基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）测试-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

绝密★本科目考试启用前

模块一集合、常用逻辑用语、不等式、复数（测试）

（北京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={-2-1,0,1},则Ap8=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【详解】集合A={-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以Ac3={-l,0,l}.

故选：D

z+1

2.若一-=i,则|彳|=()

z-1

A.J2B.变C.1£

D.

22

【答案】C

【详解】由注=i,可得z+l=i(z-l),

z—1

-1-i(-1-+

所以Z=^z=i,|z|=l,

1-i(1—i)(l+i)

故选：C

3.“无一1=0”是。2_i=o”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由％—1=0解得x=l；

由f-1=。解得n=±1；

所以“无-1=0”是_I=0”的充分不必要条件.

故选：A

4.若关于N的不等式办-6>0的解集为{无付>1},则关于尤的不等式弓二>。的解集为（）

A.{小<-2或x>l}B.1x|l<x<2}

C.{小<-1或%>2}D.{x|-2<x<-l}

【答案】C

【详解】关于％的不等式狈—人>0的解集为何%>1},贝iJa=8〉0,

关于X的不等式一二>0可化为△——^>0,

x-2x-2

V-L1

即=>0,解得x>2或x<-L

x-2

故选：C.

5.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C（单位：万

元）与仓储中心到机场的距离s（单位km）之间满足的关系为C=%+2s+2000,则当C最小时，s的值

S

为（）

A.2080B.20C.20&D.400

【答案】B

【详解】依题意，s>0,则C=期+2s+2000W2《迎•2s+2000=2080,

当且仅当眄=2s,即s=20时取等号，

S

所以当。最小时，s的值为20.

故选：B

6.已知命题p：Dx>0,ln（x+l）>0；命题4：若〃>），则a?〉//2,下列命题为真命题的是（）

A.p^qB.c.D.

【答案】B

【详解】当%>0时，X+1>1,/.Ina+l）〉。，.•・命题P为真命题，则M为假命题；

若〃=1,b=-2,则〃2<02,...命题为假命题，则F为真命题；

「•夕△夕为假命题，,八-^为真命题，「"人^为假命题，为假命题.

故选：B.

2/12

7.若一元二次不等式办2+陵+。〈0（口力,。£1<）的解集为{%|-1<%<2},则力-。+3的最小值为（）

a

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【详解】一元二次不等式亦之+氐+小。5,"CER）的解集为{%|-1VX<2},

即-1,2为办2+麻+。=0（之"。£区）的两实数根，

-1+2=—2

ab=-a

故<-1x2=9,即<c=-2a,

a八

八a>0

a>0i

44I44

则Z?-c+—=〃+—22Jox—=4,当且仅当〃二一时，即〃=2时取等号，

aa\aa

4

即力-c+—的最小值为4.

a

故选：D

8.对任意♦4-1,1］,=f+（〃—4）%+4-2〃的值怛大于零，则x的取值范围是（）

A.（-00,l）U（3,+oo）B.（1,3）

C.（f,l）U（2,+s）D.（1,2）

【答案】A

【详解】对任意函数〃力=犬+（々-4）x+4-2a的值恒大于零，

设且（。）=（九-2"+%2_4%+4,即8（。）>。在。£［一1,1］上恒成立，

因为g（。）在〃目-1』上是关于。的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.

=x2-5x+6>0、

所以《m2QG八，解得X>3或无<1,

g（l）=x-3x+2>0

即X的取值范围是（—,1）U（3,+8）.

故选：A

9.已知命题P：h£R,（m+l）（x2+l）<0,命题/VxcR,/一如十］>（）恒成立.若p和q至多有一个为真

命题，则实数机的取值范围为（）

A.[2,+oo)B.(-1,2]

C.（—°0,—2]U[2,+oo）D.（—oo,-2]u（—L+8）

【答案】D

【详解】当命题P为真命题，即3ceR,使（小+1）（尤?+1）<0成立，得到〃Z+1V0,即租W-1,

当命题4为真命题，即对VXER,f一如；+1>O恒成立，得到△=/—4<0,

即一2<用<2,

人\m<-l

所以当命题P和命题4同时为真命题时，有1,即-2<机《-1,

[一2<m<2

又命题P和命题4至多有一个为真命题，所以加《-2或相>-1,

故选：D.

31

10.设集合"=｛%|机WxW机+：｝,N=｛x\n--<x<n],且M,N都是集合支|0W1｝的子集，如果把

43

叫做集合的“长度”，那么集合McN的“长度”的最小值是（）

A.-B.-C.—D.—

481216

【答案】C

3_3

【详解】易得:集合"=加+/的“长度为“

集合"=｛无旧-9尤4〃｝的“长度”为g.

因为它们都是｛x10Wx<1｝的子集，要使VCN“长度”最小，

集合河、N应该在*104x41｝的两端.

若集合“在左，集合N在右，则%=0,n=l,

32「23〕

此时加=｛尤|0工％</,A^=｛x|-<x<l｝,=jx|-<x<-k

321

所以McN的“长度”为：.

若集合N在左，集合M在右，则根=；,〃=；，

此时M=N=｛x\0<x<^｝f=

所以McN的“长度为：；—

4/12

综上可知，McN“长度”的最小值为

12

故选：C

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知根,“eR,集合A={1,m+〃,m},2={o,',“，且A=3,则师=.

【答案】-1

【详解】因为A={l,m+〃,m},B=]o,\，d,显然mwO,

Yl

则加+几=0,即m=一九，可得一=-1,

m

此时A={1,O,m},5={0,—1，4，可得加=-1,〃=1,所以小〃=一1.

故答案为：-1.

12.命题“V%G[1,2],x2-ax+l<0”为假命题的一个充分不必要条件是.

【答案】a<j（答案不唯一）

11

【详解】由题设，Vx£[l,2],〃〉]+—为假命题，故土£[l,2],a4x+—为真命题，

又y=X+L在xe[L2]上递增，贝打max=3,只需即可，

x22

所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是。<|.

故答案为：«<|（答案不唯一）

13.若x,y>0,且x+2y=孙，则2x+y的最小值为.

【答案】9

12

【详解】由x,y>0且x+2y=^可得一+—=1,

yX

所以（2了+“工+2]=岂+4+1+/5+2户互=9,

x+2y=xy

当且仅当在=空即％=y=3时取等号,

故答案为：9.

14.已知复数z=-3+ai（aeR）对应的点到原点的距离是a+1,则实数a=

【答案】4

【详解】复数z=-3+ai(aeR)在复平面内对应的点的坐标为(-3,a),

所以J(—3)~+J=a+1即。2+9=,解得a=4,

故答案为：4

15.为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区

AgGA,该项目由图书陈列区ABC。(阴影部分)和四周休息区组成.图书陈列区ABC。的面积为lOOOn?,

休息区的宽分别为2m和5m(如图所示).当校园图书馆精品阅读区AgGR面积最小时，则图书陈列区

的边长为m.

【答案】50

【详解】依题意，设BC=x,CO=y,得孙=1000,

图书馆精品阅读区面积为(x+10)(y+4)=孙+4x+10y+40

»肛+2,40孙+40=1000+2,40x1000+40=1440,

当且仅当4x=10y时，等号成立，此时4x=10y,孙=1000,解得-50.

故答案为：50.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(13分)已知复数z=a+i(aeR),i为虚数单位.

⑴若忖=1,求。的值；

(2)若寻为实数，求。的值.

(3)若Z]=z(l-2i)，4在复平面上对应的点在第一象限，求。的取值范围.

【答案】(1)a=0(2)a=1(3)[-2,；]

6/12

【详解】(1)因为所以a=0.

一z二群当"=?+名为实数,

(2)因为

l+i(l+i)(l-i)22

1—a

所以1^=0,解得。=1.

(3)因为马=z。-2i)且z=a+i(a£R),

所以4=(a+i)(l—2i)=(a+2)+(l-2a)i,

因为Z在复平面上对应的点在第一象限,

a+2〉0解得；故

所以-2<a<,

1-2a>0

17.(14分)设全集U=R,集合A={x|2VxV4},集合3=卜卜〃VxVa-2}.

(1)若对任意xeB,者B有xeA,求实数。的取值范围；

(2)若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)(T°』)(2)[6,+8)；

【详解】(1)由对任意xeB,都有xeA可知8屋4,

当3=0时，-a>a-2,解得a<l,符合题意，因此。<1；

当3H0时，而A={尤|24x44},B={x\-a<x<a-2},

贝lj2W-aWa-244,无解，

所以实数。的取值范围(f，D.

(2)由“xeA”是的充分不必要条件，得AB,

(I)I—Q<2|—QW2

^A={x\2<x<4],B={x\-a<x<a-2],因此或解得

11)[a-2>4[a-2>4

所以实数。的取值范围为[6,+8)；

18.(13分)已知二次函数己(x)=(x-l)(x-a),aeR.

⑴当a=3时，求函数〃x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值；

(2)若/'(x)2-x对一切实数x都成立，求a的取值范围；

(3)求关于x的不等式/⑺>0的解集.

【答案】⑴最大值为24,最小值为-1（2）［0,4］（3）答案见解析

【详解】（1）因为/（x）=（x-l）（x—a）,

当a=3时/（*）=（%-1）（无-3）=尤2-4%+3=（%-2）~-1,贝Ux=2为/'（彳）的对称轴，

22

所以/（X）max=/（-3）=（-3-5）-1=24,/（X）血n=/⑵=（2-2）-1=-1,

函数/（%）在区间［-3,3］上的最大值为24,最小值为-1.

（2）因为/（尤）2-无对一切实数x都成立，即（x-D（x-a）N-x恒成立，

即必—6+“20恒成立，所以△=（―a）~-4。40,解得0WaV4,即ae［0,4］.

（3）依题意/（尤）＞0,即（无一1）（彳一。）＞0,当。＞1时,解得x＞a或》＜1

当。=1时，即（尤一1）2＞0,解得xwl；当a＜l时，解得x＞l或x＜。；

综上可得，当。＞1时，原不等式的解集为（-8,1）口（。,+“）；

当。=1时，原不等式的解集为{xlxwl};

当a＜l时，原不等式的解集为

19.（15分）一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场.已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量q（x）

由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为式x）=10-x（单位：万件）.

公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产.将销量x售价称为“销售额”（记作B）；已知每

件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记

作C）.定义“净收益”（记作N）为：净收益=销售额-总成本.

（1）请用函数表示净收益是如何决定的

（2）在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益

（3）公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半.公司是否应

选择租用高科技设备？为什么？

【答案】（l）N（x）=12x-1-32,xe（3,7）（2）定价600元时净收益最大，400万元

（3）租用高科技设备是值得的，理由见解析

【详解】（1）N（x）=》（1。一天）一2（10-%）-12=12%-了2-32,xe（3,7）；

8/12

2

10—x~\~x—2

(2)7V(X)=X(10-X)-2(10-X)-12=(X-2)(10-A:)-12<I-12=4,

2

当且仅当x-2=10-x,即尤=6时等号成立，

所以在尤=6时取到最大值，经检验，在正常定价范围内，

因此，定价600元时净收益最大，净收益最大值为400万元;

(3)若租用高科技设备，则净收益变为

N'(x)=龙(10-%)_(10_%)_16.2=(10_力(了_1)_]6.2

(10—x+x—1Y/cu

＜---------------I-16.2=4.05,

当且仅当x-l=10-x,即尤=5.5时等号成立，

在x=5.5时取到最大值，经检验，在正常定价范围内，

因此最大净收益为405万元，高于不租用高科技设备的最大净收益，

因此租用高科技设备是值得的.

20.(15分)已知集合&={无|依2+5无一2＜。}.

(1)若。=—2,证明1EA；

⑵当a=-2时，8=何3VxVm+5}.若“无©3”是“xeA”的充分不必要条件，求机的范围;

(3)若集合C={2,3},且ACC中恰好只有1个元素，求实数。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；⑶*|一个线＞一21

【详角军】(1)Q=—2时，tzx?+5%—2W0—5%+2=(2%—1乂工一2)N0,

用军之得尤22或xwj,即A={x|x22或},

显然1是A,证毕；

(2)由上知。=一2时，A={x|xN2或XV：},

若“xe3”是“尤eA”的充分不必要条件，则8是A的真子集，

所以若5=0,显然符合题意，此时机+5v3-m，即机＜-1；

m＞—\

若要符合题意需＜_1,此时舍去；

m+5＜—

I2

m>—l

或322,此时一1"臼；

综上加e{"帆41}；

ax22+5X2-2<0,,人，

（3）要符合题意需c，uccc,此时舍去;

ax32+5X3-2>0

若&nc={3},

ax2-+5x2-2>013、

要符合题意需,,止匕时——>a>-2；

ax32+5X3-2<09

综上：a&<a\——>a>—2

21.（15分）已知集合A={1,2,3,…㈤，其中“cN*,4，4,…，4是A的互不相同的子集.记4的元素

个数为（力=1,2,…,小），404的元素个数为“（14，</4%）.

⑴若九=4,m=3,A={1,2},4={1,3},NI3=N23=1,写出所有满足条件的集合4（结论不要求证明）;

⑵若〃=5,且对任意的lVi</V〃z,都有为>0,求优的最大值;

（3）若给定整数“27,叫W3（i=l,2,…，机）且对任意机，都有以=1,求加的最大值.

【答案】⑴A={1}或A={1,4}或A={2,3}或4={2,3,4}⑵%1ax=16⑶%=n

【详解】（1）因为乂3=%3=1,则ACA和4口43的元素个数均为1，

又因为〃=4,A={1,2},4={1,3},则4={1,2,3,4},

若4cA={i},4cA={1},则4={1}或4={1,4}；

若AcA={2},&c&={3},则A3={2,3}或A3={2,3,4}；

综上4={1}或4={1,4}或4={2,3}或$={2,3,4}.

（2）集合A={1,2,3,4,5}共有32个不同的子集，

将其两两配对成1