沪教版九年级数学重难点专项突破：相似三角形中的“8”字模型（3种题型）（原卷版+解析）

重难点专项突破01相似三角形中的“8”字模型（3种题型）

【知识梳理】

8字一平行型

条件：CDWAB,

结论：△以6〜（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面积相等;

四边形力8。为一般梯形.

条件：CD\\AB,PD=PC.

结论：△以8〜△QC。〜APOa上下相似）

△PA!>"BC左右全等；

四边形26。为等腰梯形；

8字一不平行型

D

条件：乙CDP;乙BAP.

结论:A4P8〜△Z?QC（上下相似）;

〜△6。。左右相似）;

【考点剖析】

题型一：8字-平行型

（1）直接利用"8"字型解题

例1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若DE:EC=1:2,则班':班=

例2.如图，尸为ABCD对角线皮）上任意一点.求证：PQ.PI=PR-PS.

BI'1

例3.如图，在平行四边形中，CD的延长线上有一点E,BE交AC于点尸，交于点G.

求证：BF2=FG.EF.

例4.如图，点C在线段钻上，AAMC和ACBN都是等边三角形.

(2)MD.EB=ME.DC.

例5.如图，已知AB//CCV/EF.AB=m,CD=n,求£F的长.（用机、〃的代数式表示）.

BF

1

例6.如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，一=—，3E的延长线交CD的延长线于点G,

EC3

交AD于点尸，求3尸:FG的值.

例7.如图，/J//?，AF:FB=2:5,BC:CD=4:1,求的值.

(2)添加辅助线构造“8”字模型解题

Af1AF

例8.过A4BC的顶点C任作一直线，与边A5及中线A0分别交于点尸、E.求证：—=2—.

EDFB

B

D

例9.如图，是AABC的内角平分线.求证：—

ACDC

题型二：8字-不平行型

例10.如图，/BEC=/CDB,下列结论正确的是（）

B.BE・CD=BF・CF

C.AE*AB=AD*ACD.AE・BE=AD・DC

【过关检测】

选择题（共3小题）

1.（2023•静安区校级一模）如图，在△A3C中，中线与中线相交于点G,联结。£下列结论成立

的是（）

A.DG]AGRBGDE

OEGAB

CS^DEGD.S^CDE」

SAAGB4SAAGB2

2.（2023•徐汇区一模）如图，点。在△ABC边AB上，/ACD=/B,点尸是△4BC的角平分线AE■与C£>

的交点，且AF=2EF,则下列选项中不正确的是（）

AC3BE3BC3DB3

3.（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳（两条尺长AC和8。相等）可测

量零件的内孔直径AB.如果蚂=理=3,且量得CD=4t7",则零件的厚度x为（）

0C0D

A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm

二.填空题（共8小题）

4.（2022秋•奉贤区期中）如图，已知点。为△ABC中AC边的中点，AE//BC,ED交AB于点G,交BC

的延长线于点R若学*=3,8c=8,则AE的长为.

5.（2022•浦东新区校级模拟）如图，已知点。、E分别在△ABC的边CA、助的延长线上，DE//BC.DE；

BC=2：3,设CD=a，试用向量a表示向量DA，DA=.

6.（2022•静安区二模）如图，在梯形A8C。中，AD//BC,对角线AC、8。相交于点。，点E、尸分别是

边A8、C。的中点，AO：0c=1：4,设标=Z，那么而=.（用含向量7的式

子表示）

AD

7.（2023•静安区校级一模）在矩形ABC。内作正方形AEED（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边

所于点P.如果点尸恰好是边CD的黄金分割点（DP>FC）,且PE=2,那么PF=.

8.（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形中，AD//BC,对角线AC、8。相交于点O,如果△BCD

的面积是△A3。面积的2倍，那么△80C与△8OC的面积之比是.

9.（2022秋•虹口区校级月考）如图，梯形ABC。中，AO〃BC,,点E为边BC的中点，点/在边上且

3CF=CD,所交对角线AC于点G,则AG：GC=.

10.（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm为求出它的厚度尤，现用

一个交叉卡钳（AC和8。的长相等）去测量零件的内孔直径A8如果毁=史=』，且量得CD的长是

0A0B3

3cm,那么零件的厚度x是cm.

11.（2022春•闵行区校级月考）如图，梯形ABC。中，/。=90°,AB//CD,将线段CB绕着点B按顺时

针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处.联结AE、BE,设BE与边AD交于点F,如果AB=

4,且咨电■=!，那么梯形ABC。的中位线等于____.

^AABF2

三.解答题（共12小题）

12.（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABC。中，AD//BC,E是BC上一点,AE//CD,AE、2。相交于

点、F,EF：CD=1：3.

（1）求理的值；

AD

（2）联结PG设AB=a，FE=b.那么=，FC=.（用

向量a、b表示）

13.（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形42c。中，AD//BC,点E在对角线30上，/EAD=/BDC.

（1）求证：AE-BD=AD-DC；

（2）如果点歹在边DC上，且此望，求证：EF//BC.

14.（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形A8CQ中，点尸在边上，射线54、CP相交于点E,DF

=2AF.

（1）求EA：AB的值；

（2）如果就=；,,试用W、E表示向量.

B

15.（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点。在边上，AE//BC,BE与AD、AC分

别相交于点F、G,AF2=FG.FE.

（1）求证：ACADs4CBG；

（2）联结。G,求证：DG'AE=AB'AG.

16.（2022•松江区二模）已知：如图，两个和△ESC中，DA=DB,EB=EC,NADB=NBEC,且

点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED,AE与3。交于点?

（1）求证：更❷；

BFBC

（2）如果求证：DF=BE.

17.（2023•宝山区二模）如图，四边形ABC。中，AD//BC,AC、BD交于点、O,OB=OC.

(1)求证：AB=CD；

(2)E是边8C上一点，联结。E交AC于点R如果4。2=0＞。C,求证：四边形A3皮）是平行四边

形.

BEC

18.(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与8。交于点E,平分N4DC,且A8?

=BE・BD.

(1)求证：LABEsLDCE；

(2)AE，CD=BC・ED.

19.(2022春•杨浦区校级期中)如图1,在△ABC中，点E在AC的延长线上，且NE=/A3C.

(1)求证：AB2=AC'AE；

(2)如图2,。在BC上且80=3。，延长交8E于凡若胆=旦，求型的值.

AC2EF

20.(2023•崇明区二模)己知：如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BD交于E,M是边。C延长线

上的一点，联结AM,与边8c交于R与对角线8。交于点G.

(1)求证：AG2=GF-GM；

(2)联结CG,如果NA4G=/BCG,求证：平行四边形ABC。是菱形.

M

21.(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形A8CD中，ZABC=90°,AD//BC,BC=2AD,对角线AC与8。

交于点E.点尸是线段EC上一点，且NBO尸=/54C.

(1)求证：EB2=EF-EC；

,求PC的长.

B

22.（2021秋•嘉定区期末）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,点E在线段AD上，CE与8。相交于点反,

CE与8A的延长线相交于点G,已知。E：AE=2：3,BC=4DE,CE=10.求EH、GE的长.

23.（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=BC=5,点。为射线AB上一

动点，且比）＜A。，点8关于直线C。的对称点为点E,射线AE与射线C。交于点尸.

（1）当点。在边48上时，

①求证：ZAFC=45°；

②延长AF与边CB的延长线相交于点G,如果AEBG与ABDC相似，求线段BD的长；

(2)联结CE、BE,如果SAACE=12,求SMBE的值.

备用图

重难点专项突破01相似三角形中的“8”字模型（3

种题型）

【知识梳理】

8字一平行型

条件：CDWAB,

结论：△"8〜APCO（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面积相等;

四边形为一般梯形.

条件：CD\\4B,PD=PC.

结论：△以8〜APC。〜APOa上下相似）

△PAl>"BC左右全等；

四边形力6。为等腰梯形；

8字一不平行型

D

.'FA

4BAB

条件：乙CDP;乙BAP.

结论：A4演〜AOPa上下相似)；

ZL4Q。〜ASPq左右相似)；

W【考点剖析】

题型一：8字-平行型

(1)直接利用"8"字型解题

例1.如图，在平行四边形MCD中，点E在边DC上，若DE:EC=1:2,^iBF:BE=

二

BC

【答案】3:5.

【解析】DE:EC=1:2,可知式=名=2,

CDAB3

D174D4

由CE7/AB,可知一=—=—,i^.BF:BE=3:：5.

EFCE2

【总结】初步认识相似三角形中的"8"字型.

例2.如图，P为_MCD对角线班＞上任意一点.求证::PQ・PI=PR・PS.

R

产---------------------J--------乎［解析］证明：四边形ABCD为平行四边形,

:.AB!/CD,AD!IBC,

:.RB!/DI,SD//BQ.

根据三角形一边平行线的性质定理，贝IJ有红=£2=空,

PRPBPQ

:.PQPI^PRPS.

【总结】初步认识相似三角形中的"8"字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等

比例转化.

例3.如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E,BE交AC于点F,交

AD于点G.

求证：BF-=FG.EF.

【解析】证明：四边形回8为平行四边形,

:.AB//CD,AD//BC,

;.AB//CE,AG//BC.

根据三角形一边平行线的性质定理，

EFCFBF

则有:

而一而一而

BF'=FG.EF.

【总结】初步认识相似三角形中的"8"字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等

比例转化.

例4.如图,点C在线段上，A4MC和ACBN都是等边三角形.

MDAM

求证:(1)---二-----------

DCCN

(2)MD.EB=ME.DC.

【解析】证明：（1）AAMC和ACBN是等边三角形,

:.ZACM=ZNCB=ZAMC=60°.

・・,点C在线段AB上，

:,ZMCN=180o-ZACM-ZNCB=60°=ZAMC.

.MDAM

.'.AM//CN,

一~DC~~CN'

（2）同（1）易证得CM//3N,则有蟠=丝£

EBNB

AAMC和'CBN是等边三角形，

:.MC=AM,NB=CN,

MDME

/.MD.EB=ME.DC.

DC~EB

【总结】初步认识相似三角形中的〃8〃字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等

比例转化.

例5.如图，已知A5//CD/AEF.AB=m,CD=〃，求£F的长.（用相、〃的代数式表示）.

mn

【答案】

m+n

CFEFBF

【解析】由ABIICDIIEF,则有生

茄，而~BC

即空+空=1,得EFmn

mnm+n

【总结】考查相似三角形中"8"字型的综合应用，得到比例关系.

AF1

例6.如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，——=一,BE的延长线交CD的

EC3

延长线于点G,交AD于点F,求取:FG的值.

【答案】1:2.

ApAP1AF1AF1

【解析】由AF//BC,可得任=生=2，即生=工，故¥=工,由AB//DG,

BCEC3AD3FD2

可得：BF:FG=AF:FD=1:2.

【总结】考查相似三角形中"8〃字型的综合应用，得到比例关系.

例7.如图，＜//Z2,AF:FB=2:5,BC:CD=4:1,求的值.

【答案】2:1.

【解析】由/"《，得：-=-=-，又BC:CD=4:1,可得—故

BDFB5CD1

AE:EC^AG:CD^2:\.

【总结】考查相似三角形中"8"字型的综合应用，得到比例关系.

(2)添加辅助线构造“8”字模型解题

AF

例8.过AABC的顶点。任作一直线，与边A8及中线分别交于点RE.求证：——=2——.

EDFB

【解析】过点。作。G//AB交C尸于点G.

AE_AFDGCD

DG//AB

而一而'BF-CF

DG_1.AE_2AF

43是中线，BC=2CD,

而一5'…~ED~

【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型.

例9.如图，AD是AABC的内角平分线.求证：—=—

ACDC

4

【解析】过点C作CN//A?交4）的延长线于点

CM//AB

ABBD

ZBAD=ZM

CM~DC

是角平分线

..ZBAD=ZDAC；

/.ZM=ZDAC

..AC=CM

ABBD

AC-DC

【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识.

题型二：8字-不平行型

例10汝口图，NBEC=NCDB,下列结论正确的是（)

B.BE・CD=BF・CF

C.AE9AB=AD9ACD.AE・BE=AD・DC

【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFBs^DFC,然后利用等角的补角相

等得出NZEC=N4?8,最后证明△/BDs/vuTE,利用相似三角形的对应边成比例逐一判

断即可.

【解答】解：°：/BEC=NCDB,ZEFB=ZDFC,

:.AEFBSADFC,

.EFFB

"DF-FC

：.EF-FC=DF-FB,

故A不符合题意：

:AEFBSADFC,

.BEBF

CD-FC'

：.BE-CF=CD-BF,

故B不符合题意；

■:NBEC=NCDB,ZBEC+ZAEC^180°,ZBDC+ZADB^180°,

：.ZAEC=ZADB,

：.AABDSAACE,

.ABAD

"AC~AE'

：.AB-AE=AD'AC,

故C符合题意；

因为：AE,BE,AD,CD组不成三角形，也不存在比例关系，

故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是

解题的关键.

【过关检测】

选择题（共3小题）

1.（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC中，中线与中线8E相交于点G,联结。E.下

列结论成立的是（）

2」D.

SAAGB4SAAGB2

［分析】由AD,BE是△ABC的中线,得到DEMAABC的中位线,推出^DEGsAABG,

△CDEs/\CBA,由相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】解:AD,BE是△ABC的中线，

.•.OE是△ABC的中位线，

J.DE//AB,DE^—AB,

2

，ADEGsXABG,

：.DG：AG=DE：AB=1：2,BG-.EG=AB：DE,江际=匹、|2=上

,△AGBAB4

：.DG=^-AG,

2

VBG：EG=AB：DE=2：1,

：.GB：BE=2：3,

:♦S/\AGB:S^\AEB~^z3,

VAE=EC,

S^AEB——SAABC,

2

••S/\AGB^-—S/\ABC>

3

；ACDEsACBA,

.5ACDE_/DE、2=1

^AABCAB4

:.S△CDE——S/^ABC>

4

.SACDE3

SABG4

结论成立的是维理=工，

SAAGB4

故选：c.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质.

2.（2023•徐汇区一模）如图，点D在△ABC边A8上，NACD=/B,点尸是△ABC的角

平分线AE与C£＞的交点，且AP=2£F,则下列选项中不正确的是（

A

D,

BEC

AAD2RCF2「DC2nAD2

AC3BE3BC3DB3

【分析】过C作CG〃AB交AE延长线于G,由条件可以证明△AC尸丝Z\GCE(ASA),

得至l]AF=EG,CF=CE,由△ADFS^GCF,再由平行线分线段成比例，即可解决问题.

【解答】解：过C作CG〃A8交AE延长线于G,

；./G=/BAE,

■平分/BAC,

：.ZBAE^ZCAE,

：.ZG=ZCAE,

：.CG=CA,

VZACD=ZB,ZECG=ZB,

：.ZACF=ZECG,

：.AACF^AGCE(ASA),

:.CF=CE,AF=EG,

'：AF^2FE,

:.EG=2FE,

令EF=k,则AF=EG=2A,AE=GF=3k,

•；MADFs^GCF,

：.AD：CG^AF：FG=2k：(3k)=2：3,

•.•-A-D_-2,

AC3

故A正确.

'JAB//CG,

：.CE-.BE=GE：AE=2k：Q3k)=2：3,

•.•-C-F-_-2,

BE3

故8正确.

VZACD=ZB,ZDAC=ABAC,

：.AACD^AABC,

.CD=AD=2

,,BCAC百’

故C正确.

—AC和不一定相等,

AC3

/X

d

【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似

三角形.

3.（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm用一个交叉卡钳（两条尺长AC和

相等）可测量零件的内孔直径如果&=里=3,且量得Cr>=4aw,则零件的

0C0D

B.1.5cmC.0.5cmD.Icm

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10c〃z,

即可求得x的值.

【解答】解：•.•旭=理=3,ZCOD=ZAOB,

0C0D

:.△CODS&AOB,

：.AB：CD=2,

'JCD=4cm.

•\AB=Scm.

:某零件的外径为10cm,

.•.零件的厚度尤为：（10-8）+2=1（cm）,

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值.

二.填空题（共8小题）

4.（2022秋•奉贤区期中）如图，已知点。为△ABC中AC边的中点，AE//BC,ED交AB

于点G,交8C的延长线于点F,若垣=3，BC=8,则AE的长为4.

【分析】由AE//BC,可得△AEGS/XBFG,AAED^/\CFD推出胆=幽=工，又有

BFBG3

8c的值，再由岖=佟1=1,得出AE=CF,代入即可求解AE的长.

CFCD

【解答】解：

:.4AEGs4BFG,AAED^/\CFD,

.AE=AG=1AE=AD=1

"BFBGS''CFCD，

即AE=CF,

又BC=8,

.AE1

"8+AE3

AE=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握.

5.（2022•浦东新区校级模拟）如图，己知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上,

DE//BC,DE：BC=2：3,设CD=a，试用向量a表示向量DA，DA=_a_.

5

【分析】由。E〃8C可得△AOES\ACB,由。E：BC=2：3,可得ZM=2c。，即可表

Z5

示DA，从而得出答案.

【解答】解:-：DE//BC,

：.AADE^AACB,

•：DE：BC=2：3,

.\DA：CA=DE：BC=2：3,

VCD=Z）A+CA,

：.DA=^CD,

5

1-,CD=a-

—*9—•

••AD=­a»

5

.-•9—

•・DA=-三a,

5

故答案为：-2a.

5

【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质

和向量的运算的解题的关键.

6.（2022•静安区二模）如图，在梯形A3CQ中，AD//BC,对角线AC、80相交于点O,

点E、厂分别是边A3、C£＞的中点，AO：OC=1：4,设标=:，那么而=_$：_.（用

含向量W的式子表示）

AD

【分析】由相似二角形性质可得BC=4AD=4a，再根据梯形中位线定理即可求得答案.

【解答】1¥：\'AD//BC,

：.△AODsMOB,

.AD=A0=1

,,BCocT

•••BC=4AD=4a，

:点E、尸分别是边A3、C£»的中点，

•1•EF=4（AD+BC）（a+4a）=?a，

222

故答案为：—a.

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题关键.

7.（2023•静安区校级一模）在矩形ABC。内作正方形如图所示），矩形的对角线AC

交正方形的边E尸于点P.如果点F恰好是边C。的黄金分割点（DF>FC）,且PE=2,

【分析】先根据黄金分割的定义可得空=返二L再利用正方形的性质可得：DF//AE,

DF2

DF=AE,从而可得受=亚二1,然后证明8字模型相似三角形从而

AE2

利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：：点尸恰好是边C。的黄金分割点（DF>FC）,

.DFCFV5-1

"DCDF2

:四边形AEED是正方形，

J.DF//AE,DF=AE,

.CF_V5-1

,*AE2

'JDC//AB,

：.ZFCP=APAE,ZCFP=ZAEP,

:.△CFPs^AEP,

.CFPFV5-1

,,AEPE2

;PE=2,

:.PF=y[5-1,

故答案为：V5-1.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，

熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键.

8.（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、8。相交于

点如果△BC。的面积是△A3。面积的2倍，那么△80C与△BDC的面积之比是2：

3

【分析】过点D作DMLBC,垂足为M,过点B作BN±AD,交DA的延长线于点N,

根据已知易得。再根据SMCD=2SAABD,从而可得8C=24O,然后再证明8字

模型相似三角形△AODS^COB,利用相似三角形的性质可得地.=以=工，从而可得

BCB02

至=2,最后根据△BOC与△BOC的高相等，即可解答.

BD3

【解答】解：过点。作。垂足为过点B作交D4的延长线于点

N,

."AD//BC,

,.BN=DM,

:SdBCD=2S^ABD,

：.—BC'DM^2X1-AD'BN,

22

：.BC=2AD,

'：AD//BC,

：./ADB=ZDBC,/DAC=ZACB,

：.AAODSACOB,

.AD=D0=1

,,BCBO1，

.BO=_2

,,BDF

•；△BOC与ABDC的高相等，

.SAB0CBO2

^ABDC助3

故答案为：2：3.

【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知

条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

9.（2022秋•虹口区校级月考）如图，梯形ABC。中，AD//BC,,点E为边的中点，点

F在边CD上且3cp=CD,EE交对角线AC于点G,则AG：GC=7：2.

【分析】如图，连接DE,交AC于过/作MH//EF交.CD于H,首先利用AD//

BC,,点E为边BC的中点，可以得到A£＞：EC^AM：CM=DM：ME=3：2,然后利用

MH//EF,DH：HF=DM；ME=3：2=6：4,最后利用又3CF=CD即可求解.

【解答】解：如图，连接。E,交AC于跖过M作MH〃EF交CD于H,

■：AD//BC,,点E为边BC的中点，

LADMSACME,

：.AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2,

'：MH//EF,

：.DH：HF=DM：ME=3：2=6：4,

又3CF=CD,

:.DF=2CF,

：.CF：HF=5：4,

CG：MG=5：4,

：.CG=^-CM,MG=^CM,

99

而AM：CM=3：2,

：.AM=^-CM,

2

：.AG=AM+MG=^-CM,

18

：.AG：GC=^-CM：$CM=7：2.

189

故答案为：7：2.

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题

的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度.

10.（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，己知零件的外径为10c〃z,为求出它

的厚度了,现用一个交叉卡钳（AC和8。的长相等）去测量零件的内孔直径A2.如果能

0A

毁=.，且量得CD的长是3cm,那么零件的厚度尤是0.5cm.

0B3

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10。小

即可求得x的值.

【解答】解：：应=史=工，ZCOD^ZAOB,

0A0B3

:.△CODsMAOB,

：.AB：CD=3,

CD=3cm.

.'.AB=9cm.

:某零件的外径为10cm,

，零件的厚度尤为：（10-9）+2=0.5（cm）,

故答案为：0.5.

【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出A3的值.

11.（2022春•闵行区校级月考）如图，梯形4BCD中，ND=90°,AB//CD,将线段C2绕

着点8按顺时针方向旋转，使点C落在C。延长线上的点E处.联结AE、BE,设BE与

边AD交于点R如果A8=4,且:△杷F=F,那么梯形age。的中位线等于

^AABF2

【分析】过点8作8G,EC,利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF,再利用

相似三角形的性质求出E。、EG,最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论.

【解答】解过点8作BGLEC,垂足为G

..SAAEF__1^

^AABF2

.EF=1

'*BF2"

'：AB//CD,

:.AEDFsABAF.

.EF=ED=1

"BFAB2

EF_1

：.ED=2,=

BE百

\'AD//BG,

.ED=EF

"EGBE

：.EG=6.

绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在C。延长线上的点E处,

:.BE=BC.

:BGLEC,

：.EG=GC=6.

：.DC=DG+CG=4+6=10.

，梯形ABC。的中位线=上(AB+CD)=—(4+10)=7.

22

故答案为：7.

AB

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高

的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题

的关键.

三.解答题（共12小题）

12.（2023•普陀区一模）如图，已知梯形A8CD中，AD//BC,E是BC上一点，AE//CD,

AE.3。相交于点凡EF：CO=1：3.

（1）求理的值；

AD

（2）联结尸C,设AB=a，FE=b，那么BF=_2b-a_,FC=_7b-2a_.（用向量

a、b表示）

AA----------------------------------

BEC

【分析】（1）根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得至UAE=C£>,贝UERAE=

1：3,EF：AF=1：2,易证明由相似三角形的性质即可求解；

（2）由AF=2E尸得AF=2b,AE=3b,由三角形法则求出BF和BE,再求出BC,最后

利用三角形法则即可求出标.

【解答】W：'：AD//BC,AE//CD,

四边形AEC。为平行四边形，

C.AE^CD,

:EF：CD=1：3,

：.EF；AE=1：3,EF：AF=1：2,

'：AD//BC,

:.△BEFsdDAF,

•.•B--E---E--F-1;.

ADAF2

由(1)可得AF=2EP,

VFE=b-

/.AF=2b,AE=3b,

/.BF=AF-AB=2b-a,

BE=AE-AB=3b-a,

「巫」，AD=EC,

AD2

EC=2(3b-a)=6b-2a,

ABC=BE+EC=3b-a+6b_2a=9b-3a,

FC=BC-BF=9b-3a-2b+a=7b-2a.

故答案为：24-力，7b-2^.

【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量,

熟练三角形法则是解题关键.

13.（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形A8CD中，AO〃BC,点E在对角线8。上,

ZEAD=ZBDC.

(1)求证：AE，BD=AD，DC；

(2)如果点尸在边。C上，且更望，求证：EF//BC.

【分析】(1)利用平行线的性质证明然后利用已知条件可以证明△AOE

s^DBC,由此即可解决问题；

(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△。跖/△D3C,接着利用相似三角形的在即

可求解.

【解答】证明：(1)•.•AoaBc,

ZADB=ZDBC,

又；/EAD=NBDC,

：.AADEsADBC,

：.AE：AD=DC：BD,

：.AE'BD=AD'DC；

(2)VAE：AD=DC：BD,且以

DEAD

.DC=DF

"BDDE'

而NEOpn/BOC,

△DEFS^DBC,

:./DEF=/DBC,

：.EF//BC.

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例

的基本性质，有一定的综合性.

14.(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABC。中，点尸在边A。上，射线BA、CF相

交于点E,DF=2AF.

(1)求EA：AB的值；

(2)如果BA=a,,试用a、b表示向量.

E

尸?D

B

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,易证则

—=-^=-^,由。尸=2A尸即可求解；

CDFDAB

(2)先算出此屈上，再根据即可求解.

ADBC3

【解答】解：(1),••四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.AAEFs^DCF,

.AEAF

••----=-----，

CDFD

•.•-A-E--A-F-,

ABFD

'：DF=2AF,

•.•-A-F---1,

DF2

.EA1

•-=—;

AB2

(2):四边形ABCD是平行四边形，

C.AD//BC,AD=BC,

\'DF^2.AF,

•.•-D-F--D-F---2-,

ADBC3

VBA=a，.

•*-CD=a»DF=~~b,

o

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌

握平面向量的运算法则是解题关键.

15.(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△A8C中，点。在边8c上，AE//BC,BE

与A。、AC分别相交于点RG,AF2=FG，FE.

(1)求证：LCADs/xCBG；

(2)联结。G,求证：DG-AE^AB-AG.

【分析】(1)通过证明△RIGs△尸£A,可得NR1G=NE,由平行线的性质可得NE=N

EBC=ZFAG,且NACD=N8CG,可证△CA£)sZ\cBG；

(2)由相似三角形的性质可得奥=型，且NDCG=/ACB,可证△COGs/^CAB,

CBCG

可得幽=空，由平行线分线段成比例可得AE=AG,可得结论.

ABCBCBCG

【解答】证明：(1)\'AF2=FGFE.

.AF=EF

,*FGAF'

ZAFG^ZEFA,

:NNGs△FEX,

：.ZFAG=ZE,

'：AE//BC,

:.NE=/EBC,

.,.ZEBC^ZFAG,

,：ZACD^ZBCG,

：.ACADSACBG；

(2),:丛CADs^CBG,

.CA__CD

"CBCG'

:/DCG=/ACB,

.'.△CDG^ACAB,

.DG=CG

"ABCB'

'：AE//BC,

.AE=AG

"BCGC"

.AG=GC

"AE而’

.DG=AG

"ABAE；

DG-AE=AB-AG.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决

问题，属于中考常考题型.

16.(2022•松江区二模)已知：如图，两个和△E8C中，DA=DB,EB=EC,ZADB

=ZBEC,且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED,AE与BD交于点F.

(1)求证:DF_AB

BF"BC

(2)如果8戌=8＞求证：DF=BE.

【分析】(1)根据已知易证48sA