华师大版八年级数学上册专项复习：全等三角形的证明与计算（解析版）

全等三角形的证明与计算

逻辑推理是数学核心素养之一。各地期末考试必考几何推理计算。华师版数学八年

级上册期末考试，通常用“全等三角形的证明与计算”，作为解答题的第二题。该题由

于是第二个解答题，难度不大。关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。

1.如图，AC、8D相交于点。，AD=BC,ZDAO=ZCBO.求证：△ABD当ABAC.

【答案】见解析

【详解】证明：在△AOD与△BOC中,

ZDOA=ZCOB

<ZDAO=ZCBO,

AD=BC

：.△AOD丝△3OC（AAS）,

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

,/ZDAOZCBO,

：.ZOAB+ZDAO=ZCBO+ZOBA,

NDAB=NCBA,

在△钿£）与ABAC中，

AD=BC

•ZDAB=ZCBA,八ABD%ABAC（SAS）.

AB=BA

2.如图，点E在A3上，ADIM于点A,3。，钻于点3,AE=BC,AB^AD+BC.

D

（1）说明DE=CE的理由；（2）求NEOC的度数.

【答案】⑴见详解；（2）45。

【详解】（1）,/AB=AD+BC,

：.AE+BE=AD+BC,

AE=BC,

BE=AD,

VAD.LAB,BC1AB,

・•・ZA=ZB=90°,

:.△ADE学△BEC,

，DE二CE；

(2)・：AADE%ABEC,

：.ZADE=NBEC,

NA=90。，

JZADE+ZAED=90°,

ZBEC+ZAED=90°f

：.ZDEC=90°,

VDE=CE,

•••△DEC是等腰直角三角形，

JZEDC=45。.

3.如图，AABC中，ZABC=45°f两条高AD和BE交于H.求证：BH=AC.

【答案】见解析；

【详解】证明：由题意可得：ZADB=ZADC=ZBEC=90°

Z.HBD+ABHD=ZHBD+AC=90°

:.ZBHD=ZC

又・・・ZARD=45。

JAD=BD

在AADC和在/力H中

ZADB=ZADC

<ZBHD=ZC

AD=BD

：.AAZ)C^ABDH(AAS)

JBH=AC

试卷第2页，共22页

4.如图，E为BC上一点、,AC//BD,AC=BE,ZABD=ZCED.求证：AB=CD.

【答案】见解析

【详解】证明：；AC〃应),

ZACB=NEBD,

•:ZABD=NCED,ZABD=ZABC+ZEBD,NCED=NEBD+NEDB,

：.ZABC=ZEDB,

在4ABC与AEDB,

ZABC=ZEDB

*ZACB=ZEBD,

AC=BE

：.AABC=AEDB(AAS),

/.AB=CD.

5.如图，点B,F,C,E在直线/上(点/，C之间不能直接测量)，点A,。在/的

异侧，AB//DE,ZA=ZD,测得AB=DE.

(1)求证：AABC^ADEF；(2)若8E=10m,BF=3m,求尸C的长.

【答案】⑴见解析；⑵4cm

【详解】(1)证明：

:.ZABC=ZDEF,

在AABC与4DEF中

ZABC=ZDEF

<AB=DE

ZA=ZD

：.AABC^ADEF(ASA)；

(2)解：VAABC^ADEF,

;.BC=EF,

:.BF+FC=EC+FC,

：.BF=EC

BE=10cm,BF=3cm,

.*.FC=10-3-3=4cm.

6.如图、已知AE、C./在同一条直线上，AC//DF,BE=CF,AC=DF,AC.DE

相交于点

求证：（□△ABC2△OEF;（2）若NB=35。，ZF=67°,求的度数.

【答案】⑴见解析;⑵78。

【详解】（1）解：：AC〃。厂，

ZACB=ZDFE,

'：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,BPBC=EF,

在AABC与ADEF中，

AC^DF

<ZACB=ZDFE,

BC=EF

：.AABC^ADEF(SAS)；

(2)VAABC^ADEF,

:.NB=NDEF=35。,ZACB=NF=67°,

：.NEMC=180°-(ZMEC+ZMCE)=180°-(35°+67°)=78°.

7.如图所示，AE=AC,AB=AD,ZEAB=ZCAD.求证：ZB=ZD.

【答案】见解析

【详解】解：;NEAB=NCAD,

ZEAB+ZBAD=ZCAD+ZBAD,即/EAD=/RAC.

在AABC和VADE中，

试卷第4页，共22页

AB=AD

<ABAC=ZDAE,

AC=AE

:.AABC^AA£>E(SAS),

:.ZB=ZD.（全等三角形的对应角相等）

8.如图，AE=BF,AD〃BC,AD=BC,求证：CE=DF.

【答案】见解析

【详解】解：

，AE+EF=BF+EF,即AF=BE,

又；AD//BC

在AADP和ABCE中

AF=BE

<ZA=ZB,

AD=BC

：.△ADF^ABCE(SAS),

CE=DF.

9.如图，已知点B,E,C,尸在一条直线上，BE=CF,AC//DE,且AC=DE.

⑴求证：AABgADFE；⑵若所=14,EC=4,求BC的长

【答案】（1）证明见解析；（2）9

【详解】（1）证明：=

BC=EF

'：AC//DE

ZACB=ZDEF

在AABC和ADFE中

AC=DE

<ZACB=ZDEF

BC=EF

AABC^ADFE(SAS)

(2)由题意可得：BE=CF=-(BF-EC)=5

2

BC=BE+EC=9

10.如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板（相=CB,ZABC=90。）放置在

凹槽内，三个顶点A,民C分别落在凹槽内壁上，若ZAMN=/CNM=舒，测得

口AM=20cm,CN=32cm,则该凹槽的宽度MN的长.

【答案】该凹槽的宽度MN的长为52cm

【详解】解：1•△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,ZABC=90°,ZAMN=ZCNM=90°

:.ZABM+/CBN=90°,

•/ZAM6=90°,

ZABM+ZBAM=9Q°,

:./BAM=NCBN,

在AWS和ABNC中,

ZAMB=NBNC

<NBAM=ZCBN,

AB=BC

.•.△AMBdBNC(AAS),

,\MB=CN=32cm,BN=AM=20cm,

MN=MB+BN=52cm.

故该凹槽的宽度MN的长为52cm.

11.如图，尸为等边的边5C延长线上一点，BP=CD,ZDCP=60°.

B

CP

试卷第6页，共22页

(1)说明AABP2△ACD的理由；(2)判别△AGP是什么特殊三角形？并说明理由.

【答案】(1)见详解；(2)椀乃是等边三角形，理由见详解

【详解】(1)：/SC是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

•；ZDCP=60°,

ZACD=180°-(ZDCP+ZACB)=60°,

'：AB=AC,BP=CD,

：.NABP^VACD(SAS)；

(2)是等边三角形，理由如下：

NABP^VACD(SAS),

AAP=AD,ZBAP=ZCAD,

：.ZBAP=ZBAC+ZCAP=ACAD=APAD+ZCAP,

：.NBAC=NPAD,

•?za4c=60°,

ZBAC=ZPAD=6O°,

又：AP^AD,

£\ADP是等边三角形.

12.如图，AD,3c相交于点。，且A3〃CD,OA^OD.

(1)求证：OB=OC；(2)若在直线AD上截取求证：BE//CF.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【详解】(1)，/AB//CD,

：.NOAB=/ODC.

VOA=OD,ZAOB=ZDOC,

：.NOAB^VODC(ASA).

：.OB=OC；

(2)OA=OD,AE=DF,

：.OA+AE^OD+DF,^OE=OF.

'：ZEOB=ZFOC,且在(1)中，有O3=OC,

NBOE^VCOF(SAS),

Z£=ZF.

BE//CF.

13.如图，P为AC上任意一点，且N1=N2,-3=/4.

(1)求证：ABPC沿ADPC；(2)求证：AB=AD.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【详解】(1)证明：在△BPC和中，

21=Z2

<PC=PC

Z3=Z4

ABPC汜△DPC(ASA)

(2),:ABPCmADPC

：.BC=DC

在AABC和八4。。中，

BC=DC

<Z1=Z2

AC=AC

：.AABC^AADC(SAS)

:.AB=AD

14.已知：如图，AABC中，AD平分/B4c交BC于点。，CF〃AB且CD平分/尸C4,

联结FD并延长交边A3于点E,说明b=AC-AE的理由.

EB

试卷第8页，共22页

【答案】见解析

【详解】解：・・・C产〃

・・・NFCB=ZABC,

•・,8平分NFC4,

:.NFCB=ZACB,

：・？ACB?ABC,

：.AB=ACf

•・•AD平分484C,

：・CD=BD,

在△尸CD和△£»£）中，

NFCD=/EBD

CD=BD

ZCDF=ZBDE

：.AFCD=AEBD（ASA）

:.FC=BE,

,:AC=AB=AE+EB=AE-^-CF,

：.CF=AC-AE

15.将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B、

C、E三点在同一直线上，连接DC.

⑴请找出图②中的全等三角形，并说明理由.

⑵试问：DC与BE的位置关系如何？并说明理由.

【答案】（1）△回£也△ACD,理由见解析；（2）DCLBE,理由见解析

【详解】（1）解：图2中△口石也△ACD.

理由如下：

・・・AABC与△AED均为等腰直角三角形，

/.ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AE=AD,

ABAC+ACAE=ZEAD+Z.CAE,即NB4E=NC4D,

.,.在AABE和AACD中，

AB=AC

-ZBAE=ZCAD,

AE=AD

△ABE%ACD（SAS）:

（2）DCLBE.

理由如下：

由（1）知△ABE四△AC。，

/.ZACD^ZABE=45°,

又：ZACB=45°,

：.NBCD=ZACB+ZACD=90°,

DCLBE.

16.如图，在等边三角形ABC中，点“为AB边上任意一点，延长3c至点N,使

CN=AM,连接MN交AC于点P,MH_LAC于点//,3c交AC于点。.

(1)求证：AAMD是等边三角形；(2)求证：MP=NP；

(3)若AB=a,求线段用的长(结果用含a的代数式表示).

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)尸8=工。

2

【详解】(1)在等边AABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,

'：MD//BC,

：.ZAMD=NB=60°,ZADM=ZACB=60°,

AAMD是等边三角形，

(2).•.△AMD是等边三角形，

AM=DM,

'：AM=CN,

：.DM=CN,

•/MD//BC,

试卷第10页，共22页

・•.ZDMP=ZN,

在ADMP和△C7VP中，

ZDPM=ZCPN

<ZDMP=ZN,

DM=CN

：.公DMP也△CNP（AAS）,

：.MP=NP；

（3）・・・△AMD是等边三角形，且

:・AH=HD,

•：ADMP三CNP,

：.DP=CP,

PH=HD+DP=-AC,

2

VAB=a,AB=AC,

・・.PH=-a.

2

17.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,O是斜边AB上任一点，AE1CD

于£,跳」CD交8的延长线于/，交A石于G.

求证：（l）z^ACE1四△CBb；⑵CG=BD.

【答案】（1）见解析;（2）见解析

【详解】（1）・・,等腰直角三角形A3c

:.AC=BC,

VAE1CD,BFLCF,

：.^AEC=^BFC=90°

•・•ZCAE+ZACE=90°,ZBCF+NACE=90°,

；・/CAE=NBCF,

在△ACE和△（加尸中，

/CAE=/BCF

ZAEC=ZCFB

AC=CB

・・・AACE^ACBF(AAS)；

(2)・.・AABC是等腰直角三角形，CHLAB,

/.AC=BCfZACH=ZCBA=45°.

vCHlAB,AE±CF,

，NEDH+ZHGE=180。.

vZAGC=ZHGEfNHDE+NCD5=180。，

:.ZAGC=ZCDB.

在AAGC和ACD3中，

ZACG=ZCBD

<ZAGC=ZCDB,

AC=CB

.\MGC=ACDB(AAS).

:.BD=CG.

18.如图，在AABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,5。是/ABC的平分线，CELBD,

垂足是E,B4和C£的延长线交于点?

(1)在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2)证明：BD=2EC.

【答案】(l)zXAB。2△ACF,见解析;(2)见解析

【详解】(1)解：AABDQZ\ACF,证明如下：

VZBAC=90°,

AZF+ZACF=90°,

CE1BD,

：.NF+NFBE=90。,

:.ZACF=NFBE,

在△AB。和ZkAC产中，

AB=AC

<ZACF=ZFBE,

ZCAF=/BAD

：.△ABD^AACF(ASA).

试卷第12页，共22页

(2)丁BO是/ABC的平分线,

NFBE=NCBE,

•.・CELBD,

JZFBE+ZF=NCBE+NBCE=90°,

・•・ZF=ZBCE,

•••△FBC为等腰三角形，

:.CF=2EC,

■:^ABD^Z^ACF,

BD=CF,

：.BD=2EC.

19.如图，在AABC中，。是5C的中点，DELAB千E,。厂1AC于点尸，且

/BDE=NCDF,求证：AZ）平分NB4C.

【答案】见解析

【详解】证明：：DELAB,DF1AC,

/.ZDEB=ZDFC=90°,

•・•。是5。的中点，

/.BD=CD,

在ABED和△CFD中，

2BDE=NCDF

•NBED=NCFD,

BD=CD

:.ABED^ACFD(AAS),

:.DE=DF，

•.,/宏工钻于石，。厂1AC于点厂，

.:")平分/54。.

20.如图，AABC和4CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BC

相交于点M,仍与8相交于点N.求证：ACMN是等边三角形.

&

D

ACE

【答案】见解析

【详解】证明：・・・AABC和△CD£都是等边三角形,

:・BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=60°f

；.NBCA+/BCD=ZECD+/BCD,Z.BCD=60°,

:・/BCE=ZACD,

在△ACD和△BCE中

AC=BC

<NACD=/BCE,

CD=CE

：.AACD^ABCECSAS)；

・•・ZDAC=ZEBC,

VZACM=60°,NBCN=60。,

在八4。1和徵苗中，

ZMAC=/NBC

<AC=BC,

ZACM=/BCN

：.△ACM^BCN(ASA),

：.CM=CN,

VZMGV=60°,

•••△MCN是等边三角形.

21.如图，在AABC中，AD是中线，庭，人。于点石，于点及5方，4)于点尸，交

A0的延长线于点尸，求证：BF=CE.

【答案】见解析

【详解】解：・.・CE，4),BF±AD,

.\ZCED=ZBFD=9Q°,

・・・AD是中线,

试卷第14页，共22页

BD=CD,

在△CEO和△5FD中，

ZCED=ZBFD

<ZCDE=ZBDF,

CD=BD

.△CED'BFD(AAS),

:.BF=CE.

22.如图，ACIBC,DC工EC,AC=BC,DC=EC,A石与BO交于点?

(1)求证：AACE^ABCD.(2)求NAFD的度数.

【答案】⑴见解析;⑵90。

【详解】(1)VAC1BC,DCLEC,

：.ZACB=ZECD=90°,

；・ZACB+NBCE=NECD+ZBCE,BPZACE=ZBCDf

在ZkACE和△BCD中,

AC=BC

・；<NACE=/BCD\

EC=DC

：.△ACE=△BCD(SAS)；

(2)*：AACE=ABCD,

：.ZA=ZB,

设AE与交于点O,

：.ZAOC=ZBOF9

ZA+ZAOC+ZACO=ZB+ZBOF+ZBFO=180°

/BFO=ZACO=90。

：.ZAFD=180°-NBFO=90°.

23.如图，AE与班>相交于点C,AC^EC,BC=DC,AB=8cm,点尸从点A出发,

沿Af8fA方向以2cm/s的速度运动，点。从点。出发，沿。-E方向以lcm/s的速

度运动，P、。两点同时出发，当点P到达点A时，尸、。两点同时停止运动，设点产

的运动时间为f(s)

⑴求证：AB〃DE;(2)写出线段”的长(用含f的式子表示),

(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，求r的值

【答案】⑴见解析;(2)AP=2f;(3)§

3

【详解】(1)证明：在和AQEC中，

AC=EC

<ZACB=NECD,

BC=DC

：.AABC^ADEC(SAS),

ZA=ZE,

：.AB//DE.

(2).点尸从点A出发，沿-A方向以2cm/s的速度运动,

AP=2t.

(3)当线段P。经过点C时，如图：

在和AEQC中,

AC=EC

<ZACP=ZECQ,

ZA=ZF

AAPC均EQC(AAS),

试卷第16页，共22页

・・・AP=QE,

•・,点。从点。出发，沿Of£方向以lcm/s的速度运动，

DQ=t,

QE=8-1,

Q

*,•2t=8—tf解得：t=].

24.如图，在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,交5C于点。，BELl

于点。尸，/于点尸.

(1)求证5£=所+户C；(2)求N&正—NEBD的度数.

【答案】⑴见解析;(2)45。

【详解】(1)证明：・・・5石，/,CF1/,

：.ZAEB=ZAFC=90°f

：.ZABE+ZBAE=90°,

9：ABAC=90°f

：.ZCAF+ZBAE=90°1

：.ZCAF=ZABE,

在△"£和VC4F中，

ZAEB=ZAFC

<ZABE=ZCAF,

AB=AC

：.Z\ABE^Z\CAF(AAS),

1・BE=AF,AE=CF,

：.BE=AF=AE+EF=CF+EF；

(2)解：VAABE^AC4F,

；・/BAE=ZACF,

,：BEU,CFU,

：.BE//CF,

:・/EBD=/DCF,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°f

：.ZBAE-ZEBD=ZACF-ZDCF=ZACB=45°.

25.如图所示，在AABC中，于0,CE」AB于E,AD与CE交于点、F,且

AB=CF,

(1)求证△4?。2△CFD；(2)若AF=5,BD=3,求3c的长.

【答案】⑴见解析;(2)11

【详解】(1)解：•••CE1AB,

•••ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

NBAD+NB=ZFCD+ZB=90°,

ZBAD=ZFCD,

在445。和/xCTO中,

ZADB=ZCDF

<ZBAD=ZFCD,

AB=CF

:.AABD=^CFD(AAS)；

(2)解：・.FABD=ACFD,

,BD=DF,AD=DC,

vAF=5,BD=3,

AD=AF+DF=AF-i-BD=8,

ABC=BD+DC=BD+AD=11.

26.在等腰AABC中，AB=AC,AD为中线，DELAB,DF1AC.

(1)求证：DE二DF;(2)直接写出4对相等的线段.(不包括AB=AC)

试卷第18页，共22页

【答案】（1）见解析；Q）DE=DF，BD=CD,AE=AF,BE=CF.

【详解】（1）证明：；AB=AC,为中线，

AD平分,BAC,

VDEJ.AB,DF1AC,

DE=DF;

(2)解：由(1)可得DE=DF，

1/是中线，

/.BD=CD,

[A。=AD

在Rt^ADE和Rt厂中，1八厂八厂，

[DE=DF

：.RtAAPERtAAPF(HL),

AE=AF,

'：AB=AC,

：.AB-AE=AC-AF,

：.BE=CF.

・・.4对相等的线段分别为：DE=DF，BD=CD,AE=AF,BE=CF.

27.如图，点C为线段AB上一点，/XACM和△CBN是等边三角形.

【答案】⑴见解析;(2)见解析;⑶ZMD4=60。

【详解】(1)证明：:AACM和△C5N是等边三角形，

.・.AC=MC,CN=CB,ZACM=ZBCN=60°,

・•・ZMCN=180°-ZACM-ZBCN=60°,

・•・ZACN=ZACM+ZMCN=ZMCN+ZBCN=ZBCM=120%

在△C4N和△。期中，

CA=CM

<ZACN=NMCB,

CN=CB

：.ACAN=^CMB(SAS),

・•・ZNAC=/BMC；

(2)证明：♦“CAN三卫MB,

：.ZENC=/FBC,

・.,CN=CB,ZECN=ZFCB=60°,

・・.△EC7V三△尸CB(ASA),

CE=CF,

•・・ZMCN=180°-ZACM-ZBCN=60°,

**•△CEF为等边三角形；

(3)解：•:KAN*CMB,

：./CAN=/CMB,

•；ZAEC=/MED,

：.ZMDA=ZACM=60°.

28.如图，ZACB=90°,AC=