】（1）C=；

（2）立

4

【分析】（1）由已知结合正弦定理、“3C外接圆的半径以及两角和差的正弦公式求得结

果；

（2）先求得48,结合“BC的面积公式以及二倍角公式求得结果.

【详解】（]）由于A/L8C外接圆的面积为兀，故28C外接圆的半径为1.

由正弦定理，得，一=±=2R=2,则a=2sin46=2sin§.

sirUsinB

又（q_b）cosC=sin（C—B）,

所以2siiL4cosc-2sinBcosC=sinCcosfi-cosCsinB，

贝U2siib4cosC=sinCcosS+cosCsinS=sin（B+C）=sin（兀-Z）=siib4.

因为力£（0,兀），所以sirUwO,所以cosC=；.

又。€（0,兀），所以c=1；

（2）由C=火，^A+B=—,

33

结合4一8=—,得4=必,5=2，且sirUusinl'+B]=cos5.

2121212J

由（1）知〃=2sin46=2sin^,所以&45C的面积

S=—absinC=—•2siih4-2sinS-=VisingsinS=V3cos5sin5=sin23=•

22224

题型二：求三角形面积（最值问题）

1.（23-24高一下•浙江•期中）已知“5C的内角4伉。所对的边分别为。也。且

m=卜〃,JJcosZ）与〃=（sinC,c）垂直.

⑴求A大小；

⑵若8C边上的中线长为叵，求“3C的面积的最大值.

2

【答案】（1）/=5；

⑵苧

【分析】(1)利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果;

(2)利用余弦定理与5C边上的中线有cos//Z)C+cos/4O5=0进行化简，在利用基本不

等式即可得到结果.

【详解】(])因为而=(-a,y/3cosA^,n=(sinC,c)垂直,

所以成•力=

由正弦定理，得一sirUsinC+J§sinCcosZ=0，因为sinCw0,

所以tag=6，/e(0,兀)，

所以/=。.

(2)设3c边上的中线为4D,

2-Thecos/，

^a2=b2+c2-bc®.

在/\ADC和"DB中，cos/.ADC+cos/ADB=0,

所以包3上亚也^=0,

2ADxCD2ADxBD

即2⑷2+5)=6*2,CD=^a,AD2=y

711

化简得5+V+/

代入①式得，b2+(?+bc=21,

由基本不等式62+C2+6C=21N36C,

•••l>bc,当且仅当6=c=g取到"="；

所以。的面积最大值为S=,灰豆!!/=L7•3=拽

2224

2.(23-24高三下•全国•阶段练习)△NBC中，a,b,c分别为角1,B,C的对边，且

sinB+sinC=\I3sinAsinC+sinAcosC■

⑴求4

⑵若a+2K=b+c，求A48C的面积S的最小值.

【答案】(呜；

(2)373.

【分析】(1)结合已知条件，先利用sin8=sin(/+C)进行化简，再利用二倍角公式即可求

tan—,从而可求A；

2

(2)结合三角形面积公式S=；6csin/、基本不等式、余弦定理即可得到答案.

【详解】(1)由题意可得sin8+sinC=sin4sinC+sin4cosC，

因为sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以cosZsinC+sinC=百sin4sinC-

因为sinC>0,所以cosZ+1=gsin力，

即2cos2—=2^3sin—cos—,

222

因为o<4<3，

22

A

所以cos—〉0,

2

所以cos—=A^"sin—,

22

所以tand*=，

23

—rzn4兀

可得57，

即4g

(2)由(1)知/=：；且a+2百=b+c,

由余弦定理得/=(6+C-2A/3)2=b2+c2-be,

整理得36c+12=4瓜b+c)>8。痴，

解得6c212或历(当bc4±时，三一空,故舍去)，(当且仅当a=6=c=2行时取

333

等号).

从而S=—besmA>—xl2x^-=3V3,

222

即△4BC面积S的最小值为3内.

3.(23-24高二下•辽宁本溪•开学考试)在①(a-c)sin(/+8)=("6)(sin/+sinB)；

@2S=y/3BA-BC-,@bcosC=a--csinB;这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

〜〜3

中，并解答问题(其中S为“BC的面积).

问题：在“8C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且______.

⑴求角B的大小；

(2)/C边上的中线80=啦，求"3C的面积的最大值.

【答案】(呜

⑵巫

3

【分析】(1)若选①：根据正弦定理，化简得到c2+a2-b2=ac,再由余弦定理得到cos5二；,

即可求解；

若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到acsin8=Recos8,

得至lJtanB=^,即可求解；

若选③：由正弦定理化简可得至UsinCcosB-X^sinCsinB=0,求得tan3=8,即可求解.

3

Q

(2)根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到caV：,结合面积公式，即可求解.

【详解】(1)解：若选①：在AA8C中，因为sin(/+B)=sin(7t-C)=sinC,

由(a-c)sin(Z+8)=(a-6)(sin4+sin3),

可得(a-c)sinC=(a-6)(sin/+sinB),

由正弦定理得c("c)=("6)(a+6),即c2+a2-b2=ac，

222

uiilDc+^~betc1

2ac2ac2

又因为0<8<兀，故3=；.

若选②：由2s=6•瓦M，可得acsin8=Gccos8,所以tan8="，

7T

因为0<5<兀，所以8=

若选③：因为bcosC=QcsinB,

3

旧

正弦定理得sin5cosC=sin/------sinCsin5,

3

又因为Z=—(B+C),所以sin5cosc=sin(5+C)———sinCsin5,

即sinCcosB------sinCsin5=0，

3

因为0<C<n,sinCwO,所以tan8=G，

又因为。<8〈兀，可得3=］；

综上所述：选择①②③，都有3号

LlUUlUULUUUL_I--------.|2

（2）解：由+可得48。=。2+〃2+2cqcos5,

所以8=02+〃+&239,可得当且仅当c=辿时取等号，

33

则S^ABC=；casin3=~^~ca<~~，当且仅当c=a=~~时取等号，

则的面积的最大值为亚.

3

4.（23-24高一下■上海•阶段练习）AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若2bsin4=atan£；

⑴求5

⑵若a+c=2b,试判断“BC的形状.

⑶若方=近，求”8C的面积的最大值.

【答案】（1）3=三

（2）23。为等边三角形

⑶述

4

【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；

（2）根据题意结合余弦定理分析求解；

（3）根据题意利用基本不等式可得acW7,代入面积公式运算求解.

sin/fsinri

【详解】（1）因为2加i*=ataiB,由正弦定理可得2sin5siiL4=sin/tanB=-------------,

cos5

因为43£（0,兀），则sinZ>0,sinB〉0,可得2=—-—,

cosB

即COSgnL,所以3

23

（2）由（1）可知：5=1,

由余弦定理可得：b2=a2+c2-laccosB=a2+c2-ac

又因为a+c=2b,即6=*,

可得|等[=/+'2一公，整理得(q-c)2=0,即“=c,

所以为等边三角形.

(3)由(2)可知：b2=a1+c1-ac>ac1即ac(7,

当且仅当。=°=不时，等号成立，

所以“3C的面积的最大值为二7、3=友.

224

5.(23-24高二上•云南•期末)在AABC中，角A、8、。所对的边分别为。、b、c,且满

足途e-ccos/)=asinC.

⑴求角C;

(2)若c=2,求“3C面积的最大值.

【答案】(1)C=。

(2)73

【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出tanC的值，结合角C的取值范

围可得出角C的值；

(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得仍的最大值，再结合三角形的面积公式可求得

面积的最大值.

【详解】(1)解：因为6伍-ccos/)=asinC,

由正弦定理可得sin/sinC=6(sin8-sinCeos/)=式忖11(4+C)-cos/sinC]

因为A、Ce(0,7i),则sin/>0,可得sinC=GcosC>0，

所以，tanC=A/3，故。.

(2)解：由余弦定理可得4=c?=a?+〃_246cosc="2+6?2,

当且仅当a=6=2时，等号成立，

故S&ABC=gabsinC=^-abV亨x4=V3，

因此，“3C面积的最大值为百.

题型三：求三角形面积(范围问题)

1.(23-24高一下•广东•阶段练习)在锐角”3C中，内角A,B,C所对边分别为。，b,

2b—c

cosC=

2a

⑴求角A；

(2)设4D是角A的平分线，与8c边交于。，若BD=5,CD=3,求b,c；

⑶若6=8,求面积的取值范围.

【答案】(1)/=5；

224M40M

⑵b=-----,c=------;

1919

(3)(8A/3,32V3).

【分析】(1)法一：利用余弦定理得到y+C2-/=A，再由余弦定理计算可得；法二：

利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；

(2)利用正弦定理及角平分线的性质得到/=黑=g,设c=5x,b=3x(x>0),再在^ABC

中利用余弦定理求出x,即可得解；

(3)首先得到其加°=26c,利用正弦定理得到C=MC=S5+4,再根据8的范围及

sin5tan5

正切函数的性质计算可得.

【详解】(1)法一：在锐角中，cosC=今上，

2a

由余弦定理得名+"一c’=啰二土,化简得〃+c2-a2=6c,

2ab2a

可得cos/=〃+£-“2=；，又0<4<:得4

2bc223

法二：在锐角“3C中，cosC=3F，由正弦定理得cosC=2-smC,

2。2sinA

即2sin/cosC=2sin3-sinC=2sin(/+C)-sinC=2(sin^4cosC+cossinC)-sinC,

可得2cos/sinC-sinC=0,

ir17rTT

又0<C<5，sinC>0>cosA=—f0<A<—,得力=§.

BDAB

(2)在中，由正弦定理有

sinZBADsinNBDA

CDAC

在△ZCZ)中，由正弦定理有

sin/CADsmZCDA

因为40是角A的平分线，i^sinZBAD=sinZCAD,

又/BDA+/CDA=n,sinABDA=sinZCDA,

所以3岁5

bACCD3

设c=5x,Z?=3x(x>0),

在人4BC中，由余弦定理，有cos巴=一+士7=9厂+25尤“一（5+3）一,

322be2-3x-5x

解得一=兽，所以（负值舍去），

1919

所以6=处攸，c=。

1919

(3)因为5/”=-bcsmA='创8c—=26c,

“Be222

由正弦定理上-

sin5sinC

Md

812—cosB+—2sinB

bsinC逆+4,

c=------7

sin8sin5sin8tan5

在锐角AA8C中，0<8<女，0<C<^,8+C=?,

223

即［2兀］兀,可得

贝!I有tan_B>且，0<—<V3,0<<12，4<+4<16,

3tanBtanBtanB

即ce（4,16）,得S/Bc=2Gce（班,326），

所以“3C面积的取值范围为36,326）.

2.（2024・四川德阳•二模）AA8C的内角4SC的对边分别为a,6,c,已知

2

sin8=2>/3cos/十°.

2

⑴求3;

（2）若“3C为锐角三角形，且c=l,求”3C面积的取值范围.

【答案】⑴］

⑵(3四〕

3，2J

【分析】（］）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得tanO=3,即

23

可求得答案；

（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用"8C为锐角三角形,

求出角C的范围，即可求得。的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.

【详解】（1）因为AABC中，sinS=2瓜os2gC,即

2sin-cos-=273cos*2=2拒sin2-,

2222

而0<8<7i,/.sin—>0,故cosO=V3sin—,

222

故tan—=，J40<J8<7t,0<—<一>

2322

eB71八71

贝=7，J5=—

263

(2)由(1)以及题设可得S4ZBC=L〃csin5=史~〃;

LXAJjl.-24

.(2兀)(.2712兀.)

csin------Cc\sin-cosC-cos-sinC

由正弦定理得csin/(3人I33J

a=--------

sinCsinCsinC

V3入1.「

——cosC+—sinC出1,

二22

sinC2tanC2

因为。8c为锐角三角形，0</<f,0<C<p

^0<--C<-,/.-<C<-,

3262

则tanC>且,0<^—<6,则L"+'<2,

3tanC22tanC2

即!<a<2,则无<S」BC<走，

282

即面积的取值范围为三，一.

I82J

3.（2024•山西•一模）AABC中角43,C所对的边分别为a,b,c,其面积为S,且4s=/+<?-1?.

⑴求A；

（2）已知°=20，求S的取值范围.

【答案】（D/=：

（2）0<5'<2V2+2

【分析】

JT

（1）

根据面积公式以及余弦定理即可求解tan"=l，进而可求解/=r

（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.

【详解】（1）

因为三角形的面积为4S=〃+c2-a2=4x-bcsinA,

TT

所以tan/=l,又/e(0/),贝!]/=：；

(2)由于cosA=b*'-—=,所以+c2-8='j2bc>2bc-8,

2bc2

即(2-血)bcV8nbeV8+4^,6=c取等号,

故S=4csin/=-x—be4区隹+4也、2瓜2,

22222、厂

故0<SV20+2

4.（23-24高二上•河北秦皇岛•开学考试）在锐角中，角4,B,C的对边分别为0,

cosB

------c-o-1-s-C------2-si-i-b-4-----

⑴求角B的大小和边长b的值;

（2）求“3C面积的取值范围.

【答案】⑴吟y

【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin=1,结合3为锐角，可

得2的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解6的值.

（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求

S.ABC=—sm（2A-^}+^,由题意可求范围工<24-色〈型，利用正弦函数的性质即可

8（6）16666

求解其范围.

【详解】（1）,**cosB+VJsinB=2,**•—cos5+——sin5=1,

2