河南省九师联盟2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题

河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在数列｛%｝中，为=2,0“=,则。5=（）

A.—B.—C.16D.32

168

2.已知直线4+为，+1=0在y轴上的截距是T,其倾斜角是直线岳-了=0的倾斜角的2

倍，贝!I（）

A.A—V3,B—1B.A=—y/3,B——1C.A—y/i,B=—1D.A——\/3,B=1

3.顶点在原点，关于〉轴对称，并且经过点M（-2,1）的抛物线方程为（）

A./=；xB.y2=~^xC.x2-4yD.x2=-4y

4.已知等差数列｛4｝的前“项和为S"，若品）=20,则%的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.已知数列｛%｝中，%=l,a“H=f"+L：为餐;，则数列｛氏｝前2024项的和为（）

[-%+2,”为偶数

A.0B.1012C.2024D.4048

6.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生

日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的

一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不

计），需要经过的时间最少为（）

A.3天B.4天C.5天D.6天

7.记曲线£片2+_/一2国-23=0（/+/70）围成的平面图形的面积为岳，曲线

C2：|x|+3=2围成的平面图形的面积为S?,则5「邑=（）

A.8+4兀B.4A/27TC.16D.47t

8.已知抛物线=6y的准线交V轴于点M,过点M作直线/交E于4B两点，且

MA=3MB＜则直线/的斜率是（）

试卷第1页，共4页

A.±V3B.土孚C.土孚

二、多选题

9.下列数列中，为递增数列的是（）

A.a...=-----B.a“=+1—JTC.d„=n2—3nD.a=2."H-----

n+\2"

10.如图，在正方体/2CO-44中,G为底面4耳£2的中心，E,F分别为AB,BBX的

中点，尸点满足万+万=赤+就，则）

A.〃平面EFGB.〃平面EFG

----1-----1---►1---►

C.GF=-B,B+-CB--ABD.尸,G,E,尸四点共面

222

11.已知尸为圆片：1+2>+必=4上任意一点，巴（2,0）,线段率的垂直平分线交直线尸片

于点“，记点M的轨迹为曲线“，设/（七,%）,5（9,％）在曲线H上，且

AFX//BF2,xlx2<0,>0,则（）

2

A.曲线”的方程为Y一匕=1

3

B.曲线反的离心率为近

C.经过（-1,6）且与曲线b只有一个公共点的直线恰有两条

D.四边形/片耳B面积的最小值为8

三、填空题

12.如图，若三棱柱/8C-的所有棱长都是1,乙4/圈=444£=60。，。是棱BC的

中点，则4。两点之间的距离等于.

试卷第2页，共4页

13.若数列｛%｝满足a“=/-9”+18,且S.为其前〃项和，则S”的最小值为.

14.已知抛物线C:了2=2x,尸为抛物线C上任意一点，过点P向圆。:/+/一4》+3=0作切

线，切点分别为48,则方.而的最小值为.

四、解答题

15.已知S“是数列｛g｝的前"项和,3s4=4邑+12.

⑴求邑；

(2)求数列｛对｝的通项公式.

16.如图，在三棱台/8C-44cl中，平面=是边长为2的正三角

⑵求B、C与平面AB,C,所成角的正弦值.

22

17.已知椭圆+的离心率为:，左焦点为尸，尸是C上任意一点，且|尸尸|

的最大值为3.

⑴求C的方程；

(2)设C的右顶点为3,直线/的方程为x=〃沙-1,若直线/交C于”,N两点，求证：直线

的斜率之和为-加，

试卷第3页，共4页

18.设厂为抛物线。：/=2°W°>0)的焦点，为C上三个不同的点，且

西+成+q=6,同|+|司+|可=6

(1)求C的方程;

⑵设过点F的直线/交C于尸，。两点.

14

①若直线/交圆Y+y2-2x=0于两点，其中尸，河位于第一象限，求网+国的最

小值;

②过点尸作/的垂线”7,直线相交C于42两点，设线段尸。的中点分别为D,E,求证:

直线过定点.

19.对于各项均为正数的无穷数列｛%｝,若V〃eN*,都有一d=",其中d为非零常数,

则称数列｛%｝是G-d数列.

(1)判断无穷数列｛历三林口｛ln2"｝是不是G-d数列？若是，求出相应的常数d的值；若不

是，请说明理由;

(2)若｛%｝是G-4数列，且d=%=l,

①记｛叫的前〃项和为S“，求证：S„Sn+2+3<

-2)・24T

，”为奇数

22

aa

②对任意的正整数"，设”=nn+2，求数列｛4｝的前2〃项和.

2

宅，〃为偶数

I2"

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DACBCADBADABD

题号11

答案AC

1.D

【分析】根据等比数列的通项公式计算.

【详解】=2,tzw=｝-an^,则^^二2,

a

2n

则｛%｝是公比为2的等比数列，

4

a5=2x2=32,

故选：D.

2.A

【分析】根据截距的定义，可得所求直线与V轴的交点，根据直线百x-y=O求得倾斜角,

通过斜率定义，可得答案.

【详解】由直线公+协+1=0在y轴上的截距是-1,则直线过(0,-1),可得

^-0+5-(-1)+1=0,解得2=1；

由直线底->=0,设该直线的倾斜角为贝iJtana=VL解得a=60。，

设直线/x+y+l=0的倾斜角为尸，斜率为左，

由夕=2a=120°,贝!］左=tan/?=tanl20。=-占，

由上=—A,则—/=—^3,解得A=垂!.

故选：A.

3.C

【分析】根据题意，利用待定系数法求出抛物线方程，从而得解.

【详解】依题意，设抛物线方程为f④(aw0),

将M(-2,1)代入得(一2『=axl,贝3=4,

所以所求抛物线方程为X?=4»

答案第1页，共16页

故选：c.

4.B

【分析】由等差数列的前〃项和性质求得出+&，然后由基本不等式得最大值.

【详解】｛%｝是等差数列，则洋=10（"；4）=20,%+4=4,

要使得%最大，则%>°，。6>°，

此时a5a6<（生岁）2=4,当且仅当%=&=2时取等号，

故选：B.

5.C

【分析】根据题目中的递推公式，利用列举法，写出数列前若干项，可得数列的周期性，可

得答案.

【详解】由题意可得出="1+1=2,%=—。2+2=。，&=%+1=1，。5=—“4+2=1,

4=%+1=2,...

则可得下表：

L

%a2a3%a5《a7。9

120112011L

易知数列｛4｝存在周期性，最小正周期为4,

由2024+4=506,贝！JS2024=506x(q+%+/+%)=2024.

故选：C.

6.A

【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式

得到关于〃的不等式，解之即可得解.

【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半,

所以蒲生长长度构成首项为a,=3,公比为％的等比数列,

3x

其前”项和为s“=一-----------=6-6x

1--I

2

答案第2页，共16页

又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，

则莞生长长度构成首项为4=1,公比为%=2的等比数列,

其前«项和为7；=lx,；)=2"-1>

由题意得北>外，即2"_1>6-6X]£|,贝|2"+:>7,

令f=2",则92,t+->l,解得t>6,即2">6，

t

又2?=4<6,23-8>6,所以需要经过的时间最少为3天.

故选：A.

7.D

【分析】依次讨论两曲线中阳〉的正负，去掉绝对值得到曲线的图形，再利用数形结合即可

得解.

【详解】对于曲线G：X2+/-2闰-23=0(/+/30),

当％>0,V>0时，曲线G：=2；

当％>0,y<o时，曲线G：(X—1)2+(V+1『=2；

当x<0,歹〉0时，曲线G:(x+l『=2；

当x<0,歹<0时，曲线G：(x+l)2+(y+l)2=2；

因为％2+/。0,所以X,V不同时为0,

则曲线。围成的面积可分割为一个边长为2近的正方形和四个半径为行的半圆,

故面积为S]=20x2旨+23(行尸=8+4兀，故A正确；

答案第3页，共16页

对于曲线。2：恸+回=2,

当x>0,y>0时，曲线C?:x+y=2；

当尤＞0,了＜0时，曲线C2：x-y=2；

当x<0,y>0时，曲线C2:一x+y=2；

当x<0,y<0时，曲线C2:-x-y=2；

则曲线C2围成的面积为上图虚线围成的边长为2板的正方形,

故面积为S2—2^2x2^2=8，

所以H-S2=4T!.

故选：D.

8.B

【分析】利用抛物线方程得到/的坐标，进而假设直线/的方程，联立直线与抛物线方程,

利用韦达定理与向量的坐标表示求得占、马,进而求出左，从而得解.

【详解】因为抛物线E：d=6y的准线为y=-|,所以

因为直线/交£于两点，所以直线/的斜率存在且不为0,

故可设直线/的方程为〉=履-万，/(七,必)，5(%,%),

’73

V—KX----

联立＜2,消去y得/-6kx+9=0,

x2=6y

所以A=36〃一36>0,即左2>i,x{+x2=6k,xxx2=9,

因为疝=3砺，所以卜1，%+"|)=3卜2，%+:

得X]=3%2，

，解得实

二3V3、占二-3区

所以4=土土三=±空，满足F＞1.

63

故选：B.

9.AD

【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可.

答案第4页，共16页

〃+1n(〃+1)2-〃(〃+2)

【详解】对于A.a“+1＞0,所以。,+1

〃+2〃+1(〃+2)(〃+1)

所以｛%｝为递增数列，故A正确;

对于B,a„=\n+“+；+”,所以｛%｝为递减数列，故B错误;

对于C,因为°“=〃2-3〃，贝|%=-2,%=-2,所以｛《,｝不单调，故C错误;

对于D,。用一。“=2小+击-2"-：=2"-击＞0,所以0用＞见，所以｛见｝为递增数列,

故D正确.

故选：AD.

10.ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断A、B、C,求出尸点坐标,

再推导出屋=一而，即可判断D.

【详解】以A为坐标原点，以/民40,44］分别为x/，z轴建立空间直角坐标系，如图,

G(2,2,2),0(0,2,0),3(2,0,0),0(0,2,2)*(,0,0),G(l,1,2),尸(2,0,1)，与(2,0,2),4(0,0,2),

则四=(0,1,2),FE=(-l,0,-l),QD=(-2,0-2),西=(-2,2,2),

设平面EFG的法向量万=(x,%z),贝!!_一一

n-EG-y+2z=0

令x=l,则y=2,z=-l,即亢=(1,2,-1),

因为甲•方=0,且CQZ平面EFG,所以CQ〃平面EFG,故A正确；

因为西•拓=-2xl+2x2+2x（-l）=0,800平面MG,所以平面斯G,故B正确;

因为不=（1,一1,一1）,瓦5=（0,0,-2）,口=（0,-2,0）,益=（2,0,0）,

答案第5页，共16页

所以砺=:而+!加，故C错误；

222

因为旅+/=近+就，

所以万=存+就-万=（1,0,0升（1，1，2H加，）@，U），即尸（O,U），

所以同=0,0,1）,F£=（-l,0,-l）,所以匠=-所，

所以而〃咒，所以RG,瓦尸四点共面，故D正确.

故选：ABD

11.AC

【分析】由双曲线的定义结合其标准方程即可判断A,再由双曲线离心率的计算公式即可判

断B,分直线斜率存在与不存在讨论，即可判断C,由条件将问题转化为四边形N8QV面积

的一半，然后联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理代入计算，即可判断.

【详解】对于A,圆片：（x+2『+/=4的圆心为£（-2,0）,半径,-2,

因为线段尸鸟的垂直平分线交直线于点M,则|儿倒=|M周，

所以加国一眼耳卜\^MP\-\MF^=2<闺典=4,

所以点”的轨迹是以耳，片为焦点的双曲线，其中2a=2,c=2,

2

所以6=77=7=百，所以曲线8的方程为/=1,故A正确；

对于B,因为a=l,c=2,所以该双曲线的离心率为2,故B错误；

对于C,当直线的斜率不存在时，经过（-1,石）且与曲线“相切的直线是x=-l,符合题意;

当直线斜率存在时，经过（-1,石）的直线与曲线〃的渐近线y=Gx平行时，也满足条件，

所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；

对于D,因为尤述2<0,yty2>0,贝！］/,3分别在两支上，

且/,3都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方，

又AFJ/BF?,则/在第二象限，B在第一象限，

如图所示，延长交双曲线于点N,延长3&交双曲线于点。，

由对称性知四边形43QN为平行四边形，且面积为四边形/片工5面积的2倍.

由题设。（不，为），直线/N的方程为x=7«y-2,直线2。的方程为了=町+2,

答案第6页，共16页

x=my+2

联立2丁_消去X并整理得(3/-l)r+12%+9=0,且3/-1H0,

[3

A=(12m)2-4(3m2-l)x9=132m2+36>0,8+/=--%%=—?—

''''233m2-1233m2-1

22

易得忸O|=Jl+m\y2-y3\=71+m]3+%丫一4%%

2

12mY，92736m+36

=y/l+mx-----------7-----------

3m2-1)3m2-1|3m2-11

因为％%=丁\<°，所以3--1<0,所以130=6（1+加：），

3m--1\-3rn2

4

两条直线AN与8。间的距离d=/,

71+m

所以SgB=^SANQB=\BQ区"=I'：；I，

,_____-0A、a12?_12

令（=用幅，注1,堂，所以'皿劭一百^一亏，

4

因为g«)=--3/在/€上单调递减，且g«）>0,

t

当1=1即"7=0时，取得最小值为12,故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，得到韦达定理式,

再利用弦长公式表示出面积，求出其最值即可.

12.叵

2

【分析】取空间的一个基底｛%!,病,而｝,表示出向量4万，再借助空间向量数量积求出

答案第7页，共16页

距离.

c

【详解】三棱柱/5C-45cl的所有棱长都是=ZAA1C1=ZB1A1C1=60f

AXA-AXBX=444G='AyCx=lxlxcos60。=；,

池=m+方+丽=9+病+^^=聋+函+

1—►——►——►

=-(2AiA+AiBl+AiCi),

贝ij14。|=+4司+4G+4/1/,4g+44]4,4G+24片,4G

=-V4+1+1+2+2+1=—，

22

所以4,。两点之间的距离等于反.

2

故答案为：且

2

13.10

【分析】先由。”的通项公式分析得只有%，%为负数，从而判断得S"的最小值为H或Ss或

£，再依次求得｛%｝的前6项，得到H或Ss或其的值，从而得解.

【详解】令=〃2-9〃+18<0,解得3<“<6,

所以数列｛。“｝中，只有%，%为负数，

所以S"的最小值为H或邑或A，

又H=%=F_9xl+18=10,出=2。-9x2+18=4,

*23

%=3?-9x3+18=0,a4=4-9x4+18=-2,

22

a5=5—9x5+18=—2,a6=6—9x6+18=0,

则S5=2=10,所以S"的最小值为10.

故答案为：10.

2

14.-

3

【分析】利用两点间的距离求得抛物线上的点尸到圆心。的距离|尸玩山=6,利用

答案第8页，共16页

uuruurluuriiuuri7

PA-PB^A^附cosNAPB=\PD[+而y一3可求最小值.

【详解】圆。：x2+/-4x+3=0的标准方程是卜-2『+y=1,则圆心为。(2,0),半径为

r=|/X4|=1,

设一

\PD\=-2)2+3,所以即L=5

22

石尸比+二^-3>3+——3=—

|PZ)|33-

2

所以2.丽的最小值为;.

故答案为：j2.

15.(1)5„=«(»+1)

(2)«„=2«

【分析】(1)根据等差数列的概念，设出公差，利用题目中的等式，求得公差，可得答案;

(2)利用前〃项和与通项之间的关系，可得答案.

【详解】(1)设，=斗，由数列是等差数列，即数列｛勾｝为等差数列，则设公差

n+1［及+lJ

为d,

由q=2,则打==g=1,

1+12

由4=袅=与，即邑=44,4=臭=当，即凡=5”,

3+144+15

则$=44=4(1+24),邑=54=5(1+34),

由3s4=4昆+12,可得3x5(l+3d)=4x4(l+2d)+12,解得"=1,

所以等差数列｛2｝的首项为1,公差为1,可得或=〃，即丹=〃，S“=〃("+l).

(2)当〃=1时，51=a1=lx(l+l)=2,符合题意；

当"W2时，%=S“—Si+=，

答案第9页，共16页

将〃=1代入上式，可得。1=2也适合,

所以%=2n.

16.（1）证明见详解

⑵理

【分析】（1）先证明/8，平面耳。C,继而利用线面垂直的性质证明;

（2）可建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，所求角的正弦值即为直线的方向向量与

平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值.

则说巴。是平行四边形,

故AAJOB、,结合平面/3C,则。耳，平面N8C；

而ABu平面ABC,故OB[±AB,

CO是等边三角形48c的中线，OCLAB.

0c和在平面3QC内，且OCnO4=O,所以平面片。C；

平面4OC,故48,用C.

（2）中已证，4。，平面4BC,且4BLOC,故。4，0/与OC两两垂直,

可分别以。/,0c和04为X轴，y轴，z轴正向，建立空间直角坐标系：

耳(0,0,1),C(0,V3,0),/(TO,O)，G(-g,?,l),福=(1,0,1),

布=（g片,1），麻=（0,后-1）；

答案第10页，共16页

%+Z。=0

一n-AB,=0

设平面451G的一个法向量为n=Oo/o/o）,则＜——,,即＜1V3八令％=1，

x

n-AC1=0-o+丁%+Zo=0

可求得1=（1,4,T）.

根据线面角的定义，所求角的正弦值即为3与麻所成角的余弦值的绝对值,

将坐标代入计算得：而=孚，|%|=2,”.麻

cos元，B）C\=2,

|cos77,————•

故耳。与平面ABC所成角的正弦值为.

7

22

17.⑴土+匕=1；

43

⑵证明见解析.

【分析】（1）由题意得出关于的方程组，解得后再求出6即得;

（2）设河（士,必）,纵＞2，%）,直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得%+%,%%，然后代入

3B+/B化简即得.

c_1c_

———CL—291-----_

【详解】(1)由题意。2.解得，贝心=77=7=6,

a+c=310

22

所以椭圆方程为土+匕=1；

43

(2)设〃(演,必),阳々,%),又5(2,0),

f22

二+匕=1

由<43得(3冽之+4)j?_6町一9=0,

x=my-1

9

所以脸+4”二+上^一+f=」孙玉”+叱

+

xy-2x2-2myx-3my2-3my1y2-3m(yx+y2)"

18m18m

=3加2+43ml+4__

-9m218m2~,

----------------+9

3m2+43m2+4

答案第11页，共16页

18.（1）/=4x

⑵①4；②证明见解析

【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，根据向量的坐标运算以及抛物线的定

义，建立方程组，可得答案；

（2）①利用分类讨论，分直线斜率是否存在两种情况，表示出直线，联立抛物线方程，写

出韦达定理，结合抛物线定义以及圆的性质，整理代数式，利用基本不等式，可得答案；

②同①写出韦达定理，根据中点坐标公式，利用点斜式方程，可得答案.

【详解】⑴由抛物线C:/=2/，则尸准线方程为x=1，

由为C上三个不同的点，设工（项,%）,%（%2，%），4（尤3，%），

则冏=再+自回=%+壬环=%+勺

由同|+„+|可=6,则玉+々+X3=6,

由行=（再/，%）亘局=卜/，为J,

J3.FT]+FT2+FT3=6,贝！lx1+X2+X3-QP=0,

33

所以5。+5P=6,解得。=2,故椭圆C的方程为/=4x.

（2）①由题意作图如下：

由/+/—2x=0,整理可得（x-iy+V=1,贝IJ圆心为F（1,O）,半径厂=1,

答案第12页，共16页

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,代入抛物线C:产=4x,解得y=±2,则

尸(1,2),一2),

将x=l代入圆X2+J?-2X=0,解得y=±l,则

14

所以|尸间=1,例=1,此时向+同=5；

当直线/的斜率存在时，由题意可得发看0,直线/的方程可设为y=履-上设

产（8%），。（%5，%）

联立可得，消去了整理可得入2-2（/+2卜+/=0,

42

A=[-2（F+2）]-4A：=\6k+\6>0,+x5=——-,x4x5=1>

易知1PM=|尸司一/二%4+"|■—/二'4，\QN\=\QF\~r=X5+~^~r=X5，

14144X.

所以府+西=「『FT4=4X4+X5,

由％%>0,则忸所+@82254无4=4,当且仅当4匕=%，即匕=/,%=2时，等号成

立，

14

综上所述，忸间+向可的最小值为4.

②证明：由题意可作图如下：

由题意可知直线/的斜率存在且不为零，可设该直线方程为了=履-左,

由①可得，设网辱,4）,。（利,人），则丫.+和=2（,+2）,

K

由直线机垂直直线/,且垂足为尸，则该直线方程为了=-JX+J,

kk

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11

联立.一k左，消去y整理可得V-2（1+2/卜+1=0,

y2=4x

"=12（1+2斤2）了一4=16产+16F>0，

设/（乙，力），8（/，%），则吃+/=2（1+2r）,

设。,且线段尸。的中点分别为2E，

-

Xp+XQk~+2yp+yQk(xp+XQj_2A2

y0=^r=2=i

肛+/=1+2后2,

2

-+2k

当斤片±1时，直线DE斜率存在，直线DE的斜率后'=一一二k

X-X产+21-F

DE一1-2公

可得方程为了一方=左'@一女），则尸2左=74y1一1一2左）

\—K

整理可得-了产+（y-x+3）笈=0,

\—y=0\x=3/、

令二+3"解得5=0'所以直线。石过定点0，°）•

当后=±1时，直线DE斜率不存在，易知玄=%=3,

直线DE的方程为x=3,此时直线过（3,0）；

综上所述，所以直线DE过定点（3,0）.

19.（1）｛。4〃-3｝是G-d数列,1=4；｛也2"｝不是G-d数列

⑵①证明见解析；②上一-处叱-f

2〃+19x4"9

【分析】（1）利用数列新定义，依次分析判断两个数列即可得解；

（2）①利用数列新定义推得｛4｝是等差数列，从而求得与耳，再利用作差法即可得证；

②分类讨论n为奇数和偶数时数列｛2｝的通项公式，再分别利用指数型裂项相消法与错位相

减求和求得和fak，从而得解.

k=\左=1

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