高考数学二轮专项复习练习卷：直线与平面所成角（线面角）（原卷版和解析版）

直线与平面所成角（线面角）（含探索性问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求线面角......................................2

题型二：已知线面角求参数..............................4

题型三：求线面角最值（范围）..........................7

三、专项训练.............................................8

一、必备秘籍

1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫

做斜线在平面内的射影.

注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.

如图，直线/是平面a的一条斜线，斜足为斜线上一点Z在平面a上的射影为。，则

直线M0是斜线1在平面a上的射影.

2、直线和平面所成角：（有三种情况）

（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定

义可知：斜线与平面所成角的范围为10,（1

jr

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为一；

2

（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.

7T

结论：直线与平面所成角的范围为0,-.

2

3、向量法

设直线/的方向向量为平面a的一个法向量为直线/与平面a所成的角为。，则

一一a,n一一

cos<a,n>=―—―,sin。=|cos<a.n>|.

I«hl

二、典型题型

题型一：求线面角

1.（2024•全国•模拟预测）在棱长为2的正方体4中，动点N分别在棱

BC,ABh,且满足=当％MN乌的体积最小时，片/与平面4九处所成角的正弦

值是.

2.（23-24高二上•江西赣州•期末）在四棱锥P48CD中，底面/BCD是边长为1的正方形,

产/,底面4BCD,PA=2,E为尸C的中点，则直线PC与平面ADE所成角的正弦值

为.

3.（23-24高二上•北京•期末）在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量是1=（-2,2,1）,

平面a的一个法向量是工=（2,0,1）,则直线/与平面2所成角的正弦值等于.

4.（23-24高二上•四川成都•期末）正方体/BCD-44CQ的棱长为2,2C棱上一点尸满

足|沙+定|=2,则直线尸/与平面/B/C所成角的正弦值为.

5.(2024・辽宁•模拟预测)如图，已知多面体/8CDE尸的底面4BCD为正方形，四边形ADEF

是平行四边形，ABX.CF,BC=2,G是CF的中点.

(1)证明：DG〃平面/£厂；

(2)若丛BCF是等边三角形，求直线CD与平面AEF所成角的正弦值.

6.(2024•全国•模拟预测)如图所示，棱锥尸-"BCD中，P/_L平面/BCD,ABLAD,

CDJ_AD,AB=4,CD=2,AD=PA=3,〃■为尸/中点，PN=2ND-

(1)证明：B,C,M,N四点共面；

⑵求直线AC与平面BCW所成线面角的正弦值.

题型二：已知线面角求参数

1.（2024高三•全国•专题练习）如图，在四棱锥P-NBCD中，PA1ABCD,Jfe®ABCD

是矩形，1/尸|=|/为=2,\AD|=4,£是BC上的点，直线尸B与平面尸DE所成角的正弦值

为也,贝的长为.

2.（23-24高二上•新疆伊犁•期中）如图，四棱锥尸-4BCD的底面48CD是梯形，P/工平

面/BCD,ADIIBC,AB=AP=2,BC=2AD=2亚，/4BC=45°,E为线段尸3上一个

动点，且砺=2而，若尸C与平面E4D所成的角为60。，贝！|彳=.

P

3.（23-24高二上,辽宁大连•期中）如图，在四棱锥S-/3CD中，底面/BCD是矩形，

/D=W=5D=2/3=2,尸为棱的中点，且“为棱S4上的一点，若9与平面

SBD所成角的正弦值为2,贝UM=.

4.（2024•山西晋城•二模）如图1,在AABC中，AC=BC=4,48=4亚，点。是线段

/C的中点，点£是线段48上的一点，且DE上4B,将V/DE沿DE翻折到APDE的位置,

使得PELBD,连接尸2,PC,如图2所示，点尸是线段PB上的一点.

图1图2

（1）若BF=2PF,求证：CF〃平面PDE；

⑵若直线CF与平面尸所成角的正弦值为皿羽，求线段BF的长.

57

5.（2024•辽宁•二模）如图，在三棱锥力-BCD中，侧面48。,/。是全等的直角三角形,

4D是公共的斜边，且40=6，BD—CD—1,另一-个侧面是正三角形.

C

⑴求证：BCYAD-,

⑵在图中作出点A到底面8。的距离，并说明理由；

⑶在线段/C上是否存在一点E,使与平面Z8C成30。角？若存在，确定E的位置；若

不存在，说明理由.

6.(23-24高三下•湖南长沙•阶段练习)如图，在四棱锥中，P4,平面

ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,NABC=120°.

(1)求证：平面E4c_L平面尸8。；

(2)若点M为PB的中点，线段尸C上是否存在点N,使得直线跖V与平面P4c所成角的正弦

值为变.若存在，求供的值；若不存在，请说明理由.

2尸。

7.(2024•天津和平•一模)如图，四棱锥尸-48CD的底面48CD是正方形，平面

PO=M)=3,点瓦尸分别是棱尸工,PC的中点，点/是线段上一点.

⑴求证：P2_L平面EFD；

(2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值;

3722

⑶若直线九不与平面/BCD所成的角的正弦值为,求此时MC的长度.

22

题型三：求线面角最值（范围）

1.（2024•河北沧州•一模）如图，已知点A是圆台的上底面圆J上的动点，5,C在下

底面圆。上，AO\=1,OO1=2,BO=3,BC=2旧,则直线与平面Q8C所成角的余弦值的

最小值为•

2.（23-24高三下•全国•阶段练习）如图，在△S2E中，SE=BE=\,在直角梯形AEDC中,

BEIDE,CD//BE,CD=2,DE=@,DE1SE,记二面角S-DE-8的大小为。，若

7T27r

,则直线SC与平面SDE所成角的正弦值的最大值为.

3.（23-24高二上・江西南昌・期末）在棱长为2的正方体N38-44GA中，。在线段与。

上运动，直线G。与平面4QD所成角的正弦值的取值范围为.

4.（2024高三•全国,专题练习）如图，四棱锥尸-48CD的底面为正方形，尸。，底面4BCD.设

平面尸/D与平面P8C的交线为/.若PD=4D=1,。为/上的点，则PB与平面0c。所成

角的正弦值的最大值为.

5.（23-24高二下•江苏宿迁•阶段练习）在长方体力BCD-451GA中，/3=、C,线段

有一动点G,过CG作平行于。A的平面交8。与点尸.当直线AD与平面CG厂所成角最大时,

2G

D,B~--------'

6.（23-24高二下•江苏徐州•阶段练习）在正方体/BCD-4月中，。为线段/C的中点，

点E在线段4G上，则直线OE与平面4g所成角的正弦值的范围是.

三、专项训练

1.（23-24高二上•湖南长沙•期末）正三棱柱NBC-48G中，AA,=AB,N是8C的中点,

点尸在44上，且满足乖=2%瓦，当直线PN与平面4BC所成的角取最大值时，4的值

为.

2.（23-24高二上•浙江杭州•阶段练习）在中，GM=48,/。/8=120。.若空间点尸

满足邑餐;%,,则直线。尸与平面33所成角的正切的最大值为----------

3.（23-24高二上•上海■期末）已知平面C的一个法向量"=（1,6,2）,直线/的方向向量

v=（1,0,-1）,则直线/与平面4所成角的正弦值为.

4.（23-24高二上•辽宁沈阳•期末）如图，正方体"CD-44的棱长为2,P是过顶点

民。，2,4的圆上的一点，。为CQ的中点.当直线尸。与平面/BCD所成的角最大时，点尸

的坐标为;直线P。与平面/BCD所成角的正弦值的取值范围是.

5.（23-24高二上•四川成都・期中）如图，在AABC中，AC=26,BC=6,训・/=-12,

过NC中点/的动直线/与线段A8交于点N,将A/MN沿直线/向上翻折至使得

点4在平面BCMN内的射影H落在线段BC上,则斜线A.M与平面BCMN所成角的正弦值

6.（23-24高二上•福建福州•期中）在正方体中，点尸在线段8夕上运动，

则直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为.

7.（23-24高三下•江西•阶段练习）如图，在三棱锥P-A8C中，△尸48与小BC都为等边

三角形，平面尸/2_L平面"CM。分别为P4/3的中点，且尸。nBM=G,N在棱8C上,

且满足3N=2NC,连接GN.

P

⑴求证：GN〃平面R4C；

（2）设48=2,求直线尸N与平面BGN所成角的正弦值.

8.（2024•安徽合肥•二模）如图，在四棱锥尸-"BCD中，底面48co是边长为2的菱形,

/胡。=60。,/是侧棱尸C的中点，侧面尸4D为正三角形，侧面P4D_L底面48CD.

⑴求三棱锥M-43C的体积；

（2）求AM与平面PBC所成角的正弦值.

9.（23-24IWI二下,江苏泰州,阶段练习）如图,在二棱柱48c1481G中，AB=AC=#>,BC=2,

侧面BB&C是正方形，二面角A-BC-B,的大小是2茎兀.

⑴求4到平面/3C的距离.

⑵线段/吕上是否存在一个点。，使直线班与平面/CG4所成角为1?若存在，求出

的长；若不存在说明理由.

10.(2024・天津河东•一模)在正方体48CD-/4Gz中(如图所不)，边长为2,连接

4。、4B、BD

、

(1)证明：平面48。；

(2)求平面ACDt与平面AXBD夹角的余弦值；

⑶底面正方形ABCD的内切圆上是否存在点P使得PB与平面AXBD所成角的正弦值为由,

3

若存在求尸0长度，若不存在说明理由.

11.(23-24高三下•陕西安康,阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面N8CD是矩形,

AB=2AD=2,PA±nABCD,E为棱尸D的中点.

⑴若PD与平面/BCD所成的角为45。，求证：4E_L平面尸CD；

(2)若平面3CE与平面CEO夹角的余弦值为亚，求尸/.

12.(23-24高二下•江苏淮安•阶段练习)如图1,已知/2FE是直角梯形，EF//AB,

AABF=90°,=60。，C、D分别为BF、AE的中点，AB=5,E尸=1,将直角梯形/瓦芭

沿CD翻折，使得二面角厂-OC-8的大小为60。，如图2所示，设N为3C的中点.

(1)证明：FN1AD；

(2)若M为/£上一点，且察=2,则当彳为何值时，直线3M与平面4DE所成角的余弦

AE

值为叵.

14

13.(23-24高二下•黑龙江大庆•开学考试)如图，C,。分别是直径/3=2的半圆。上的

点，且满足数=①=而，APAB为等边三角形,且与半圆O所成二面角的大小为90。，E

为PA的中点.

(1)求证：£>£//平面尸BC；

(2)在弧蕊上是否存在一点尸，使得直线内与平面。防所成角的正弦值为：刀？若存在,

求出点尸到平面。EB的距离；若不存在，说明理由.

14.(2024•北京平谷•模拟预测)如图，在三棱柱ABC7"中，侧面BB&C和ABB.A,均

为正方形，AB=2,平面58。。，平面44,点初是4片的中点，N为线段/C上的动

点；

⑴若直线4N〃平面8c求证：N为线段/C的中点；

(2)若直线4N与平面BQM所成角的正弦值为正,求线段A.N的长.

6

直线与平面所成角（线面角）（含探索性问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍.............................................1

二、典型题型.............................................2

题型一：求线面角......................................2

题型二：已知线面角求参数..............................4

题型三：求线面角最值（范围）..........................7

三、专项训练.............................................8

一、必备秘籍

1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫

做斜线在平面内的射影.

注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.

如图，直线/是平面a的一条斜线，斜足为斜线上一点Z在平面a上的射影为。，则

直线M0是斜线1在平面a上的射影.

2、直线和平面所成角：（有三种情况）

（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定

义可知：斜线与平面所成角的范围为10,（1

jr

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为一；

2

（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.

7T

结论：直线与平面所成角的范围为0,-.

2

平面的斜线

平面的垂线

3、向量法

设直线/的方向向量为平面a的一个法向量为直线/与平面a所成的角为。，则

一一a,n一一

cos<a,n>=―—―,sin。=|cos<a.n>|.

I«hl

二、典型题型

题型一：求线面角

1.（2024•全国•模拟预测）在棱长为2的正方体4中，动点N分别在棱

BC,ABh,且满足=当％MN乌的体积最小时，片/与平面4九处所成角的正弦

值是.

【答案】迪

15

【分析】设/N=X（OWXW2）,结合等积法，可求出当心"解的体积最小时，M,N分别

是所在棱的中点；法一，根据GT闽可求出点用到平面的距离为力，结合

直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.

【详解】设“N=X（O4XV2）,则

S.DMN=2x2-—x2x-—（2-x）x--x2（2-x）=2--（2-x）x.

由等体积法，得

2

、41(2-x+x

VD-MNBI=VB「DMN=§义DMNk>------=1,

工―二332

当且仅当2-x=x,即x=l时，等号成立.

所以当%"明的体积最小时，M,N分别是所在棱的中点.

方法一易知A[N=B[M=逐＞,AXM=3,MN=41-由余弦定理，得

cos/A]MN=3+（后）产）=1，所以s\nAAxMN，

2x3xV222

所以SAMN=­xV2X3x.

“A'MN222

设点及到平面4儿W的距离为人根据匕^画N=—B[_AiMN，

—x—x2x2xl=—x—x/z,解得h=—.

32323

4

所以用M与平面4NW所成角的正弦值为_仁==迪.

B、M4515

方法二以点。为原点，以。/,DC,所在直线分别为x轴、了轴、z轴,

建立空间直角坐标系，

则N（2,l,0）,M（1,2,0）,4（2,0,2）,耳（2,2,2）.

所以旃=（1,一1,0）,1^7=（-1,2,-2）,语=（1,0,2）.

设平面4处的法向量为行=（x,y,z）,

aMN=a,一x-；y=0,。令人E,得1

则—,即x+2*z=—

n-AXM=0,2

则万设用/与平面4MV所成的角为

---►n•MB475

sin。=COSH,MB=一,\=

则Xi«iH|IF

故答案为：—

15

2.（23-24高二上•江西赣州•期末）在四棱锥P48CD中，底面/BCD是边长为1的正方形,

产/上底面48CD,PA=2,E为PC的中点，则直线PC与平面ADE所成角的正弦值

为一

【答案】也》也

33

【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.

【详解】由题意知，分别以18,40,4P所在直线为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系如图

所示,

「(0,0,2),。(1,1,0)/(1,0,0),。(0,1,0),„；“,无=(1,1,-2),丽=(-1,1,0),

设平面BDE的法向量为n=(xj,z),

-X+y=0

BD,亢=。

一，即11八，取河=(1,1,0)

DE•元=0—X—y—z=0

[22，

设直线PC与平面BDE所成角为。

I一|斥词2百

sin0=1cosPC,n\1=^-=—j=尸-——.

\PC\\H\V6-V23

3.(23-24高二上■北京■期末)在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量是1=(-2,2,1),

平面a的一个法向量是3=(2,0,1),则直线/与平面a所成角的正弦值等于.

【答案】也已加

55

【分析】利用空间向量的坐标求出直线/与平面a法向量夹角的余弦值，即可得到直线/与

平面a所成角的正弦值.

【详解】直线/与平面二所成角的正弦值即直线/与平面a法向量夹角的余弦值的绝对值.

设直线/与平面a所成的角为。，则：

Iv•nI|—2x2+2x0+lxl|

所以sin<9=|cos<v,n>\=222222-

\v\-\n^_2)+2+l.^+0+l歹

故答案为：

4.（23-24高二上•四川成都•期末）正方体/BCD-4片的棱长为2,8C棱上一点尸满

足|互?+定|=2,则直线尸/与平面/8/C所成角的正弦值为.

【答案】叵

15

【分析】根据空间向量法求线面角，即可求解.

【详解】以。为原点建系如下，

则0(0,0,0),/(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),4(2,2,2),

得超=(0,2,2),/=(—2,2,0),设尸(42,0),2=(2—4,—2,0),PC=(-2,0,0),

贝!1万十斤=(2—2%,—2,0),

因为⑸+定1=2,所以(2-2»+(_2)2=4,解得；1=1,P3=(1,-2,0),

设平面ABiC的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AB,=2y+2z=0一

则《一"，令x=l,得所以〃=(1,1,—1),

n-AC=-2x+2y=0

—\PPAA--n\\1-2V15

贝IJcosPA,万==LT：—

1I叫司6G15

所以直线产/与平面/氏C所成角的正弦值为姮.

15

故答案为：叵

15

5.（2024・辽宁•模拟预测）如图，已知多面体/2CMF的底面48c。为正方形，四边形2DE尸

是平行四边形，ABLCF,BC=2,G是C尸的中点.

E

⑴证明：DG//平面/昉；

(2)若△BCF是等边三角形，求直线CD与平面AEF所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见详解

(2)当

【分析】(1)设/CnAD=8,连接G〃，根据题意可得GH〃/尸，BD//EF,可证平

面。〃平面/£尸，再利用面面平行的性质分析证明；

(2)取8c的中点O,连接08,0尸，可证平面。尸，平面/BCD,建系，利

用空间向量求线面夹角.

【详解】(1)设,连接G",

因为48c。为正方形，则H为4C的中点，

又因为6是。尸的中点，则GH〃小，

且GHU平面NE尸，/尸u平面NE厂，所以GH〃平面4EF,

由题意可知：四边形ADE厂是平行四边形，BD//EF,

且AD①平面4EF,£尸u平面/跖，所以平面/E/，

且GHIBD=H,G〃,8£»u平面。G”,可得平面。G“〃平面/跖，

由。Gu平面DG〃，可得。G〃平面/EF.

(2)由题意可知：ABLBC,ABLCF,且8CnCF=C,3C,CFu平面5CV,

可得48工平面BCF,

取8C的中点。，连接。H,。尸，

可知。,〃分别为5C,/C的中点，可得所以平面8CF,

由OFu平面8CF,可得OHLOF,

又因为△BCF是等边三角形，可得3C，。尸，

且。HI8C=O,。〃,2(7^:平面488,可得。尸_L平面N3C£>,

以。为坐标原点，。8,。打,。尸分别为甚人2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

可得丽=(0,-2,0),诙=(一2,一2,0),AF=(-1,2/3),

S.AE=AF+FE=AF+BD=

,A,F-—x+2y+=0

设平面4EF的法向量历=(x,y,z),则，

-AE=—3x+-x/3z=0

令x=l,贝!Jy=-l,z=g,可得万=(1,TK)

n-CD2V5

|n|.|co|V5X25

所以直线。。与平面/斯所成角的正弦值为4.

6.(2024•全国•模拟预测)如图所示，棱锥尸-/BCD中，P/_L平面/BCD,ABLAD,

CDVAD,AB=4,CD=2,AD=PA=3,M为尸/中点，PN=2ND-

B

(1)证明：B,C,M,N四点共面；

(2)求直线AC与平面BCNM所成线面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵12而所

1001

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，找到3C与的交点即可证

明四点共面；

(2)建立空间直角坐标系，求出衣和平面BCW的法向量，利用向量夹角的余弦值可以

得到直线与平面所成角的正弦值.

【详解】(1)以A为原点，N2为x轴正方向，ND为，轴正方向，/尸为z轴正方向，建立

空间直角坐标系，

则4(0,0,0),5(4,0,0),C(2,3,0),£>(0,3,0),P(0,0,3),A/|^0,0,|j,N(0,2,l).

设8C与V轴交于S(0,4,0),与>轴交于7(0力刀)，

由就与法共线，砺与而共线,可得%=右=6.

所以直线BC与直线1W相交，则2,C,M,N四点共面.

(2)BC=(-2,3,0)»a。6),设平面5CM0的法向量为加=(x,y,z),

—2x+3y=0

而BC=0

则即《3故浣=(3,2,8),

m-BM=0-4x+—z=0

2

3x2+2x3+01212VW01

又就二(2,3,0),所以COS〈加,=

j9+4+64xJ4+9Too!"1001

故直线AC与平面BCNM所成线面角正弦值为空回I.

1001

题型二：已知线面角求参数

1.(2024高三•全国•专题练习)如图，在四棱锥P-NBCD中，PA±ABCD,Jfe®ABCD

是矩形，MP=|/5|=2,£是8c上的点，直线尸8与平面尸£)£所成角的正弦值

【答案】2

【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面尸£>£的法向量，利用空间角的

向量求法，结合直线尸8与平面所成的正弦值为即可求得答案.

6

【详解】由题意知在四棱锥尸-4BCD中，尸/，平面488,底面4BCD是矩形,

以/为坐标原点，以1伐40,/尸所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图，

则1(0,0,0),3(2,0,0),尸(0,0,2),£)(0,4,0),设E(2j,0),(0V/W4),

则而=(2,0,-2),丽=(0,4,-2),PE=0J,-2),

,K,_，一［而•万=4y—2z=0

设平面PDE的一个法向量为〃=(x,y,z)，则｛一.

PE-n=2x+ty-2z=0

令y=2,得分=（47,2,4）,设直线P8与平面尸。E所成的角为夕6€[0,方],

因为直线PB与平面PDE所成角的正弦值为苴，即sing=立，

66

I—I同词2tJ3

所以sin6=cosPB,司1=------1,

1।|叫同2日"、206

即5〃+8/36=0,解得"2或/=（舍去），所以忸同=|丽卜护=2,

故3E的长为2.

故答案为：2

2.（23-24高二上•新疆伊犁♦期中）如图，四棱锥P-48CD的底面4BCO是梯形，尸/，平

ffiABCD,AD//BC,AB=AP=2,BC=2AD=2也,ZABC=45°,E为线段PB上一个

动点，且砺=2而，若尸C与平面口。所成的角为60。，则a=.

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解.

【详解】连接NC,因为：AB=2,BC=26，ZABC=45°,在A/BC中，由余弦定理得:

AC=y/AB2+BC2-2AB-BCcos45°=^J4+8-2X2X2V2X^=2,

即有：AB2+AC2=BC2,所以：ABIAC,

以A点为原点，以AB,AC,AP所在直线分别为x/,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,2）,C（0,2,0）,£＞（-1,1,0）,

所以：AD=（-l,-l,0）,PC=（0,2,-2）,SP=（-2,0,2）,在=（2,0,0）,

因为：BE=ABP=A（-2,0,2）=（-2A,0,2A）,且04X41,=A8+5£=（2-22,0,22）,

设平面E4D的一个法向量为：m=(x,y,z),

mAD=-x+y=0

则：（一一、，令：％=丸得：w=（A,2,2-1）,

mAE-（2-22）x+22z=0

故答案为：—.

3.(23-24高二上•辽宁大连•期中)如图，在四棱锥S-/3CD中，底面48c。是矩形，

/D=M=SD=2Z3=2,P为棱/。的中点，且为棱24上的一点，若9与平面

SSD所成角的正弦值为且，则4M=.

【分析】根据给定条件，证得加，平面/8C。，以尸为原点建立空间直角坐标系，利用空

间向量求解即得.

【详解】过点尸作尸E//CD,交BC于点、E,由SD=S4,P为4D中点，得即，4D,

又加_L/B,且/。cA8=/,平面/BCD,则*_L平面/BCD,

而PEu平面4BCD,有SPL尸E,又48。是矩形，则SP,尸4%两两垂直,

以尸为原点，P4,P£,PS所在直线分别为x/,z轴建立空间直角坐标系，如图:

由/O=S4=SO=2,AB=1,尸为中点，得SP=JLE为BC的中点,

则点以0,0,0),/(1,0,0),5(0,0,73),5(1,1,0),£>(-1,0,0),

丽=(2,1,0),丽=(1,0,®示=(-1,0,扬，加=(0,-1,0),

令万7=2通=(-40,®),0V2Vl,BM=BA+AM=(-A,-1,43A),

,,,一应.DB=2x+y=0"，一「「

设平面S5Z>法向量为冽=(%//),则〈一.厂，令z=l,得加=(一,

mDS=x+y/3z=0

由BM与平面SBD所成角的正弦值为立,得|cos〈丽7,而|=吧4=\2*一班\=孚

4\BM\\m\7422+1X44

3——■—-3

解得彳=—,所以|/M|=R/S|=22=_.

84

3

故答案为：—

4

4.(2024•山西晋城•二模)如图1,在AABC中，AC=BC=4,/8=40，点。是线段

/C的中点，点£是线段4s上的一点，且DE上4B,将V/DE沿翻折到△PDE的位置,

使得PELBD,连接尸8,PC,如图2所示，点厂是线段P8上的一点.

图1图2

⑴若BF=2PF,求证：CF〃平面PDE；

(2)若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为生酸,求线段BF的长.

57

【答案】⑴证明见详解

(2)石或拽

5

【分析】(1)根据题意可证PEL平面8C0E,建系，利用空间向量证明线面平行;

（2）设旃=4而，求平面尸3。的法向量，结合线面夹角的向量运算分析求X的值，即可

得结果.

【详解】（［）由题意可知：PE1DE,PE1BD,DEcBD=D,DE,BD1平面BCDE,

可得尸£_L平面3cDE,

且DELBE,以£为坐标原点，石瓦瓦^石尸分别为阳^/轴，建立空间直角坐标系，

则E（0,0,0）,2（3篦0,0）,C阳2/0）。也0）尸0,0,<T）,

可得加=卜3板,0,五），前=卜2e2/0）,

设而=2丽=（-3向［0,1］,

贝I］而=而_前1=（2后-3衣卜2瓶近I）,

若BF=2PF,则2=§,CF=0-272,-^-

由题意可知：平面尸的法向量亢=（1,08）,

因为最不^O，且CF<Z平面尸DE，

所以CF〃平面尸DE.

(2)由(1)可得：CF=(2V2-3722,-272,722),=(3/2,V2,(),DP^0,—j,

m-DB=3y/2x-y/2y=0

设平面尸3。的法向量丽=（x,y,z）,贝1卜

m-DP=—y[iy+亚z=0

令x=l,贝!]y=z=3,可得而=(1,3,3),

cos祇而卜事=—‘4.4屈

由题意可得:

\m\'\CF\V19x-3V22)2+8+22257

17

整理得2。-2/7=。，解得、或"谈

所以网=几研=6或F，即线段“的长为火或呼.

5.（2024•辽宁•二模）如图，在三棱锥力-BCD中，侧面4A0,4。。是全等的直角三角形,

是公共的斜边，且4Z）=G，BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.

A

By…、......

C

(1)求证：BCLAD；

(2)在图中作出点A到底面BCD的距离，并说明理由；

⑶在线段/C上是否存在一点£,使ED与平面N8C成30。角？若存在，确定£的位置；若

不存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析

(2)图象见解析，理由见解析

⑶存在，且点E在=的位置

【分析】(1)取8c中点连接证明3C1平面4DM,再根据线面垂直的性

质即可得证；

(2)作于点证明AH_L平面BCD,再求出的长度，进而可求出点H的

位置，即可得解；

(3)结合(2)中所得可建立适当空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得.

【详解】(1)如图所示，取中点连接

因为8。=。，所以。M_L3C,

又因为48=/C,所以/N_L3C,

又因为且DM,/"u平面/DM,所以平面

因为4Du平面/DM,所以4DJ.BC；

(2)作于点b,

因为8。工平面4DM,平面4DM,

所以,

因为。A/n8C=M,且DM,3Cu平面3CD,所以AH_L平面BCD,

在中，AD=s/3,BD=CD=\,

则48=/C=后，所以BC=g，故AM=E,

2

因为BD=C》=BC"所以8Z)_LCD,

故DM二显,

2

3

+l-3

在4ADM中，cosAAMD=22

久3

2xe

22

所以为钝角，所以点”在。M延长线上，

在中，cosAAMH=也,故sin//M/="，

33

所以/〃=NMsmZAMH=1,

所以BH=CH=1,所以垂足H与8,C,D构成一个正方形

故线段即为点A到底面BCD的距离；

(3)由(2)可知AHL平面BCD,且底面“BCD为正方形，

故///、BH、CH两两垂直，

故可以“为原点，建立如图所示空间直角坐标系8-xyz,

则有“(0,0,0),/(0,0,1),5(0,1,0),c(i,o,o),D(1,1,0),

则就A8=(O,l,-l),25=(1,1,-1),

令费=2/=(/L,O,T)(OW/U1),贝I]诙=粉一次=(1T/,T+；L),

令平面ABC的法向量为碗=(羽%z),

一m-AC=0(x—z=0

则有一，即八，

m-AB=0[y-z=0

可取x=l,则y=z=l,即灰

I-.I\m-ED\ll-A+l-l+Al

贝(Jcosm,ED\=-——i=Jj-=/=sin30°,

\m\-\ED\Vl+l+l-^(l-2)2+l+(-l+2)2

整理得即4=1土，，由OW"1,故九=1一3,

则郎=一手卜乃一个，

即存在点£,且点£在在=五-3的位置.

3

z.

Cx

【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：

（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明,

得出结论；

（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参

数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在.

6.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）如图，在四棱锥尸-4BCZ）中，尸4,平面

ABCD,P4=AB=BC=2,AD=CD,NABC=120°.

（1）求证：平面尸/CJ■平面PB。；

（2）若点M为的中点，线段尸C上是否存在点N,使得直线儿W与平面R4C所成角的正弦

值为也.若存在，求铁的值；若不存在，请说明理由.

2尸。

【答案】⑴证明见解析

，、-PN'一PN3

（2）存在，---二一或---二一

PC4PC8

【分析】（1）设/c的中点为。，根据题意证得和,证得2。4平面P4C,

进而证得平面PAC1平面PBD.

（2）以OC,。。所在的直线为x轴和>轴，建立空间直角坐标系，设丽=儿定（0VXW1）,

分别求得平面刃C和而,结合向量的夹角公式，列出方程，即可

求解.

【详解】（1）设NC的中点为O,因为4B=3C,所以

因为=所以DOL/C,所以3,。,。三点共线，所以

因为尸/_L平面/BCD,BOu平面48cD,所以3£>_LP/,

因为尸/n/C=/,p/u平面R4C,ZCu平面R4C,所以AD工平面R4C,

因为aDu平面尸3D,所以平面尸/C_L平面P8O.

（2）以。C。。所在的直线为x轴和了轴，过。点作平行于AP的直线为z轴，建立空间直角

坐标系，

如图所示，则C（6,0,0）,尸卜出,0,2）,B0,-1,0）,

因为M为心的中点，所以河-^,--,1,

设丽=2京（0<241）,所以N（2GX-石,0,2-22）,

所以加=f2V3A--

I22J

由（1）知8。工平面R4C,所以平面上4c的一个法向量为五=（0,L0）,

设直线龙W与平面上4c所成角为。，

।一,\MN-n\1V2

则sin。=\cosMN,n\=__=—,==—,

11\MN^n\2.V16A2-102+22

PN