高考数学二轮复习专练：数列新定义问题（原卷版+解析版）

数列新定义问题(典型题型归类训练)

1.(2024•甘肃定西•一模)在〃个数码1,2,…,”(〃eN,"N2)构成的一个排列//…4中，若

一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如心＞工，则人与构

成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为7(//…%)，例如，

7(312)=2,

⑴计算7(51243)；

⑵设数列｛%｝满足=。“1(51243)-7(3412)吗=2,求｛g｝的通项公式；

⑶设排列jJi---jn(«©N,n22)满足

j；=M+1-Z(Z=1,2,---,/I),Z＞„=7)Sn=齐＞…+J，求S.，

2.(2024高三下•全国・专题练习)若数列｛%｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，

则称｛%｝为"等比源数列

⑴已知数列｛%｝为4,3,1,2,数列也｝为1,2,6,24,分别判断｛%｝,｛4｝是否为"等比

源数列”，并说明理由；

(2)已知数列｛c„｝的通项公式为g=2"T+1,判断｛c“｝是否为"等比源数列”，并说明理由；

3.（23-24高二下•吉林四平•阶段练习）在数列｛%｝中，若存在常数f,使得。用=%的%…％+1

（〃wN*）恒成立，则称数列｛4｝为"〃⑺数列

⑴判断数列1,2,3,7,43是否为"〃⑴数列"；

（2）若。“=1+工，试判断数列匕,｝是否为"H⑺数列"，请说明理由；

n

⑶若数列｛%｝为“〃⑺数列"，且%=2,数列也｝为等比数列，满足%；=矶+/鸣»7求

Z=1

数列也｝的通项公式和f的值.

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）给定数列｛%｝,称｛%+「4｝为｛%｝的差数列（或一阶

差数列），称数列｛%+「%｝的差数列为｛%｝的二阶差数列，若见=3".

⑴设｛%｝的二阶差数列为也｝,求也｝的通项公式.

（2）在（1）的条件下，设°=bg与+6，求匕｝的前〃项和为北

n&3n

5.（2024•安徽池州•模拟预测）定义：若对N*,八2Mi+2心恒成立，则称数列｛%｝

为"上凸数列

⑴若%判断｛6｝是否为"上凸数列"，如果是，给出证明；如果不是，请说明理

由.

（2）若｛%｝为"上凸数列"，则当〃22〃+2®,"eN"）时，am+ari<am_l+an+l.

（i）若数列S”为｛%｝的前〃项和，证明：S„>|（a1+a„）;

（ii）对于任意正整数序列七,9户3,x”（〃为常数且"N2,〃eN*）,若

工商-12t恒成立，求的最小值.

6.（2024•江西南昌•一模）对于各项均不为零的数列｛c“｝,我们定义：数列为数列匕｝

的""比分数列".已知数列｛a,,｝,也｝满足%=。=1,且｛叫的"1-比分数列”与｛4｝的"2-比

分数列”是同一个数列.

⑴若｛2｝是公比为2的等比数列，求数列｛%｝的前〃项和S“；

（2）若｛b„｝是公差为2的等差数列，求.

7.（2024•黑龙江•二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称

这个数列为"G型数列

⑴若数列｛%｝满足2%=y+1,判断｛%｝是否为"G型数列"，并说明理由；

（2）已知正项数列｛%｝为"G型数列"，q=1,数列也｝满足，=%+2,〃eN*,但｝是等比

数列，公比为正整数，且不是"G型数列"，求数列｛%｝的通项公式.

8.（2015高二.全国•竞赛）设数列｛%｝满足：①%=1;②所有项%eN*；

③1=4<02<…<4，<4+1<….设集合4“=｛«Ian,将集合4中的元素的最大

值记为耙.换句话说，6m是数列｛%｝中满足不等式m的所有项的项数的最大值.我们称数

列抄，为数列｛4｝的伴随数列.例如，数列1，3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

⑴请写出数列1，4,7的伴随数列；

⑵设4=3"一，求数列｛%｝的伴随数列也,｝的前20之和；

⑶若数列｛叫的前“项和S"="2+c（其中。常数），求数列｛叫的伴随数列也｝的前加项和

9.（23-24高二下•上海闵行•阶段练习）若有穷数列外,出，…,见，（〃是正整数），满足。1=。.，

出=%，…，4=%即生=*+1（7是正整数，且IV"”），就称该数列为"对称数列例如，

数列1,3,5,5,3,1就是"对称数列

⑴已知数列也,｝是项数为7的对称数列，且4，2,b3,4成等差数列，4=2,"=11，

试写出｛"｝的每一项；

（2）对于确定的正整数〃>1,写出所有项数不超过2m的"对称数列”，使得1,2,2?,…,2二依

次是该数列中连续的项；当加=10时，求其中一个"对称数列"前19项的和每9

10.（23-24高二下•江西•阶段练习）将数列｛0“｝按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一

个以组为单位的序列称为｛g｝的一个分群数列，｛七｝称为这个分群数列的原数列.如

aa

（«1，6!2,­••,«,.）,（r+\，r+2，…,“3（4+2,…,4）…，（。小+1,。01+2,…）是｛。"｝的个分群数

列，其中第左个括号称为第左群.已知｛%｝的通项公式为。

⑴若｛&｝的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第左群的中间一项为人,求数

列出｝的通项公式；

⑵若｛aj的一个分群数列满足第k群含有左项，4为该分群数列的第k群所有项构成的数

集，设可=｛加鼠€44+7E/E｝,求集合初中所有元素的和.

数列新定义问题(典型题型归类训练)

1.(2024•甘肃定西•一模)在〃个数码1,2,…,"("eN,"N2)构成的一个排列//…4中，若

一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如心＞工，则人与构

成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为7(//…%)，例如，

7(312)=2,

⑴计算7(51243)；

⑵设数列｛%｝满足=。“1(51243)-7(3412)吗=2,求｛g｝的通项公式；

⑶设排列jJi---jn(«©N,n22)满足

j；=M+1-Z(Z=1,2,---,/I),Z＞„=7)Sn=齐＞…+J，求S.，

【答案】(1)5

(2)a,=5i+l

⑶S"=刍

【分析】(1)利用逆序数的定义，依次分析排列51243中的逆序个数，从而得解；

(2)利用逆序数的定义得到。用=5%-4,从而利用构造法推得1｝是等比数列，从而

得解；

(3)利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到。，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】(1)在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，

与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有。个，

所以7(51243)=4+0+0+1+0=5.

(2)由(1)中的方法，同理可得7(3412)=4,

又7(51243)=5,所以。向=5%-4,

设an+l+2=5(«„+2),得an+x=5%+42,

所以42=-4,解得4=-1,贝!J-1=5&-1),

因为〃「l=lw0,

所以数列｛6-1｝是首项为1,公比为5的等比数歹U,

所以%-1=5"、贝1]%=57+1.

(3)因为[=〃+1-4=1,2,…,〃)，

「广…,、(n-\\n

所以“=7(//…/)=〃-1+"-2+…+1+0=---

所以J―=2

4+1(n+V)n

所以s“=21-；+[；+•••+

2.（2024高三下•全国•专题练习）若数列他｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列,

则称口｝为"等比源数列

（1）已知数列｛%｝为4,3,1,2,数列｛a｝为1,2,6,24,分别判断｛%,｝,也｝是否为"等比

源数列"，并说明理由；

（2）已知数列｛%｝的通项公式为c“=27+1,判断｛qj是否为"等比源数列”，并说明理由；

【答案】⑴也,｝是"等比源数列”，也｝不是"等比源数列”，理由见解析

（2）｛2｝不是"等比源数列”，理由见解析

【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，

（2）假设是"等比源数列"得c；=c5*,即可根据指数幕的运算，结合奇偶数的性质得矛盾,

即可求解.

【详解】（1）｛%｝是"等比源数列”，也｝不是"等比源数列

｛%｝中"1,2,4"构成等比数列，所以｛%｝是"等比源数列”；

｛4｝中”1,2,6”,”1,2,24”,“1,6,24","2,6,24"均不能构成等比数列,

且这四者的其他次序也不构成等比数列，

所以｛〃｝不是"等比源数列

（2）也｝不是"等比源数列

假设匕｝是“等比源数列〃，因为匕｝是单调递增数列,

即｛g｝中存在的%,C”,生(加＜〃＜上)三项成等比数列，

21

也就是C；=Cmck,即(2"T+1)=(2*+1)(21+1),

22"-2+2"=2m+k~2+2小+24-1，两边时除以2m-1得22"~'^'+2"-m+1=2k~'+1+2〜，

等式左边产-"T+2fM为偶数，

等式右边2"1+1+2"加为奇数.

所以数列｛&｝中不存在三项按一定次序排列构成等比数列.

综上可得｛c„｝不是"等比源数列".

3.(23-24高二下•吉林四平•阶段练习)在数列｛%｝中，若存在常数f,使得%M=%七%-4+，

(weN*)恒成立，则称数列｛6｝为"〃⑺数列

⑴判断数列1,2,3,7,43是否为""⑴数列"；

(2)若c“=l+,，试判断数列｛g｝是否为⑺数列"，请说明理由；

n

⑶若数列｛叫为"〃⑺数列"，且6=2,数列也｝为等比数列，满足川+/og/,,T求

Z=1

数列也｝的通项公式和f的值.

【答案】⑴是

(2)不是，理由见解析

⑶6,­=7

【分析】(1)根据〃⑺数列的定义判断

(2)根据已知条件求出c„+1-qc2c3…的即可判断；

(3)根据数列｛0"｝为⑺数列"，化'£a；=a“+i+log24-/为log?"，

nn

z=l7/\61

进而求得Z。；=的2。3…%”〃+1+1。§2矶，作差有。〃+1=(%一1)%。2。3…。〃+1。82^^，根据

b

〃+1n

(t=~\

已知条件化为«+l)%+「«+log29)=0,解得,由此求出4=4,即可求出数列出｝的

[q=2

通项公式.

【详解】(1)由题意可得2=1+1,3=1x2+1，7=1x2x3+1,43=2x3x7+1,

所以1,2,3,7,43是“〃⑴数列”;

(2)数列｛%｝不是"〃⑺数列"，理由如下：

c„=1+—=«eN*)>则％+]="+：(«N,),

nn〃+1G

234〃+1*

又eg%…=■7•二•：7------=n+l(〃EN),

123n

所以c〃+i_。1。2。3…。〃=-----(n+1)=------n(〃£N*),

n+\n+1

因为9?-〃不是常数，所以数列｛g｝不是"〃⑺数列。

(3)因为数列｛%｝为""⑺数列"，由名片二一+四?”-/(weN,),

n

z=l

有ZQ；=可出。3…4+log24(〃wN*)①，

n

i=l

所以X。；=%。2。3…。〃％刊+bgA+1(〃WN*)②，

n+1

两式作差得=(。”+1-1)%出％…a.+log^T(〃wN*),

"n

又因为数列｛4｝为⑺数列〃，所以%+1-=。1。2。3…%(〃£N*)，

设数列｛4｝的公比为夕，所以a*=(4+「1)(%+1-。+嘘29(〃wN*),

即(才+1)。〃+1-+1。82q)=0对wN*成立，

"1=0[=-l

则4=>st,

[t+log2q=0[q=2

又%=2,a；=%+log2又得4=4,

所以或=4X2"T=2"M,t=-\.

4.(23-24高二下•四川南充•阶段练习)给定数列｛%｝,称｛%,「q｝为｛%｝的差数列(或一阶

差数列)，称数列｛%+「%｝的差数列为｛%｝的二阶差数列，若%=3".

⑴设｛%｝的二阶差数列为也｝,求也｝的通项公式.

⑵在(1)的条件下，设c=10g了+6，求｛5｝的前〃项和为北

n&3n

【答案】(1也=43

(2)]=2.3叫5+,6

【分析】(1)借助定义计算即可得；

(2)借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.

n+l

【详解】(1)a^-an=3-3"=2.3",则"=2・3同一2・3"=4・3"；

%4.3〃

4

(2)cn=log3+bn=log3——F4・3"=〃+4・3”,

则7=31+心

"1-3222

5.(2024•安徽池州•模拟预测)定义：若对MreN*,八2Ml+%二2即恒成立，则称数列｛«„｝

为"上凸数列

⑴若%=77=！，判断｛%｝是否为"上凸数列"，如果是，给出证明；如果不是，请说明理

由.

(2)若｛%｝为"上凸数列"，则当〃7+eN")时，am+an<am_l+an+l.

(i)若数列E,为｛%｝的前〃项和，证明：S„>j(a1+a„):

(ii)对于任意正整数序列占户2，马,…,x”.(〃为常数且"22,〃eN*),若

工旧-12-1恒成立，求义的最小值.

【答案】⑴是，证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)n-1

【分析】(1)构造函数/(x)=7(x+l)2-l-^\,x>\,利用导数研究其单调性结合"上凸

数列"定义判定即可；

(2)(i)利用"上凸数列"定义及倒序相加法证明即可；令％1I，利用条件及数列求

和适当放缩计算即可.

【详解】(1)｛%｝是"上凸数列"，理由如下：

2

因为n~—1,a*1—an=-^(n+1)—1-\/M"—1,

令/(x)=7(x+l)2-1-Vr-1,x>l,

x+1_________XJ(x+1)3(%_[)_yjx3(x+2)

则/'(%)=

J(x+1)2—1Vx2-1^/(x+l)2-l-Vx2-1

当时，(x+1)3(x-1)-/(x+2)=—2x-1<0,

所以J(x+1)3(十—1)<yjx3(X+2),

所以r（x）<0,/（x）在区间［l,+8）上单调递减,

所以/(〃)〉/(〃+1),q+1—4>4+2—4+1，

所以an+2+anV2%，

所以｛g｝是"上凸数列

(2)(i)证明：因为｛4｝是"上凸数列"，由题意可得对任意

aa

i+n-M2%+an_i+2>a,._2+an_i+3■■■>a2+%>ax+a„

所以2S"=(%+4)+(%+%)+---+(%+?)Xan+a)E月+力，

所以S"^-(«1+«„)-

(ii)解：令0"=A/M2-1,

由（1）可得当%=I时，｛g｝是"上凸数列",

由题意可知，当加2〃+2（冽/EN*）时，am+an<am_1+an+l.

x

因为ZJx；-1-Jx：-1+yj2~I+：-1+…+加；-1,

即-1+忠T+…

+…+

-X-X1

i12------%_1+2一

+…+

当且仅当X1=工2=…二乙―时等号成立，

所以X*-1.

综上所述，几的最小值为n-1.

6.（2024•江西南昌•一模）对于各项均不为零的数列｛cj,我们定义：数列［干］为数列忙,｝

的"-比分数列".已知数列｛%｝,｛，｝满足q=4=1,且｛%｝的"1-比分数歹（J"与佃,｝的"2-比

分数列"是同一个数列.

⑴若｛〃,｝是公比为2的等比数列，求数列｛4｝的前〃项和S.；

（2）若｛b„｝是公差为2的等差数列，求a”.

【答案】口电=3（4"-1）；

（2）«„=1X（4M2-1）.

【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前〃项和即可.

（2）利用累乘法求通项公式即可.

【详解】（1）由题意知-=*,

因为4=1,且也｝是公比为2的等比数列，所以冬包=4,

an

因为4=1,所以数列｛g｝首项为1,公比为4的等比数歹！］,

所以s=si

r（4"-i）；

〃1-4

（2）因为4=1,且低｝是公差为2的等差数列，所以

所以乎=容2〃+3

nn2n-l

a„2加十1%2n-la_5

所以工二2

a

n-l2n-yan_22n-5ax1

所以“+?("

因为4=1,

%3x1

所以=gx（4〃2-l）.

7.（2024•黑龙江•二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称

这个数列为"G型数列

⑴若数列｛4｝满足2a“=S"+l,判断｛%｝是否为"G型数列"，并说明理由；

（2）已知正项数列｛%｝为"G型数列"，%=1,数列也｝满足，=%+2,〃eN*,也｝是等比

数列，公比为正整数，且不是"G型数列"，求数列｛%｝的通项公式.

【答案】⑴不是"G型数列〃，理由见解析；

（2）。“=3"-2

【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；

（2）利用｛%｝为"G型数歹U〃和也｝是等比数列，且不是"G型数歹上可求得低｝的公比为3,

即可求出数列｛%｝的通项公式为a“=3〃-2.

【详解】（1）易知当〃=1时,可得2%=E+1=%+1,即4=1；

而当〃=2时，24=S2+\=ax+a2+\,可得%=2；

a2

此时幺=彳=2<3,不满足"G型数列"定义，

猜想：数列｛%,｝不是"G型数列"，

证明如下：

由2a“=S'+l可得，当〃>2时，2%=S〃_i+l,

两式相减可得2a〃-=Sn-Sn_x=an,可得〃〃=21,

此时从第二项起，每一项与它前一项的比为&=2<3,因此｛七｝不是"G型数列”；

an-\

（2）设数列低｝的公比为,易知qeN*,

又因为数列也｝不是"G型数列"，可得q43

b.a,+2

可得n$｝=子nx7=夕，即得。向=效”+%-2；

又数列｛。"｝为"G型数列",可得4旦=4:2>3:

易知"G型数列”为递增数列，因此当〃趋近于正无穷大时，q+—一趋近于夕，即可得q23；

a“

综上可得4=3,即“〃+1-+4,可得%+2=3m+2）；

所以数列｛4+2｝是以6+2=3为首项，公比为3的等比数列；

即可得4+2=3x3"一=3",可得%=3"-2；

所以数列｛%｝的通项公式为%=3"-2.

8.（2015高二.全国•竞赛）设数列｛%｝满足：①%=1;②所有项%eN*；

③1=4<02<…<4，<4+1<….设集合4“=｛«Ian,将集合4中的元素的最大

值记为耙.换句话说，6m是数列｛%｝中满足不等式<m的所有项的项数的最大值.我们称数

列｛"｝为数列｛4｝的伴随数列.例如，数列1，3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

⑴请写出数列1，4,7的伴随数列；

⑵设4=3"一，求数列｛«„｝的伴随数列也,｝的前20之和；

⑶若数列｛叫的前〃项和S"="2+c（其中。常数），求数列｛叫的伴随数列他）的前加项和

【答案】(1)1,1,1,2,2,2,3

(2)50

,(m=2/-1,/eN*)

⑶(”=,

叱+2)，2，刖*)

【分析】（1）由数列的新定义直接写出即可；

（2）由数列的新定义结合对数的运算求出即可;

（3）先由S“求出与，再由数列新定义求出超，再分机为奇数和偶数时分别求出图.

【详解】（1）数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,（后面加3算对）

(2)由%=3"7<m,得"41+log3m(meN*)

当1W42,加eN*时，b1=b2=l

当3(冽<8,冽EN*时，&="=.••=々=2

当9(加《20,加wN*时，4=%=…=怎=3

4+Z+,,,+b?o—1x2+2x6+3xl2—50

(3):4=H=1+c=1c=0

当〃>2时，an=Sn-Sn_x=2n-l

=2〃-1£N*)

+1

由%=2〃-1«加得：n<--—(mGN*)

因为使得为工冽成立的〃的最大值为bm,

所以b[=b?=1,瓦=b，=2,…,b2t_1=b2t—t9(t£N*)

当初二2,一1«£N*)时:

7；=2.1+1Z1).(;_1)+;=?=1(OT+1)2

当初=2/QEN*)时:

1+Z21z

Tm=2'—-t=t+t=-m(jn+2)

-,(m=2Z-1,ZeN*)

所以*=

—~Z,(/w=2z,ZeN*)

9.（23-24高二下•上海闵行•阶段练习）若有穷数列％,电，…是正整数），满足为=。“，

。2=%，…,%=4即为=%T+i（i是正整数，且就称该数列为"对称数列例如，

数列1,3,5,5,3,1就是"对称数列

⑴已知数列｛4｝是项数为7的对称数列，且4，b2,b3,4成等差数列，4=2,2=11,

试写出也,｝的每一项；

（2）对于确定的正整数0>1,写出所有项数不超过2〃,的“对称数列”，使得1,2,2?,…,2二依

次是该数列中连续的项；当“2=10时，求其中一个"对称数列"前19项的和1

【答案】（1）2,5,8,11,8,5,2

⑵答案见解析

【分析】（1）由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解;

（2）由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.

【详解】（1）设｛"｝的公差为d,则a=4+34=2+34=11,解得1=3,

，数列也,｝为2