广州某中学2024-2025学年高二年级上册数学阶段测试卷（一）+答案

执信中学2024-2025学年度第一学期高二年级阶段测试（一）

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，时间120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡指

定位置，并用铅笔准确填涂考号.

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.

不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡由监考老师收回.

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知平面向量加，〃均为单位向量，若向量而，〃的夹角为g,则恢九+4〃|=（）

A.25B.7C.5D.近

2.在VA2C中，己知BC=6,A=30,3=120°,则VABC的面积等于（）

A.9B.18C.9A/3D.18A/3

c—14.rtcrnrisin?ex,+cos2a/土/、

3.已知tana=2,则-----------的值为（）

sin2a+cosa

1134

A.-B.-c.—D.-

5355

4.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,3},c={2A,6},则（。3）c=（）

A.{2,4,6}B.{1,3,4,5,6）C.{4,6}D.{2}

5.设私〃是两条不同的直线，a,"是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.若m.\_a,则根//，

B.若mlla,〃ua,则加//九

C.若a/3=m,nila,nil[3,则加/〃

D.若。_L£,且。力二m，点Asa,直线则

6.已知同=1,W=百，且（1+2/7）.（〃一/?）二—1,则向量a与/?的夹角为

7C7C2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

7.已知首项为q，公比为q的等比数列{%},其前“项和为九贝广卬>0,4>1”是“S”单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

8.己知过点尸与圆V+y2-4y+l=0相切的两条直线的夹角为三，设过点尸与圆尤2+y2-4y=0相切的两

条直线的夹角为a,贝”ina=（）

2424A/5

,~9^

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.图中阴影部分所表示的集合是（）

A.NIgMB.MI^,NC.[e（McN）]cND.（何）（〃N）

10.若集合A={x||3x-l|22},B=p^|<o1,贝U（）

A.AB=BB.A

c.4（A=D.（”）B=

11.已知曲线C:mx2+〃;/=1,则（）

A.若〃z=〃=4,则曲线C是圆，其半径为2

B.若旭>〃>0,则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上

c.若线c过点（-应,6）,[-半,行],则C是双曲线

D.若〃勿=0,则曲线C不表示任何图形

试卷第2页，共4页

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1955

12.若4(0,2,胃)，C(-2,1,尸是平面内的三点，设平面的法向量。=(x,%2),贝。

OOO

x:y:z=.

13.已知集合。=口|左+1<%<2左一1}=0,则实数上的取值范围是.

14.“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词.某数学爱好者用两个函数图象描绘

了这两句诗词：/(x)=|3sinx|+sinx,x€[0,2兀]的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下(如图

1),g(x)=：sin2x,xe[0,2可的图象如滚滚波涛，奔腾入海流(如图2).若存在一点毛片兀，使在

(天,/伍))处的切线与g(x)在&送(毛))处的切线平行，贝Ucos/的值为

图1图2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在长方体ABCD-aqCQ]中，A4=AT>=2,OC=20,8〃和用。交于点E,歹为A8的中点.

⑴求证：EF//平面ADRA；

(2)求点A到平面CEF的距离.

16.已知向量a=(cosx,-J),0=(百sinx,cos2x),xe£,设函数/(x)=a1!.

(I)求f(x)的最小正周期.

JI

(II)求f(x)在0,y上的最大值和最小值.

17.如图，在平面四边形ABCZ)中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,BD=10.

⑴求cos/AZ孙

(2)若△BCD的面积为4廊，求BC.

18.在VABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin?C=sin?A+sin?B+sinAsinB.

⑴求角C；

(2)记VABC的面积为S,AABC的周长为T,若c=2,求，的取值范围.

19.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，弓、e；分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量,

若向量8=咫+四2,则把有序数对(元广)叫做向量。尸在坐标系xOy中的坐标，假设O尸=3q+2e2.

/G

⑴计算|。尸|的大小；

(2)是否存在实数”使得OP与向量6=(1,〃)垂直，若存在，求出w的值，若不存在请说明理由.

试卷第4页，共4页

答案

1.c

【分析】先由向量加，"的夹角为得到加・〃=0,进而可计算出|3m+4”的结果.

n

【详解】因为向量小，〃的夹角为,，所以根=0，又加，〃均为单位向量，

所以\im+4n|=J9+16+24加•九二5.

2.C

【分析】根据题意分别求出AC和角C,再分析求解即可.

【详解】根据正弦定理得：冬=芸，所以4。="尔”=6君，

sinAsinBsinA

因为C=180°—6—A=30,所以=gxCAxC3xsinC=96.

3.A

【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算.

【详解】因为tana=2,

所以sin?。+cos2a_sin2a+cos2a-sin2。_cos2a111

sin2a+cos2a2sinacosa+cos2a2sinacosa+cos2a2tana+12x2+15

4.C

【分析】根据集合的补集、交集运算即可.

【详解】因为集合4={1,2,3,4,5,6},5={2,3},C={2,4,6},

所以。3={1,4,5,6},所以&8)C={4,6}.

5.C

【解析】根据线面、面面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于A,若〃z_Lc,存在“up的情况，A错误；

对于B,若根//a,wua,存在机，“异面的情况，8错误；

对于C,若"//a,nlip,则在a,£内分别存在直线/,/'与〃平行，由线面平行的性质可知：ll/mlll',:.mlln,

C正确；

答案第1页，共10页

对于。，若AEM,则存在直线A5不垂直于平面夕，O错误.

6.A

【分析】由数量积的运算律求出a/，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小.

【详解】因为卜+26).,-6)=—:，所以同2+入6_21『=_：.

因为何=1,W=6,所以

3

cos<a,b>=^=：=2,则向量“与。的夹角为J.

同忖1x^/326

7.A

【分析】由5“-5,1=%>0可判断充分性；取4=1,q可判断必要性.

【详解】在等比数列｛4｝中，4>。，4>1,则%=a/q"T>0,

当时，S,「S,i=a“>。，所以S“单调递增，故充分性成立;

1.1-W"「1

当S“单调递增时，q=l,q=；时,一7」=2]勺单调递增，但是推不出生>0应>1,故必

2

要性不成立.

8.C

【分析】先求出两圆的圆心和半径，设设过点P的直线与圆V+G-2)2=3切于点A3,与圆元2+G-2)2=4

切于点M,N,连接PC,AC,BC,MC,NC,由过点P与圆/+产一分+1=0相切的两条直线的夹角为方，可

求出|PC|=2g,然后在Rt尸C修中可求出sinNMPC,cosZMPC,再利用正弦的二倍角公式可求得结果.

【详解】由/+/_分+1=0,得Y+(y-2)2=3,则圆心C(0,2),半径[&,

由％2+y2-4y=0,得％2+(y_2)2=4,则圆心C(0,2),半径马=2,

设过点尸的直线与圆v+(y—2)2=3切于点45,与圆f+(y—2)2=4切于点河小，

连接PC,AC,6cMeNC,则AC_LAP,5C_LP5,CM_LPM,GV_L/W,

答案第2页，共10页

因为过点P与圆/+/-分+1=。相切的两条直线的夹角为方,

TT7T

所以NAPB=—,则NAPC=N5PC=—,

36

所以田=2“|=2/;=2后

在RtPCW中，忸。|=26，|MC|=2,所以|尸闾==J12-4=2&,

.\MC\21MP2V2V2

所以sin/MPC=-；----r=—广=—,=,cosZMPC=

\PC\26V3记一访一国'

因为NMPN=2ZMPC,

所以sinZMPN=sin(2ZMPC)=2sinZMPC-cosZMPC=2x—

A/3>/33

即sin”半

9.AC

【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案.

【详解】

答案第3页，共10页

A选项：七/二①十②，则N②，故A正确;

B选项：^N=®+@,则MgN=④，故B错；

C选项：故C正确；

D选项：(物W)(/)=①，故D错.

10.AD

【分析】解不等式求出A,B,再进行集合交并补运算逐一验证四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】由|3x-l|»2可得3x-122或3X—1V—2,解得：xNl或xW-g,

所以4=，次4一；或％21}；

由可得八尤二2),解得：1<%(2,

x-1[x-1^0

所以B={x[l<x42}；

对于A：因为A=1x]xW-;或久21},B={x|l<x<2},所以AB=B,故选项A正确；

对于B：由3={*|1<天42}可得=或无>2},

又因为A=，|x4-;或久之1},所以口{1}"2,+⑹，故选项B不正确；

对于C：因为A=1x]xW-；或久N1},B=[x\\<x<ir\,

所以ADB=A=1X|X4-；或“21},所以=故选项C不正确；

对于D：因为A=1x|xW-；或％21},所以4A=1x|-;<x<l],

因为3={x[l<x42},所以低=(1,2],故选项D正确；

11.BC

【分析】对于A,曲线C可化为V+y2=L,表示圆，可求半径，判断A;

n

11一

对于B,机>〃>0时，曲线。可化为11,0<—<—可判断表不椭圆，判断B;

mn

mn

答案第4页，共10页

对于c,将点卜夜,6）,[-孚，四，代入曲线C：^2+«/=1,求得曲线方程，

判断C;对于D,可举特例进行说明，判断D.

【详解】对于A,m=〃>0时，曲线C可化为+其半径为;=（，故A错误;

《+二=111

对于B,〃7>w>0时，曲线C可化为1+1一表示的是椭圆，而0<—<—,

mn

mn

所以其焦点在y轴上，故B正确；

对于C,将点卜夜,6）,卜平，夜[，代入曲线C：mx2+ny2=l,

2m+3n=1m=1

有5m-y=>1,mn<0,所以曲线C是双曲线，故C正确;

------卜2几=1n=——

33

对于D,若m=1,〃=0,满足条件，此时曲线C：炉=1,表示两条直线,

故D错误,

12.2：3：(-4)

【详解】试题分析：由4[0,2,?121,-1,胃,012」,胃得42=1-3,-£|,40=12,-1,一（

y,z)=O

因为为平面的法向量，则有ABz=O,AC“=。，即j-(x,y,z)=0

x—3y——z=0

{,43i

由向量的数量积的运算法则有。7°解得y=-1z,x=z

-2x-y--z=042

所以无:y:z=[卦UO=2:3:（一4）

故正确答案为2:3:（7）

13.{砚<2}

【分析】根据空集的定义，要使集合。={彳|《+1<》42左一1}=0,则2左一1〈人+1,解之即可求解.

答案第5页，共10页

【详解】vQ={x\k+l<x<2k-\]=0,.\2k-l<k+l,

解得左＜2,因此实数上的取值范围是卜|左＜2}.

故答案为：伙k＜2}.

14.2-&或-1+6

22

【分析】将函数/(x)表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的

二倍角公式求解.

/、|4sinX,XG[0,7I1

【详解】由题可知“X=~,；1，

1—2sm%,%£(兀,2兀J

J4COSX,XG[0,7T]

[-2COSX,XG(K,2TI]?

g'(%)=cos2x,xG[0,2TI]

当无o£[0,兀)时，由题意得，/(尤o)=g'5)，

2

所以4cosx0=cos2x0,gp2cosx0-4cosx0-1=0,

解得cos/二4土;指,即cosx()=2+,(舍)或cos/=2,,

当不«兀,2句时，由题意得，f'(%o)=g'(%o)，

2

所以一2cos/=cos2x0,即2cosx0+2cosx0-l=0,

解得cos%=2,即cos/二1'(舍)或cos/二1；"，

故答案为：三色或士

22

15.(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据及点到面的距离公式运算求解.

【详解】(1)如图，连接A，，B、D、,BD.

因为长方体ABCD-A4G2中,3片//DD、且BBy=DR,

所以四边形瓦2Q为平行四边形.

答案第6页，共10页

所以E为8,的中点,

在.ABD1中，因为E,尸分别为BA和43的中点,

所以EF//AD1.

因为EF(X平面AORA,AD1u平面ADDlAi,

所以EF//平面AO£»iA.

(2)如图建立空间直角坐标系。-孙z,因为长方体中AA=AO=2,CD=2a,

则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2A/2,0),3(2,20,0),F(2,叵0),

4(2,2夜,2),E(1,V2,1).

所以CE=(1,-&,1),CT=(2,-0,0),

设平面CEF的法向量为根=(菁,％,Z]),

mCE-0,fx-V2y,+z,=0

则即‘二I,

m-CF=0,[2%一戊％=0

令玉=1,则％=，Z]=1,可得m=(1,y]2,1).

AF=(0,72,0),

|AF•m\

所以点A到平面CEF的距离为d==1.

\m\

答案第7页，共10页

241

16.(i)r=-^=^(n)/(%)max=i/(x)nun=--

【分析】先求出f(x),然后根据三角函数的性质求解即可.

【详解】f{x}=a-b=A/3sinA：COSX-^COS2X

=——sin2x——cos2x

22

=sin(2x-6)

(I)f(x)的最小正周期为7=要27r=万.

(II)xG[0,—],2x---G[-----,—],sin(2x-----)E[—,1]

266662

故当2x—g=彳即x=g时，/«ax=l

623

ITTTI

当2元一二一公即尤=°时，f^=--

662

⑵10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sinZAD5,再结合结合同角的三角函数关系即可求解;

（2）先结合（1）及三角形面积公式求出。C,再根据余弦定理即可求解.

BDAB

【详解】（1）在△海中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

即——=--------MMsinZADB=—,

sin45sinZADB5

又0<ZADB<90,

____________

所以cosZADB=yjl-sin2ZADB=.

(2)结合(1)可得cos/8£>C=cos(90-ZADB)=sinZADB=,

则sin/BOC=cos?NBDC=卓，

又SBCD=；DBDC.sinNBDC,即4A=Lxl0xZ)Cx疸，解得。C=4五,

225

则由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD-DCcosZBDC=100,

又3C>0,所以BC=10.

答案第8页，共10页

2兀

18.(l)C=y;

⑵(0,1-亭.

【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再由余弦定理求解作答.

(2)根据已知结合三角形面积公式求出关的函数关系，再利用均值不等式求解作答.

22