中考复习专题：八类最值问题汇 总模块五（原卷版）

上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN=.返型对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 【例题1】三种处理策略如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60o，得到P’，EP’的最小值BEBEPDCAP' P始P始EPEP'始P末CBDC定点P'A手结构，通过全等证明.答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的60o，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便．EPDEPDCP'AEPDBBC'P'A第四层：分析∠CAP和∠CBP’BB30°DCP'AEPBBEPEPCAP'答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求将点EC绕点C顺时针旋转60o，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值BBEBBEPDCGAP'GEPDCAP'ABDHBDHP'EPC∵△ABC是等边三角形，BEPBEPDCGAP'∴∠PCG=∠ECP’日拱一卒,功不唐捐过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求．BABHHEGPDCP'2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题已知点A(2,0)，点B是直线y2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.AABCyAAOExByCAABCy【简析】2BC+OC=AC+OC，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点M(2,-2)，构造旋转相似，易知ÐCAN=90°,可知C点轨迹为y=-x-2，作O'(-2,-2)，日拱一卒,功不唐捐yAyAOO'NMCxBANMCBy（3）记D(0,2)，①求DC+OB的最小值；②求2OB+OC的最小值yyDOCABxBBCyDOAyDOO'CABPPQAMOAQAQPO【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？【小结】根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对【例题1】如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为．【例题2】如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为．上的一个动点，过点P作eM的切线，切点为Q，则PQ的最小值为【巩固练习3】如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB长的取值范围为．【题型2】直线型轨迹（三种解题策略）FGBFGBECADFGBECADGECFADB【例题2】如图，已知点A(3,0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120。到线段AC，若点C的坐标为(7,h)，则h=．【巩固练习1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为【巩固练习2】如图，在平行四边形ABCD中，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60O得到BF，连接AF，AB=12，7ABC=45O，求AF的最小值．【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4P是x轴上一动点，把线【巩固练习4】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45O到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小【巩固练习5】如图，在△ABC中，AB=AC=2，7BAC=120O，对称轴AD交BC于点D，点E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转30O得FC，连接DF，则DF长ADCFCFGBE 底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为．ADCFCFGBE【题型3】线段和【例题1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60O得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90O得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的最小值连接AE、BE，则AE＋BE的最小值为日拱一卒,功不唐捐EDEDFAB【题型4】圆弧型轨迹O为AB的中点，◎O的半径为1O为AB的中点，◎O的半径为1，点P是◎O上一动点，以PB为直角ACPPCPPAOBDCACAB【巩固练习1】如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B【巩固练习2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是◎A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90O并缩短到原来的一半，得到线段DF，连接AF，则AF的最小值是．ADCQCQPB【题型5】加权线段和12CACABDFEQQAPxyO【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)，点C的坐标是(0,-2)，点B(x,0)12【题型6】路径长度类问题FAADEBGBGC【巩固练习2】如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF丄PE，交射线BC于点F，则．若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为．【题型7】取到最值时求其它量【例题1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针【巩固练习1】如图，线段AB=8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120。得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使LDCE=90o,LE=30o，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，ΔBCD的面积为．BDCDCBCBDFAE【巩固练习3】如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且LDBC=30O．(1)若7BDC=90O，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且LAEB=90O，LEBA=30O，连接DE